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高三数学寒假作业1
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设i是虚数单位，则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于（　　）
A．﹣2﹣6i B．﹣2+2i C．4+2i D．4﹣6i
2．已知集合A＝{x|x2﹣4＞0}，B＝{x|x﹣2＜0}，则（ RA）∩B等于（　　）
A．（﹣∞，2） B．[﹣2，2] C．（﹣2，2） D．[﹣2，2）
3．“m＝3”是“函数f（x）＝xm为实数集R上的奇函数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．在区间[0，π]上随机取一个实数x，使得sinx∈[0，]的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．将函数的图象向右平移φ个单位，得到的图象关于原点对称，则φ的最小正值为（　　）
A． B． C． D．
6．已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是（　　）
A．12 B．24 C．36 D．48
7．直线x+my+1＝0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是（　　）
A．[，] B．[，] C．[，3] D．[﹣3，]
8．（理）已知圆心为O，半径为1的圆上有不同的三个点A、B、C，其中，存在实数λ，μ满足，则实数λ，μ的关系为（　　）
A．λ2+μ2＝1 B． C．λμ＝1 D．λ+μ＝1
9．已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线1（a＞0，b＞0）相交于A、B两点，双曲线的一条渐近线方程是yx，点F是抛物线的焦点，且△FAB是等边三角形，则该双曲线的标准方程是（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
10．对于函数f（x）＝aex﹣x，若存在实数m、n，使得f（x）≤0的解集为[m，n]（m＜n），则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0）∪（0，） B．（﹣∞，0）∪（0，]
C．（0，） D．（0，]
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上．
11．为了解某校教师使用多媒体辅助教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了解他们上学期使用多媒体辅助教学的次数，结果用茎叶图表示（如图），据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体辅助教学不少于30次的教师人数为　 　．
12．执行如图所示的程序，则输出的结果为　 　．
13．等差数列{an}中，a4＝6，则2a1﹣a5+a11＝　 　．
14．已知a，b为正实数，直线x+y+a＝0与圆（x﹣b）2+（y﹣1）2＝2相切，则的取值范围是　 　．
15．对于函数f（x），给出下列结论：
①等式f（﹣x）+f（x）＝0在x∈R时恒成立；
②函数f（x）的值域为（﹣1，1）
③函数g（x）＝f（x）﹣x在R上有三个零点；
④若x1≠x2，则0
⑤若x1＜x2，则
其中所有正确结论的序号为　 　．
三、解答题：
16．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（x）＝sin2xcosB﹣2cos2xsinB+sinB，x∈R，函数f（x）的图象关于直线对称．
（Ⅰ）当时，求函数f（x）的最大值并求相应的x的值；
（Ⅱ）若b＝3且，求△ABC的面积．
17．（12分）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如下表：
时间 周一 周二 周三 周四 周五
车流量x（万辆） 50 51 54 57 58
PM2.5的浓度y（微克/立方米） 69 70 74 78 79
（Ⅰ）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（Ⅰ）求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度为多少（保留整数）？
（参考公式：，参考数据：）
18．（12分）已知数列{an}和{bn}对任意的n∈N*满足，若数列{an}是等比数列，且a1＝1，b2＝b1+2．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn，求数列{cn}的前n项和Sn．
19．（13分）如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，△A1CB是等边三角形，AC＝AB＝1，B1C1∥BC，BC＝2B1C1
（Ⅰ）求证：AB1∥平面A1C1C
（Ⅱ）求多面体ABC﹣A1B1C1的体积．
高三数学寒假作业1（答案解析）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设i是虚数单位，则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于（　　）
A．﹣2﹣6i B．﹣2+2i C．4+2i D．4﹣6i
【解答】解：复数1﹣2i+3i2﹣4i3＝复数1﹣2i﹣3+4i＝﹣2+2i．
故选：B．
2．已知集合A＝{x|x2﹣4＞0}，B＝{x|x﹣2＜0}，则（ RA）∩B等于（　　）
A．（﹣∞，2） B．[﹣2，2] C．（﹣2，2） D．[﹣2，2）
【解答】解：由A中的不等式得：x2﹣4＞0，得到x＞2或x＜﹣2，
∴A＝（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
由x﹣2＜0，解得x＜2，
∴B＝（﹣∞，2），
∵全集U＝R，
∴ UA＝[﹣2，2]，
∴（ UA）∩B＝[﹣2，2）．
故选：D．
3．“m＝3”是“函数f（x）＝xm为实数集R上的奇函数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解答】解：当m＝3时，函数f（x）＝x3为奇函数，满足条件．
当m＝1时，函数f（x）＝x为奇函数，但m＝3不成立，
故“m＝3”是“函数f（x）＝xm为实数集R上的奇函数”的充分不必要条件，
故选：A．
4．在区间[0，π]上随机取一个实数x，使得sinx∈[0，]的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在区间[0，π]上，当时，，由几何概型知，符合条件的概率为．
故选：C．
5．将函数的图象向右平移φ个单位，得到的图象关于原点对称，则φ的最小正值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：将函数的图象向右平移φ个单位，得到的图象对应的函数解析式为 y＝sin[2（x﹣φ）]＝sin（2x2φ），
再根据所得函数的图象关于原点对称，可得2φ＝kπ，k∈z，即φ，则φ的最小正值为，
故选：A．
6．已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是（　　）
A．12 B．24 C．36 D．48
【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长4、3的矩形，高为3的棱锥，高所在棱垂直底面矩形的一个得到，
所以棱锥的体积为：12．
故选：A．
7．直线x+my+1＝0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是（　　）
A．[，] B．[，] C．[，3] D．[﹣3，]
【解答】解：即直线x+my+1＝0过定点D（﹣1，0）
作出不等式组对应的平面区域如图：
当m＝0时，直线为x＝﹣1，此时直线和平面区域没有公共点，
故m≠0，x+my+1＝0的斜截式方程为yx，
斜率k，
要使直线和平面区域有公共点，则直线x+my+1＝0的斜率k＞0，
即k0，即m＜0，满足kCD≤k＜kAB，
此时AB的斜率kAB＝2，
由解得，即C（2，1），
CD的斜率kCD，
由，解得，即A（2，4），
AD的斜率kAD，
即k，
则，
解得﹣3≤m，
故选：D．
8．（理）已知圆心为O，半径为1的圆上有不同的三个点A、B、C，其中，存在实数λ，μ满足，则实数λ，μ的关系为（　　）
A．λ2+μ2＝1 B． C．λμ＝1 D．λ+μ＝1
【解答】解：由题意可得||＝||＝||＝1，且．
∵，即 λμ，平方可得 1＝λ2+μ2，
故选：A．
9．已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线1（a＞0，b＞0）相交于A、B两点，双曲线的一条渐近线方程是yx，点F是抛物线的焦点，且△FAB是等边三角形，则该双曲线的标准方程是（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
【解答】解：由题意可得抛物线y2＝8x的准线为x＝﹣2，焦点坐标是（2，0），
又抛物线y2＝8x的准线与双曲线1相交于A，B两点，又△FAB是等边三角形，
则有A，B两点关于x轴对称，横坐标是﹣2，纵坐标是4tan30°与﹣4tan30°，
将坐标（﹣2，±）代入双曲线方程得1，①
又双曲线的一条渐近线方程是yx，得，②
由①②解得a，b＝4．
所以双曲线的方程是1．
故选：D．
10．对于函数f（x）＝aex﹣x，若存在实数m、n，使得f（x）≤0的解集为[m，n]（m＜n），则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0）∪（0，） B．（﹣∞，0）∪（0，]
C．（0，） D．（0，]
【解答】解：aex≤x（e是自然对数的底数），转化为a，
令y，
则y′，令y′＝0，可得x＝1，
当x＞1时，y′＜0，函数y递减；当x＜1时，y′＞0，函数y递增．
则当x＝1时函数y取得最大值，
由于存在实数m、n，使得f（x）≤0的解集为[m，n]，
则由右边函数y的图象可得a的取值范围为（0，）．
故选：C．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上．
11．为了解某校教师使用多媒体辅助教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了解他们上学期使用多媒体辅助教学的次数，结果用茎叶图表示（如图），据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体辅助教学不少于30次的教师人数为　90　．
【解答】解：根据题意，得；
样本容量为20时，使用多媒体辅助教学不少于30次的教师人数为9，∴频率为；
由此估计该校上学期200名教师中，使用多媒体辅助教学不少于30次的教师人数为
20090．
故答案为：90．
12．执行如图所示的程序，则输出的结果为　24　．
【解答】解：第一次执行循环体后，z＝2，满足继续循环的条件，x＝2，y＝4；
再次执行循环体后，z＝6，满足继续循环的条件，x＝5，y＝7；
再次执行循环体后，z＝12，满足继续循环的条件，x＝8，y＝10；
再次执行循环体后，z＝18，满足继续循环的条件，x＝11，y＝13；
再次执行循环体后，z＝24，不满足继续循环的条件，
故输出的结果为：24，
故答案为：24．
13．等差数列{an}中，a4＝6，则2a1﹣a5+a11＝　12　．
【解答】解：等差数列{an}中，a4＝6，
∴a1+3d＝6，
则2a1﹣a5+a11＝2a1﹣（a1+4d）+a1+10d＝2（a1+3d）＝12．
故填12．
14．已知a，b为正实数，直线x+y+a＝0与圆（x﹣b）2+（y﹣1）2＝2相切，则的取值范围是　（0，+∞）　．
【解答】解：∵直线x+y+a＝0与圆（x﹣b）2+（y﹣1）2＝2相切，
∴圆心到直线的距离d，
即|a+b+1|＝2，
∴a+b＝1，或a+b＝﹣3
∵a，b为正实数
∴a+b＝﹣3（舍去），
即b＝1﹣a，
∴0＜a＜1，0＜b＜1，，
构造函数f（a），（0＜a＜1），
则f′（a），
∵当0＜a＜1时，2a﹣a2＞0，即f′（a）＞0，
∴f（a）在（0，1）上是增函数，
∴0＜f（a）＜1，
则的取值范围是（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．
15．对于函数f（x），给出下列结论：
①等式f（﹣x）+f（x）＝0在x∈R时恒成立；
②函数f（x）的值域为（﹣1，1）
③函数g（x）＝f（x）﹣x在R上有三个零点；
④若x1≠x2，则0
⑤若x1＜x2，则
其中所有正确结论的序号为　①②④　．
【解答】解：f（x），f（﹣x）；
故等式f（﹣x）+f（x）＝0在x∈R时恒成立，故①成立；
f（x），
故﹣1＜f（x）＜1，
故函数f（x）的值域为（﹣1，1），故②成立；
g（x）＝f（x）﹣x，
故函数g（x）＝f（x）﹣x在R上有一个零点，故③不成立；
∵f（x），
故可判断f（x）在R上是增函数，
故若x1≠x2，则0，
故④成立；
作函数f（x）的图象如下，
若0＜x1＜x2，则，
若x1＜x2＜0，则f（）．
故⑤不成立．
故答案为：①②④．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（x）＝sin2xcosB﹣2cos2xsinB+sinB，x∈R，函数f（x）的图象关于直线对称．
（Ⅰ）当时，求函数f（x）的最大值并求相应的x的值；
（Ⅱ）若b＝3且，求△ABC的面积．
【解答】解：f（x）＝sin2xcosB﹣2cos2xsinB+sinB＝sin2xcosB﹣（1+cos2x）sinB+sinB＝sin（2x﹣B）．
（Ⅰ）由函数f（x）的图象关于直线对称，知，解得B＝﹣kπ（k∈Z），
又B∈（0，π），∴当k＝0时，B；
当时，，
于是当，即x时，函数f（x）的最大值为1；
（Ⅱ）由正弦定理得，
又，得，
由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac，
解得ac，
于是△ABC的面积为．
17．（12分）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如下表：
时间 周一 周二 周三 周四 周五
车流量x（万辆） 50 51 54 57 58
PM2.5的浓度y（微克/立方米） 69 70 74 78 79
（Ⅰ）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（Ⅰ）求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度为多少（保留整数）？
（参考公式：，参考数据：）
【解答】解：（Ⅰ）由条件可知（50+51+54+57+58）＝54，（69+70+74+78+79）＝74
4×5+3×4+3×4+4×5＝64，50，
∴1.28，74﹣1.28×54＝4.88，
故y关于x的线性回归方程是：1.28x+4.88；
（Ⅱ）当x＝25时，1.28×25+4.88＝36.88≈37，
∴可以预测此时PM2.5的浓度约为37．
18．（12分）已知数列{an}和{bn}对任意的n∈N*满足，若数列{an}是等比数列，且a1＝1，b2＝b1+2．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn，求数列{cn}的前n项和Sn．
【解答】解：（Ⅰ）由条件可知1，解得b1＝1，
∴b2＝b1+2＝3．
∴a1a23，解得a2＝3，
又数列{an}是等比数列，则公比为3，
于是an＝3n﹣1，
又∴30+1+2+…+（n﹣1），
∴bn﹣n，
解得bn．
（Ⅱ）由题意得cn2，
∴Sn2
2
．
19．（13分）如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，△A1CB是等边三角形，AC＝AB＝1，B1C1∥BC，BC＝2B1C1
（Ⅰ）求证：AB1∥平面A1C1C
（Ⅱ）求多面体ABC﹣A1B1C1的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：取BC的中点E，连接AE，C1E，B1E
∵B1C1∥BC，B1C1BC，∴B1C1∥EC，B1C1＝EC
∴四边形CEB1C1为平行四边形，∴B1E∥C1C
∵C1C 面A1C1C，B1E 面A1C1C，∴B1E∥面A1C1C
∵B1C1∥BC，B1C1BC，∴B1C1∥BE，B1C1＝BE
∴四边形BB1C1E为平行四边形，∴B1B∥C1E，且B1B＝C1E
又∵ABB1A1是正方形，∴A1A∥C1E，且A1A＝C1E
∴AEC1A1为平行四边形，∴AE∥A1C1，
∵A1C1 面A1C1C，AE 面A1C1C，∴AE∥面A1C1C
∵AE∩B1E＝E，∴面B1AE∥面A1C1C
∵AB1 面B1AE，∴AB1∥面A1C1C；
（Ⅱ）在正方形ABB1A1中，AB1，又△A1BC是等边三角形，
∴A1C＝BC，
∴AC2+AA12＝A1C2，AB2+AC2＝BC2，
于是AA1⊥AC，AC⊥AB，
又AA1⊥AB，∴AA1⊥平面ABC，
∴AA1⊥CE，
又CE⊥AE，AE∩AA1＝A，
∴CE⊥平面AEC1A1，
于是多面体ABC﹣A1B1C1是由直三棱柱ABE﹣A1B1C1和四棱锥C﹣AEC1A1组成的．
又直三棱柱ABE﹣A1B1C1的体积为，
四棱锥C﹣AEC1A1的体积为，
故多面体ABC﹣A1B1C1的体积为．

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