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高三数学寒假作业2
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为（　　）
A．M∩N B．（ UM）∩N
C．M∩（ UN） D．（ UM）∩（ UN）
2．若复数（α∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数α的值为（　　）
A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6
3．若等比数列{an}的前n项和，则a2＝（　　）
A．4 B．12 C．24 D．36
4．已知命题p： x∈R，x﹣2＞0，命题q： x∈R，2x＞x2，则下列说法中正确的是（　　）
A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧（￢q）是真命题 D．命题p∨（￢q）是假命题
5．设a＝0.36，b＝log36，c＝log510，则（　　）
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）
A． B． C． D．
7．已知的最小值是2，则a＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．若f（x）＝2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t）＝f（﹣t），且f（）＝﹣1则实数m的值等于（　　）
A．±1 B．﹣3或1 C．±3 D．﹣1或3
9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
10．△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上的一点（包括端点），则 的取值范围是（　　）
A．[1，2] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣5，2]
11．如图过拋物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则拋物线的方程为（　　）
A．y2x B．y2＝3x C．y2x D．y2＝9x
12．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣1）＝﹣1，且当x＞0时，有xf′（x）＞f（x），则不等式f（x）＞x的解集是（　　）
A．（﹣1，0） B．（1，+∞）
C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知，则cos（π﹣α）＝　 　．
14．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，
甲说：丙没有考满分；
乙说：是我考的；
丙说：甲说真话．
事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是　 　．
15．在边长为4的正方形ABCD内部任取一点M，则满足∠AMB为锐角的概率为　 　．
16．A、B、C、D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD＝4，AB＝2，则该球的表面积为　 　．
三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2，n∈N*．
（1）证明：数列{an}是等差数列；
（2）设bn（﹣1）nan，求数列{bn}的前2n项和．
18．（12分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表1：男生
等级 优秀 合格 尚待改进
频数 15 x 5
表2：女生
等级 优秀 合格 尚待改进
频数 15 3 y
（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；
（2）从表二中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．
男生 女生 总计
优秀
非优秀
总计
参考数据与公式：K2，其中n＝a+b+c+d．
临界值表：
P（K2＞k0） 0.10 0.05 0.01
k0 2.706 3.841 6.635
19．（12分）如图，已知 AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BCE；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣BCF的体积．
高三数学寒假作业2（答案解析）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为（　　）
A．M∩N B．（ UM）∩N
C．M∩（ UN） D．（ UM）∩（ UN）
【解答】解：∵M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，
∴M∩N＝{5}，（ UM）∩N＝{1，2}，
M∩（ UN）＝{3，4}，
（ UM）∩（ UN）＝ ，
故选：B．
2．若复数（α∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数α的值为（　　）
A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6
【解答】解：∵为纯虚数，
∴，解得：a＝﹣6．
故选：A．
3．若等比数列{an}的前n项和，则a2＝（　　）
A．4 B．12 C．24 D．36
【解答】解：∵，
∴，
a2＝S2﹣S1＝（9a﹣2）﹣（3a﹣2）＝6a，
a3＝S3﹣S2＝（27a﹣2）﹣（9a﹣2）＝18a，
∵{an}为等比数列，
∴（6a）2＝（3a﹣2）×18a，
解得a＝2，或a＝0（舍），
∴a＝2，
∴a2＝S2﹣S1＝6a＝12，
故选：B．
4．已知命题p： x∈R，x﹣2＞0，命题q： x∈R，2x＞x2，则下列说法中正确的是（　　）
A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧（￢q）是真命题 D．命题p∨（￢q）是假命题
【解答】解：因为命题p： x∈R，x﹣2＞0是真命题，例如x＝3，
而命题q： x∈R，2x＞x2，是假命题，例如x＝1，
由复合命题的真值表可知命题p∧（￢q）是真命题．
故选：C．
5．设a＝0.36，b＝log36，c＝log510，则（　　）
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
【解答】解：∵a＝0.36＜1，b1，c1，
∵lg 5＞lg 3＞lg2＞0，
∴0，
∴a＜c＜b．
故选：B．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，
三棱柱的底面是等腰直角三角形，
其面积S1×2＝1，高为1；
故其体积V1＝1×1＝1；
三棱锥的底面是等腰直角三角形，
其面积S1×2＝1，高为1；
故其体积V21×1；
故该几何体的体积V＝V1+V2；
故选：A．
7．已知的最小值是2，则a＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由已知得线性可行域如图所示，则z＝ax+y的最小值为2
若a＞﹣2，则（1，0）为最小值最优解，
∴a＝2，
若a≤﹣2，则（3，4）为最小值最优解，不合题意，
故选：B．
8．若f（x）＝2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t）＝f（﹣t），且f（）＝﹣1则实数m的值等于（　　）
A．±1 B．﹣3或1 C．±3 D．﹣1或3
【解答】解：因为f（x）＝2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t）＝f（﹣t），
所以函数的对称轴是x，就是函数取得最值，又f（）＝﹣1，
所以﹣1＝±2+m，所以m＝1或﹣3．
故选：B．
9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
【解答】解：第一次循环：，n＝2；
第二次循环：，n＝3；
第三次循环：，n＝4；
…
第n次循环：，n＝n+1
令解得n＞15
∴输出的结果是n+1＝16
故选：C．
10．△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上的一点（包括端点），则 的取值范围是（　　）
A．[1，2] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣5，2]
【解答】解：∵D是边BC上的一点（包括端点），∴可设（0≤λ≤1）．
∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，∴2×1×cos120°＝﹣1．
∴ []
＝﹣（2λ﹣1）﹣4λ+1﹣λ
＝﹣7λ+2．
∵0≤λ≤1，
∴（﹣7λ+2）∈[﹣5，2]．
∴ 的取值范围是[﹣5，2]．
故选：D．
11．如图过拋物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则拋物线的方程为（　　）
A．y2x B．y2＝3x C．y2x D．y2＝9x
【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，
由定义得：|BD|＝a，
故∠BCD＝30°，
在直角三角形ACE中，
∵|AF|＝3，|AC|＝3+3a，
∴2|AE|＝|AC|
∴3+3a＝6，从而得a＝1，
∵BD∥FG，
∴，
求得p，
因此抛物线方程为y2＝3x，
故选：B．
12．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣1）＝﹣1，且当x＞0时，有xf′（x）＞f（x），则不等式f（x）＞x的解集是（　　）
A．（﹣1，0） B．（1，+∞）
C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
令g（x），∴g（x）为偶函数，
又当x＞0时，xf′（x）＞f（x），
∴g′（x）0；
∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数；
又f（﹣1）＝﹣1，∴f（1）＝1，g（1）＝1；
当x＞0时，∵不等式f（x）＞x，
∴1，即g（x）＞g（1），
∴有x＞1；
当x＜0时，∵不等式f（x）＞x，
∴1，即g（x）＜g（﹣1），
∴有﹣1＜x＜0；
当x＝0时，f（0）＝0，不等式f（x）＞x不成立；
综上，不等式f（x）＞x的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞）．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知，则cos（π﹣α）＝　　．
【解答】解：∵，
∴cos（π﹣α）＝﹣cosα＝﹣（1﹣2sin2）．
故答案为：．
14．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，
甲说：丙没有考满分；
乙说：是我考的；
丙说：甲说真话．
事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是　甲　．
【解答】解：假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；
假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；
故答案为：甲．
15．在边长为4的正方形ABCD内部任取一点M，则满足∠AMB为锐角的概率为　1　．
【解答】解：如果∠AEB为直角，动点E位于以AB为直径的圆上（如图所示）．
要使∠AMB为锐角，则点M位于正方形内且半圆外（如图所示的阴影部分）；
因为半圆的面积为，正方形的面积为4×4＝16，
所以满足∠AMB为锐角的概率．
故答案为：1
16．A、B、C、D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD＝4，AB＝2，则该球的表面积为　32π　．
【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，
把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离
为球的半径，
AD＝4，AB＝2，△ABC是正三角形，所以AE＝2，AO＝2．
所求球的表面积为：4π（2）2＝32π．
故答案为：32π．
三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2，n∈N*．
（1）证明：数列{an}是等差数列；
（2）设bn（﹣1）nan，求数列{bn}的前2n项和．
【解答】（1）证明：当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1．
当n＝1时，上式也成立，∴an＝2n﹣1．
∴当n≥2时，an﹣an﹣1＝（2n﹣1）﹣（2（n﹣1）﹣1）＝2，
∴数列{an}是等差数列，以1为首项，2为公差．
（2）解：bn（﹣1）nan＝22n﹣1+（﹣1）n（2n﹣1），
∴数列{bn}的前2n项和＝（21+23+…+22n﹣1）+[（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+（﹣（4n﹣3）+（4n﹣1））]
2n
2n．
18．（12分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表1：男生
等级 优秀 合格 尚待改进
频数 15 x 5
表2：女生
等级 优秀 合格 尚待改进
频数 15 3 y
（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；
（2）从表二中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．
男生 女生 总计
优秀
非优秀
总计
参考数据与公式：K2，其中n＝a+b+c+d．
临界值表：
P（K2＞k0） 0.10 0.05 0.01
k0 2.706 3.841 6.635
【解答】解：（1）设从高一年级男生中抽出m人，则，m＝25
∴x＝25﹣15﹣5＝5，y＝20﹣18＝2
表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，
则从这5人中任选2人的所有可能结果为
（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B）共10种，
记事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”
则C的结果为：（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），共6种，
∴P（C），故所求概率为；
（2）
男生 女生 总计
优秀 15 15 30
非优秀 10 5 15
总计 25 20 45
∵1﹣0.9＝0.1，P（K2≥2.706）1.125＜2.706
∴没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．
19．（12分）如图，已知 AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BCE；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣BCF的体积．
【解答】（I）证明：过C作CM⊥AB，垂足为M，
∵AD⊥DC，∴四边形ADCM为矩形，
∴AM＝MB＝2，
∵AD＝2，AB＝4，
∴AC＝2，CM＝2，BC＝2
∴AB2＝AC2+BC2，即AC⊥BC，
∵AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
∴EB⊥平面ABCD，
∵AC 平面ABCD，∴AC⊥EB，
∵EB∩BC＝B，
∴AC⊥平面BCE；
（II）解：∵AF⊥平面ABCD，
∴AF⊥CM，
∴CM⊥AB，AB∩AF＝A，
∴CM⊥平面ABEF，
∴VE﹣BCF＝VC﹣BEF．

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