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高三数学寒假作业4
1．已知集合A＝{x||x|＜2}，集合B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（　　）
A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}
2．i是虚数单位，则复数等于（　　）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
3．“a＞1“是“1”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
4．下列函数中，与函数y的定义域相同的函数为（　　）
A． B． C．y＝xex D．
5．已知a＝21.2，b＝（）﹣0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
6．二项式（）5的展开式中常数项为（　　）
A．5 B．10 C．﹣20 D．40
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3+a8＝13，S7＝35，则a8＝（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．函数y＝xcosx+sinx的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
9．在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好满足x+y的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．下面有五个命题：
①函数y＝sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；
②终边在y轴上的角的集合是；
③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象有三个公共点；
④把函数的图象向右平移个单位得到y＝3sin2x的图象；
⑤函数在[0，π]上是减函数；
其中真命题的序号是（　　）
A．①②⑤ B．①④ C．③⑤ D．②④
11．设F1、F2分别是双曲线C：的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使|OP|＝|OF1|（O为原点），且，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
12．已知函数f（x）＝x3+sinx（x∈R），函数g（x）满足g（x）+g（2﹣x）＝0（x∈R），若函数h（x）＝f（x﹣1）﹣g（x）恰有2021个零点，则所有这些零点之和为（　　）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．在等比数列{an}中，an＞0，且a1 a10＝27，log3a2+log3a9＝　 　．
14．已知向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝1，则向量与2的夹角为　 　．
15．已知函数f（x），则f（x）＞1的解集为　 　．
16．已知四面体P﹣ABC四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC＝1，AB＝PB＝2，则球O的表面积为　 　．
三．解答题：（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答）
17．（12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.5
2.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.4
1.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5
（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积S＝abc，sin2A+sin2B+sinAsinB＝2csinC．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求△ABC周长的取值范围．
19．（12分）已知三棱锥P﹣ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD为边长等于的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P﹣ABC中；
（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ）若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角P﹣BC﹣M的余弦值．
高三数学寒假作业4（答案解析）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项符合.）
1．已知集合A＝{x||x|＜2}，集合B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（　　）
A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}
【解答】解：∵集合A＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，
B＝{﹣1，0，1，2，3}，
∴A∩B＝{﹣1，0，1}．
故选：C．
2．i是虚数单位，则复数等于（　　）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
【解答】解：，
故选：A．
3．“a＞1“是“1”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【解答】解：当a＞1时，1成立，即充分性成立，
当a＝﹣1时，满足1，但a＞1不成立，即必要性不成立，
则“a＞1“是“1“的充分不必要条件，
故选：A．
4．下列函数中，与函数y的定义域相同的函数为（　　）
A． B． C．y＝xex D．
【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，
的定义域为{x|x＞0}；的定义域为{x|x＞0}；y＝xex的定义域为R；的定义域为{x|x≠0}，
∴与函数定义域相同的函数为．
故选：D．
5．已知a＝21.2，b＝（）﹣0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【解答】解：∵a＝21.2＞2，
b＝（）﹣0.8＝20.8＜21＝2，
c＝log54＜log55＝1，
∴c＜b＜a．
故选：A．
6．二项式（）5的展开式中常数项为（　　）
A．5 B．10 C．﹣20 D．40
【解答】解：由题可知，展开式中的常数项为CC，
故选：D．
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3+a8＝13，S7＝35，则a8＝（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a3+a8＝13，S7＝35，
∴，
解得a1＝2，d＝1，
∴a8＝2+7×1＝9．
故选：B．
8．函数y＝xcosx+sinx的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：因为函数y＝xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，
由当x时，，
当x＝π时，y＝π×cosπ+sinπ＝﹣π＜0．
由此可排除选项A和选项C．
故正确的选项为D．
故选：D．
9．在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好满足x+y的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：平面区域对应区域为正方形，边长为2，对应的面积S＝2×2＝4，
不等式x+y对应的区域如图：
对应三角形OAB，
当x＝0时，y，当y＝0时，x，
即A（0，），B（，0），
则，
则所取的点恰好满足x+y的概率P，
故选：C．
10．下面有五个命题：
①函数y＝sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；
②终边在y轴上的角的集合是；
③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象有三个公共点；
④把函数的图象向右平移个单位得到y＝3sin2x的图象；
⑤函数在[0，π]上是减函数；
其中真命题的序号是（　　）
A．①②⑤ B．①④ C．③⑤ D．②④
【解答】解：①函数y＝sin4x﹣cos4x＝﹣cos2x，可知最小正周期是π，故正确；
②终边在y轴上的角的集合是{}，故不正确；
③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图象和y＝x的图象只有原点这一个公共点，∵sinx＝x只有一个解，
x＞0时，sinx＜x；x＜0时，sinx＞x；x＝0时，sinx＝x，故不成立；
④把函数的图象向右平移个单位得到y＝3sin2x的图象，故正确；
⑤函数cosx在（0，π）上是增函数，故不正确；
故正确命题是：①④
故选：B．
11．设F1、F2分别是双曲线C：的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使|OP|＝|OF1|（O为原点），且，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵|OF1|＝|OF2|＝|OP|，
∴∠F1PF2＝90°，
设|PF2|＝t，则|F1P|t，a，
t2+3t2＝4c2，则t＝c，
∴e1，
故选：D．
12．已知函数f（x）＝x3+sinx（x∈R），函数g（x）满足g（x）+g（2﹣x）＝0（x∈R），若函数h（x）＝f（x﹣1）﹣g（x）恰有2021个零点，则所有这些零点之和为（　　）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【解答】解：因为f（﹣x）＝（﹣x）3+sin（﹣x）＝﹣x3﹣sinx＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数；
所以函数f（x）关于（0，0）对称，则f（x﹣1）关于（1，0）对称；
又因为函数g（x）满足g（x）+g（2﹣x）＝0，所以g（x）关于（1，0）对称；
所以h（x）＝f（x﹣1）﹣g（x）关于（1，0）对称，
又因为h（x）＝f（x﹣1）﹣g（x）恰有2021个零点，所有这些零点之和为2021．
故选：D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．在等比数列{an}中，an＞0，且a1 a10＝27，log3a2+log3a9＝　3　．
【解答】解：由等比数列的性质可得：a2a9＝a1 a10＝27，
∴log3a2+log3a9＝log3（a2a9）3．
故答案为：3．
14．已知向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝1，则向量与2的夹角为　　．
【解答】解：∵向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝1，则|| || cos60°＝2×11，
再由444+4+4＝12，可得||2．
设向量与2的夹角为θ，则cosθ．
再由 0≤θ≤π可得 θ，
故答案为 ．
15．已知函数f（x），则f（x）＞1的解集为　（﹣∞，0）∪（4，+∞）　．
【解答】解：，
∵f（x）＞1，
∴，
∴x＜0，
∵x＜1，∴x＜0，
20当x＞1时，函数f（x）＝log4x，
∵f（x）＞1，
∴log4x＞1＝log44，
∴x＞4，
又∵x＞1，
∴x＞4，
综上不等式的解集为（﹣∞，0）∪（4，+∞）．
16．已知四面体P﹣ABC四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC＝1，AB＝PB＝2，则球O的表面积为　9π　．
【解答】解：由PB⊥平面ABC，AB⊥AC，
可得图中四个直角三角形，
且PC为△PBC，△PAC的公共斜边，
故球心O为PC的中点，
由AC＝1，AB＝PB＝2，
PC＝3，
∴球O的半径为，
其表面积为：9π．
故答案为：9π．
三．解答题：（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答）
17．（12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.5
2.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.4
1.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5
（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
【解答】解：（Ⅰ）设A药观测数据的平均数据的平均数为，设B药观测数据的平均数据的平均数为，
则（0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3+2.4）＝2.3．
（3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5）＝1.6．
由以上计算结果可知：．由此可看出A药的效果更好．
（Ⅱ）根据两组数据得到下面茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在2，3上．而B药疗效的试验结果有的叶集中在0，1上．由此可看出A药的疗效更好．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积S＝abc，sin2A+sin2B+sinAsinB＝2csinC．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求△ABC周长的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由S＝abcabsinC，可知：2c＝sinC，
∴sin2A+sin2B+sinAsinB＝sin2C．由正弦定理得a2+b2+ab＝c2．
∴由余弦定理得cosC，
∴C．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2c＝sinC，
∴2a＝sinA，2b＝sinB．
∴△ABC的周长为a+b+c（sinA+sinB+sinC）
[sinA+sin（A）]
（sinAcosAsinA）
（sinAcosA）
sin（A）
∵A∈（0，），
∴A∈（，），
∴sin（A）∈（，1]，
∴△ABC的周长的取值范围为（，]．
19．（12分）已知三棱锥P﹣ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD为边长等于的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P﹣ABC中；
（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ）若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角P﹣BC﹣M的余弦值．
【解答】证明：（1）三棱锥P﹣ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，
四边形ABCD为边长等于的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，
∴PA＝PB＝PC＝BC＝AB，∵APC＝∠ABC＝90°，∠APB＝∠BPC＝60°，
取AC中点O，连结PO，BO，
则PO⊥AC，BO⊥AC，且PO＝AO＝CO＝BO＝1，
∴PO2+BO2＝PB2，∴PO⊥BO，
∴平面PAC⊥平面ABC．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BO⊥PO，BO⊥AC，
∵PO∩AC＝O，∴BO⊥平面PAC，
∴∠BMO是直线BM与平面PAC所成角，且tan∠BMO，
∴当OM最短时，即M是PA中点时，∠BMO最大，
由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，得PO⊥OB，PO⊥OC，
∴以OC，OB，OP所成直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），C（1，0，0），B（0，1，0），A（﹣1，0，0），P（0，0，1），M（），
（1，﹣1，0），（1，0，﹣1），（，0，），
设平面MBC的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，1，3），
设平面PBC的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，1，1），
设二面角P﹣BC﹣M的平面角为θ，
则cosθ．
∴二面角P﹣BC﹣M的余弦值为．

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