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高三数学寒假作业5
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A＝{x|y＝ln（x2﹣2x﹣3）}，B＝{x||2﹣x|＜3}，则A∩B＝（　　）
A．{x|x≤﹣1} B．{x|x＞3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|3＜x＜5}
2．已知复数z满足（1﹣3i）z＝（1+i）（3+i），则z的共轭复数为（　　）
A．﹣1+i B．1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i
3．随着电商行业的蓬勃发展，快递行业近几年也保持着增长的态势，我国已经成为快递大国，快递业已成为人民群众生活的“必需品“．如图是2015年﹣﹣2019年，我国对快递行业发展的统计图．下面描述错误的是（　　）
A．从2015到2019年，我国快递业务量保持逐年增长的趋势
B．2016年，快递业务量增长速度最快
C．从2016到2019年，快递业务量增长速度连续上升
D．从2016到2019年，快递业务量增长速度逐年放缓
4．已知a＝log23，b＝log46，c＝log69，则（　　）
A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b
5．函数的部分图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
6．2020年湖北抗击新冠肺炎期间，全国各地医护人员主动请缨，支援湖北．某地有3名医生，6名护士来到武汉，他们被随机分到3家医院，每家医院1名医生、2名护士，则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．△ABC中，M，N分别是BC，AC上的点，且BM＝2MC，AN＝2NC，AM与BN交于点P，则下列式子正确的是
（　　）
A． B．
C． D．
8．珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A、B的高度差约为（　　）
A．10米 B．9.72米 C．9.40米 D．8.62米
9．双曲线C的方程为：，过右焦点F作双曲线一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点P，与双曲线右支交于点M，点M恰好为PF的中点，则双曲线的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．3
10．△ABC中，sinA+2sinBcosC＝0，sinB＝sinC，则cosC＝（　　）
A． B． C． D．
11．已知函数f（x），若关于x的方程|f（x）|＝a恰好有4个实根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是（　　）
A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（0，2） D．[0，2）
12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E、F分别在棱C1C，D1C1上，且C1E＝2EC，D1F＝2FC1，下列命题：①异面直线BE，CF所成角的余弦值为；②过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形；③三棱锥B1﹣BEF的体积为；④过B1作平面α，使得AE⊥α，则平面α截正方体所得截面面积为．其中所有真命题的序号为（　　）
A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知实数x、y满足约束条件，则z＝3x+y+1的最大值为　 　．
14．函数f（x）＝（x﹣2）ex在点（2，f（2））处的切线方程为　 　．
15．过抛物线C：x2＝y的焦点F作两条互相垂直的弦AC，BD，则四边形ABCD面积的最小值为　 　．
16．如图有标号为1，2，3的三根柱子，在1号柱子上套有n个金属圆片，从下到上圆片依次减小．按下列规则，把金属圆片从1号柱子全部移到3号柱子，要求：①每次只能移动一个金属圆片；②较大的金属圆片不能在较小的金属圆片上面．（1）若n＝3时，至少需要移动　 　次；
（2）将n个金属圆片全部移到3号柱子，至少需要移动　 　次．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知函数的周期为π．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若，求x的取值范围．
18．（12分）如图，△ABC，△ACD，△ABE均为正三角形，AB＝2，AB中点为O，将△ABE沿AB翻折，使得点E折到点P的位置．
（1）证明：CD⊥平面POC；
（2）当PC时，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．
19．（12分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点P满足．
（1）求点P的轨迹方程C；
（2）过F（1，0）的直线交曲线C于M，N两点，MN的中点为Q，O为坐标原点，直线OQ交直线x＝4于点E，求的最小值．
高三数学寒假作业5（答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A＝{x|y＝ln（x2﹣2x﹣3）}，B＝{x||2﹣x|＜3}，则A∩B＝（　　）
A．{x|x≤﹣1} B．{x|x＞3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|3＜x＜5}
【解答】解：由x2﹣2x﹣3＞0可得x＞3或x＜﹣1，
∴A＝{x|y＝ln（x2﹣2x﹣3）}＝{x|x＞3或x＜﹣1}，B＝{x||2﹣x|＜3}＝（﹣1，5），
则A∩B＝（3，5）．
故选：D．
2．已知复数z满足（1﹣3i）z＝（1+i）（3+i），则z的共轭复数为（　　）
A．﹣1+i B．1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i
【解答】解：由（1﹣3i）z＝（1+i）（3+i）＝3+i+3i﹣1＝2+4i，
得z，
∴．
故选：C．
3．随着电商行业的蓬勃发展，快递行业近几年也保持着增长的态势，我国已经成为快递大国，快递业已成为人民群众生活的“必需品“．如图是2015年﹣﹣2019年，我国对快递行业发展的统计图．下面描述错误的是（　　）
A．从2015到2019年，我国快递业务量保持逐年增长的趋势
B．2016年，快递业务量增长速度最快
C．从2016到2019年，快递业务量增长速度连续上升
D．从2016到2019年，快递业务量增长速度逐年放缓
【解答】解：对于选项A：由图可见，从2015到2019年，我国快递业务量保持逐年增长的趋势，故选项A正确；
对于选项B：2016年，快递业务量增长速度最快，故选项B正确；
对于选项C：从2016到2019年，快递业务量逐年增长，但快递业务量增长速度逐年放缓，故选项C错误；
对于选项D：由图可见，从2016到2019年，快递业务量增长速度逐年放缓，故选项D正确，
故选：C．
4．已知a＝log23，b＝log46，c＝log69，则（　　）
A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b
【解答】解：∵，，
又0，0，
∴log23＞log46，log69＜log46，
∴c＜b＜a．
故选：B．
5．函数的部分图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，，则f（﹣x）＝cos（﹣x）cosxf（x），即函数f（x）为奇函数，排除A，
在区间（0，）上，cosx＞0，则f（x）＞0，函数图象在x轴上方，排除D；
又由cos0，则f（）＝0，排除C，
故选：B．
6．2020年湖北抗击新冠肺炎期间，全国各地医护人员主动请缨，支援湖北．某地有3名医生，6名护士来到武汉，他们被随机分到3家医院，每家医院1名医生、2名护士，则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：某地有3名医生，6名护士来到武汉，他们被随机分到3家医院，每家医院1名医生、2名护士，
基本事件总数540，
医生甲和护士乙分到同一家医院包含的基本事件个数m180，
则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为p．
故选：D．
7．△ABC中，M，N分别是BC，AC上的点，且BM＝2MC，AN＝2NC，AM与BN交于点P，则下列式子正确的是
（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：过M作MD∥BN交AC于D；
∵BM＝2MC，AN＝2NC，
则CD：DN＝CM：MB＝1：2；
∴ND：AN＝MP：AP：2＝1：3；
故APAM；
∴（）（）；
故选：D．
8．珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A、B的高度差约为（　　）
A．10米 B．9.72米 C．9.40米 D．8.62米
【解答】解：根据题意画出如图的模型，则 CB＝10，∠OAB＝70°，
∠OAC＝80°，所以∠CAB＝10°，∠ACB＝10°，
所以AB＝10，所以在Rt△AOB中，BO＝10sin70°≈9.4（米）．
故选：C．
9．双曲线C的方程为：，过右焦点F作双曲线一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点P，与双曲线右支交于点M，点M恰好为PF的中点，则双曲线的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．3
【解答】解：双曲线C的方程为：，渐近线方程为：bx±ay＝0，
F（c，0），如图：FA的方程为：与OP方程的交点P（，），
点M恰好为PF的中点，M（，），代入双曲线方程可得：，，可得e2＝2，e＞1，
得e．
故选：A．
10．△ABC中，sinA+2sinBcosC＝0，sinB＝sinC，则cosC＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为sinA+2sinBcosC＝0，
由正弦定理及余弦定理可得，a+2b0，
整理可得，2a2+b2﹣c2＝0①，
由sinB＝sinC结合正弦定理可得，②，
①②联立可得，a＝b，c，
则cosC，
故选：C．
11．已知函数f（x），若关于x的方程|f（x）|＝a恰好有4个实根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是（　　）
A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（0，2） D．[0，2）
【解答】解：作函数y＝|f（x）|的图象，如图
函数y＝|f（x）|与y＝a有4个交点，可知1＜a≤3；
不妨设实根x1＜x2＜x3＜x4，
当a＝3时，可得x1＝﹣4，x2＝0，
若a＝1时，可得x1，x2，
可知x1、x2关于x＝﹣2对称，且x1+x2＝﹣4，x1 x2＝3；
∴；；
根据图象，有，
结合对数的性质，可得x3 x4＝1；
则x1x2x3x4＝x1（﹣4﹣x1），
令h（x）═，
其对称轴x＝﹣2，根据二次函数的图象性质：x在（﹣4，﹣2）上是单调递增函数，
∴h（﹣4）≤h（x）＜h（﹣2），
即0≤h（x）＜2；
即x1x2x3x4的取值范围[0，2）；
故选：D．
12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E、F分别在棱C1C，D1C1上，且C1E＝2EC，D1F＝2FC1，下列命题：①异面直线BE，CF所成角的余弦值为；②过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形；③三棱锥B1﹣BEF的体积为；④过B1作平面α，使得AE⊥α，则平面α截正方体所得截面面积为．其中所有真命题的序号为（　　）
A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【解答】解：对于①：取 A1B1 的三等分点为 F1，使 A1F1＝2F1B1，又D1F＝2FC1，
∴F1B1∥FC1 且 F1B1＝FC1，
∴四边形 FC1B1F1 为平行四边形，
∴FF1∥B1C1∥BC 且 FF1＝B1C1＝BC，
∴四边形 F1FCB 为平行四边形，
∴BF1∥CF，
则∠F1BE 为异面直线 BE，CF 所成的角，
连接 EF1，由题意得：BF1，
所以cos∠F1BE，
故①正确；
对于②：取B1B 的三等分点为 E1，使 B1E1＝2E1B，又C1E＝2EC，
∴BE1∥CE 且 BE1＝CE，
∴四边形 BE1EC 为平行四边形，
则E1E∥BC 且 E1E＝BC，
又由①得：FF1∥BC 且 FF1＝BC，
于是FF1∥EE1 且 FF1＝EE1，
∴四边形 EE1F1F 为平行四边形，
∴EE1∥F1F，
取 A1B1 的中点为 G，连接 BG，
又，
∴E1F1∥BG∥EF，
则四边形 BEFG 即为所求截面，
由题意知：BE≠FG，
则②不正确；
对于③：S△B1BE，
又C1F⊥面 B1BE，C1F＝1，
所以，
故③正确；
对于④：取 CD 的三等分点为 H1，使 CH1＝2DH1，取BC 的三等分点为 H，使 CH＝2BH，
∴HH1∥BD∥B1D1，
则面 B1D1H1H 即为所求的截面 ，
建立如图所示的空间坐标系，
则 A（3，0，0），E（0，3，1），B1（3，3，3），D1（0，0，3），H1（0，1，0），
（﹣3，﹣2，﹣3），
∵0
所以 AE⊥面 B1D1H1H，
由已知条件得：
B1D1＝3，
等腰梯形 B1D1H1H 的高为：
h，
所以截面面积为：S，
故④正确．
故选：C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知实数x、y满足约束条件，则z＝3x+y+1的最大值为　6　．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z＝3x+y+1得y＝﹣3x+z﹣1，
平移直线y＝﹣3x+z﹣1，由图象可知当直线y＝﹣3x+z﹣1，经过点A时，
直线的截距最大，此时z最大．
由，解得A（2，﹣1），此时zmax＝3×2﹣1+1＝6，
故答案为：6．
14．函数f（x）＝（x﹣2）ex在点（2，f（2））处的切线方程为　e2x﹣y﹣2e2＝0　．
【解答】解：由f（x）＝（x﹣2）ex，
得f′（x）＝ex+（x﹣2）ex＝（x﹣1）ex．
∴f′（2）＝e2，又f（2）＝0，
∴函数f（x）＝（x﹣2）ex在点（2，f（2））处的切线方程为y＝e2（x﹣2），
即e2x﹣y﹣2e2＝0．
故答案为：e2x﹣y﹣2e2＝0．
15．过抛物线C：x2＝y的焦点F作两条互相垂直的弦AC，BD，则四边形ABCD面积的最小值为　2　．
【解答】解：设直线AC的斜率为k（k≠0），则直线BD的斜率为．
由F（0，），可得直线AC的方程为ykx，
联立，消去y得x2﹣kx0，
设A（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2＝k，x1x2，
y1+y2＝k（x1+x2）k2
∴|AC|＝y1+y2k2+1，
以替换k得|BD|1，
故所求面积为S|AC||BD| （k2+1） （1）（k22）≥2（当k2＝1时取等号），
∴四边形ABCD面积的最小值为2．
故答案为：2．
16．如图有标号为1，2，3的三根柱子，在1号柱子上套有n个金属圆片，从下到上圆片依次减小．按下列规则，把金属圆片从1号柱子全部移到3号柱子，要求：①每次只能移动一个金属圆片；②较大的金属圆片不能在较小的金属圆片上面．（1）若n＝3时，至少需要移动　7　次；
（2）将n个金属圆片全部移到3号柱子，至少需要移动　2n﹣1　次．
【解答】解：当n＝2时，小盘→2号柱，大盘→3号柱，小盘再由2号柱到3号柱，完成，即n＝2时，移动22﹣1＝3次；
当n＝3时，
小盘→3号柱，
中盘→2号柱，
再将小盘由3号柱移到2号柱，
接下来把大盘→3号柱，
将小盘由2号柱移到1号柱，
将中盘由2号柱移到3号柱，
最后把小盘由1号柱移到3号柱，
完成，即当n＝3时，移动23﹣1＝7次．
（1）由上述过程可知，当n＝3时，移动7次；
（2）由以上类比推理可得：当有n个金属片时，需要移动2n﹣1次．
因此答案为：（1）7；（2）2n﹣1
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知函数的周期为π．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若，求x的取值范围．
【解答】解：（1）因为，
所以f（x）＝sin2ωxcoscos2ωxsincos2ωx+1sin2ωxcos2ωx+1＝sin（2ωx）+1，
所以f（x）的最小正周期T，
解得ω＝1，f（x）＝sin（2x）+1，
令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得kπx≤kπ，k∈Z，
可得函数f（x）的单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z．
（2）由（1）得 f（x）＝sin（2x）+1，
可得sin（2x），
可得2x∈[2kπ，2kπ]，k∈Z，
可得x∈[kπ，kπ]，k∈Z．
18．（12分）如图，△ABC，△ACD，△ABE均为正三角形，AB＝2，AB中点为O，将△ABE沿AB翻折，使得点E折到点P的位置．
（1）证明：CD⊥平面POC；
（2）当PC时，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．
【解答】（1）证明：∵O为AB的中点，PA＝PB，AC＝BC，
∴PO⊥AB，CO⊥AB，
又PO∩CO＝O，
∴AB⊥平面POC，
由已知△ABC，△ACD均为等边三角形，可得∠ACB＝∠CAD，则AB∥CD，
∴CD⊥平面POC；
（2）解：在等边三角形PAB与等边三角形ABC中，
∵O为AB的中点，且AB＝2，
∴PO＝CO，
又PC，
∴PO2+CO2＝PC2，得PO⊥OC．
以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），C（0，，0），P（0，0，），D（﹣2，，0），
，，．
设平面PBC的一个法向量为，
由，取z＝1，得；
设平面PCD的一个法向量为，
由，取z1＝1，得．
∴cos．
由图可知，二面角B﹣PC﹣D为钝角，
∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为．
19．（12分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点P满足．
（1）求点P的轨迹方程C；
（2）过F（1，0）的直线交曲线C于M，N两点，MN的中点为Q，O为坐标原点，直线OQ交直线x＝4于点E，求的最小值．
【解答】解：（1）设P（x，y），根据题意有，
化简得：，
所以点P的轨迹方程C为：；
（2）设直线方程为x＝my+1，
联立方程，消去x得：（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
设M（x1，y1 ），N（x2，y2 ），
所以△＝36m2+36（3m2+4）＞0，，，
所以x1+x2＝m（y1+y2）+2，
故点Q（，），
则|MN|，
因为点Q（，），所以直线OQ的方程为：yx，
所以点E的坐标为（4，﹣3m），
得到|EF|3，
所以3，
令，则t≥1，
所以在[1，+∞）上单调递增，
故m＝0时，的值最小．最小值为1．

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