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高三数学寒假作业7
一、选择题
1．已知集合M＝{x|﹣2＜x＜1}，N＝{x|x2＜3，x∈Z}，则（　　）
A．M N B．N M C．M∩N＝{﹣1，0} D．M∪N＝M
2．记cos（﹣80°）＝k，那么tan100°＝（　　）
A． B． C． D．
3．放烟花是逢年过节一种传统庆祝节日的方式，已知一种烟花模型的三视图如图中的粗实线所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该烟花模型的体积为（　　）
A．15π B．π C．π D．14π
4．黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形），例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形ABC中，，根据这些信息，可得sin234°＝（　　）
A． B． C． D．
5．“表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是（　　）
A．0＜a＜b B．1＜a＜b C．2＜a＜b D．1＜b＜a
6．已知函数f（x）＝10sinx在x＝0处的切线与直线nx﹣y＝0平行，则二项式（1+x+x2）（1﹣x）n展开式中x4的系数为（　　）
A．120 B．135 C．140 D．100
7．执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是（　　）
A． B．﹣1 C．2018 D．2
8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（0，4），C（0，﹣4），顶点B在椭圆上，则（　　）
A． B． C． D．
9．在梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将梯形ABCD沿对角线AC折叠成三棱锥D﹣ABC，当二面角D﹣AC﹣B是直二面角时，三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积为（　　）
A．4π B．8π C．12π D．16π
10．已知函数f（x）＝x2+2x（x＞0），若f1（x）＝f（x），fn+1（x）＝f（fn（x）），n∈N*，则f2019（x）在[1，2]上的最大值是（　　）
A．42018﹣1 B．42019﹣1 C．92019﹣1 D．31
11．已知点C是抛物线y2＝4x上的动点，以C为圆心的圆过抛物线的焦点F，且圆C与直线x相交于A，B两点，则|FA| |FB|的取值范围是（　　）
A．[4，+∞） B．[3，+∞） C．[2，+∞） D．[1，+∞）
12．已知正实数m，n，设a＝m+n，b．若以a，b为某个三角形的两边长，设其第三条边长为c，且c满足c2＝k mn，则实数k的取值范围为（　　）
A．（1，6） B．（2，36） C．（4，20） D．（4，36）
二、填空题
13．若f（x）＝x4+3x3+x+1，用秦九韶算法计算f（π）时，需要乘法和加法的总次数为　 　．
14．已知向量，满足||＝||＝2，且（2） （）＝﹣2，则向量与的夹角为　 　．
15．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色，先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2020个数是　 　．
16．已知a，b∈[0，1]，则S（a，b）（1﹣a）（1﹣b）的最小值为　 　．
三、解答题
17．把函数f（x）＝2sinx的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，函数y＝g（x）的图象关于直线对称，记函数h（x）＝f（x） g（x）．
（1）求函数y＝h（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）画出函数y＝h（x）在区间上的大致图象．
18．为了响应2018年全国文明城市建设的号召，长沙市文明办对长沙市市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查．每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示．
组别 [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100）
频数 25 150 200 250 225 100 50
（Ⅰ）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ，210），μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求P（36＜Z≤79.5）；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
（i）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；
（ii）每次赠送的随机话费和对应的概率为
赠送的随机话费（单位：元） 20 40
概率
现市民小王要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望．
附：14.5，若X～N（μ，σ2），则①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．
19．在平面直角坐标系中，点F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，双曲线C的离心率为2，点（1，）在双曲线C上．不在x轴上的动点P与动点Q关于原点O对称，且四边形PF1QF2的周长为．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）在动点P的轨迹上有两个不同的点M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点为G，已知点（x1，x2）在圆x2+y2＝2上，求|OG| |MN|的最大值，并判断此时△OMN的形状．
高三数学寒假作业7（答案解析）
一、选择题
1．已知集合M＝{x|﹣2＜x＜1}，N＝{x|x2＜3，x∈Z}，则（　　）
A．M N B．N M C．M∩N＝{﹣1，0} D．M∪N＝M
【解答】解：，M＝{x|﹣2＜x＜1}；
∴M∩N＝{﹣1，0}．
故选：C．
2．记cos（﹣80°）＝k，那么tan100°＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：法一：，
所以tan100°＝﹣tan80°．
法二：cos（﹣80°）＝k cos（80°）＝k，．
故选：B．
3．放烟花是逢年过节一种传统庆祝节日的方式，已知一种烟花模型的三视图如图中的粗实线所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该烟花模型的体积为（　　）
A．15π B．π C．π D．14π
【解答】解：由三视图可知几何体是半径为2，高为3的圆柱，与半径为1，高为1的圆柱，以及底面半径为1，高为2的圆锥，组成的几何体．
几何体的体积为：．
故选：B．
4．黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形），例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形ABC中，，根据这些信息，可得sin234°＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由图可知，∠ACB＝72°，且cos72°．
∴cos144°＝2cos272°﹣1．
则sin234°＝sin（144°+90°）＝cos144°．
故选：C．
5．“表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是（　　）
A．0＜a＜b B．1＜a＜b C．2＜a＜b D．1＜b＜a
【解答】解：椭圆的标准方程为1，即1，
若焦点在y轴，
则log2b＞log2a＞0，即b＞a＞1．
等价条件为b＞a＞1，
则对应的充分不必要条件可以为b＞a＞2，
故选：C．
6．已知函数f（x）＝10sinx在x＝0处的切线与直线nx﹣y＝0平行，则二项式（1+x+x2）（1﹣x）n展开式中x4的系数为（　　）
A．120 B．135 C．140 D．100
【解答】解：函数f（x）＝10sinx在x＝0处的切线与直线nx﹣y＝0平行，则n＝f′（0）＝10，
则二项式（1+x+x2）（1﹣x）n＝（1+x+x2）（1﹣x）10 ＝（1﹣x3） （1﹣x）9，
∵（1﹣x）9 的展开式的通项公式为 Tr+1 （﹣x）r，
故分别令r＝4，r＝1，可得展开式中x4的系数为（）＝135，
故选：B．
7．执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是（　　）
A． B．﹣1 C．2018 D．2
【解答】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知：
初始S＝2，当k＝0时，S0＝﹣1，k＝1时，S1，
同理S2＝2，S3＝﹣1，S4，…，
可见Sn的值周期为3．
∴当k＝2007时，S2007＝S0＝﹣1，
k＝2008，退出循环．输出S＝﹣1．
故选：B．
8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（0，4），C（0，﹣4），顶点B在椭圆上，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵△ABC的顶点A（0，4），C（0，﹣4），顶点B在椭圆上∴a＝2，即AB+CB＝2a，AC＝2c
∵由正弦定理知，∴则．
故选：C．
9．在梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将梯形ABCD沿对角线AC折叠成三棱锥D﹣ABC，当二面角D﹣AC﹣B是直二面角时，三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积为（　　）
A．4π B．8π C．12π D．16π
【解答】解：如图：AB＝4，AD＝CD＝2，
∴AC，BC，
取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，
∵平面DCA⊥平面ACB，DE⊥AC
∴DE⊥平面ACB，
∵DE，OE，
∴OD＝2，
∴OB＝OA＝OC＝OD，
∴OB＝2，即外接球的半径为2，
此时三棱锥外接球的表面积为4π 22＝16π．
故选：D．
10．已知函数f（x）＝x2+2x（x＞0），若f1（x）＝f（x），fn+1（x）＝f（fn（x）），n∈N*，则f2019（x）在[1，2]上的最大值是（　　）
A．42018﹣1 B．42019﹣1 C．92019﹣1 D．31
【解答】解：f（x）＝x2+2x在（0，+∞）为增函数，且f（x）＞0，
所以f1（x）在[1，2]为增函数，
所以f1（x）max＝8＝32﹣1，且f1（x）＞0，
同理f2（x）max＝f（f1（x）max）＝3，且f2（x）＞0，
同理f3（x）max＝f（f2（x）max）＝3，且f3（x）＞0，
依此类推：
f2019（x）max＝f（f2018（x）max）＝31，
故选：D．
11．已知点C是抛物线y2＝4x上的动点，以C为圆心的圆过抛物线的焦点F，且圆C与直线x相交于A，B两点，则|FA| |FB|的取值范围是（　　）
A．[4，+∞） B．[3，+∞） C．[2，+∞） D．[1，+∞）
【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），
设圆C的方程为，
令x，可得y2﹣2y0y+3x00，
则△＝412x0+3＝4x0+3＞0恒成立，
设A（，y1），B（，y2），则y1+y2＝2y0，y1 y2＝3x0，
因为点C（x0，y0）在抛物线y2＝4x上，
故4x0，
所以|FA| |FB|
3|x0+1|，
因为x0≥0，所以|FA| |FB|≥3，
即|FA| |FB|的取值范围是[3，+∞）．
故选：B．
12．已知正实数m，n，设a＝m+n，b．若以a，b为某个三角形的两边长，设其第三条边长为c，且c满足c2＝k mn，则实数k的取值范围为（　　）
A．（1，6） B．（2，36） C．（4，20） D．（4，36）
【解答】解法一：∵正实数m，n，
∴a＝m+n，b，
∵其第三条边长为c，且c满足c2＝k mn，
∴c2＝a2+b2﹣2abcosC
≥4mn+16mn﹣16mncosC，
∵﹣1≤cosC≤1，
∴4kmn≤c2≤36mn，
∴实数k的取值范围为（4，36）．
解法二：∵a，b，c是某个三角形的两边长，
∴，成立，
又bm+n＝a，
∴b+c＞a，成立，
∴a+b＞c为m+n，
∴，
∵m+n，4，
∴m+n26，
∴6，∴，k＜36，
对于a+c＞b为m+n，
∴
14，
令t，∴t≥2，
为减函数，
t为2时，有最大值为2，
∴2，∴k＞4，
综上，4＜k＜36．
∴实数k的取值范围为（4，36）．
故选：D．
二、填空题
13．若f（x）＝x4+3x3+x+1，用秦九韶算法计算f（π）时，需要乘法和加法的总次数为　6　．
【解答】解：由于函数f（x）＝x4+3x3+x+1＝（（（x+3）x）x+1）x+1，
分别算出v0＝1，v1＝π+3＝3+π，
v2＝（3+π）π＝3π+π2，
v3＝（3π+π2）π+1＝3π2+π3+1，
v4＝（3π2+π3+1）π+1．
由上述可得出乘法3次，加法3次；
∴乘法和加法的总次数6次
故答案为：6．
14．已知向量，满足||＝||＝2，且（2） （）＝﹣2，则向量与的夹角为　　．
【解答】解：∵（2） （）＝﹣2，∴22．∴2，
∴cos．
∴向量与的夹角为．
故答案为：．
15．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色，先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2020个数是　3995　．
【解答】解：设第n次染色的最后一个数字为an，根据染色的最后一个数字，1，6，15，28，……，可得an＝n（2n﹣1），
因为前n次染色数字的个数之和为1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2，由n2≤2020≤（n+1）2，可得n＝44．
每一次染色的数组成公差为2的等差数列（除第一次外），所以第45次染色的数字总共有2×45﹣1＝89个，
第2020个数是第45次染色的第2020﹣442＝84个数，所以它为45×（2×45﹣1）﹣2×5＝3995
故答案为：3995．
16．已知a，b∈[0，1]，则S（a，b）（1﹣a）（1﹣b）的最小值为　　．
【解答】解：∵a，b∈[0，1]，
∴S（a，b）（1﹣a）（1﹣b）＝1，
令T，X，
则T，
令f（X），X∈[0，1]，
可得：f′（X），X∈[0，1]，
X∈[0，）时，f′（X）＞0，
X∈（，1]时，f′（X）＜0，
故当X时，f（X）取最大值，
故S（a，b）（1﹣a）（1﹣b）的最小值为1，
故答案为：
三、解答题
17．把函数f（x）＝2sinx的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，函数y＝g（x）的图象关于直线对称，记函数h（x）＝f（x） g（x）．
（1）求函数y＝h（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）画出函数y＝h（x）在区间上的大致图象．
【解答】解：（1）把函数f（x）＝2sinx的图象向左平移个单位，
得到函数g（x）＝2sin（x+φ）的图象．
根据y＝g（x）的图象关于直线对称，得，
即 ，又，所以，则．
则
，
则函数y＝h（x）的最小正周期，
令，得，
故函数y＝h（x）的单调增区间是．
（2）在区间上，2x∈[，]
列表如下：
2x ﹣π 0
x
h（x） 2 1 ﹣1 1 3 2
故y＝h（x）在区间上的大致图象是：
18．为了响应2018年全国文明城市建设的号召，长沙市文明办对长沙市市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查．每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示．
组别 [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100）
频数 25 150 200 250 225 100 50
（Ⅰ）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ，210），μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求P（36＜Z≤79.5）；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
（i）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；
（ii）每次赠送的随机话费和对应的概率为
赠送的随机话费（单位：元） 20 40
概率
现市民小王要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望．
附：14.5，若X～N（μ，σ2），则①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．
【解答】解：（Ⅰ）μ（25×35+150×45+200×55+250×65+225×75+100×85+50×95）＝65，
∵14.5，
∴P（50.5＜z≤79.5）≈0.6287，p（36＜Z≤94）≈0.9545．
∴p（36＜Z≤50.5）0.1359，
综上，p（36＜Z≤79.5）＝p（36＜Z≤50.5）+p（50.5＜Z≤79.5）≈0.1359+0.6287＝0.8186．
（Ⅱ）由题意昨X的可能取值为20，40，60，80，
由题意知P（z＜μ）＝P（Z≥μ），
P（X＝20），
P（X＝40），
P（X＝60），
P（X＝80），
∴X的分布列为
X 20 40 60 80
P
X的数学期望为E（X）．
19．在平面直角坐标系中，点F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，双曲线C的离心率为2，点（1，）在双曲线C上．不在x轴上的动点P与动点Q关于原点O对称，且四边形PF1QF2的周长为．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）在动点P的轨迹上有两个不同的点M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点为G，已知点（x1，x2）在圆x2+y2＝2上，求|OG| |MN|的最大值，并判断此时△OMN的形状．
【解答】解：（1）设F1，F2分别为（﹣c，0），（c，0）
可得，b2＝c2﹣a2＝3a2，
又点（1，）在双曲线C上，∴，
解得，c＝1．
连接PQ，∵OF1＝OF2，OP＝OQ，∴四边形PF1QF2的周长为平行四边形．
∴四边形PF1+PF2＝22，∴动点P的轨迹是以点F1、F2分别为左右焦点的椭圆（除左右顶点），
∴动点P的轨迹方程（y≠0）；
（2）∵x12+x22＝2，，∴y12+y22＝1．
∴|OG| |MN| ．
∴当3﹣2x1x2﹣2y1y2＝3+2x1x2+2y1y2 x1x2+y1y2＝0时取最值，
此时OM⊥ON，△OMN为直角三角形．

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