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高三数学寒假作业8
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|0＜x﹣1＜9}，B＝{1，2，6，10}，则A∩B＝（　　）
A．{1，2} B．{2，6} C．{1，2，6} D．{2，6，10}
2．若复数z满足iz﹣2＝i，则|z|＝（　　）
A． B． C．2 D．
3．已知a＞0且a≠1，函数，若f（a）＝3，则f（﹣a）＝（　　）
A．2 B． C． D．
4．已知向量（，1），（，﹣1），则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
5．函数f（x）的部分图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
6．已知双曲线的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．y＝±2x
7．“sin2α”是“tanα＝2”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．“完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身．古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为（　　）
A．3 B．2 C． D．1
10．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为（　　）
A． B． C． D．
11．已知直线l：与圆O：x2+y2＝4交于A，B两点，与l平行的直线l1与圆O交于M，N两点，且△OAB与△OMN的面积相等，给出下列直线l1：①，②，③，④．其中满足条件的所有直线l1的编号有（　　）
A．①② B．①④ C．②③ D．①②④
12．已知函数在区间有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，若，则f（x）的最小正周期为（　　）
A． B． C．π D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和球半径均为2，则该圆柱的底面半径为　 　．
14．已知x，y满足约束条件则z＝x﹣y的最大值为　 　．
15．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，a，sinA，b，则△ABC的面积为　 　．
16．已知椭圆C：的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若∠ABF2＝90°，且△ABF2的三边长|BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，则C的离心率为　 　．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分
17．（12分）已知数列{an}的各项均为正数，且满足an2﹣（n+1）an﹣2n2﹣n＝0．
（1）求a1，a2及{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Sn．
18．（12分）语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱．主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求．某经销商为了了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度，从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精灵”的人，具体数据如表：
“小爱同学”智能音箱 “天猫精灵”智能音箱 合计
男 45 60 105
女 55 40 95
合计 100 100 200
（1）若该地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，试估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人？
（2）根据列联表，能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关？
附：
P（K2≥k） 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，，AD＝2，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E、F分别为PC、PB的中点．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）求几何体ABCDEF的体积．
高三数学寒假作业8（答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|0＜x﹣1＜9}，B＝{1，2，6，10}，则A∩B＝（　　）
A．{1，2} B．{2，6} C．{1，2，6} D．{2，6，10}
【解答】解：A＝{x|1＜x＜10}，B＝{1，2，6，10}，
∴A∩B＝{2，6}．
故选：B．
2．若复数z满足iz﹣2＝i，则|z|＝（　　）
A． B． C．2 D．
【解答】解：∵iz﹣2＝i，∴iz＝2+i，
∴，
故选：D．
3．已知a＞0且a≠1，函数，若f（a）＝3，则f（﹣a）＝（　　）
A．2 B． C． D．
【解答】解：∵f（a）＝logaa+a＝3，
∴a＝2，
∴f（﹣a）．
故选：C．
4．已知向量（，1），（，﹣1），则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设与的夹角为θ，
向量（，1），（，﹣1），
则||＝2，||＝2， 3﹣1＝2，
则，
又由0≤θ≤π，则；
故选：B．
5．函数f（x）的部分图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵f（﹣x）f（x），∴f（x）为偶函数，排除选项C和D，
而当时，f（x）≥0，排除选项B，
故选：A．
6．已知双曲线的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．y＝±2x
【解答】解：由已知可得c＝2b，∴c2＝4b2＝a2+b2，a2＝3b2，，
所以双曲线的渐近线方程为：．
故选：A．
7．“sin2α”是“tanα＝2”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：或，
即由sin2α不一定得到tanα＝2，反之，由tanα＝2一定得到sin2．
∴“sin2α”是“tanα＝2”的必要不充分条件．
故选：B．
8．“完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身．古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：基本事件总数n＝10，
6和28恰好在同一组包含的基本事件个数m＝4，
∴6和28不在同一组的概率．
故选：C．
9．曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为（　　）
A．3 B．2 C． D．1
【解答】解：由x＞0，f（x）x3+2lnx的导数，
当且仅当x＝1时等号成立，
可得曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为3．
故选：A．
10．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，取B1C1中点E，连接A1E，CE，则A1E∥AD，∠A1EC＝90°，
∴∠CA1E即为异面直线AD与A1C所成角，
设AB＝2，则，，CE＝3，
，
∴．
故选：C．
11．已知直线l：与圆O：x2+y2＝4交于A，B两点，与l平行的直线l1与圆O交于M，N两点，且△OAB与△OMN的面积相等，给出下列直线l1：①，②，③，④．其中满足条件的所有直线l1的编号有（　　）
A．①② B．①④ C．②③ D．①②④
【解答】解：由已知圆O：x2+y2＝4，圆心（0，0）到直线的距离d
可求得圆心O到直线l的距离，
所以
①圆心（0，0）到直线的距离d
所以弦长为l，
所以，故正确．
②：圆心（0，0）到直线的距离d，
所以，故正确
③直线与不平行，故错误．
④圆心（0，0）到直线的距离d，
所以弦长为l，
所以，故正确．
故选：D．
12．已知函数在区间有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，若，则f（x）的最小正周期为（　　）
A． B． C．π D．
【解答】解：当时，，
∴由对称轴可知x1，x2满足，
即．
同理x2，x3满足，
即，
∴，
ω＝2，
最小正周期为，
故选：C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和球半径均为2，则该圆柱的底面半径为　　．
【解答】解：在圆柱底面圆周上任取一点A，设球心为O，圆柱的底面圆心为O′，
则OA＝2，OO′＝1，
∴O′A，
即圆柱底面半径为．
故答案为：．
14．已知x，y满足约束条件则z＝x﹣y的最大值为　1　．
【解答】解：不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z＝x﹣y得y＝x﹣z，平移直线y＝x﹣z，
由平移可知当直线y＝x﹣z，经过点A（1，0）时，
直线y＝x﹣z的截距最小，此时z取得最大值，
代入z＝x﹣y得z＝1﹣0＝1，
即z＝x﹣y的最大值是1，
故答案为：1．
15．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，a，sinA，b，则△ABC的面积为　　．
【解答】解：∵a＜b，∴A＜B，，
由余弦定理得，代入a，b，
解得c＝2，
∴△ABC的面积．
故答案为：．
16．已知椭圆C：的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若∠ABF2＝90°，且△ABF2的三边长|BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，则C的离心率为　　．
【解答】解：由已知，△ABF2的三边长|BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，设|BF2|＝x，|AB|＝x+d，|AF2|＝x+2d，∠ABF2＝90°，据勾股定理：x2+（x+d）2＝（x+2d）2，
可得：x2＝2dx+3d2，
解得x＝3d；
由椭圆定义知△ABF2的周长为4a，
|BF2|＝x＝3d，|AB|＝x+4d，|AF2|＝x+2d＝5d，所以3d+4d+5d＝4a，
所以a＝3d，|BF2|＝a＝|BF1|；
在直角△BF2F1中，由勾股定理，a2+a2＝（2c）2，即2a2＝4c2，
∴离心率e．
故答案为：．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分
17．（12分）已知数列{an}的各项均为正数，且满足an2﹣（n+1）an﹣2n2﹣n＝0．
（1）求a1，a2及{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Sn．
【解答】解：（1）当n＝1时，，
∴a1＝3；
当n＝2时，，
∴a2＝5；
由已知可得（an+n）[an﹣（2n+1）]＝0，且an＞0，
∴an＝2n+1．
（2）设，
∴，
{bn}是公比为4的等比数列，
．
18．（12分）语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱．主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求．某经销商为了了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度，从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精灵”的人，具体数据如表：
“小爱同学”智能音箱 “天猫精灵”智能音箱 合计
男 45 60 105
女 55 40 95
合计 100 100 200
（1）若该地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，试估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人？
（2）根据列联表，能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关？
附：
P（K2≥k） 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【解答】解：（1）根据题意，估计购买“小爱同学”的女性有（人），
估计购买“天猫精灵”的女性有（人），
由7150﹣4800＝2350，
所以估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多2350人；
（2）根据列联表，计算K24.511＞3.841，
所以有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，，AD＝2，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E、F分别为PC、PB的中点．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）求几何体ABCDEF的体积．
【解答】（1）证明：∵E，F分别为PC，PB的中点，∴EF∥BC．
∵ABCD是矩形，∴AD∥BC，则EF∥AD，
∵AD 平面PAD，EF 平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（2）解：分别取AD，BC的中点O，M，连接PO，OE，OM，ME，
则OM∥AB，
∵EF∥BC，EFBC＝BM，
∴四边形BMEF为平行四边形，则ME∥BF，
又ME∩OM＝M，∴平面OME∥平面ABF，
又BM∥EF∥AO，∴ABF﹣OME为三棱柱，
∵PA＝PD，∴PO⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PO⊥平面ABCD，
由△PAD为边长为2的正三角形，可求得，∴E到平面ABCD的距离为，
∴几何体ABCDEF的体积V＝VABF﹣OME+VE﹣OMCD
．

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