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高三数学寒假作业9
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U＝{x|x是小于7的正整数}，集合A＝{1，3，6}，集合B＝{2，3，4，5}，则A∩ UB＝（　　）
A．{3} B．{1，3，6} C．{2，4，5} D．{1，6}
2．设x∈R，则“x≤3”是“x2﹣3x≤0”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设，，，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c
4．在的二项展开式中，x7的系数为（　　）
A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．5
5．如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若圆柱的侧面积为4π，则球的体积为（　　）
A． B． C．4π D．16π
6．某校对高三年级学生的数学成绩进行统计分析．全年级同学的成绩全部介于80分与150分之间，将他们的成绩按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后得到的频率分布直方图如图所示．现从全体学生中根据成绩采用分层抽样的方法抽取80名同学的试卷进行分析，则从成绩在[120，130）内的学生中抽取的人数为（　　）
A．24 B．36 C．20 D．28
7．已知正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为（　　）
A．13 B．11 C．10 D．9
8．将函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位长度后，得到的函数的图象关于点对称，则函数g（x）＝cos（x+φ）在上的最小值是（　　）
A． B． C． D．
9．已知函数f（x）（a＞0，且a≠1）在R上单调递增，且关于x的方程|f（x）|＝x+3恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（　　）
A．（，] B．（0，]∪{}
C．[，）∪{} D．[，]∪{}
二.填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.
10．已知i是虚数单位．若复数是纯虚数，则m＝　 　．
11．以点C（1，0）为圆心，且被y轴截得的弦长为2的圆的方程为　 　．
12．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*，若a3＝11，S20＝﹣80，则S10的值为　 　．
13．一个口袋里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白色球2个，黑色球4个．若从中随机取球，每次只取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球四次，恰好取到两次白球”的概率为　 　；若从中一次取3个球，记所取球中白球个数为ξ，则随机变量ξ的期望为　 　．
14．已知双曲线C1：x21（b＞0）的一条渐近线方程为yx，则双曲线C1的离心率为　 　；若抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线C1的一个焦点相同，M是抛物线C2上一点，FM的延长线交y轴的正半轴于点N，交抛物线C2的准线l于点P，且，则|NP|＝　 　．
15．如图，在直角梯形ABCD中，已知AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝CD＝1，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且满足OM⊥BD，则的值为　 　．
三.解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinC＝csin（A）．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设b＝6，c＝4，求a和cos（A﹣2C）的值．
17．（15分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AA1＝AB＝AC＝1．
（Ⅰ）求异面直线AC1与A1B所成的角；
（Ⅱ）求二面角A﹣BC1﹣A1的正弦值；
（Ⅲ）设M为A1B的中点，在△ABC的内部或边上是否存在一点N，使得MN⊥平面ABC1？若存在，确定点N的位置，若不存在，说明理由．
18．（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且，数列{bn}满足：an＝log2bn，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设，Tn为数列{cn}的前n项和，求T2n．
19．（15分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线l：3x+4y﹣5＝0相切．
（1）求C的方程；
（2）直线y＝x+m交椭圆C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1＞x2．已知l上存在点P，使得△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形．若P在直线MN右下方，求m的值．
高三数学寒假作业9（答案解析）
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U＝{x|x是小于7的正整数}，集合A＝{1，3，6}，集合B＝{2，3，4，5}，则A∩ UB＝（　　）
A．{3} B．{1，3，6} C．{2，4，5} D．{1，6}
【解答】解：由已知 UB＝{1，6}，所以A∩ UB＝{1，6}，
故选：D．
2．设x∈R，则“x≤3”是“x2﹣3x≤0”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：因为x2﹣3x≤0解得0≤x≤3，而[0，3] （﹣∞，3]，
所以“x≤3”是“x2﹣3x≤0”的必要而不充分条件．
故选：B．
3．设，，，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c
【解答】解：∵，∴a＞1，
∵b＝loglog23，且log23＞log21＝0，∴b＜0，
∵，∴0＜c＜1，
∴b＜c＜a，
故选：C．
4．在的二项展开式中，x7的系数为（　　）
A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．5
【解答】解：的二项展开式的通项为：Tr+1 （x2）5﹣r （）r＝（﹣2）r x10﹣3r；
令10﹣3r＝7 r＝1；
∴x7的系数为：（﹣2）1 10．
故选：A．
5．如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若圆柱的侧面积为4π，则球的体积为（　　）
A． B． C．4π D．16π
【解答】解：设圆柱底面半径为r，则内切球的半径也是r，圆柱的高为2r，
∴圆柱的侧面积为：2πr×2r＝4π，
∴r＝1，
∴球的体积为：，
故选：B．
6．某校对高三年级学生的数学成绩进行统计分析．全年级同学的成绩全部介于80分与150分之间，将他们的成绩按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后得到的频率分布直方图如图所示．现从全体学生中根据成绩采用分层抽样的方法抽取80名同学的试卷进行分析，则从成绩在[120，130）内的学生中抽取的人数为（　　）
A．24 B．36 C．20 D．28
【解答】解：从全体学生中根据成绩采用分层抽样的方法抽取80名同学的试卷进行分析，
则从成绩在[120，130）内的学生中抽取的人数为：
80×[1﹣（0.005+0.010+0.010+0.015+0.025+0.005）×10]＝24．
故选：A．
7．已知正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为（　　）
A．13 B．11 C．10 D．9
【解答】解：由1
∵a+b＝1，
∴（）（a+b）＝5，当且仅当b，a时取等号．
∴的最小值为9+1＝10
故选：C．
8．将函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位长度后，得到的函数的图象关于点对称，则函数g（x）＝cos（x+φ）在上的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位长度后，得到h（x）＝sin（2xφ）的图象，
由于函数h（x）的图象关于点对称，
所以h（）φ）＝0，即φ＝kπ（k∈Z），由于0＜φ＜π，
所以k＝2时，φ，
则g（x）＝cos（x）．
当，
所以，
当x或时，函数的最小值为．
故选：C．
9．已知函数f（x）（a＞0，且a≠1）在R上单调递增，且关于x的方程|f（x）|＝x+3恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（　　）
A．（，] B．（0，]∪{}
C．[，）∪{} D．[，]∪{}
【解答】解：∵f（x）是R上的单调递增函数，
∴y＝1+loga|x﹣1|在（﹣∞，0]上单调递增，
可得0＜a＜1，
且0+4a≥1+0，即a＜1，
作出y＝|f（x）|和y＝x+3的函数草图如图所示：
由图象可知|f（x）|＝x+3在（0，+∞）上有且只有一解，
可得4a≤3，或x2+4a＝x+3，即有△＝1﹣4（4a﹣3）＝0，
即有a或a；
由1+loga|x﹣1|＝0，解得x＝13，即x≤0时，有且只有一解．
则a的范围是[，]∪{}．
故选：D．
二.填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.
10．已知i是虚数单位．若复数是纯虚数，则m＝　1　．
【解答】解：复数z，
∵z为纯虚数，
∴，解得：m＝1，
故答案为：1．
11．以点C（1，0）为圆心，且被y轴截得的弦长为2的圆的方程为　（x﹣1）2+y2＝2　．
【解答】解：如图，
圆的半径为r．
又圆心为（1，0），
∴所求圆的方程为（x﹣1）2+y2＝2．
故答案为：（x﹣1）2+y2＝2．
12．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*，若a3＝11，S20＝﹣80，则S10的值为　60　．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝11，S20＝﹣80，
∴a1+2d＝11，20a1+190d＝﹣80，
联立解得：a1＝15，d＝﹣2．
则S10＝15×10﹣2×45＝60．
故答案为：60．
13．一个口袋里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白色球2个，黑色球4个．若从中随机取球，每次只取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球四次，恰好取到两次白球”的概率为　　；若从中一次取3个球，记所取球中白球个数为ξ，则随机变量ξ的期望为　1　．
【解答】解：每一次取到白球的概率为，
∴“连续取球四次，恰好取到两次白球”的概率为；
随机变量ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ＝0）；P（ξ＝1）；P（ξ＝2），
∴E（ξ）．
故答案为：，1．
14．已知双曲线C1：x21（b＞0）的一条渐近线方程为yx，则双曲线C1的离心率为　2　；若抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线C1的一个焦点相同，M是抛物线C2上一点，FM的延长线交y轴的正半轴于点N，交抛物线C2的准线l于点P，且，则|NP|＝　　．
【解答】解：由双曲线C1：x21（b＞0）的一条渐近线方程为yx，得b，
∴，则双曲线C1的离心率为e；
且双曲线C1的右焦点为（2，0），
而抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线C1的一个焦点相同，
∴抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点F为（2，0），则，p＝4．
∴抛物线C2：y2＝8x．
抛物线C：y2＝8x的焦点为F（2，0），准线方程为l：x＝﹣2，
根据题意画出图形，
根据，设|FM|＝a，则|MN|a，
过M作MA垂直于准线，垂足为A，交y轴于点B，
由抛物线的定义知|FM|＝|MA|＝a，
由△BMN∽△OFN，得，
即|BM||OF|，
∴|MA|＝|MF|2，
∴|MN|．
又△BMN∽△APM，
∴，则|NP|＝4|MN|＝4．
故答案为：2；．
15．如图，在直角梯形ABCD中，已知AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝CD＝1，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且满足OM⊥BD，则的值为　　．
【解答】解：如图以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系；
则A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，1）；
则（﹣2，1），
由相似三角形易得O（，）．
设M（λ，0），则（λ，），
因为OM⊥BD，所以2（λ）0，解得λ．
则（，0），
所以（，0）（﹣2，1）．
故答案为：．
三.解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinC＝csin（A）．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设b＝6，c＝4，求a和cos（A﹣2C）的值．
【解答】解：（Ⅰ） 在△ABC中，由正弦定理，可得：asinC＝csinA，
又由，
得，
又因为A∈（0，π），
可得．
（II）由a2＝b2+c2﹣2bccosA和b＝6，c＝4，，
得：，
所以，
由，得：，
因为c＜a，所以，
所以，
，
．
17．（15分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AA1＝AB＝AC＝1．
（Ⅰ）求异面直线AC1与A1B所成的角；
（Ⅱ）求二面角A﹣BC1﹣A1的正弦值；
（Ⅲ）设M为A1B的中点，在△ABC的内部或边上是否存在一点N，使得MN⊥平面ABC1？若存在，确定点N的位置，若不存在，说明理由．
【解答】解：因为AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°
如图，以A1B1为x轴，A1C1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系：
因为AA1＝AB＝AC＝1，所以A1（0，0，0），B1（1，0，0），C1（0，1，0），A（0，0，1），B（1，0，1），C（0，1，1），
（Ⅰ），，
，
所以异面直线AC1与A1B所成的角为60°．
（Ⅱ），设平面ABC1的法向量为x1＝0，不妨令z1＝1，y1＝1，
则平面ABC1的一个法向量为，
设平面BC1A1的法向量为，，
y2＝0，不妨令x2＝1，z2＝﹣1，则平面BC1A1的一个法向量为．
，
从而，所以二面角A﹣BC1﹣A1的正弦值为．
（Ⅲ）假设在平面ABC的边上或内部存在一点N（x，y，1），
因为M为A1B的中点，
所以，
所以，又，，
则所以，
且，所以N是BC的中点．
故存在点N，N为BC的中点，满足条件．
18．（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且，数列{bn}满足：an＝log2bn，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设，Tn为数列{cn}的前n项和，求T2n．
【解答】解：（Ⅰ）∵数列{an}的前n项和，
因为n＝1时，a1＝S1＝1………………（1分）
n≥2时，，
所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝n（n≥2）………………（3分）
又n＝1时，a1＝1满足上式
所以an＝n………………………………
又an＝log2bn所以n＝log2bn
所以（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an＝n，，
所以（8分）
T2n＝（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n），
（11分）
（13分）
．……………（15分）
19．（15分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线l：3x+4y﹣5＝0相切．
（1）求C的方程；
（2）直线y＝x+m交椭圆C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1＞x2．已知l上存在点P，使得△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形．若P在直线MN右下方，求m的值．
【解答】解：（1）依题意，，
∵离心率，∴，解得，
∴椭圆C的标准方程为；
（2）∵直线y＝x+m的倾斜角为45°，且△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，P在直线MN右下方，∴NP∥x轴．
过M作NP的垂线，垂足为Q，则Q为线段NP的中点，∴Q（x1，y2），故P（2x1﹣x2，y2），
∴3（2x1﹣x2）+4y2﹣5＝0，
即3（2x1﹣x2）+4（x2+m）﹣5＝0，
整理得6x1+x2+4m﹣5＝0．①
由，得4x2+6mx+3m2﹣3＝0．
∴△＝36m2﹣48m2+48＞0，解得﹣2＜m＜2，
∴，②，③
由①﹣②得，，④
将④代入②得x2＝﹣1﹣m，⑤
将④⑤代入③得，解得m＝﹣1．
综上，m的值为﹣1．

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