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高三数学寒假作业10
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，0} B．{0，1}
C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
2．（5分）设复数z满足i，则|z|＝（　　）
A．1 B． C． D．2
3．（5分）已知P为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点P到C的焦点的距离为9，到y轴的距离为6，则p＝（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
4．（5分）设，为单位向量，且||＝1，则|2|＝（　　）
A．3 B． C．7 D．
5．（5分）调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列所有正确结论的编号是（　　）
注：90后指1900年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．
①互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
②互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
③互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
④互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
6．（5分）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长度（　　）
A．5.5尺 B．4.5尺 C．3.5尺 D．2.5尺
7．（5分）函数y的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．（5分）式子（x）（x+y）5的展开式中，x3y3的系数为（　　）
A．3 B．5 C．15 D．20
9．（5分）若直线l与曲线y和圆x2+y2都相切，则l的方程为（　　）
A．x﹣2y+2＝0 B．x+2y+2＝0 C．x﹣2y﹣2＝0 D．x+2y﹣2＝0
10．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则下列选项错误的是（　　）
A．a2+b2 B．2a﹣b
C．log2a+log2b≥﹣2 D．
11．（5分）对于函数y＝f（x）与y＝g（x），若存在x0，使f（x0）＝g（﹣x0），则称M（x0，f（x0）），N（﹣x0，g（﹣x0））是函数f（x）与g（x）图象的一对“隐对称点”．已知函数f（x）＝m（x+1），，函数f（x）与g（x）的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m的取值范围为（　　）
A．（﹣1，0） B．（﹣∞，﹣1）
C．（0，1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）
12．（5分）设点A，B分别为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M，N分别在双曲线C的左、右支上，若5，2 ，且||＜||，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值为　 　．
14．（5分）已知f（x）＝（x2+2x+a）ex，若f（x）存在极小值，则a的取值范围是　 　．
15．（5分）数列{an}中，a1＝2，am+n＝am an，若ak+2+ak+3+…+ak+11＝215﹣25，则k＝　 　．
16．（5分）已知A﹣BCD是球O的内接三棱锥，AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝6，AD＝9，则球O的表面积为　 　．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b，∠B＝45°．
（1）求边BC的长；
（2）在边BC上取一点D，使得cos∠ADB，求sin∠DAC的值．
18．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）若2，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
19．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程；
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，证明：直线MN过定点．
高三数学寒假作业10（答案解析）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，0} B．{0，1}
C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴A∩B＝{﹣1，0，1}．
故选：C．
2．（5分）设复数z满足i，则|z|＝（　　）
A．1 B． C． D．2
【解答】解：∵复数z满足i，
∴zi
则|z|＝1．
故选：A．
3．（5分）已知P为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点P到C的焦点的距离为9，到y轴的距离为6，则p＝（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【解答】解：A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为9，到y轴的距离为6，
因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，
故有：69 p＝6；
故选：B．
4．（5分）设，为单位向量，且||＝1，则|2|＝（　　）
A．3 B． C．7 D．
【解答】解：为单位向量，且|＝1，
所以1，所以，
所以|2|．
故选：D．
5．（5分）调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列所有正确结论的编号是（　　）
注：90后指1900年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．
①互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
②互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
③互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
④互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【解答】解：由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：
56%×（39.6%+17%）＝31.696%＞30%，
互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上，故①正确；
由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：
56%×39.6%＝22.176%＞20%，
互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，故②正确；
由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：
17%×56%＝9.52%＞3%，
互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多，故③正确；
由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：
56%×39.6%＝22.176%＜41%，
互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故④错误．
故正确结论的编号是①②③．
故选：A．
6．（5分）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长度（　　）
A．5.5尺 B．4.5尺 C．3.5尺 D．2.5尺
【解答】解：根据题意，设这个等差数列为{an}，且该数列的公差为d；
则有a1+a4+a7＝3a1+9d＝31.5，且a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9＝9a1+36d＝85.5；
解可得：d＝﹣1，a1＝13.5；
则谷雨这一天的日影长a9＝13.5+8d＝5.5；
故选：A．
7．（5分）函数y的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：y，函数的定义域为R，
设y＝f（x），
则f（﹣x）f（x），即函数y＝f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除C，
∵f（1）0，故排除D，
f（4）8，故排除A，
故选：B．
8．（5分）式子（x）（x+y）5的展开式中，x3y3的系数为（　　）
A．3 B．5 C．15 D．20
【解答】解：式子（x）（x+y）5的展开式中，x3y3的系数为 10﹣5＝5，
故选：B．
9．（5分）若直线l与曲线y和圆x2+y2都相切，则l的方程为（　　）
A．x﹣2y+2＝0 B．x+2y+2＝0 C．x﹣2y﹣2＝0 D．x+2y﹣2＝0
【解答】解：分别作出曲线y和圆x2+y2，
由图象可得切线的斜率小于0，纵截距小于0，
由排除法可得只有选项B的直线方程满足要求；
另外可设切线的方程为y＝kx+b，
圆x2+y2的圆心（0，0），半径r，
由直线l与圆相切，可得，①
由y＝kx+b与y联立可得，k2x2+（2kb﹣1）x+b2＝0，
由△＝（2kb﹣1）2﹣4k2b2＝0，
化为4kb＝1，②
解得k，b，
则切线的方程为y（x+2），即为x+2y+2＝0，
故选：B．
10．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则下列选项错误的是（　　）
A．a2+b2 B．2a﹣b
C．log2a+log2b≥﹣2 D．
【解答】解：对于A，因为a＞0，b＞0，且a+b＝1，
所以ab，当且仅当a＝b时等号成立，
所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝1﹣2ab≥1﹣2，当且仅当a＝b时等号成立，故A正确；
对于B，由a＞0，b＞0，且a+b＝1，得a＝1﹣b＞0，则0＜b＜1，则﹣1＜1﹣2b＜1
所以2a﹣b＝21﹣2b∈（，2），故B正确；
对于C，log2a+log2b＝log2ab≤log22，当且仅当a＝b时等号成立，故C错误；
对于D，因为a+b＝1≥2，当且仅当a＝b时等号成立，
所以a+b+2（）2≤2，所以，故D正确．
故选：C．
11．（5分）对于函数y＝f（x）与y＝g（x），若存在x0，使f（x0）＝g（﹣x0），则称M（x0，f（x0）），N（﹣x0，g（﹣x0））是函数f（x）与g（x）图象的一对“隐对称点”．已知函数f（x）＝m（x+1），，函数f（x）与g（x）的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m的取值范围为（　　）
A．（﹣1，0） B．（﹣∞，﹣1）
C．（0，1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）
【解答】解：∵f（x）＝m（x+1）恒过定点（﹣1，0），f（x）关于y轴对称的图象的函数解析式为y＝﹣m（x﹣1）
题意可得，y＝﹣m（x﹣1）与g（x）有2个交点，
由，得g′（x），
当0＜x＜e时，h′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当x＞e时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
而y＝﹣m（x﹣1）恒过定点（1，0），
作出函数g（x）的图象如图，
当直线y＝﹣m（x﹣1）与切于（1，0）时，由导数的几何意义可得，﹣m，
则要使y＝﹣m（x﹣1）与g（x）有2个交点，得﹣m＞0且﹣m≠1，
∴m＜0且m≠﹣1，
∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）．
故选：D．
12．（5分）设点A，B分别为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M，N分别在双曲线C的左、右支上，若5，2 ，且||＜||，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设，则（m＞0），
∵2 （） ，
∴，即BN⊥MB，
则，即（2a+m）2+（6m﹣2a）2＝（5m）2，
解得m＝a或m．
①若m时，||，||＝2a，不满足||＜||（舍去），
②若m＝a时，||＝3a，||＝4a，满足||＜||，则m＝a．
∵cos∠MNB，
在△ANB中，|AB|2＝|AN|2+|BN|2﹣2|AN||BN| cos∠MNB，
即，
整理得，即，得e．
故选：B．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值为　4　．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域如图，
A（0，2），化目标函数z＝x+2y为y，
由图可知，当直线y过A时，直线在y轴上的截距最小，
z取最小值为4．
故答案为：4．
14．（5分）已知f（x）＝（x2+2x+a）ex，若f（x）存在极小值，则a的取值范围是　（﹣∞，2）　．
【解答】解：f′（x）＝（2x+2）ex+（x2+2x+a）ex＝ex（x2+4x+a+2），
因为函数f（x）的定义域为R，
所以若f（x）存在最小值，则f（x）有极小值点，
所以x2+4x+a+2＝0有两个不相等的实数根，
△＝16﹣4（a+2）＞0，解得a＜2，
故答案为：（﹣∞，2）．
15．（5分）数列{an}中，a1＝2，am+n＝am an，若ak+2+ak+3+…+ak+11＝215﹣25，则k＝　3　．
【解答】解：由题设可得：当m＝1时，有an+1＝a1an，
又a1＝2，∴an+1＝2an，
∴数列{an}是首项、公比均为2的等比数列，
∴Sn2n+1﹣2，
又∵ak+2+ak+3+…+ak+11＝215﹣25＝Sk+11﹣Sk+12k+12﹣2k+2，
∴k＝3，
故答案为：3．
16．（5分）已知A﹣BCD是球O的内接三棱锥，AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝6，AD＝9，则球O的表面积为　84π　．
【解答】解：如图所示：
取BC的中点E，连接AE，DE，取AD的中点F，连接EF，
因为AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝6，
所以AE⊥BC，DE⊥BC，且三角形ABC和三角形BCD都是正三角形，
所以AE＝DE＝3，即三角形ADE为等腰三角形，所以EF⊥AD，且EF平分∠AED，
不妨设三角形BCD的外接圆圆心为O′，且O′在DE上，
所以EO′ED，
设外接球的球心为O，半径为R，则OA＝OD＝R，
利用面面垂直可证得平面AED⊥平面BCD，
又平面AED∩平面BCD＝ED，则球心O必在三角形AED中，
又OA＝OD＝R，所以O在∠AED的角平分线EF上，连接OO′，
则OO′⊥平面BCD，即OO′⊥ED，
在三角形AED中，由余弦定理可得：
cos，
所以∠AED＝120°，所以，
在RT△EOO′中，tan，
所以OO′＝3，
在RT△OO′D中，OD＝R，O′D＝2，
所以R2＝OO′2+O′D2＝21，
所以球O的表面积为S＝4πR2＝84π，
故答案为：84π．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b，∠B＝45°．
（1）求边BC的长；
（2）在边BC上取一点D，使得cos∠ADB，求sin∠DAC的值．
【解答】解：（1）在△ABC中，因为，
由余弦定理知，b2＝a2+c2﹣2accosB，
所以，即a2﹣2a﹣3＝0，
解得a＝3或a＝﹣1（舍），
所以BC＝3．
（2）在△ABC中，由正弦定理知，，
所以，解得，
因为cos∠ADB，
所以，即∠ADC为钝角，且sin∠ADC，
又∠ADC+∠C+∠CAD＝180°，
所以∠C为锐角，
所以，
所以sin∠DAC＝sin（180°﹣∠ADC﹣∠C）＝sin（∠ADC+∠C）
＝sin∠ADCcos∠C+cos∠ADCsin∠C
．
18．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）若2，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O连接BO，OD．
∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC，
△ABD与△CBD中，AB＝BD＝BC，∠ABD＝∠CBD，
∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD，
∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC＝90°，
∵DO，∴DO2+BO2＝AB2＝BD2，∴∠BOD＝90°，∴OB⊥OD，
又DO∩AC＝O，∴OB⊥平面ACD．
又OB 平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．
（2）解：由题知，点E是BD的三等分点，建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨取AB＝2，则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，0），B（0，，0），E（0，，）．
（﹣1，0，1），（﹣1，，），（﹣2，0，0），
设平面ADE的法向量为（x，y，z），
则，取x＝3，得（3，，3）．
同理可得：平面ACE的法向量为（0，1，）．
∴cos，
∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．
19．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程；
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，证明：直线MN过定点．
【解答】解：（1）由题意可知，1，a2＝b2+c2，
解得a2＝6，b2＝3，
所以椭圆方程为1．
（2）证明：设点M（x1，ya），N（x2，y2），
因为AM⊥AN，
所以 1，
所以y1y2﹣（y1+y2）+1＝﹣x1x2+2（x1+x2）﹣4①，
当k存在的情况下，设MN：y＝kx+m，
联立，
得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，
由△＞0，得6k2﹣m2+3＞0，
由根与系数的关系得x1+x2，x1x2，
所以y1+y2＝k（x1+x2）+2m，y1y2＝k2（x1+x2）+km（x1+x2）+m2，
代入①式化简可得4k2+8km+（m﹣1）（3m+1）＝0，
即（2k+m﹣1）（2k+3m+1）＝0，
所以m＝1﹣2k或m，
所以直线方程为y＝kx+1﹣2k或y＝kx，
所以直线过定点（2，1）或（，），
又因为（2，1）和A点重合，故舍去
所以直线过定点E（，）．

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