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辽宁省实验中学2025-2026学年高一上学期第二次月考（12月）
数学试卷
一，单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则下列条件中使成立的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，，如图是下列四个函数中某个函数的大致图象，则该函数是（ ）

A． B． C． D．
4．定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．是奇函数 D．是偶函数
5．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，曲线和恰有一个交点，则（ ）
A．1 B．-1 C． D．0
8．函数的图象关于对称，则的最大值为（ ）
A．16 B． C． D．36
9．已知，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，的定义域均为，且，.若是偶函数，，则（ ）
A．是奇函数 B．4是的一个周期
C． D．
12．幂函数没有零点，则函数恒过定点
13．已知函数，则不等式的解集为
14．已知函数满足，其中表示中最大的数，表示中最小的数，则
15．（13分）（1）计算：
（2）计算：；
（3）设正实数满足，求的值
16．（15分）已知函数
(1)若，求的值域；
(2)若，函数的最小值为，求的值．
17．（15分）某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量（单位：微克）与时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线，当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分，根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效.

(1)试求服药后6小时内每毫升血液中含药量与时间之间的函数关系式；
(2)问服药多久后开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1）（参考数据）
18．（17分）已知函数的反函数为
(1)求的解析式，并判断单调性（无需证明）；
(2)当时使得关于不等式有解，求的取值范围：
(3)若关于的不等式有2个整数解，求的取值范围．
19．（17分）已知
(1)证明：为定值；
(2)函数在上只有一个零点，求的取值范围；
(3)证明：有唯一的正零点，并比较和的大小，说明理由．
参考答案
1．A
2．A
3．D
4．B
5．A
6．B
7．C
8．D
9．ABD
10．ABD
11．BCD
12．
13．
14．31
15．（1）由
；
（2）由
.
（3）设，可得，则，所以，
又由，可得，
所以.
16．（1），
时，设，
当时，取最小值；
当时，取最大值2；
因此函数的值域为．
（2），
设，，，
①当，即，函数的最小值为，满足题意；
②当，即，
函数的最小值为，由已知，
解得（舍去）或（舍去）；
③当，即，函数的最小值为，
由已知，故，
综上所述：的值为或.
17．（1）当时，由图象可设，
将点的坐标代入函数表达式，解得，
即当时，，
当时，将点的坐标代入函数，
得，解得，所以，
故.
（2）当时，，
令，即，解得，即，
又，∴，故服药0.3小时之后开始有治疗效果，
当时，，
令，即，解得，
又，∴，
综上，，所以服药后的治疗效果能持续5.2小时.
18．（1）由得，可化为，
故，在上单调递增.
（2）定义域为，，
，所以函数是奇函数，
可化为，
即，
因为在上单调递增，所以，
当时若关于不等式有解，
则，
令，因此有，
在单调递增，所以当时，取得最大值，
即的最大值为,
故.
（3）根据函数的单调性和奇偶性，原不等式可化为，即，即，
①当时，不等式解集为，此时不等式有无数个整数解，不满足题意；
②当时，不等式解集为，此时不等式有无数个整数解，不满足题意；
③当时，不等式解集为，不满足题意；
④当时，不等式解集为，此时，不等式无整数解，故不满足题意；
⑤当时，不等式解集为，若不等式有2个整数解，则，解得.
综上所述，的取值范围为.
19．（1）因为，所以，
所以，即为定值；
（2），设，由得，
设，则在有且只有一个零点，
①时，不满足题意.
②解得，
③解得无解，
④时，即，此时，满足题意，
⑤时，，
检验，当时，，满足题意．
当时，，不满足题意．
综上所述：的取值范围为或.
方法二：，设，
设，令.
由对勾函数性质知，在单调递减，上单调递增
函数在单调递增，上单调递减.
当时，，
故的图象如图所示，
由图象可知的取值范围为或．
（3）方法一：依题意可得，
因为在上均单调递增，所以在上单调递增，
且，即，
由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得，
可得有唯一的正零点，且，
可得，两边同时取对数可得，
所以，
因为在上单调递增，
所以，
因此，可得．
方法二：依题意，
因为在上均单调递增，所以在上单调递增，
且，即，
由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得，
可得有唯一的正零点，且，即，
所以,
因为，，
所以，即，

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