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高考真题
1-1　ACD　[解析] 对于A,因为f(x)=(x-1)2(x-4)=x3-6x2+9x-4,所以f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),所以f(x)在(-∞,1),(3,+∞)上单调递增,在(1,3)上单调递减,所以x=3是f(x)的极小值点,故A正确;对于B,当00,所以f(2-x)>f(x),故D正确.故选ACD.
1-2　AD　[解析] f'(x)=6x(x-a).对于A,当a>1时,f(x)在(-∞,0),(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,故f(x)的极大值为f(0)=1>0,极小值为f(a)=1-a3<0,又当x→-∞时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→+∞,所以f(x)有三个零点,A正确.对于B,当a<0时,f(x)在(-∞,a),(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减,故x=0是f(x)的极小值点,B错误.对于C,函数f(x)=2x3-3ax2+1的图象为中心对称图形,不是轴对称图形,C错误.
对于D,方法一:(利用对称中心的表达式化简)令g(x)=f'(x)=6x2-6ax,则g'(x)=12x-6a,令g'(x)=0,得x=,则曲线y=f(x)的对称中心为,当a=2时,点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心,D正确.
方法二:(直接利用拐点结论)f(1)=3-3a,假设存在a,使得点(1,3-3a)为曲线y=f(x)的对称中心,则f(x)+f(2-x)=6-6a,事实上,f(x)+f(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a,于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a,由解得a=2,即存在a=2,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心,D正确.故选AD.
拓展延伸
1.C　[解析] 由题得,f'(x)=ex-ex+2x-2,则f'(1)=0.令f'(x)=0,则ex=(e-2)x+2,作出函数y=ex,y=(e-2)x+2的图象,如图所示.由图可知,函数y=ex的图象与y=(e-2)x+2的图象有两个交点,即函数y=f'(x)有两个零点1,x0,且x0<0.令f'(x)>0,则x>1或x无极大值点,故A选项不符合题意;对于B,函数y=-x2在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,所以函数y=-x2有极大值点,无极小值点,故B选项不符合题意;对于C,由y=x3-3x得y'=3x2-3,当x<-1或x>1时,y'=3x2-3>0,y=x3-3x单调递增,当-1高考真题
2-1　ln 2　[解析] 方法一:公切线.∵y=ex+x,∴y'=ex+1,∴切线的斜率k=y'|x=0=2,∴切线方程为y-1=2·(x-0),即y=2x+1.设直线y=2x+1与曲线y=ln(x+1)+a相切于点(x0,ln(x0+1)+a),∵y=ln(x+1)+a,∴y'=,∴k=y'==2,解得x0=-,∴ln+a=2×+1,解得a=ln 2.
方法二:由y=ex+x,得y'=ex+1,则切线的斜率k=y'|x=0=2,∴曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线方程为y=2x+1.∵y=ln(x+1)+a是凸函数,∴2x+1≥ln(x+1)+a,即a≤2x+1-ln(x+1).由切线不等式,得ln[2(x+1)]≤2(x+1)-1,即2x+1-ln(x+1)≥ln 2,所以a≤ln 2.当2(x+1)=1,即x=-时,y=2x+1是y=ln(x+1)+ln 2的切线方程,所以a=ln 2.
拓展延伸
2.e　[解析] 方法一:函数f(x)=xm+lognx的定义域为(0,+∞).当n>1时,可得f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=1,所以不符合题意.当00,设h(x)=xm+,则h(x)在(0,+∞)上单调递增,令f'(x)=0,解得x0=,当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,f(x)在(0,x0)上单调递减,当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(x0,+∞)上单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得极小值,也是最小值,又因为f(x)≥1恒成立且f(1)=1,所以则x0==1,则mln n=-1,所以==.设g(x)=(x>1),则g'(x)=,令g'(x)=0,解得x=e.当x∈(1,e)时,g'(x)<0,则g(x)在(1,e)上单调递减;当x∈(e,+∞)时,g'(x)>0,则g(x)在(e,+∞)上单调递增.所以g(x)min=g(e)=e,即的最小值为e.
方法二:由f(x)≥1,得xm≥1-lognx.当m≥1时,根据函数的图象可知0高考真题
3-1　ABC　[解析] (1)令x=y=0,可得f(0)=0,故A正确;令x=y=1,可得f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0,故B正确;令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1),可得f(-1)=0,令x=-1,y=x,可得f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x),即f(-x)=f(x),故f(x)是偶函数,故C正确;设函数f(x)=0,此时满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),但函数f(x)没有极值点,故D错误.故选ABC.
3-2　②③　[解析] 对于①,假设存在R上的增函数f(x),满足f(x)+f(2x)=-x,则f(0)+f(2×0)=-0,即f(0)=0,故当x>0时,f(4x)>f(2x)>f(x)>0,故f(4x)+f(2x)>f(x)+f(2x),故-2x>-x,即x<0,与x>0矛盾,故①错误;对于②,取f(x)=-x,该函数为R上的减函数且f(x)+f(2x)=-x,故该函数符合题意,故②正确;对于③,取f(x)=cos x+mx,m∈R,此时f(x)+f(-x)=cos x,由m∈R可得f(x)有无穷多个,故③正确;对于④,假设存在f(x),使得f(x)-f(-x)=cos x, 令x=0,则0=cos 0,但cos 0=1,矛盾,所以满足f(x)-f(-x)=cos x的函数f(x)不存在,故④错误.故说法正确的有②③.
拓展延伸
3.B　[解析] 令x=y=0,得f(0)=f(0)+2[f(0)]2,所以f(0)=0,令x=0,y=1,得f(1)=f(0)+2[f(1)]2,又f(1)≠0,所以f(1)=.令y=1,得f(x+1)=f(x)+2[f(1)]2,即f(x+1)-f(x)=.故{f(n)}是首项为f(1)=,公差为的等差数列,所以f(2025)=f(1)+×(2025-1)=1012.5.故选B.
4.ACD　[解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x),则f'(x)=f'(-x),即g(x)=g(-x),故A正确;因为g(x+1)是奇函数,所以g(x+1)=-g(-x+1),即g(x)=-g(2-x),所以f'(x)=-f'(2-x),则f(x)=f(2-x)+c,令x=1,则c=0,所以f(x)=f(2-x),即f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(-x)=f(2+x)=-f(x),故B错误;f=f=-f=1,故C正确;g=g=-g,故D正确.故选ACD.教材回归
必记知识清单
函数的 单调性 已知f(x)的定义域为M,x1,x2∈M,则 (1)增函数:(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 >0 f(x)是增函数; (2)减函数:(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 <0 f(x)是减函数
函数的 奇偶性 已知f(x)的定义域关于原点对称,则 (1)偶函数:f(-x)=f(x) f(-x)-f(x)=0 f(x)为偶函数; (2)奇函数:f(-x)=-f(x) f(-x)+f(x)=0 f(x)为奇函数
函数的 对称性、 周期性 (1)f(a-x)=f(a+x) f(x)的图象关于直线x=a轴对称(当a=0时,f(x)是偶函数); f(a-x)=f(b+x) f(x)的图象关于直线x=轴对称. (2)f(a-x)=-f(a+x) f(x)的图象关于点(a,0)中心对称(当a=0时,f(x)是奇函数); f(a-x)=-f(b+x) f(x)的图象关于点中心对称; f(a-x)+f(b+x)=2c f(x)的图象关于点中心对称. (3)若f(x+a)=f(x+b),则f(x)为周期函数,f(x)的周期T=|b-a|. (4)若f(x+a)=-f(x),则f(x)为周期函数,f(x)的周期T=2|a|; 若f(x+a)=±,则f(x)为周期函数,f(x)的周期T=2|a|. (5)若f(x)的图象关于直线x=a,x=b轴对称,则f(x)是周期函数,周期T=2|b-a|; 若f(x)的图象关于点(a,0),(b,0)中心对称,则f(x)是周期函数,周期T=2|b-a|; 若f(x)的图象关于直线x=a轴对称,且关于点(b,0)中心对称,则f(x)是周期函数,周期T=4|b-a| (6)三次函数图象的对称中心:任何三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象都有对称中心,对称中心是三次函数图象的拐点,图象对称中心的横坐标是f″(x)=0(f″(x)是f'(x)的导函数)的解,即是三次函数图象的对称中心
对数 (1)对数恒等式:=N(a>0且a≠1,N>0). (2)对数的运算性质:如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ①积的对数:loga(M·N)=logaM+logaN;②商的对数:loga=logaM-logaN; ③幂的对数:logaMn=nlogaM(n∈R). (3)换底公式:logab=(a>0且a≠1,c>0且c≠1,b>0)
基本初等 函数的 导数公式 (1)C'=0(C为常数); (2)(xn)'=nxn-1(n∈R且n≠0); (3)(sin x)'=cos x,(cos x)'=-sin x; (4)(ex)'=ex,(ax)'=axln a(a>0且a≠1); (5)(ln x)'=,(logax)'=logae=(a>0且a≠1)
导数运 算法则 (1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x); (2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x); (3)'=(g(x)≠0); (4)'=-(g(x)≠0); (5)复合函数的求导法则:{f[g(x)]}'=f'[g(x)]g'(x)
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本源一　函数与导数研究函数图象与性质
【教材来源】
【高考真题】
1-1　(多选题)[2024·新课标Ⅰ卷] 设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则 (　 )
A.x=3是f(x)的极小值点
B.当0C.当1D.当-1f(x)
1-2　(多选题)[2024·新课标Ⅱ卷] 设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则 (　 )
A.当a>1时,f(x)有三个零点
B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点
C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
【拓展延伸】
1.[2025·江西南昌一模] 我们约定:若两个函数的极值点个数相同,并且图象从左到右看,极大值点和极小值点分布的顺序相同,则称这两个函数的图象“相似”.已知f(x)=ex-ex2+(x-1)2,则下列给出的函数中,其图象与y=f(x)的图象“相似”的是 (　 )　
A.y=x2 B. y=-x2
C.y=x3-3x D.y=-x3+3x
本源二　函数与方程
【教材来源】
【高考真题】
2-1　[2024·新课标Ⅰ卷] 若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=　　　　.
【拓展延伸】
2.[2025·广东惠州模拟] 已知函数f(x)=xm+lognx(m>0,n>0且n≠1),若f(x)≥1恒成立,则的最小值为　　　　.
本源三　抽象函数与函数性质
【教材来源】
【高考真题】
3-1　(多选题)[2023·全国新课标Ⅰ卷] 已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则 (　 )
A.f(0)=0
B.f(1)=0
C.f(x)是偶函数
D.x=0为f(x)的极小值点
3-2　[2025·北京卷] 关于定义域为R的函数f(x),以下说法正确的有　　　　.
①存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立;
②存在在R上单调递减的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立;
③使得f(x)+f(-x)=cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个;
④使得f(x)-f(-x)=cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个.
【拓展延伸】
3.[2025·湖北黄冈二模] 已知函数f(x)满足对任意x,y∈R,f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2025)的值为 (　 )
A.1012 B.1012.5
C.1013 D.1013.5
4.(多选题)已知f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)=f'(x),g(x+1)是奇函数,且f=-1,则下列说法中正确的有 (　 )
A.g(x)为偶函数
B.f(2+x)=f(x)
C.f=1
D.g+g=0(共37张PPT)
教材回归
本源一 函数与导数研究函数图象与性质
本源二 函数与方程
本源三 抽象函数与函数性质
◆
◆
必记知识清单
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函数 的单 调性
函数 的奇 偶性
续表
函数的对称性、 周期性
续表
函数 的对 称 性、 周期 性
续表
函数的 对称性、 周期性
续表
函数的对称性、 周期性
续表
对数
续表
基本 初等 函数 的导 数公 式
续表
导数 运算 法则
续表
本源一 函数与导数研究函数图象与性质
【教材来源】
【高考真题】
1-1.（多选题）[2024· 新课标Ⅰ卷]设函数 ,
则( )
A.是 的极小值点
B.当时,
C.当时,
D.当时,
√
√
√
[解析] 对于A,因为 ,
所以,
所以在 ,上单调递增,在上单调递减,
所以是 的极小值点,故A正确；
对于B,当时,函数 单调递增,且,
所以,故B错误；
对于C,当 时,,
因为,,且在 上单调递减,
所以,故C正确；
对于D,当 时,,
所以,故D正确.
故选 .
1-2.（多选题）[2024· 新课标Ⅱ卷]设函数 ,
则( )
A.当时, 有三个零点
B.当时,是 的极大值点
C.存在,,使得为曲线 的对称轴
D.存在,使得点为曲线 的对称中心
√
√
[解析] .
对于A,当时,在 ,上单调递增,在上单调递减,
故 的极大值为,极小值为,
又当 时, ,当 时, ,
所以 有三个零点,A正确.
对于B,当时,在,上单调递增,在 上单调递减,
故是 的极小值点,B错误.
对于C,函数 的图象为中心对称图形,
不是轴对称图形,C错误.
对于D,方法一：（利用对称中心的表达式化简）
令,则,
令,得 , 则曲线 的对称中心为
,
当时,点 为曲线 的对称中心,D正确.
方法二：（直接利用拐点结论）,
假设存在 ,使得点为曲线的对称中心,
则 ,
事实上, ,
于是 ,
由 解得,
即存在,使得点 为曲线的对称中心,D正确.
故选 .
【拓展延伸】
1.[2025·江西南昌一模]我们约定：若两个函数的极值点个数相同,
并且图象从左到右看,极大值点和极小值点分布的顺序相同,则称
这两个函数的图象“相似”.已知 ,则下列
给出的函数中,其图象与 的图象“相似”的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题得, ,则.
令 ,则,
作出函数 , 的图象,如图所示.
由图可知, 函数的图象与
的图象有两个交点,
即函数有两个零点1, ,且.
令,则或 ,令,则,
所以在, 上单调递增,在上单调递减,
所以的极大值点为 ,极小值点为1.
对于A,函数在上单调递减,在 上单调递增,
所以函数 有极小值点,无极大值点,故A选项不符合题意；
对于B,函数在 上单调递增,在上单调递减,
所以函数 有极大值点,无极小值点,故B选项不符合题意；
对于C,由得 ,
当或时, ,
单调递增,
当 时,,
单调递减,
所以函数的极大值点为 ,极小值点为1,故C选项符合题意；
对于D, ,
则函数的极小值点为 ,极大值点为1,故D选项不符合题意.
故选C.
本源二 函数与方程
【教材来源】
【高考真题】
2-1.[2024· 新课标Ⅰ卷] 若曲线在点 处的切线也是曲线
的切线,则 _____．
[解析] 方法一：公切线.
,, 切线的斜率,
切线方程为,即 .
设直线与曲线相切于点 ,
,, ,解得,
,解得 .
方法二：由,得 ,则切线的斜率,
曲线在点 处的切线方程为
是凸函数, ,
即 .
由切线不等式,得,
即 ,所以.
当,即时, 是的切线方程,
所以
【拓展延伸】
2.[2025·广东惠州模拟] 已知函数,
且,若恒成立,则 的最小值为__.
[解析] 方法一：函数的定义域为.
当 时,可得在上单调递增,又 ,所以不符合题意.
当时, ,易知,
设,则在 上单调递增,
令,解得,
当时,, 在上单调递减,
当时,, 在上单调递增,
所以当时, 取得极小值,也是最小值,
又因为恒成立且,所以
则,则,所以 .
设,则,令,解得 .
当时,,则在上单调递减；
当 时,,则在 上单调递增.
所以,即的最小值为 .
方法二：由,得.
当 时,根据函数的图象可知.
当曲线与曲线 相切时,.
设切点的横坐标为,由 ,根据函数的图象,可知.
由,得,由 ,得,
所以,即 ,所以,
则,
当且仅当 ,即,时,取得最小值 .
本源三 抽象函数与函数性质
【教材来源】
【高考真题】
3-1.（多选题）［2023·] 全国新课标Ⅰ卷］已知函数 的定义域为
, ,则( )
A. B.
C.是偶函数 D.为 的极小值点
√
√
√
[解析] （1）令,可得,故A正确；
令 ,可得,即,故B正确；
令 ,则,可得,
令, ,可得,
即 ,故是偶函数,故C正确；
设函数 ,此时满足,
但函数 没有极值点,故D错误.
故选 .
3-2.[2025·北京卷] 关于定义域为的函数 ,以下说法正确的有
______.
①存在在上单调递增的函数使得 恒成立；
②存在在上单调递减的函数使得 恒成立；
③使得恒成立的函数 存在且有无穷多个；
④使得恒成立的函数 存在且有无穷多个.
②③
[解析] 对于①,假设存在上的增函数 ,满足,
则,即 ,
故当时, ,
故,
故,即,与 矛盾,故①错误；
对于②,取,该函数为 上的减函数且 ,
故该函数符合题意,故②正确；
对于③,取,,此时,
由 可得有无穷多个,故③正确；
对于④,假设存在 ,使得,
令,则,但 ,矛盾,
所以满足的函数 不存在,故④错误.
故说法正确的有②③.
【拓展延伸】
3.[2025·湖北黄冈二模]已知函数满足对任意, ,
且,则 的值为( )
A.1012 B.1012.5 C.1013 D.1013.5
[解析] 令,得,所以 ,
令,,得,
又 ,所以.
令,得 ,即.
故是首项为,公差为 的等差数列,
所以 .故选B.
√
4.（多选题）已知是定义在上的奇函数, ,
是奇函数,且 ,则下列说法中正确的有( )
A.为偶函数 B.
C. D.
√
√
√
[解析] 因为是定义在上的奇函数,所以 ,
则,即,故A正确；
因为 是奇函数,所以,即 ,
所以,则,
令,则 ,所以,即的图象关于直线 对称,
则 ,故B错误；
,故C正确；
,故D正确.
故选 .

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