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模块二　三角函数、平面向量与解三角形
微专题7　三角函数的图象与性质、三角恒等变换
【考法探析·明规律】
例1　(1)B　(2)BC　[解析] (1)∵α为锐角,cos α=,∴sin α==.∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<π,且α+β>α,又∵sin(α+β)=∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)·cos α+sin(α+β)·sin α=-×+×=.故选B.
(2)对于A选项,由sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=-,sin αcos β=,
得cos αsin β=+=,A错误;对于B选项,sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=+=,B正确;对于C选项,===,所以3tan α=2tan β,C正确;对于D选项,
sin 2αsin 2β=2sin αcos α×2cos βsin β=4sin αcos β·cos αsin β=4××=,D错误.故选BC.
自测题
1.B　[解析] 因为α∈,所以α-∈,因为sin=,所以cos===,所以cos α=cos=cos-sin=×-×=,故选B.
2.A　[解析] 由tan=7,可得=7,即=7,解得tan α=,所以
cos 2α====.故选A.
例2　解:(1)因为f(0)=cos φ=且0≤φ<π,所以φ=.
(2)由(1)知f(x)=cos,
所以g(x)=f(x)+f=cos+cos=cos+cos 2x=
cos 2x-sin 2x=cos.因为x∈R,所以g(x)的值域为[-,].
令-π+2kπ≤2x+≤2kπ,k∈Z,
得-π+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z,
令2kπ≤2x+≤π+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤π+kπ,k∈Z,
所以g(x)的单调递增区间为,k∈Z,单调递减区间为,k∈Z.
自测题
1.BC　[解析] 方法一:f(x)的最小正周期为=π,最大值为1,g(x)的最小正周期为=π,最大值为1,故B,C均正确;因为g(x)=sin=sin 2,所以将f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位长度可得g(x)的图象,又<×=,所以f(x)与g(x)的零点不相同,f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,故A,D均不正确.故选BC.
方法二:f(x)的最小正周期为=π,最大值为1,g(x)的最小正周期为=π,最大值为1,故B,C均正确;令f(x)=sin 2x=0,得x=,k∈Z,令g(x)=sin=0,得x=+,k∈Z,故f(x)与g(x)的零点不相同,A不正确;令2x=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,令2x-=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,D不正确.故选BC.
2.ACD　[解析] 由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象可知A=3,且图象经过点,,可得由①结合|φ|<,得φ=,代入②,可得ω+=2kπ+π,k∈Z,即ω=2+k,k∈Z,由图知,函数f(x)的最小正周期T满足=>,解得0<ω<,所以ω=2,所以f(x)=3sin.对于A,由f=3sin=3sin=-3为最小值,得直线x=-是f(x)的图象的一条对称轴,故A正确;对于B,由题意知y=f=3sin=3cos≠3cos 2x,故B错误;对于C,由题意知y=f=3sin=-3sin,由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,可得x∈,k∈Z,所以y=f的单调递增区间为,k∈Z,故C正确;对于D,由f(x)=,可得sin=,设t=2x+,由x∈(0,m),可得t∈,依题意,函数y=sin t的图象与直线y=在上必有6个交点,作出函数y=sin t的图象与直线y=,如图,由图知,需使<2m+≤,解得3π例3　(1)D　(2)[2,3)　[解析] (1)f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1=sin 2ωx+cos 2ωx=sin,当x∈时,2ωx+∈,因为f(x)在上有最大值没有最小值,所以<+≤,解得<ω≤,又因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以+=+kπ,k∈Z,解得ω=+,k∈Z,所以当k=1时,ω=符合题意.故选D.
(2)因为x∈[0,2π],ω>0,所以ωx∈[0,2ωπ],若函数f(x)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则需满足4π≤2ωπ<6π,所以2≤ω<3.
自测题
1.2　[解析] 因为函数f(x)在上单调,且f=f=-f,所以函数图象的一条对称轴的方程为x=,一个对称中心为,且=-=,所以T==π,可得|ω|=2,故正数ω的值为2.
2.　[解析] 由题意,f(x)=2sin2+sin-1=1-cos+sin-1=sin=sin,由f(x)=,可得sin=,则ωx+=+2kπ或ωx+=+2kπ,k∈Z.由x∈[0,2π]可得ωx+∈,由f(x)=在[0,2π]上恰有5个根,可得≤+2ωπ<,解得≤ω<.由-≤ωx+≤,得-≤x≤,即函数f(x)在上单调递增,所以 ,即且ω>0,解得0<ω≤,所以实数ω的取值范围为≤ω≤.限时集训(七)
1.A　[解析] cos=cos 2=2cos2-1=2×-1=-,又cos=-sin 2α,所以sin 2α=.故选A.
2.B　[解析] 把函数y=cos x图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)后得到函数y=cos 2x的图象,再将图象上所有的点向右平移个单位长度,得到函数y=cos=cos的图象,∴f(x)=cos.故选B.
3.D　[解析] f(x)=cos 2x-cos x=2cos2x-cos x-1=(2cos x+1)(cos x-1),由f(x)=0,得
cos x=1或cos x=-,即x=2kπ或x=+2kπ或x=+2kπ,k∈Z,所以函数f(x)在区间[0,2π]上的零点是0,,,2π,共4个.故选D.
4.ACD　[解析] 对于A,由cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,且cos αcos β=,得
sin αsin β=,故A正确;对于B,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=+=,故B错误;对于C,tan αtan β===,故C正确;对于D,cos 2α+cos 2β
=2coscos=2××=,故D正确.故选ACD.
5.A　[解析] 由题图可得,最小正周期T=4×=π=,∴ω=2,将点的坐标代入得sin=-,可得+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z.∵0<φ<,∴φ=,∴f(x)=sin.由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,故函数f(x)=sin的单调递增区间为,k∈Z,故选A.
6.D　[解析] ∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在区间上单调递增,直线x=和x=为函数f(x)的图象的两条对称轴,∴×=-,解得ω=2,又函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在区间上单调递增,∴当x=时,f(x)取得最小值,则2×+φ=2kπ-,k∈Z,即φ=2kπ-π,k∈Z,不妨取k=0,则φ=-π,故f(x)=sin,则f=sin=sin=.故选D.
7.B　[解析] 因为f(x)≤恒成立,所以直线x=为函数y=f(x)的图象的一条对称轴,故f(0)=f,所以a=+a,解得a=,所以f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin.作出f(x)=2sin与y=sin x在上的图象,如图所示,由图可知,函数y=f(x)与y=sin x的图象的交点个数为4.故选B.
8.BC　[解析] 对于A,因为y=sin |x|是偶函数,不是周期函数,y=|cos x|是偶函数,也是周期函数,故f(x)不是周期函数,故A错误.对于B,因为f=,f=-1,所以f-f=+1>2,故B正确.对于C,当x∈[0,2π]时,方程f(x)=g(x)可化为
|cos x|=sin 2x.当cos x>0时,sin x=,此时x=满足方程;当cos x=0时,此时x=或x=满足方程;当cos x<0时,sin x=-,此时x=满足方程,故C正确.对于D,令sin x=1,则x=+2k1π,k1∈Z,令sin 2x=1,则x=+k2π,k2∈Z,又+2k1π≠+k2π,k1,k2∈Z,故D错误.故选BC.
9.-　[解析] 当x∈时,2x-∈,则当x∈时,f(x)min=sin=-sin=-.
10.　[解析] 由题意可设A,k∈Z,则D,B,
C,k∈Z,则AD,BC的中点均为,k∈Z.由A,B,C,D四点在同一个圆上,得为圆心,k∈Z,则-=,k∈Z,即=3+,则ω2=,又ω>0,所以ω=.
11.解:(1)由已知得f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin(ω>0).
因为f(x)的最小正周期为π,
所以=π,所以ω=2,f(x)=2sin.
当x∈时,2x+∈,则sin∈,所以f(x)的取值范围是(-,2].
(2)方法一:令f(x)=0,则ωx+=kπ,即x=π,k∈Z.
因为f(x)在内无零点,所以 ,k∈Z,
所以≤,且≥1,
即ω≥3k-1,且ω≤k+,k∈Z.
因为ω>0,所以k+>0,且k+≥3k-1,即-因为k∈Z,所以k=0,
所以ω的取值范围是.
方法二:令t=ωx+,则当x∈时,t∈.
由题意得,函数y=2sin t在区间内无零点,
则≥kπ,且ωπ+≤kπ+π,
即ω≥3k-1,且ω≤k+,k∈Z.
因为ω>0,所以k+>0,且k+≥3k-1,即-因为k∈Z,所以k=0,
所以ω的取值范围是.
12.B　[解析] 由f(x)是偶函数,得sin(x+2θ)+cos(x+4θ)=sin(-x+2θ)+cos(-x+4θ),展开并整理得cos 2θ=sin 4θ,根据二倍角公式得cos 2θ=2sin 2θcos 2θ,整理得sin 2θ=,结合θ∈,得θ=,则g(x)=sin x·sin,利用积化和差公式得
sin x·sin=,化简得g(x)=-cos,当cos=-1时,g(x)取得最大值.故选B.
13.ACD　[解析] 对于B,由函数y=f为奇函数,得函数f(x)图象的一个对称中心为,则f=sin+acos=0,解得a=,B错误;对于A,f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin,所以f(x)的最小正周期为π,A正确;对于C,y=cos=-sin,结合f(x)的解析式,可得f(x)与y=cos的图象有相同的对称轴,C正确;对于D,方程f(x)=cos x在[0,2π]上的实根个数即为f(x)=2sin与g(x)=cos x在[0,2π]上的图象交点的个数,在同一坐标系内作出函数f(x)=2sin与g(x)=cos x在[0,2π]上的图象,如图,观察图象知,函数f(x)=2sin与g(x)=cos x在[0,2π]上的图象恰有4个交点,D正确.故选ACD.
14.解:(1)由题意知,f(x)的图象两条相邻对称轴间的距离为,又圆C的直径为3,则=3,得ω=,
又圆心C,所以f(x)的图象其中的一条对称轴的方程为x=2,
所以2×+φ=+kπ,k∈Z,得φ=-+kπ,k∈Z,
又|φ|≤,所以φ=-.
(2)若φ=,则f(x)的极值点满足ωx+=+kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,
又圆C与x轴的交点分别为(-1,0),(2,0),所以原题设等价于有且仅有2个k的值满足-1<<2,k∈Z,整理得-故k只能取0,1两个值,所以1<≤2,解得ω∈.模块二　三角函数、平面向量与解三角形
微专题7　三角函数的图象与性质、三角恒等变换
微点1　三角恒等变换
例1 (1)已知α,β为锐角,cos α=,sin(α+β)=,则cos β= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.- B. C. D.或
(2)(多选题)[2025·山东聊城三模] 已知sin(α-β)=-,sin αcos β=,则 (　 )
A.cos αsin β=- B.sin(α+β)=
C.3tan α=2tan β D.sin 2αsin 2β=
[听课笔记]

【规律提炼】
1.公式活用.和差角:sin(α±β),cos(α±β)展开后消元;二倍角:可用降幂公式cos2α=简化高次项.
2.拆角与配凑.目标角拆分:α=(α+β)-β等,再结合已知角求值;齐次式处理:分式上下同除以cos α化成tan α形式.
3.正切应用:先利用tan(α+β)=求正切值,再反推角度关系.
自测题
1.[2025·安徽皖江名校联考] 已知锐角α满足sin=,则cos α= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
2.[2025·湖北武汉四月调研] 若tan=7,则cos 2α的值为 (　 )
A. B. C. D.
微点2　由解析式、图象探性质
例2 [2025·全国二卷] 已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π),f(0)=.
(1)求φ;
(2)设函数g(x)=f(x)+f,求g(x)的值域和单调区间.
自测题
1.(多选题)[2024·新课标Ⅱ卷] 对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法正确的有 (　 )
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
2.(多选题)[2025·福州模拟] 函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 (　 )
A.f(x)的图象关于直线x=-对称
B.f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)=3cos 2x的图象
C.函数y=f的单调递增区间为,k∈Z
D.若方程f(x)=在(0,m)上有且只有6个根,则m∈
微点3　已知性质求参数的值或范围
例3 (1)[2025·苏州模拟] 已知函数f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1(ω>0)的图象关于直线x=对称,且f(x)在上有最大值没有最小值,则ω的值为 (　 )
A. B. C. D.
(2)[2023·新课标Ⅰ卷] 已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是　　　　.
[听课笔记]

【规律提炼】
1.周期与单调性约束:由周期T求ω,再结合单调区间长度≤列不等式.例如:在[a,b]上单调,则b-a≤.
2.对称性与零点条件:对于函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),将对称轴或对称中心条件转化为ωx+φ=kπ+或ωx+φ=kπ,k∈Z,代入范围求ω;利用整体法,结合正余弦函数在区间内的零点分布列式.
自测题
1.[2025·江西赣州二模] 若函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间上单调,且f=f=-f,则正数ω的值为　　　　.
2.[2025·山东齐鲁名校联考] 已知函数f(x)=2sin2+sin-1(ω>0),若方程f(x)=在区间[0,2π]上恰有5个根,且f(x)在上单调递增,则实数ω的取值范围为　　　　. 限时集训(七)
微专题7　三角函数的图象与性质、三角恒等变换
1.[2025·福建泉州四校联考] 已知cos=,则sin 2α= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C.- D.-
2.[2025·南京二模] 把函数y=cos x图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再将图象上所有的点向右平移个单位长度,得到函数y=f(x)的图象,则f(x)= (　 )
A.cos
B.cos
C.cos
D.cos
3.[2025·武汉5月模拟] 已知函数f(x)=cos 2x-cos x,则函数f(x)在区间[0,2π]上的零点个数为 (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.(多选题)已知cos αcos β=,cos(α+β)=,则 (　 )
A.sin αsin β=
B.cos(α-β)=
C.tan αtan β=
D.cos 2α+cos 2β=
5.函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递增区间为 (　 )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
6.[2025·北京海淀区模拟] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在区间上单调递增,直线x=和x=为函数f(x)的图象的两条对称轴,则f= (　 )
A.- B.- C. D.
7.已知函数f(x)=sin 2x+acos 2x满足f(x)≤恒成立,则当x∈时,函数y=f(x)与y=sin x的图象的交点个数为 (　 )
A.3 B.4
C.5 D.6
8.(多选题)[2025·河南九师联盟二模] 已知函数f(x)=sin |x|+|cos x|,g(x)=sin x+sin 2x,则 (　 )
A.f(x)是一个周期函数
B. x1,x2∈R,|f(x1)-f(x2)|>2
C.方程f(x)=g(x)在区间[0,2π]上有4个不同的解
D. x0∈R,g(x0)=2
9.函数f(x)=sin在上的最小值为　　　　.
10.[2025·安徽芜湖二模] 已知函数y=sin(ωx+φ)+1(ω>0)的部分图象如图所示,若A,B,C,D四点在同一个圆上,则ω=　　　　.
11.已知函数f(x)=sin(π-ωx)+sin(ω>0).
(1)若f(x)的最小正周期为π,求当x∈时f(x)的取值范围;
(2)若f(x)在区间内无零点,求ω的取值范围.
12.已知函数f(x)=sin(x+2θ)+cos(x+4θ),θ∈是偶函数,则g(x)=sin x·sin(x+4θ)的最大值为 (　 )
A.- B. C.1 D.
13.(多选题)[2025·江西新八校联考] 已知函数f(x)=sin 2x+acos 2x(a∈R,a为常数),且函数y=f为奇函数,则下列结论正确的是 (　 )
A.f(x)的最小正周期为π
B.a=-
C.f(x)与y=cos的图象有相同的对称轴
D.当x∈[0,2π]时,方程f(x)=cos x有且仅有4个实根
14.[2025·河北张家口二模] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ),圆C:+y2=.
(1)若f(x)的图象两条相邻的对称轴与C相切,求ω,φ;
(2)若φ=,xi(i=1,2,…)是f(xi)的极值点,且点(xi,0)(i=1,2,…)有且仅有两个在C的内部,求ω的取值范围.(共47张PPT)
微专题7 三角函数的图象与性质、三角恒等
变换
微点1 三角恒等变换
微点2 由解析式、图象探性质
微点3 已知性质求参数的值或范围
◆
◆
考法探析·明规律
备用习题
【考情分析】
考点要求 考题统计 考情分析 必备知识
三角恒等 变换 2021年Ⅰ卷6； 2025年Ⅱ卷8； 2024年Ⅰ卷4； 2024年Ⅱ卷13； 2023年Ⅱ卷7； 2023年Ⅰ卷8； 2022年Ⅱ卷6 三角恒等 变换,注 重公式变 形,角的 变换及最 值问题 1.切弦互化、诱导公式；
2.两角和与差的正余弦与
正切；
3.倍角公式及变形、半角
公式；
4.辅助角公式；
5.角的灵活变换
考点要求 考题统计 考情分析 必备知识
三角函数 的图象与 性质 2025年Ⅰ卷4； 2025年Ⅱ卷15； 2024年Ⅰ卷7； 2024年Ⅱ卷9； 2023年Ⅰ卷15； 2023年Ⅱ卷16； 三角函数 的图象、 性质及变 换,组合 考查为热 点,题型 灵活, 1.三角函数的图象、定义
域、值域、最值、单调
性、奇偶性、对称性、最
小正周期以及五点作图
法;
续表
考点要求 考题统计 考情分析 必备知识
三角函数 的图象与 性质 2022年Ⅰ卷6； 2022年Ⅱ卷9； 2021年Ⅰ卷4 既可为基础或中档 题,也可 能成为压 轴题
续表
微点1 三角恒等变换
例1（1）已知 , 为锐角,, ,则
( )
A. B. C. D.或
√
[解析] 为锐角,, .
,, ,且 ,
又,函数在 上单调递增,
, ,
.
故选B.
（2）（多选题）[2025·山东聊城三模]已知 ,
,则( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于A选项,由 ,
,得 ,A错误；
对于B选项, ,B正确；
对于C选项,,所以 ,C正确；
对于D选项,
,D错误.
故选 .
【规律提炼】
1.公式活用.和差角：,展开后消元；二倍角：可
用降幂公式简化高次项.
2.拆角与配凑.目标角拆分： 等,再结合已知角求值；
齐次式处理：分式上下同除以 化成 形式.
3.正切应用：先利用求正切值,再反推角度
关系.
自测题
1.[2025·安徽皖江名校联考]已知锐角 满足 ,则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为,所以,
因为 ,
所以 ,
所以 ,
故选B.
2.[2025·湖北武汉四月调研]若,则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由,可得,即 ,解得,
所以 .
故选A.
√
微点2 由解析式、图象探性质
例2 [2025· 全国二卷] 已知函数 ,
.
（1）求 ;
解：因为且 ,所以 .
例2 [2025· 全国二卷] 已知函数 ,
.
（2）设函数,求 的值域和单调区间.
解：由（1）知 ,
所以 .
因为,所以的值域为 .
令 , ,
得 , ,
令 , ,
得 , ,
所以的单调递增区间为, ,
单调递减区间为, .
自测题
1.（多选题）[2024· 新课标Ⅱ卷]对于函数 和
,下列说法正确的有( )
A.与 有相同的零点
B.与 有相同的最大值
C.与 有相同的最小正周期
D.与 的图象有相同的对称轴
√
√
[解析] 方法一：的最小正周期为 ,最大值为1,
的最小正周期为 ,最大值为1,故B,C均正确；
因为,
所以将 的图象向右平移个单位长度可得的图象,
又,
所以与 的零点不相同,与 的图象的对称轴不相同,
故A,D均不正确.
故选 .
方法二：的最小正周期为 ,最大值为1,
的最小正周期为 ,最大值为1,故B,C均正确；
令 ,得,,
令,得,,
故 与的零点不相同,A不正确；
令,,得 , ,
令,,得,,
故与 的图象的对称轴不相同,D不正确.故选 .
2.（多选题）[2025·福州模拟]函数
的
部分图象如图所示,则( )
A.的图象关于直线 对称
B.的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象
C.函数 的单调递增区间为,
D.若方程在 上有且只有6个根,则
√
√
√
[解析] 由函数 的部分
图象可知 ,且图象经过点, ,
由①结合 ,得 ,
代入②,可得 , ,
即, ,
由图知,函数的最小正周期 满足,
解得 ,
所以,所以 .
对于A,由 为最小值,
得直线是 的图象的一条对称轴,故A正确；
对于B,由题意知 ,故B错误；
对于C,由题意知,
由, ,可得, ,
所以 的单调递增区间为, ,故C正确；
对于D,由 ,可得,
设 ,由,可得 ,
依题意,函数 的图象与直线在 上必有6个交点,
作出函数 的图象与直线 ,如图,
由图知,需使 ,解得,故D正确.
故选 .
微点3 已知性质求参数的值或范围
例3（1）[2025·苏州模拟]已知函数
的图象关于直线 对称,
且在上有最大值没有最小值,则 的值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] ,
当时,,
因为 在上有最大值没有最小值,
所以 ,解得,
又因为的图象关于直线 对称,
所以 ,,解得,,
所以当 时, 符合题意.故选D.
（2）[2023· 新课标Ⅰ卷] 已知函数 在区间
有且仅有3个零点,则 的取值范围是______.
[解析] 因为,,所以,
若函数 在区间有且仅有3个零点,则需满足 ,
所以 .
【规律提炼】
1.周期与单调性约束：由周期求 ,再结合单调区间长度列不
等式.例如：在上单调,则.
2.对称性与零点条件：对于函数,
将对称轴或对称中心条件转化为或 ,
,代入范围求 ；利用整体法,结合正余弦函数在区间内的零
点分布列式.
自测题
1.[2025·江西赣州二模] 若函数在区间 上单
调,且,则正数 的值为___.
2
[解析] 因为函数在上单调,且 ,
所以函数图象的一条对称轴的方程为,一个对称中心为 ,
且,
所以 ,可得,故正数 的值为2.
2.[2025·山东齐鲁名校联考] 已知函数
,若方程
在区间上恰有5个根,且在上单调递增,则实数
的取值范围为______.
[解析] 由题意,,
由 , 可得,
则 或 ,.
由可得,
由在 上恰有5个根,可得,
解得 .
由,得,
即函数在 上单调递增,
所以,即且 ,解得,
所以实数 的取值范围为 .
［备选理由］例1考查二倍角公式、弦化切、和差角正切公式化简求
值；例2考查三角函数图象的平移变换与性质；例3考查三角函数图
象的对称轴、对称中心和零点,先根据对称轴和对称中心求出 的
值,再求零点个数；例4考查由三角函数的单调性与对称轴求出 的
值,进而求该三角函数的其他性质；例5考查五点（作图）法以及由
函数的单调性求出 的值.
例1 ［配例1使用］[2025·云南昆明一模]若 ,
则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 等式左边 ,
右边 ,
所以 ,化简可得 ,
即 ,所以 .
故选B.
例2 ［配例2使用］[2025·山西太原一模]将函数
的图象先向左平移 个单位长度,再
向上平移1个单位长度,所得的图象经过点,则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 将函数的图象先向左平移 个单位长度,
再向上平移1个单位长度,
得到函数的图象.
当 时,,化简得 ,
即,则 ,,解得,,
又因为,所以 .
故选C.
例3 ［配例3使用］[2025·浙江R6联盟联考]已知函数
,且 ,
,则在区间 内的零点至少有( )
A.4个 B.8个 C.10个 D.12个
√
[解析] 因为,即 ,
所以函数的图象关于点对称,所以 , .
因为,所以直线为函数 的图象的一条对称轴,
所以 , ,
由①②得 ,,,即,,
要使 在区间内的零点最少,则最小正周期最大,所以 的值最小,
又因为,所以,
把代入①,得, ,即,,
又因为,所以 或.
当时,,
此时 在内的零点个数为12；
当 时,,
此时在 内的零点个数为12.
故选D.
例4 ［配例2、例3使用］（多选题）[2025·邯郸模拟]已知函数
在上单调递增,且 的图象关
于直线 对称,则下列说法正确的是( )
A.的最小正周期为
B.
C.将的图象向右平移 个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数
D.函数在 上没有零点
√
√
√
[解析] 对于A,由得 ,
因为函数在 上单调递增,
,解得 ,
解得,
因为,所以,则 .
因为的图象关于直线对称,且 ,
所以,则,所以,
则 的最小正周期 ,A正确.
对于B,因为 ,,所以,B错误.
对于C,将 的图象向右平移 个单位长度后所得图象对应的函数为
,为偶函数,C正确.
对于D,,令 ,得,
令,由 ,得,所以,
又 ,
所以函数的图象与直线 没有公共点,D正确.
故选 .
例5 ［配例3使用］[2025·辽宁丹
东二模] 已知函数
, .
（1）若 为 的最小正周期,
用“五点法”画出在 内的
简图（如图）；
解： ,
由 ,得 .
列表如下：
0
2 0 0
描点连线,得在 内的简图如图.
例5 ［配例3使用］[2025·辽宁丹东二模]
已知函数 , .
（2）若在上单调递减,求.
解：方法一：由在 上单调递减,知,
因为,所以 ,解得 .
因为, ,所以 .
由得, ,
由题意得,解得 .
方法二：因为,,所以 .
由题设知, ,
故,解得, .
因为,所以,故 ,.
所以,故 .

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