资源简介

微专题8　平面向量的应用
【考法探析·明规律】
例1　(1)B　(2)B　[解析] (1)因为点D在边AB上,BD=2DA,所以=2,所以-=2(-),所以=-2+3=-2m+3n.
(2)方法一:如图,设=μ=μ+μ=2μ+μ,∵B,T,F三点共线,∴2μ+μ=1,解得μ=,∴=,∴=,故λ=.
方法二:∵DC∥AB,∴△ATB∽△CTF,故==,故CT=AC,∴=,故λ=.故选B.
自测题
1.C　[解析] 如图,因为=+=-,所以=+=+=+,则x=,y=,所以x+y=+=.故选C.
2.ABD　[解析] 对于A选项,如图,取AF的中点H,连接OH,因为O是AB的中点,所以在△ABF中,OH∥BF,所以OH∥EF.因为F是AC上靠近C的三等分点,所以F是HC的中点,故E是CO的中点,所以=(+)=+,A正确.对于B选项,==(-)=-,B正确.对于C选项,=-=-=(+)-=-+,C错误.对于D选项,=-=-=-,D正确.故选ABD.
例2　(1)B　(2)B　[解析] (1)方法一:·=(+)·(+)=·+·+·+·=-1+4=3.故选B.
方法二:如图,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系,则E(1,0),C(2,2),D(0,2),则=(1,2),=(-1,2),所以·=(1,2)·(-1,2)=-1+4=3.故选B.
方法三:由题意可得ED=EC=,CD=2,在△CDE中,由余弦定理可得
cos∠DEC===,所以·=||||cos∠DEC=××=3.故选B.
(2)因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,得|b|2=2a·b①.因为|a+2b|=2,所以|a+2b|2=4,即|a|2+4|b|2+4a·b=4,得4|b|2+4a·b=3②.由①②得|b|2=,则|b|=,故选B.
自测题
1.D　[解析] 依题意,a在b上的投影向量为b=-b,则a·b=-|b|2=-,所以cos===-,又∈[0,π],所以=,即a与b的夹角为.故选D.
2.C　[解析] 以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,连接AF.则A(0,0),B(2,0),C(1,2),E(0,1),因为F是线段BE上的动点,所以可设=λ+(1-λ)=(2λ,0)+(0,1-λ)=(2λ,1-λ),λ∈[0,1],所以点F的坐标是(2λ,1-λ),所以=(2-2λ,-1+λ),=(1-2λ,1+λ),故·=(2-2λ)(1-2λ)+(-1+λ)(1+λ)=4λ2-6λ+2+λ2-1=5λ2-6λ+1=5-,λ∈[0,1],所以当λ=时,·取得最小值-.故选C.
3.　[解析] 因为a=(x,1),a-b=(x,1)-(x-1,2x)=(1,1-2x),a⊥(a-b),所以a·(a-b)=x+1-2x=1-x=0,解得x=1,所以|a|==.
例3　(1)ABD　(2)A
[解析] (1)对于A,由题意得,·=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β),故A正确.对于B,若=,则||=1,又因为Q(cos β,sin β),A(1,1),所以Q(1,0)或Q(0,1).若Q(1,0),则P(0,1),此时||=||=;若Q(0,1),则P(1,0),此时||=||=.故B正确.对于C,|AO|==,|OP|==1,|OQ|==1,所以S△AOP+S△AOQ=|AO||OP|sin∠AOP+|AO||OQ|sin∠AOQ=(sin∠AOP+
sin∠AOQ)≤×2=,所以△AOP和△AOQ的面积之和的最大值为,故C错误.对于D,因为点P(cos α,sin α)在单位圆O上,所以当且仅当PA与单位圆O相切时,∠PAO取到最大值,此时∠PAO=,若∠PAO=,则△AOP是以OA为斜边的等腰直角三角形,如图,且P(0,1)或P(1,0),所以·=×1×=||2=1,故D正确.故选ABD.
(2)连接OA,由题意可知|OA|=1,|OP|=,OA⊥PA,则∠APO=,PA=1.设∠OPC=α,当点A,D位于直线PO异侧时,0≤α<,则·=||·||cos=1×cos αcos=cos α=cos2α-sin αcos α=-sin 2α=-sin,因为0≤α<,所以-≤2α-<,所以当2α-=-时,·取得最大值1.当点A,D位于直线PO同侧时,0≤α<,则·=||·||cos=1×cos αcos=cos α=cos2α+sin αcos α=+sin 2α=+sin,因为0≤α<,所以≤2α+<,所以当2α+=时,·取得最大值.综上可得,·的最大值为.故选A.
自测题
1.A　[解析] 由题意知a·b=(3an)·+(-2)·=0,化简得an-2n-n=0,即an=2n+n,故S100=ak=(2k+k)=2k+k=2×+=(2101-2)+5050=2101+5048.故选A.
2.D　[解析] 由正弦定理可得==4=2R(R为△ABC外接圆的半径).设△ABC的外接圆为圆O,连接OA,OB,如图,则·=·(+)=·+·.由向量数量积的几何意义及垂径定理可知,·=+·≤6+(·)max,当与同向时,·有最大值4,所以·的最大值为6+4.故选D.限时集训(八)
1.D　[解析] 因为向量e1,e2不共线,且(2e1+λe2)∥(3e1-2e2),所以设2e1+λe2=k(3e1-2e2),即2e1+λe2=3ke1-2ke2,所以解得故选D.
2.A　[解析] 向量a=(m,1),b=(2,1),则a+b=(m+2,2),又a+b与b垂直,所以(a+b)·b=2(m+2)+2=0,解得m=-3,所以a=(-3,1),所以|a|==.故选A.
3.C　[解析] 依题意,|a-2b|=,则a2-4a·b+4b2=3,又|a|=|b|=1,所以a·b=,所以b在a上的投影向量是a=a.故选C.
4.C　[解析] 因为=(1,3),=(-6,2),所以·=(1,3)·(-6,2)=-6+6=0,所以⊥,则AC⊥BD,即四边形ABCD的对角线互相垂直.因为||=,||=2,所以该四边形的面积S=||×||=××2=10,故选C.
5.B　[解析] 由|a|=2|b|=2,得|a|=2,|b|=1,因为cos==,所以a2-a·b=|a-b|,即4-a·b===,可得(4-a·b)2=3(5-2a·b),即(a·b)2-2a·b+1=0,即(a·b-1)2=0,可得a·b=1,所以(a-b)·b=a·b-b2=1-1=0,故选B.
6.A　[解析] 设真风风速、船行风速、视风风速、船速对应的向量分别为a,b,c,d,由题意知a+b=c,b=-d,则a=c+d,又c=(-3,-1),d=(1,3),∴a=(-2,2),∴|a|=2∈(1.1,3.3),故真风为轻风.故选A.
7.A　[解析] 由E,F分别是边CD,BC的中点,得=(+),=(+),则+=(++2)=(+2)=,
又菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,所以||=|+|==
=2,故|+|=||=×2=3.故选A.
8.AC　[解析] 由已知得点P1,P2,P3均在单位圆上,故选项A正确;由已知得=(cos α-1,sin α),=(cos β-1,-sin β),则||==
,||=
=,故选项B不正确;·=(1,0)·(cos(α+β),sin(α+β))=cos(α+β),·=(cos α,sin α)·(cos β,
-sin β)=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β),故选项C正确;·=(1,0)·(cos α,
sin α)=cos α,·=(cos β,-sin β)·(cos(α+β),sin(α+β))=cos βcos(α+β)-
sin βsin(α+β)=cos(α+2β),故选项D不正确.故选AC.
9.ABD　[解析] 对于选项A,当λ+μ=1时,B,M,C三点共线,由向量的线性运算可知,当0<λ<1,0<μ<1,0<λ+μ<1时,M在△ABC内部,故A正确;对于选项B,如图,设BC的中点为N,G为△ABC的重心,则===+=,故B正确;对于选项C,若=+,则=-=+-=(-)=,所以点M在线段BC上,且BM∶BC=1∶3,则MC∶BC=2∶3,因为△AMC和△ABC的高相同,所以根据三角形面积公式可知△AMC的面积与△ABC的面积之比等于它们的底边MC与BC之比,即△AMC的面积是△ABC面积的,故C错误;对于选项D,若M为△ABC的外心,则·==,·==2,又=λ+μ,·=3,所以·=9λ+3μ=,·=3λ+4μ=2,所以λ=,μ=,所以λ+μ=,故D正确.故选ABD.
10.　[解析] 由4+3=0,可得=,=-,则=+=+,=+=-,则2=+-=+-(-)=+,故=+,可得λ=,μ=,所以λ+2μ=+2×=.
11.(1)4　(2)　[解析] (1)因为S△ABC=2,所以×AB×AC×=2,解得AB×AC=8,则|b|·|a|=8,结合|b|=1,可得|a|=8,所以向量a在向量b上的投影向量为·=·=4b,故向量a在向量b上的投影向量的模为4.
(2)如图,根据题意可知F为△ABC的重心,故DF=FC,EF=FB,又G为线段CD上靠近C的三等分点,所以DF=FG=GC,因此=+=+,=+=+,所以·=·=·=a2+a·b+b2,由(1)知|a|·|b|=8,故|b|=,所以·=a2+a·b+b2=|a|2+×4+×≥×4+2=+2×=,当且仅当|a|2=×,即|a|=4时取等号,则·的最小值为.
12.A　[解析] 取BC的中点D,连接GD,因为++=0,所以=-(+)=-2,所以∥,又D为公共点,所以G,D,A三点共线,且AG=AD,所以点G为△ABC的重心.因为·=·,所以·(-)=·=0,所以AG⊥BC,所以AB=AC,又∠BAC=,所以∠ABC=
∠ACB=.由正弦定理得=2,所以BC=2sin=,所以AD=
BDtan∠ABC=×=,所以S△ABC=××=.故选A.
13.ABD　[解析] 对于A,当x+y=1时,=x+y=x+(1-x),由平面向量基本定理,可得A,B,C三点共线,故A正确;对于B,如图①,当x=,y=时,由=+,可得-=(-),即=,故A,B,C三点共线,且AC=CB,过点C作CD∥OA,交OB于点D,则==,又||=1,||=2,所以==,故CD=OD,则∠DOC=∠DCO,由CD∥OA可得∠AOC=∠DCO,则∠AOC=∠DOC,故OC平分∠AOB,故B正确;对于C,如图②,以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则A(1,0),B,即B(-1,),因为||=1,所以不妨设C(cos θ,sin θ),由=x+y可得(cos θ,sin θ)=(x,0)+(-y,y),故解得故x+y=sin θ+cos θ=sin(θ+φ),其中
tan φ=,故x+y的最大值为,故C错误;对于D,由C选项知则xy=sin θ=sin2θ+sin θcos θ=×+sin 2θ
=+sin,因为-1≤sin≤1,所以-≤xy≤,即xy的取值范围为,故D正确.故选ABD.
14.b+a　　[解析] 设=λ,λ∈[0,1],则=b+λa,若=,则=b+λa,因为B,M,D三点共线,所以+λ=1,解得λ=,所以=b+λa=b+a.设=μ,μ∈(1,2],则==b+a,又B,M,D三点共线,所以+=1,得λ=μ-1.因为菱形ABCD的边长为1,∠DAB=60°,=a,=b,所以a2=b2=1,a·b=,又=-=b+a-(a+b)=b-a,所以·=[b+(μ-1)a]·=--=-,整理得6μ2+μ-12=0,解得μ=或μ=-(舍去),故=.微专题8　平面向量的应用
微点1　平面向量的线性运算
例1 (1)[2022·新高考全国Ⅰ卷] 在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
(2)[2025·广东茂名一中预测] 在平行四边形ABCD中,点F是DC的中点,BF与AC交于点T,若=λ,则λ= (　 )
A. B.
C. D.
[听课笔记]


【规律提炼】
在平面向量的化简运算中,要根据平面向量基本定理恰当地选取基底,根据目标向量进行变形,不能盲目转化.常用技巧:
1.借助几何性质(如中点、重心)可简化运算,例如:若G为△ABC的重心,M为BC的中点,则=.
2.利用三点共线定理:若A,B,C共线,O为直线AB外一点,则=λ+μ(λ+μ=1).
自测题
1.[2025·山东德州十校联考] 在矩形ABCD中,=3,点F是线段DE的中点,若=x+y,则x+y的值为 (　 )
A. B.
C. D.
2.(多选题)[2025·湖北孝感八校联考] 如图,已知半圆O上有一个动点C,F是AC上靠近点C的三等分点,且OC与BF交于点E,则下列结论正确的是 (　 )
A.=+
B.=-
C.=+
D.=-+
微点2　平面向量的数量积
例2 (1)[2023·全国乙卷] 正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·= (　 )
A. B.3
C.2 D.5
(2)[2024·新课标Ⅱ卷] 已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|= (　 )
A. B.
C. D.1
[听课笔记]

【规律提炼】
1.基底法与坐标法求数量积
(1)基底法:用a,b表示向量,结合a·b=|a|·|b|·cos θ运算.
(2)坐标法:建系后利用坐标运算(尤其适用于存在垂直、对称关系的图形).
2.投影向量:b在a上的投影向量为a.
注意:(1)求两向量的夹角时要注意夹角的取值范围是[0,π].
(2)利用基底计算数量积时,要注意选择恰当的基底,常用已知的向量作基底.
自测题
1.[2025·福建莆田质检] 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,且a在b上的投影向量为-b,则a与b的夹角为 (　 )
A. B.
C. D.
2.[2025·江苏南京二模] 在四边形ABCD中,AB∥DC,A=90°,AB=AD=2CD=2,E是线段AD的中点,F是线段BE上的动点,则·的最小值为 (　 )
A.- B.-
C.- D.-
3.[2025·全国二卷] 已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=　　　　.
微点3　平面向量与其他知识的交汇
例3 (1)(多选题)[2025·河南开封联考] 已知O为坐标原点,点P(cos α,sin α),Q(cos β,sin β),A(1,1),则下列说法正确的是 (　 )
A.·=cos(α-β)
B.若=,则||=||
C.△AOP和△AOQ的面积之和的最大值为1
D.若∠PAO=,则·=||2
(2)[2023·全国乙卷] 已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点,若|PO|=,则·的最大值为 (　 )
A. B.
C.1+ D.2+
[听课笔记]

【规律提炼】
1.平面向量与解析几何综合:向量模的最值转化为距离的最值(如圆、抛物线).
2.平面向量与三角形综合常将面积比、线段比与向量分解结合.
3.常用方法:
几何转化:向量关系→线段比例或角度关系→解三角形.
建系通用法:复杂图形优先建系(如菱形、矩形、圆).
自测题
1.[2025·邵阳模拟] 已知平面向量a=(3an,-2),b=(n∈N*),若a⊥b,则数列{an}的前100项和S100= (　 )
A.2101+5048
B.2100+5048
C.2101+5050
D.2100+5050
2.[2025·山东聊城二模] 在△ABC中,BC=2,A=60°,则·的最大值为 (　 )
A.6
B.3+2
C.12
D.6+4　限时集训(八)微专题8　平面向量的应用
1.[2025·广东茂名模拟] 已知向量e1,e2不共线,且(2e1+λe2)∥(3e1-2e2),则实数λ= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.3 B.-3
C. D.-
2.已知向量a=(m,1),b=(2,1),若a+b与b垂直,则|a|= (　 )
A. B.2
C.3 D.2
3.[2025·山东聊城三模] 已知平面向量a,b是两个单位向量,若a-2b的模为,则b在a上的投影向量是 (　 )
A.a B.b
C.a D.b
4.[2025·浙江杭州二中模拟] 在四边形ABCD中,若=(1,3),=(-6,2),则该四边形的面积为 (　 )
A. B.2
C.10 D.20
5.[2025·江西鹰潭二模] 若非零向量a,b满足|a|=2|b|=2,且向量a-b与向量a的夹角=,则(a-b)·b的值为 (　 )
A.-6 B.0
C.2 D.6
6.[2025·全国一卷] 帆船比赛中,运动员可借助风力测定风速的大小和方向,测出的结果在航海学中称为视风风速,视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和,其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等,方向相反.下表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系,已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同,单位m/s),则真风为 (　 )
等级 风速大小 名称
2 1.1~3.3 轻风
3 3.4~5.4 微风
4 5.5~7.9 和风
5 8.0~10.1 劲风
A.轻风 B.微风
C.和风 D.劲风
7.已知菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,E,F分别是边CD,BC的中点,则|+|= (　 )
A.3 B.3
C.2 D.2
8.(多选题)[2021·新高考全国Ⅰ卷] 已知O为坐标原点,点P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sin β),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则 (　　)
A.||=||
B.||=||
C.·=·
D.·=·
9.(多选题)[2025·湖南长郡中学一模] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点M是△ABC所在平面上一点,且=λ+μ,则下列说法正确的是 (　 )
A.若0<λ<1,0<μ<1,0<λ+μ<1,则M在△ABC内部
B.若λ=μ=,则M为△ABC的重心
C.若λ=,μ=,则△AMC的面积是△ABC面积的
D.若b=2,c=3,∠BAC=,M为△ABC外接圆的圆心,则λ+μ=
10.在△ABC中,点D满足4+3=0,设=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+2μ=　　　　.
11.在△ABC中,=a,=b,∠BAC=,S△ABC=2.
(1)若|b|=1,则向量a在向量b上的投影向量的模为　　　　;
(2)若AB和AC的中点分别为D,E,点F为CD和BE的交点,G为线段CD上靠近C的三等分点,则·的最小值为　　　　.
12.已知△ABC的外接圆的半径为1,A=,点G满足++=0,且·=·,则△ABC的面积为 (　 )
A. B.
C. D.
13.(多选题)[2025·湖北黄冈二模] 设平面向量,的夹角为,若||=1,||=2,且=x+y,则 (　 )
A.当x+y=1时,A,B,C三点共线
B.当x=,y=时,OC平分∠AOB
C.当||=1时,x+y的最大值为2
D.当||=1时,xy的取值范围为
14.在边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60°,记=a,=b,点M是线段BD上一点,点N是线段DC上一点,且A,M,N三点共线.若=,则用a,b表示=　　　　;若·=-,则的值为　　　　. (共44张PPT)
微专题8 平面向量的应用
微点1 平面向量的线性运算
微点2 平面向量的数量积
微点3 平面向量与其他知识的交汇
◆
◆
考法探析·明规律
备用习题
【考情分析】
考点要求 考题统计 考情分析 必备知识
平面向 量基本 定理及 其应用 2025年Ⅰ卷6； 2022年Ⅰ卷3 理解基本概念、定理 内容,常与平面图形 等其他知识点相结合 考查用基底表示向量 1.平面向量的有关概
念、线性运算及坐标
运算；
2.平面向量共线的充
要条件、三点共线定
理、平面向量基本定
理
考点 要求 考题统计 考情分析 必备知识
平面向 量的数 量积、 模、夹 角 2025年Ⅱ卷12； 2024年Ⅰ卷3； 2024年Ⅱ卷3； 2023年Ⅰ卷3； 2023年Ⅱ卷13； 考查平面向量数量积 的运算及其几何表 示,平面向量的坐标 运算也是考查的关 键,通过坐标运算可 1.求平面向量数量积
的方法：基底法、投
影法、坐标法；
2.平面向量的数量
积；
续表
考点要 求 考题统计 考情分析 必备知识
平面向 量的数 量积、 模、夹 角 2022年Ⅱ卷4； 2021年Ⅰ卷10； 2021年Ⅱ卷15 可将几何问题转化成代数问题,进行垂直、 平行关系的判定及夹 角的求解 3.平面向量数量积的
性质（投影向量）；
4.平面向量数量积的
运算律
续表
考点 要求 考题 统计 考情分析 必备知识
平面向 量与其 他知识 交汇 常与解析几何（向量共线、垂直条件求轨迹或参数）、三角函数（模长与夹角计算）、解三角形 （面积、边长证明） 及函数（数量积最值）结合考查 1.平面向量的线性运
算；
2.平面向量平行的坐
标表示；
3.平面向量数量积的
坐标运算
续表
微点1 平面向量的线性运算
例1（1）[2022·新高考全国Ⅰ卷]在中,点在边 上,
.记,,则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为点在边上,,所以 ,
所以,所以 .
√
（2）[2025·广东茂名一中预测]在平行四边形中,点是 的
中点,与交于点,若,则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：如图,设 ,
,,三点共线,,解得,
, ,故 .
方法二：, ,
故,故, ,故 .
故选B.
√
【规律提炼】
在平面向量的化简运算中,要根据平面向量基本定理恰当地选取基
底,根据目标向量进行变形,不能盲目转化.常用技巧：
1.借助几何性质（如中点、重心）可简化运算,例如：若为
的重心,为的中点,则.
2.利用三点共线定理：若,,共线,为直线外一点,则
.
自测题
1.[2025·山东德州十校联考]在矩形中,,点 是线段
的中点,若,则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 如图,因为 ,
所以,
则, ,所以 .
故选C.
√
2.（多选题）[2025·湖北孝感八校联考]如图,已知半圆 上有一个动
点,是上靠近点的三等分点,且与交于点 ,则下列结
论正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A选项,如图,取的中点 ,连接,
因为是的中点,所以在 中,,所以.
因为是上靠近 的三等分点,所以是的中点,故是 的中点,
所以 ,A正确.
对于B选项, ,B正确.
对于C选项, ,C错误.
对于D选项,,
D正确.
故选 .
微点2 平面向量的数量积
例2（1）[2023·全国乙卷]正方形的边长是2,是 的中点,
则 ( )
A. B.3 C. D.5
[解析] 方法一： .
故选B.
√
方法二：如图,以为原点,, 所在直线分别为,轴,
建立平面直角坐标系,则 ,, ,
则, ,
所以 .
故选B.
方法三：由题意可得, ,
在 中,由余弦定理可得 ,
所以 .
故选B.
（2）［2024·]新课标Ⅱ卷］已知向量,满足, ,
且,则 ( )
A. B. C. D.1
[解析] 因为,所以,得 .
因为,所以,即 ,
得.
由①②得,则 ,
故选B.
√
【规律提炼】
1.基底法与坐标法求数量积
（1）基底法：用,表示向量,结合 运算.
（2）坐标法：建系后利用坐标运算（尤其适用于存在垂直、对称关
系的图形）.
2.投影向量：在上的投影向量为.
注意：（1）求两向量的夹角时要注意夹角的取值范围是.
（2）利用基底计算数量积时,要注意选择恰当的基底,常用已知的
向量作基底.
自测题
1.[2025·福建莆田质检]已知向量,满足,,且 在
上的投影向量为,则与 的夹角为( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意,在上的投影向量为 ,
则,所以,,
又 ,,所以,,即与的夹角为 .
故选D.
√
2.[2025·江苏南京二模]在四边形中,, ,
,是线段的中点,是线段 上的动点,
则 的最小值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以点为坐标原点,, 所在直线分别
为,轴建立如图所示的平面直角坐标系,连接 .
则,,,,
因为是线段 上的动点,
所以可设 ,
,
所以点的坐标是 ,
所以 ,,
故
,,
所以当时,取得最小值 .
故选C.
3.[2025· 全国二卷] 已知平面向量, ,若
,则 ____.
[解析] 因为, ,
,
所以,解得 ,
所以 .
微点3 平面向量与其他知识的交汇
例3（1）（多选题）[2025·河南开封联考]已知 为坐标原点,点
,, ,则下列说法正确的是( )
A.
B.若,则
C.和 的面积之和的最大值为1
D.若,则
√
√
√
[解析] 对于A,由题意得, ,
故A正确.
对于B,若,则 ,
又因为,,所以或 .
若,则,此时；
若,则 ,此时.故B正确.
对于C, ,,
,
所以
,
所以和的面积之和的最大值为 ,故C错误.
对于D,因为点在单位圆上,
所以当且仅当与单位圆 相切时,取到最大值,此时,
若,则 是以为斜边的等腰直角三角形,
如图,且或 ,
所以 ,故D正确.
故选 .
（2）[2023·全国乙卷]已知的半径为1,直线与 相切于点
,直线与交于,两点,为的中点,若 ,则
的最大值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 连接,由题意可知,, ,
则,.
设 ,当点,位于直线 异侧时,,
则,
因为 ,所以,
所以当时, 取得最大值1.
当点,位于直线同侧时, ,则 ,
因为,所以,
所以当 时,取得最大值.
综上可得,的最大值为 .
故选A.
【规律提炼】
1.平面向量与解析几何综合：向量模的最值转化为距离的最值
（如圆、抛物线）.
2.平面向量与三角形综合常将面积比、线段比与向量分解结合.
3.常用方法：
几何转化：向量关系 线段比例或角度关系 解三角形.
建系通用法：复杂图形优先建系（如菱形、矩形、圆）.
自测题
1.[2025·邵阳模拟]已知平面向量 ,,
若,则数列的前100项和 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意知 ,
化简得,即,
故 .故选A.
2.[2025·山东聊城二模]在中,, ,则
的最大值为( )
A.6 B. C.12 D.
√
[解析] 由正弦定理可得 （为外接圆的半径）.
设 的外接圆为圆,连接, ,如图,
则 .
由向量数量积的几何意义及垂径定理可知,
,
当与 同向时,有最大值,
所以的最大值为 .
故选D.
［备选理由］例1考查新定义的理解和基本运算；例2为经典的向量
条件判断题,涵盖向量条件、重心判定、面积比、取值范围；例3聚
焦投影向量的概念,结合解三角形求高、角、中线,值得练习；例4
考查平面向量与抛物线、圆的交汇问题.
例1 ［配例2使用］[2025·湖南郴州模拟]定义：
,其中 为向量,的夹角.若 ,
,则 ( )
A.8 B.16 C. D.
[解析] 因为 ,
所以 .
故选B.
√
例2 ［配例3使用］（多选题）[2025·石家庄质检]已知点在
所在平面内,则下列说法正确的是( )
A.若,则 为钝角三角形
B.若,则为 的重心
C.若,则
D.若是边长为2的正三角形,为的中点,点在线段 上
运动,则的取值范围为
√
√
√
[解析] 对于A,因为 ,所以,所以 为钝角三角形,
故A正确；
对于B,如图①,取的中点 ,连接 , 则 ,
因为,所以 ,所以,
所以为 的重心,故B正确；
对于C,因为 ,,所以点在线段 上,如图②所示,
设,,连接, ,则四边形为平行四边形,
故 且,
所以的边上的高是 的边上的高的,
所以 ,故C错误；
对于D,连接,以为原点,所在的直线为 轴,所在的直线为 轴,
建立平面直角坐标系,如图③所示,
易知直线的方程为 ,
设,
因为 ,,
所以 ,,
所以 ,
又因为,所以当 时,取得最小值,
当 时, 取得最大值3,
所以,即 ,故D正确.
故选 .
例3 ［配例3使用］（多选题）[2025·福建漳州三模]在 中,
,,向量在向量上的投影向量为 ,
则 ( )
A.的边上的高为
B.
C.
D.的边上的中线为
√
√
√
[解析] 如图,过点作,垂足为点 ,
则向量在向量上的投影向量为 ,
由已知得,所以.
设 ,则,
又,所以 ,所以 .
在中,可得 ,
又,所以,所以,, ,所以,
所以的边上的高为 ,故选项A正确；
在中,可得,
在 中,由余弦定理得 ,
又因为 ,
所以 ,故选项B正确；
,故选项C错误；
设的中点为,连接 ,则,
所以 ,
则,故选项D正确.故选 .
例4 ［配例3使用］[2025·河南九师联盟二模] 已知 为抛物线
上的动点,,为圆 上的两个不同点,
若恰为圆的一条直径,则的最小值为___；若, 均
与圆相切,则 的最小值为__.
3
①
[解析] 圆的圆心为 ,半径.
连接,设,则 ,,
（当且仅当时取等号）,所以 .
如图①,当为圆的一条直径时,, ,
所以,当且仅当点的坐标为 时等号成立,
所以 的最小值为3.
②
如图②,当,均与圆 相切时,,
设 ,则,
所以
,
因为函数在 上单调递增, ,
所以当,
即点的坐标为时,取到最小值 .

展开更多......

收起↑