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2025~2026学年度第一学期高二12月质量检测
数学（A卷）
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 椭圆的焦距为（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线焦点到其准线的距离为（ ）
A. B. C. 3 D. 6
3. 若直线和互相垂直，则a的值是（ ）
A. 0 B. 2 C. 0或 D. 0或2
4. 已知方程表示双曲线，则m的取值范围为（ ）
A B.
C. D.
5. 已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点P到平面的距离是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知抛物线，点，过点的直线l与C交于A，B两点，且，则l的斜率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知圆，点，点B为直线上的动点，过点B作圆C的切线，切点为P，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知椭圆和椭圆，则（ ）
A. 两椭圆有相同的焦点
B. 两椭圆的离心率相等
C. 两椭圆有相同的顶点
D. 两椭圆有相同的对称轴和对称中心
10. 已知点P在圆上，点Q在圆上，则（ ）
A. 两圆相交 B. 圆与x轴相切
C. 的取值范围为 D. 面积的最大值为6
11. 已知点，分别是双曲线的左、右焦点，，点P，Q分别是C左、右支上一点，过点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则下列说法正确的是（ ）
A. C的离心率为
B. C的焦点到其渐近线的距离为1
C. 若，则的面积为2
D. 若P，M都位于第二象限，且，P、M三点共线，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为C上一点，则______．
13. 设为抛物线上任意一点，则的最小值为______．
14. 已知正方体的棱长为2，点P是线段AB上的动点（不含端点），则当三棱锥的外接球的表面积最小时，AP的长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 求满足下列条件的双曲线的标准方程．
（1）焦点在x轴上，经过点，；
（2）与双曲线有相同的渐近线，且过点．
16. 已知抛物线的焦点在直线上．
（1）求的方程；
（2）为坐标原点，过点作直线交于，两点，求面积最小值．
17. 已知图1是由矩形ABCD 和以CD为直径的半圆拼接而成，，，将半圆面沿CD折起，使得半圆面平面ABCD，点P为半圆弧（不包括端点）上一动点，如图2．
（1）证明：平面平面BCP；
（2）若，求平面 ACP与平面BCP夹角的大小．
18. 已知过点的直线l与圆相交于A，B两点．
（1）求直线l的斜率的取值范围；
（2）若A是线段BP的中点，求直线l的方程；
（3）证明：为定值．
19. 已知椭圆的上顶点和两个焦点都在圆上．
（1）求C的方程；
（2）若过C的右焦点F与圆E相切的直线与C交于A，B两点，求；
（3）若过C右焦点F作两条直线与C在x轴下方分别交于M、N两点，且直线FM，FN的斜率互为相反数，记直线MN的斜率为m，求证：．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. B 2. C. 3. B. 4. C. 5. D. 6. A. 7. D.
8. A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. BD. 10. AB. 11. ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. .
13.
14. .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）依题意，设双曲线方程为，由该双曲线过点，
得，解得，所以所求双曲线标准方程为.
（2）设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为，
由该双曲线过点，得，
所以所求双曲线的标准方程为，即.
16. （1）因为抛物线的焦点在轴正半轴上，
对于直线，令，可得，
可知焦点，即，可得，
所以抛物线的方程为.
（2）由题意可知：直线的斜率可能不存在，且不为0，
设直线的方程为，，
联立方程，消去y可得，
则，可得，，
则，
可得的面积，
当且仅当时，等号成立，
所以的面积最小值为8.
17. （1）证明
由题意可知：，平面平面ABCD，平面平面，平面，
则平面，且平面，可得，
又因为，，平面，
可得平面，且平面，
所以平面平面BCP.
（2）取的中点分别为，在半圆弧上取点，使得，
可知，且平面，则平面，
以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
若，则，
可得，
可知平面BCP的一个法向量为，
因为，
设平面ACP的法向量为，则，
令，则，可得，
设平面 ACP与平面BCP的夹角为，
则，可得，
所以平面 ACP与平面BCP的夹角的大小为.
18.
（1）
设直线l的方程为，当直线l与圆相交于A，B两点时，
得有两组不同的解，消去得，
化简得，
可知，化简得，解得，
所以直线l的斜率的取值范围是.
（2）设，已知，当A是线段BP的中点时，可得，
化简得，
由（1）可知为方程的两个解，
则，
当时，，
化简得，解得，
所以直线l的方程或.
（3）证明 设，已知，
则，
则，
由（2）可知，
则，
所以为定值．
19. （1）对于圆，
令，可得，解得或，可知椭圆的上顶点为；
令，可得，解得，可知椭圆的焦点为；
则，，则，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由题意可知：，圆的圆心为，直线与椭圆C必相交，
则，可得直线的斜率，
则直线的方程为，
设，
联立方程，消去y可得，解得或，
所以.
（3）由题意可知：直线的斜率存在且不为0，
设直线，则直线，
联立方程，消去x可得，解得，
即，同理可得，
则，，
可得，
因为，则，
所以.

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