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高考真题
1-1　AC　[解析] 由已知得点P1,P2,P3均在单位圆上,故选项A正确;由已知得=(cos α-1,sin α),=(cos β-1,-sin β),则||==
,||=
=,故选项B不正确;·=(1,0)·(cos(α+β),sin(α+β))=cos(α+β),·=(cos α,sin α)·(cos β,
-sin β)=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β),故选项C正确;·=(1,0)·(cos α,
sin α)=cos α,·=(cos β,-sin β)·(cos(α+β),sin(α+β))=cos βcos(α+β)-sin βsin(α+β)=cos(α+2β),故选项D不正确.故选AC.
拓展延伸
1.BCD　[解析] 对于A,当θ的终边在第二象限时,a<0,b>0,依题意可知S(θ)+C(θ)=+=≠1,故A错误;对于B,因为角θ的顶点与原点重合,始边为x轴正半轴,终边经过点P(a,b),所以角θ+的顶点与原点重合,始边为x轴正半轴,终边与正方形的边交于点(-b,a),则S==C(θ),故B正确;对于C,由S(θ)≥sin θ可得≥,由θ∈(0,π),可得b>0,则不等式等价于≥(|a|+|b|),即a2+b2≥(|a|+|b|)2,显然该不等式恒成立,故C正确;对于D,若θ∈,设角2θ的终边与正方形在第一象限的边交于Q(c,d),如图所示,设A(1,0),易知OP平分∠AOQ,由角平分线定理可得=>1,因此可得2b>d,则2S(θ)>S(2θ),故D正确.故选BCD.
高考真题
2-1　BC　[解析] 方法一:f(x)的最小正周期为=π,最大值为1,g(x)的最小正周期为=π,最大值为1,故B,C均正确;因为g(x)=sin=sin 2,所以将f(x)=
sin 2x的图象向右平移个单位长度可得g(x)的图象,又<×=,所以f(x)与g(x)的零点不相同,f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,故A,D均不正确.故选BC.
方法二:f(x)的最小正周期为=π,最大值为1,g(x)的最小正周期为=π,最大值为1,故B,C均正确;令f(x)=sin 2x=0,得x=,k∈Z,令g(x)=sin=0,得x=+,k∈Z,故f(x)与g(x)的零点不相同,A不正确;令2x=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,令2x-=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,D不正确.故选BC.
2-2　②③　[解析] f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},关于原点对称.由f(x)=sin x+,易知f(-x)=-sin x+=-=-f(x),所以①是假命题,②是真命题;因为f(π-x)=sin(π-x)+=sin x+=f(x),所以③是真命题;因为f=sin+=--2=-<2,所以④是假命题.
拓展延伸
2.BCD　[解析] 方法一:令f(x)=0,解得x=,k∈Z;令g(x)=0,解得x=+,k∈Z,所以f(x)与g(x)的零点不相同,故A错误.f(x)与g(x)有相同的最大值1,故B正确.y=sin 2x与y=cos 2x的最小正周期都是=π,所以函数f(x)=|sin 2x|和g(x)=|cos 2x|的最小正周期都为,故C正确.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴,故D正确.故选BCD.
方法二:f(x)的最小正周期为,最大值为1,g(x)的最小正周期为,最大值为1,故B,C均正确.要得到函数f(x)=|sin 2x|的图象,只需将函数g(x)=|cos 2x|的图象向右平移个单位长度,因为=×,所以f(x)与g(x)的零点不相同,f(x)与g(x)的图象的对称轴相同,故A错误,D正确.故选BCD.
3.ACD　[解析] f(x)=sin4x-cos2x=-=
-=
,因为f(x+π)==f(x),所以π是f(x)的一个周期,故A正确;因为f+f(x)=
+
=+
=,不恒为0,所以f(x)的图象不关于点对称,故B错误;因为f(π-x)==
=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=对称,故C正确;当x∈时,2x∈(π,2π),则t=cos 2x在上单调递增,且t=cos 2x∈(-1,1),又y=,t∈(-1,1)单调递减,所以由复合函数的单调性可得f(x)在区间上单调递减,故D正确.故选ACD.
4.(-∞,1)　[解析] 由题可得,f(sin x)-f(cos x)=sin3x-sin2x-2sin x-cos3x+cos2x+2cos x>0,即(sin3x-cos3x)-(sin2x-cos2x)-2(sin x-cos x)=(sin x-cos x)(sin2x+sin xcos x+cos2x-
sin x-cos x-2)=(sin x-cos x)(sin xcos x-sin x-cos x-1)>0.显然只需研究一个周期内的x,不妨设x∈,显然x≠.
①当x∈时,sin x-cos x>0,则sin xcos x-sin x-cos x-1>0,令t=sin x+
cos x=sin∈(-,),则sin xcos x=,所以sin xcos x-sin x-cos x-1>0可化为-t-1>0,整理得(t-3)(t+1)>0,所以-②当x∈时,sin x-cos x<0,则sin xcos x-sin x-cos x-1<0,同①可得-1高考真题
3-1　A　[解析] ∵tan αtan β=2,∴sin αsin β=2cos αcos β,又cos(α+β)=
cos αcos β-sin αsin β=m,∴cos αcos β=-m,sin αsin β=-2m,∴cos(α-β)=cos αcos β+
sin αsin β=-3m.故选A.
拓展延伸
5.-　[解析] 方法一:由题得tan(α+β)===-2.∵2k1π<α<+2k1π,k1∈Z,π+2k2π<β<+2k2π,k2∈Z,∴π+2(k1+k2)π<α+β<2π+2(k1+k2)π,k1,k2∈Z,即π+2kπ<α+β<2π+2kπ,k∈Z,∴sin(α+β)=-.
方法二:∵α为第一象限角,β为第三象限角,∴cos α>0,cos β<0,
cos α==,cos β==,则sin(α+β)=
sin αcos β+cos αsin β=cos αcos β(tan α+tan β)=4cos αcos β==
=
=-.
6.　[解析] 方法一:y=sin xsin 3x=-[cos 4x-cos(-2x)]=-cos22x+cos 2x
+=-+,因为cos 2x∈[-1,1],所以当cos 2x=时,y=sin xsin 3x取得最大值,最大值为.
方法二:y=sin xsin 3x=sin x(3sin x-4sin3x)=3sin2x-4sin4x,令sin2x=t∈[0,1],则y=3t-4t2=-4+,t∈[0,1],所以当t=时,y=sin xsin 3x取得最大值,最大值为.教材回归
必记知识清单
同角三角 函数的基 本关系式 和诱导 公式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1;商的关系:=tan α. (2)公式一:sin(α+2kπ)=sin α(k∈Z),cos(α+2kπ)=cos α(k∈Z),tan(α+2kπ)=tan α(k∈Z); 公式二:sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α; 公式三:sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α; 公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α; 公式五:sin=cos α,cos=sin α; 公式六:sin=cos α,cos=-sin α
两角和与 差的正弦、 余弦和正 切公式 (1)公式C(α+β):cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,公式C(α-β):cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β. (2)公式S(α+β):sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,公式S(α-β):sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β. (3)公式T(α+β):tan(α+β)=,公式T(α-β):tan(α-β)=. (4)推论:在非直角三角形ABC中,三个顶角分别为A,B,C,则tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C
二倍角 公式 (1)公式S2α:sin 2α=2sin αcos α. (2)公式C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. (3)公式T2α:tan 2α=. (4)半角公式:sin=±;cos=±;tan=±
辅助角 公式 asin α+bcos α=sin(α+φ)
和差化积 公式与积化 和差公式 1.和差化积公式 sin θ+sin φ=2sincos;sin θ-sin φ=2cossin; cos θ+cos φ=2coscos;cos θ-cos φ=-2sinsin. 2.积化和差公式 sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)];cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]; cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)];sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]
平面向量的 线性运算 1.向量加法运算律:交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 2.三点共线定理: 若,不共线,且=λ,则=(1-λ)+λ; 若,不共线,且=(1-λ)+λ,那么A,B,P三点共线
平面 向量的 数量积 1.平面向量数量积的几何意义:两个平面向量的数量积可以看作是一个向量在另一个向量上的投影向量与另一个向量的数量积. 2.平面向量数量积的运算律 已知向量a,b,c和实数λ, ①交换律:a·b=b·a;②数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb); ③分配律:(a+b)·c=a·c+b·c. 其他:(a+b)2=a2+2a·b+b2. 3.平面向量数量积的坐标运算 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则 (1)数量积:a·b=|a|·|b|cos θ=x1x2+y1y2; (2)模:|a|=,|b|=,|a+b|==; (3)平行:a∥b a=λb x1y2-x2y1=0; (4)垂直:a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0; (5)夹角:cos θ==; (6)a在b上的投影向量为|a|cos θ·. 4.极化恒等式: 对于向量a,b,有a·b=[(a+b)2-(a-b)2]
解三角形 (1)正弦定理:===2R(其中R为△ABC外接圆的半径),变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (2)余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A,b2=c2+a2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C, 推论:cos A=,cos B=,cos C=; (3)三角形面积公式:S=bcsin A=acsin B=absin C=aha=(a+b+c)·r(其中r为△ABC内切圆的半径); (4)内角和公式:A+B+C=π; (5)大角对大边:a>b sin A>sin B; (6)射影定理:在△ABC中,有 a=bcos C+ccos B,b=ccos A+acos C,c=acos B+bcos A; (7)中线长定理:AD为BC边上的中线,则AB2+AC2=2(AD2+DC2),即=(+); (8)角平分线定理:①在△ABC中,AM平分∠BAC交BC于M,则=,②AM2=AB×AC-BM×CM
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本源一　三角函数与单位圆
【教材来源】
【高考真题】
1-1　(多选题)[2021·新高考全国Ⅰ卷] 已知O为坐标原点,点P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sin β),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则 (　 )
A.||=||
B.||=||
C.·=·
D.·=·
【拓展延伸】
1.(多选题)[2025·长沙一中二模] 如图,点P(a,b)是以(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)为顶点的正方形边上的动点,角θ的顶点与原点重合,始边为x轴正半轴,终边经过点P,定义S(θ)=,C(θ)=,则 (　 )
A.S(θ)+C(θ)=1
B.S=C(θ)
C. θ∈(0,π),S(θ)≥sin θ
D. θ∈,2S(θ)>S(2θ)
本源二　三角函数图象与性质、函数综合问题
【教材来源】
【高考真题】
2-1　(多选题)[2024·新课标Ⅱ卷] 对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法正确的有 (　 )
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
2-2　[2020·全国卷Ⅲ] 关于函数f(x)=sin x+有如下四个命题:
①f(x)的图象关于y轴对称.
②f(x)的图象关于原点对称.
③f(x)的图象关于直线x=对称.
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是　　　　.
【拓展延伸】
2.(多选题)对于函数f(x)=|sin 2x|和g(x)=|cos 2x|,下列说法正确的有 (　 )
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
3.(多选题)已知函数f(x)=sin4x-cos2x,则下列说法正确的是 (　 )
A.π是f(x)的一个周期
B.f(x)的图象关于点对称
C.f(x)的图象关于直线x=对称
D.f(x)在区间上单调递减
4.[2025·合肥三模] 已知f(x)=x3-x2-2x,若f(sin x)>f(cos x),则tan x的取值范围为　　　　.
本源三　三角恒等变换
【教材来源】
【高考真题】
3-1　[2024·新课标Ⅰ卷] 已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.-3m B.-
C. D.3m
【拓展延伸】
5.[2024·新课标Ⅱ卷] 已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　.
6.y=sin xsin 3x的最大值为　　　　.
(参考公式:sin 3α=3sin α-4sin3α;cos 3α=4cos3α-3cos α)(共42张PPT)
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本源一 三角函数与单位圆
本源二 三角函数图象与性质、函数综合问题
本源三 三角恒等变换
◆
◆
必记知识清单
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同角三 角函数 的基本 关系式 和诱导 公式
同角三 角函数 的基本 关系式 和诱导 公式
续表
两角和 与差的 正弦、 余弦和 正切公 式
续表
两角和 与差的 正弦、 余弦和 正切公 式
续表
二倍角 公式
续表
辅助角 公式
和差化 积公式 与积化 和差公 式
续表
和差化 积公式 与积化 和差公 式
续表
平面向 量的线 性运算
续表
平面向 量的数 量积
续表
平面向 量的数 量积
续表
平面向 量的数 量积
续表
解三 角形
续表
解三 角形
续表
解三 角形
续表
本源一 三角函数与单位圆
【教材来源】
【高考真题】
1-1.（多选题）[2021·新高考全国Ⅰ卷]已知 为坐标原点,点
,, ,
,则( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 由已知得点,, 均在单位圆上,故选项A正确；
由已知得, ,
则 ,
,故选项B不正确；
,
,故选项C正确；
,,故选项D不正确.故选 .
【拓展延伸】
1.（多选题）[2025·长沙一中二模]如图,点
是以,,, 为顶点的
正方形边上的动点,角 的顶点与原点重合,
始边为轴正半轴,终边经过点 ,定义
, ,则( )
A. B.
C., D.,
√
√
√
[解析] 对于A,当 的终边在第二象限时,, ,
依题意可知 ,故A错误；
对于B,因为角 的顶点与原点重合,始边为轴正半轴,终边经过点 ,
所以角的顶点与原点重合,始边为 轴正半轴,终边与正方形的边交
于点 ,
则 ,故B正确；
对于C, 由 可得 ,
由,可得 ,
则不等式等价于 ,
即 ,显然该不等式恒成立,故C正确；
对于D,若,设角 的终边与正方形在第一象限的边交于 ,
如图所示,设,易知平分 ,
由角平分线定理可得,因此可得 ,
则,故D正确.
故选 .
本源二 三角函数图象与性质、函数综合问题
【教材来源】
【高考真题】
2-1.（多选题）[2024· 新课标Ⅱ卷]对于函数 和
,下列说法正确的有( )
A.与 有相同的零点
B.与 有相同的最大值
C.与 有相同的最小正周期
D.与 的图象有相同的对称轴
√
√
[解析] 方法一：的最小正周期为 ,最大值为1,
的最小正周期为 ,最大值为1,故B,C均正确；
因为,
所以将 的图象向右平移个单位长度可得的图象,
又,所以与 的零点不相同,
与 的图象的对称轴不相同,故A,D均不正确.
故选 .
方法二：的最小正周期为 ,最大值为1,
的最小正周期为 ,最大值为1,故B,C均正确；
令 ,得,,
令,得,,
故 与的零点不相同,A不正确；
令,,得 , ,
令,,得,,
故与 的图象的对称轴不相同,D不正确.
故选 .
2-2.[2020· 全国卷Ⅲ] 关于函数 有如下四个命题：
①的图象关于 轴对称.
② 的图象关于原点对称.
③的图象关于直线 对称.
④ 的最小值为2.
其中所有真命题的序号是______.
②③
[解析] 的定义域为 , ,关于原点对称.
由 ,
易知 ,
所以①是假命题,②是真命题；
因为 ,
所以③是真命题；
因为 ,
所以④是假命题.
【拓展延伸】
2.（多选题）对于函数和 ,下列说法
正确的有( )
A.与 有相同的零点
B.与 有相同的最大值
C.与 有相同的最小正周期
D.与 的图象有相同的对称轴
√
√
√
[解析] 方法一：令,解得,；
令 ,解得,,所以与的零点不相同,故A错误.
与有相同的最大值1,故B正确.
与 的最小正周期都是 ,
所以函数和 的最小正周期都为,故C正确.
与 的图象有相同的对称轴,故D正确.
故选 .
方法二：的最小正周期为,最大值为1,
的最小正周期为 ,最大值为1,故B,C均正确.
要得到函数 的图象,
只需将函数的图象向右平移个单位长度,
因为 ,所以与的零点不相同,
与 的图象的对称轴相同,故A错误,D正确.
故选 .
3.（多选题）已知函数 ,则下列说法正确的
是( )
A. 是 的一个周期
B.的图象关于点 对称
C.的图象关于直线 对称
D.在区间 上单调递减
√
√
√
[解析]
,
因为,
所以 是 的一个周期,故A正确；
因为 , 不恒为0,
所以 的图象不关于点 对称,故B错误；
因为 ,
所以的图象关于直线对称,故C正确；
当 时,,
则在 上单调递增,且,
又, 单调递减,
所以由复合函数的单调性可得在区间 上单调递减,故D正确.
故选 .
4.[2025·合肥三模] 已知,若 ,
则 的取值范围为________.
[解析] 由题可得, ,
即 .
显然只需研究一个周期内的,不妨设,显然 .
①当时, ,则 ,
令,则 ,
所以可化为 ,
整理得,所以 ,
即,可得,此时 .
②当时, ,则,
同①可得 ,即,可得,
此时 .
综上所述,的取值范围为 .
本源三 三角恒等变换
【教材来源】
【高考真题】
3-1.[2024· 新课标Ⅰ卷]已知, ,则
( )
A. B. C. D.
[解析] , ,
又,
,,
.
故选A.
√
【拓展延伸】
5.[2024· 新课标Ⅱ卷] 已知 为第一象限角, 为第三象限角,
,,则 _ _____．
[解析] 方法一：由题得 .
,, , ,
,, ,
即 ,, .
方法二： 为第一象限角, 为第三象限角,
,, ,
,
则 .
6. 的最大值为___.
（参考公式： ； ）
[解析] 方法一：,
因为,
所以当 时, 取得最大值,最大值为 .
方法二： ,
令,则, ,
所以当时,取得最大值,最大值为 .

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