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高考真题
1-1　B　[解析] 依题意,在等差数列{an}中,an=a1+(n-1)·=n+,显然关于n的函数y=cos的最小正周期为3,而n∈N*,即cos an最多有3个不同的取值,又集合S={cos an|n∈N*}={a,b}中只有2个元素,所以在cos a1,cos a2,cos a3中,有cos a1=cos a2≠cos a3或cos a1≠cos a2=cos a3.若cos θ=cos,则有θ+=2kπ(k∈Z),解得θ=kπ-(k∈Z).当cos a1=cos a2≠cos a3时,ab=coscos=-coscos kπ=-cos2kπcos =-(k∈Z);当cos a1≠cos a2=cos a3时,ab=coscos=-cos2kπcos =-(k∈Z).故选B.
1-2　①③④　[解析] ∵an·Sn=9,且an>0,∴当n=1时,=9,可得a1=3,当n=2时,a2(a1+a2)=9,即+3a2-9=0,可得a2=<3,故①正确;由题意得Sn=,∴Sn+1=,两式相减得an+1=-,∴=,∴=(n≥2),若{an}为等比数列,则当n≥2时,an+1=an,又a2≠a1,∴{an}不为等比数列,故②错误;由an·Sn=9(n=1,2,…),可得an·Sn=an+1·Sn+1,∴=<1,∴an+190 000,则Sn>900,则anSn>9,与已知矛盾,故④正确.故答案为①③④.
拓展延伸
1.B　[解析] 设{an}的公差为d,则d===2,所以an=a1+(n-1)d=2n-11,所以Tn=a1a2…an=(-9)×(-7)×(-5)×(-3)×(-1)×1×…×(2n-11).当n→+∞时,Tn→-∞;当n=4时,Tn取得最大值,最大值为T4=(-9)×(-7)×(-5)×(-3)=945.所以{Tn}有最大项,无最小项.故选B.
高考真题
2-1　B　[解析] 设an=f(n),n∈N*,则a1=1,a2=2,an>an-1+an-2(n≥3),故a3>3,a4>a3+a2>5,a5>a4+a3>5+3=8,观察可知,a6>13,a7>21,a8>34,a9>55,a10>89,a11>144,a12>233,a13>377,a14>610,a15>987,a16>1597,…,则a20>1000,即f(20)>1000.故选B.
拓展延伸
2.BCD　[解析] 斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…,所以a5=5,A选项错误;依题意an+2=an+1+an(n≥1),所以an+3=an+2+an+1,故an+3=2an+1+an对任意n∈N*恒成立,B选项正确;因为a1=a2,a3=a4-a2,a5=a6-a4,…,a2023=a2024-a2022,所以a1+a3+a5+…+a2023=a2024,C选项正确;因为=a2·a1,=a2·(a3-a1)=a2·a3-a2·a1,=a3·(a4-a2)=a3·a4-a3·a2,…,=a2022·(a2023-a2021)=a2022·a2023-a2022·a2021,所以++…+=a2022·a2023,D选项正确.故选BCD.
3.ACD　[解析] 从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13,…,设这组数组成数列{an},则an+an+1=an+2.由a6=8,a7=13,得a8=21,a9=34,a10=55,所以第10条斜线上各数之和为55,故A正确.第1条斜线上的数为;第2条斜线上的数为;第3条斜线上的数为,;第4条斜线上的数为,;第5条斜线上的数为,,;第6条斜线上的数为,,;…;依此规律,第n条斜线上的数为,,,,…,,,….所以第11条斜线上的数为,,,,,,最大的数是,故B错误.由上述每条斜线上数的变化规律可知,在第n(n≥5)条斜线上,各数自左往右先增大后减小,故C正确.由上述分析可知,当n为奇数时,在第n条斜线上共有=(个)数,当n为偶数时,在第n条斜线上共有=个数,所以在第n条斜线上共有个数,故D正确.故选ACD.
高考真题
3-1　解:(1)因为S1=a1=1,所以=1,
所以数列是首项为1,公差为的等差数列,所以=1+(n-1)·=,所以Sn=an.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-an-1,所以(n-1)an=(n+1)an-1,即=,
则an=××…×××a1=××…×××1=,
又a1=1满足上式,
所以{an}的通项公式为an=.
(2)证明:++…+=2×=2×=2-<2.
拓展延伸
4.解:(1)由直线过原点且一个方向向量为μ=(3,1)可知l的方程为y=x,
因此对任意正整数n,an=an+1,
即an+1=3an.
因为a3=2a2+6,所以9a1=6a1+6,得a1=2≠0,
所以=3,{an}是首项为2,公比为3的等比数列,所以an=2×3n-1.
(2)因为数列{bn}是以4为首项,2为公差的等差数列,所以bn=2n+2,
因为an=2×3n-1,所以2m+2=2×3n-1,即m==3n-1-1,由m,n∈N*,可得n≥2,n∈N*,
所以cn=3n-1,所以Sn=31+32+…+3n-n=-n=·3n+1-n-.
5.解:(1)由bn+1=2bn+1可得bn+1+1=2(bn+1),又b1+1=2,
所以数列{bn+1}是首项和公比都为2的等比数列,
所以bn+1=2·2n-1=2n,故bn=2n-1.
由已知a1(b1+1)+a2(b2+1)+…+an(bn+1)=(2n-3)·2n+1+6,
可得2a1+22a2+23a3+…+2nan=(2n-3)·2n+1+6①,
当n≥2时,有2a1+22a2+23a3+…+2n-1an-1=(2n-5)·2n+6②,
①-②得2nan=(2n-1)·2n(n≥2),所以an=2n-1(n≥2),
a1=1也满足an=2n-1,
故对任意的n∈N*,an=2n-1.
(2)因为==>
=
=
-+,
所以>(-1+)+(-+)+(-+)+…+(-+)=-1,
另一方面,当n≥2时,==<=
=
-+,
所以<1+(-1+)+(-+)+…+(-+)=,
所以-1<<<10.
又因为-1>-1=9,所以=9.教材回归
必记知识清单
等差数列 (1)通项公式:an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d(m,n∈N*,d为公差). (2)前n项和公式:Sn==na1+d. (3)等差数列通项公式的性质 ①若m+n=p+q am+an=ap+aq,或m+n=2p am+an=2ap; ②若{an},{bn}为等差数列,则{an±bn},{man±kbn}仍为等差数列
等比数列 (1)通项公式:an=a1qn-1=amqn-m(m,n∈N*,q为公比). (2)前n项和公式:Sn= (3)等比数列通项公式的性质 ①若m+n=p+q am·an=ap·aq或m+n=2p am·an=; ②若{an},{bn}为等比数列,则{an·bn},仍为等比数列
等差数列、 等比数列 的前n项 和性质 (1)等差数列前n项和的性质 ①Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…仍成等差数列;②为等差数列. (2)等比数列前n项和的性质 ①Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…仍成等比数列;②Sm+n=Sm+qm·Sn
数列递推 求通项 类型① 已知Sn与an的关系 作差法:an=
类型② 已知an+1=an+f(n) 累加法
类型③ 已知an+1=an·f(n) 累乘法
类型④ 已知an+1=pan+q 构造法:an+1+λ=p(an+λ)
类型⑤ 已知an+1=pan+qn 构造法:=·+
类型⑥ 已知an+2=pan+1+qan 构造法:an+2-kan+1=h(an+1-kan)
类型⑦ 已知an-1-an=pan-1·an 倒数法:=+p
类型⑧ 已知an+1= 倒数法:=·+
关注: 1.利用定义判断数列的类型:注意定义要求的任意性,例如若数列{an}满足an+1-an=d(常数)(n≥2,n∈N*),不能判断数列{an}为等差数列,需要补充证明a2-a1=d; 2.若数列{an}满足an+an+2=2an+1(n∈N*),则{an}是等差数列; 3.若数列{bn}满足bn+1=qbn(n∈N*),q为非零常数,且b1≠0,则{bn}为等比数列
续表
数列求和 (1)公式法:适合等差数列或等比数列. (2)分组求和: 通项特征: 整式——an=bn±cn,即两个数列相加减;分段——an= (3)裂项相消: 通项特征:分式或根式. 常见模型: 一次函数——an==; 二次函数——an==1+; 指数函数——an==a; (-1)n——an=(-1)n=a. (4)并项求和 通项特征:形如an=(-1)n·f(n),an=(-1)n+1f(n)的数列
斐波那契 数列 1.斐波那契数列概念:把数列: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… 称为斐波那契数列,一般记为{Fn}. 2.斐波那契数列的递推公式: 3.斐波那契数列的通项公式:Fn=×. 4.斐波那契数列的性质(第n项为an,前n项和为Sn) (1)Sn=a1+a2+a3+…+an=an+2-1;(2)a1+a3+a5+…+a2n-1=a2n; (3)a2+a4+a6+…+a2n=a2n+1-1;(4)+=a2n+1; (5)+++…+=anan+1;(6)=an-1+an+1
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本源一　数列与函数
【教材来源】
【高考真题】
1-1　[2023·全国乙卷] 已知等差数列{an}的公差为,集合S={cos an|n∈N*}.若S={a,b},则ab= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1 B.-
C.0 D.
1-2　[2022·北京卷] 已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和Sn满足an·Sn=9(n=1,2,…).给出下列四个结论:
①{an}的第2项小于3;
②{an}为等比数列;
③{an}为递减数列;
④{an}中存在小于的项.
其中所有正确结论的序号是　　　　.
【拓展延伸】
1.[2020·北京卷] 在等差数列{an}中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1,2,…),则数列{Tn} (　 )
A.有最大项,有最小项
B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项
D.无最大项,无最小项
本源二　斐波那契数列与杨辉三角
【教材来源】
杨辉三角和斐波那契数列之间的关系为将杨辉三角每一层的斜向数(左斜或右斜)加起来,结果依次是斐波那契数列的项.
【高考真题】
2-1　[2024·新课标Ⅰ卷] 已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时,f(x)=x,则下列结论中一定正确的是 (　 )
A.f(10)>100 B.f(20)>1000
C.f(10)<1000 D.f(20)<10 000
【拓展延伸】
2.(多选题)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”.记Sn为数列{an}的前n项和,则下列结论正确的为 (　 )
A.a5=8
B.an+3=2an+1+an对任意n∈N*恒成立
C.a1+a3+a5…+a2023=a2024
D.=a2023
3.(多选题)“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示,由杨辉三角的左腰上的各数出发引一组平行线,从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13,…,则 (　 )
A.在第10条斜线上,各数字之和为55
B.在第11条斜线上,最大的数是
C.在第n(n≥5)条斜线上,各数自左往右先增大后减小
D.在第n条斜线上,共有个数
本源三　数列递推与数列求和
【教材来源】
【高考真题】
3-1　[2022·新高考全国Ⅰ卷] 记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,是公差为的等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)证明:++…+<2.
【拓展延伸】
4.[2025·青岛二模] 在平面直角坐标系中,已知直线l经过原点,μ=(3,1)是l的一个方向向量.数列{an}满足:点(an+1,an)均在l上,a3=2a2+6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)已知{bn}是以4为首项,2为公差的等差数列,若{an}与{bn}的公共项为bm,m的值由小到大构成数列{cn},求{cn}的前n项和Sn.
5.[2025·台州二模] 已知数列{an}和{bn}满足a1(b1+1)+a2(b2+1)+…+an(bn+1)=(2n-3)·2n+1+6,n∈N*,且a1=b1=1,bn+1=2bn+1.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求的值.(其中[x]表示不大于x的最大整数,如[3.2]=3)(共43张PPT)
教材回归
本源一 数列与函数
本源二 斐波那契数列与杨辉三角
本源三 数列递推与数列求和
◆
◆
必记知识清单
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等差数列 （1）通项公式:
（,, 为公差）.
（2）前项和公式: .
（3）等差数列通项公式的性质
①若 ,或
；
②若,为等差数列，则, 仍
为等差数列
等比数列 （1）通项公式:（,, 为
公比）.
（2）前项和公式:
（3）等比数列通项公式的性质
①若 或
；
②若,为等比数列，则, 仍为等比数
列
续表
等差数 列、等比 数列的前 项和性质 （1）等差数列前 项和的性质 ,,， 仍成等差数列； 为 等差数列. （2）等比数列前 项和的性质 ,,， 仍成等比数列；
数列递推 求通项 类型 ① 已知与 的关系 作差法：
续表
数列递推 求通项 类型 ② 已知 累加法
类型 ③ 已知 累乘法
类型 ④ 已知 构造法：
类型 ⑤ 已知 构造法：
续表
数列递推 求通项 类型 ⑥ 已知 构造法：
类型 ⑦ 已知 倒数法：
类型 ⑧ 已知 倒数法：
续表
数列递推 求通项 关注：
1.利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，
例如若数列满足 （常数），不能判断数列 为等差数列，需要补充证明 ；
2.若数列满足，则
是等差数列；
3.若数列满足， 为非零常数，
且，则 为等比数列
续表
数列求和 （1）公式法：适合等差数列或等比数列.
（2）分组求和：
通项特征：
整式 ，即两个数列相加减；
分段
续表
数列求和 （3）裂项相消：
通项特征：分式或根式.
常见模型：
一次函数 ；
二次函数 ；
续表
数列求和 指数函数 ；
.
（4）并项求和
通项特征：形如，
的数列
续表
斐波那契 数列 1.斐波那契数列概念：把数列:1,,,,,,,, ,
,,, 称为斐波那契数列，一般记为 .
2.斐波那契数列的递推公式：
3.斐波那契数列的通项公式：
.
续表
斐波那契 数列 4.斐波那契数列的性质（第项为,前项和为 ）
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6）
续表
本源一 数列与函数
【教材来源】
【高考真题】
1-1 [2023·全国乙卷]已知等差数列的公差为 ,集合
.若,,则 ( )
A. B. C.0 D.
√
[解析] 依题意，在等差数列 中，
，显然关于 的函数
的最小正周期为3，而，即 最
多有3个不同的取值，
又集合, 中只有2个元素，
所以在,,中，有 或
.
若 ，则有，解得 .
时， ；
当 时，
.
故选B.
1-2 [2022·北京卷] 已知数列的各项均为正数，其前项和 满足
.给出下列四个结论：
① 的第2项小于3；
② 为等比数列；
③ 为递减数列；
④中存在小于 的项.
其中所有正确结论的序号是________.
①③④
[解析] ，且， 当时， ，可得
，当时，，即 ，可得
，故①正确；
由题意得， ，两式相减得，
, ,若为等比数列，则当
时，,又, 不为等比数列，故②错误；
由 ，可得,,
,故③正确；
假设中所有的项均大于或等于，即,取 ,则
,则 ，与已知矛盾，故④正确.故答案为①③④.
【拓展延伸】
1.[2020·北京卷]在等差数列中，, .记
,则数列 ( )
A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项
√
[解析] 设的公差为，则 ，所以
，
所以.
当 时， ；当时， 取得最大值，最大值为
.
所以 有最大项，无最小项.故选B.
本源二 斐波那契数列与杨辉三角
【教材来源】
杨辉三角和斐波那契数列之间的关系为将
杨辉三角每一层的斜向数（左斜或右斜）
加起来，结果依次是斐波那契数列的项.
【高考真题】
2-1 [2024·新课标Ⅰ卷]已知函数的定义域为 ，
,且当时， ,则下列结论中一
定正确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设，，则， ，
，故， ，
，
观察可知，， ，，，，
， ，，，，
， ，则，即 ．故选B.
【拓展延伸】
2.（多选题）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发
现有这样一列数：1，1，2，3，5， ，其中从第三项起，每个数
等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列
称为“斐波那契数列”.记为数列的前 项和，则下列结论正确的
为( )
A.
B.对任意 恒成立
C.
D.
√
√
√
[解析] 斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，
，所以，A选项错误；
依题意 ，所以，
故对任意 恒成立，B选项正确；
因为，，， ，
，所以 ，C选项正确；
因为， ，
， ，
，所以，
D选项正确．故选 .
3.（多选题）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的
研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰
上的各数出发引一组平行线，从上往下每条线
上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13， ，
则( )
A.在第10条斜线上，各数字之和为55
B.在第11条斜线上，最大的数是
C.在第 条斜线上，各数自左往右先增大后减小
D.在第条斜线上，共有 个数
√
√
√
[解析] 从上往下每条线上各数之和依次为1，1，
2，3，5，8，13， ，设这组数组成数列 ，
则.由， ，得
，， ，所以第10条斜线
上各数之和为55，故A正确.
第1条斜线上的数为 ；第2条斜线上的数为；第3条斜线上的数为
, ；第4条斜线上的数为,；第5条斜线上的数为,, ；
第6条斜线上的数为,, ；…；依此规律，第条斜线上的数为
, , ,, ,,, .
所以第11条斜线上的数为,,,, ,，
最大的数是 ，故B错误.
由上述每条斜线上数的变化规律可知，在第
条斜线上，各数自左往右先增大后减小，
故C正确.
由上述分析可知，当为奇数时，在第 条斜线上共有（个）数，当为偶数时，在第 条斜线上共有个数，所以在第 条斜线上共有 个数，故D正确.故选 .
本源三 数列递推与数列求和
【教材来源】
【高考真题】
3-1 [2022·新高考全国Ⅰ卷] 记为数列的前项和，已知 ,
是公差为 的等差数列.
（1）求 的通项公式；
解：因为，所以 ，
所以数列是首项为1，公差为 的等差数列，所以
，所以 .
当时， ，所以
，即 ，
则 ，
又 满足上式，
所以的通项公式为 .
3-1 [2022·新高考全国Ⅰ卷] 记为数列的前项和，已知 ,
是公差为 的等差数列.
（2）证明： .
证明： .
【拓展延伸】
4.[2025·青岛二模] 在平面直角坐标系中，已知直线 经过原点，
是的一个方向向量．数列满足：点均在
上， ．
（1）求 的通项公式；
解：由直线过原点且一个方向向量为可知的方程为 ，
因此对任意正整数， ，
即 .
因为，所以，得 ，
所以， 是首项为2，公比为3的等比数列，所以
.
4.[2025·青岛二模] 在平面直角坐标系中，已知直线 经过原点，
是的一个方向向量．数列满足：点均在
上， ．
（2）已知是以4为首项，2为公差的等差数列，若与 的
公共项为，的值由小到大构成数列，求的前项和 ．
解：因为数列 是以4为首项，2为公差的等差数列，所以
，
因为，所以 ，即
，
由，，可得， ，所以 ，所以
.
5.[2025·台州二模] 已知数列和 满足
，
，且， ．
（1）求数列和 的通项公式；
解：由可得，又 ，
所以数列 是首项和公比都为2的等比数列，
所以，故 .
由已知 ，
可得 ，
当 时，有
，
得，所以 ，
也满足 ，
故对任意的， .
5.[2025·台州二模] 已知数列和 满足
，
，且， ．
（2）求的值.（其中表示不大于 的最大整数，如
）
解：因为 ，
所以 ，
另一方面，当 时，
，
所以 ，
所以 .
又因为，所以 .

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