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微专题13　数列与其他知识的交汇问题
【考法探析·明规律】
例1　解:(1)证明:因为=+,所以(n+1)an+1=nan+1,
即(n+1)an+1-nan=1,
由等差数列的定义可得,数列{nan}为等差数列.
(2)令bn=nan,可得bn+1-bn=1,
即{bn}是以1·a1=3为首项,1为公差的等差数列,所以bn=n+2=nan.
因为f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+amxm,所以f'(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+mamxm-1=b1+b2x+b3x2+…+bmxm-1,
将x=-2与bn=n+2代入上式,
可得f'(-2)=3+4×(-2)+5×(-2)2+…+(m+2)×(-2)m-1.
令Sm=f'(-2)=3+4×(-2)+5×(-2)2+…+(m+2)×(-2)m-1,
则-2×Sm=3×(-2)+4×(-2)2+5×(-2)3+…+(m+2)×(-2)m,
所以3Sm=3+(-2)+(-2)2+(-2)3+…+(-2)m-1-(m+2)×(-2)m=3+(-2)×-(m+2)×(-2)m=-×(-2)m,所以f'(-2)=Sm=-×(-2)m.
自测题
解:(1)由an+1+an-1=2an+3可得an+1-an=an-an-1+3(n≥2),
因为bn=an+1-an,所以bn-bn-1=3(n≥2),则{bn}是以3为公差的等差数列.
由a1=1,a3=6,得b1=a2-a1=a2-1,b2=a3-a2=6-a2,
所以6-a2-(a2-1)=3,解得a2=2,故b1=a2-1=1,
所以bn=1+3(n-1)=3n-2.
(2)由(1)可得b4=10,b34=100,b334=1000,
又cn=[lg bn],所以当1≤n≤350时,cn=所以T350=0×3+1×30+2×300+3×17=681.
例2　解:(1)设数列{an}的公差为d,
∵T3=b1+b2+b3=a1-6+2a2+a3-6=4a2-12=16,
∴a2=a1+d=7,
又S4=4a1+d=32,即a1+d=8,∴a1=5,d=2,
∴an=a1+(n-1)d=2n+3.
(2)证明:由(1)可得Sn=na1+d=n2+4n.
当n为偶数时,Tn=(b1+b3+…+bn-1)+(b2+b4+…+bn)=(a1-6+a3-6+…+an-1-6)+(2a2+2a4+…+2an)=(5+9+…+2n+1-3n)+2×(7+11+…+2n+3)=-3n+2×=n2+n,
当n>5时,Tn-Sn=n2+n-(n2+4n)=n2-n=n(n-1)>0,
即Tn>Sn;
当n为奇数时,Tn=Tn-1+bn=(n-1)2+(n-1)+2n+3-6=n2+n-5(n≥3),
当n>5时,Tn-Sn=n2+n-5-(n2+4n)=n2-n-5=(n2-3n-10)=(n+2)(n-5)>0,
即Tn>Sn.
综上,当n>5时,Tn>Sn.
自测题
解:(1)因为等差数列{an}的第2项为3,其前5项和为25,
所以a1+a2+a3+a4+a5=5a3=25,a2=3,可得a3=5,
则{an}的公差d=a3-a2=5-3=2,
所以an=3+2(n-2)=2n-1.
设等比数列{bn}的公比为q(q>0),因为b1=4,b3+b2=80,所以4q2+4q=80,
解得q=4或q=-5(舍去),故bn=4n.
(2)证明:(i)由题意得cn=b2n+=42n+,
所以-c2n=-=44n+2×42n×+-44n-=2×4n,
所以-c2n≠0,且==4,所以数列{-c2n}是以4为公比的等比数列.
(ii)由题意知,==<,
所以<==·,
所以<.
设Tn==+++…+,则Tn=+++…+,
两式相减得Tn=1+++…+-=-=2-,所以Tn=4-,
所以<==2-<2.
例3　解:(1)证明:抛物线C的方程可化为y=x2,求导可得y'=x,
将点An的坐标代入抛物线C的方程,得yn=,
则抛物线C在点An处的切线方程为y-yn=xn(x-xn),
将yn=代入上式得
y-=xn(x-xn),
整理得y=xnx-,
令y=0,可得x=xn,则xn+1=xn,
故数列{xn}是公比为的等比数列.
同理,数列{xn'}也是公比为的等比数列.
(2)由题意知焦点F(0,1),设直线A1B1的方程为y=kx+1,
由整理得x2-4kx-4=0,
则x1x'1=-4.
由数列{xn},{xn'}是公比为的等比数列,得xn=,xn'=,
则an=·=·=,
所以Sn=+++…++,
Sn=+++…++,
两式作差得Sn=++++…+-=-.
可得Sn=-.
(3)证明:由(2)知,点An的坐标为,点Bn的坐标为,
则直线AnBn的斜率为==,
可得直线AnBn的方程为y-=,
令x=0,则y=+×=,故当n∈N*时,直线AnBn过定点.
自测题
解:(1)因为抛物线C:x2=2py的焦点为,所以p=,
则抛物线C:x2=y.
因为点在抛物线C上,
所以=an+1+,
故an+1=+an,
于是a2=+a1=+=,a3=+a2=+=.
(2)①证明:由(1)可知an+1=+an=an(an+1),
则bn===.
累乘得=b1·b2·…·bn=··…·=,
因为a1=,所以=.
②因为an+1=an(an+1),所以==-,
所以bn==-,
累加得=b1+b2+…+bn=++…+=-,
因为a1=,所以=2-,
结合=,得=2-2,即+2=2,
因此+2恒为偶数.限时集训(十三)
1.C　[解析] 对于A,an=2n+1,所以{an}为等差数列,则Sn==n2+2n,显然{Sn}不是有界数列,故A错误;对于B,an=(-2)n,所以{an}为等比数列,则Sn==-+(-2)n,显然{Sn}不是有界数列,故B错误;对于C,an==-,则Sn=1-+-+…+-=1-<1,所以|Sn|≤1恒成立,即{Sn}为有界数列,故C正确;对于D,an=(-1)nn2,则a2m-1+a2m=-(2m-1)2+(2m)2=4m-1,则S2m=3+7+…+4m-1==2m2+m,故当n=2m时,{Sn}不是有界数列,故D错误.故选C.
2.C　[解析] 由已知可得=======-<,可知当n→+∞时,=→,为递增数列,因为 n∈N*, M>0,3.B　[解析] 因为等差数列{an}的公差为,所以cos a2=cos,cos a3=cos,cos a4=cos(a1+2π)=cos a1,cos a5=cos=cos,….因为集合S={cos an|n∈N*},且S={a,b,c},所以a+b+c=cos a1+cos+cos=cos a1-cos a1-sin a1-cos a1+sin a1=0,故选B.
4.C　[解析] x,y∈Z,f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+1,令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+1,可得f(0)=-1;令x=y=-1,得f(-2)=f(-1)+f(-1)+3,可得f(-1)=-1;令x=1,y=-1,得f(0)=f(1)+f(-1)-2+1,可得f(1)=1;令y=1,得f(x+1)=f(x)+f(1)+2x+1=f(x)+2x+2,可得f(x+1)-f(x)=2(x+1).所以当n≥2时f(n)-f(n-1)=2n,f(n-1)-f(n-2)=2(n-1),…,f(2)-f(1)=2×2,所以f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)=2[n+(n-1)+…+2]+1=2×+1=n2+n-1(n≥2),又f(1)=1满足上式,所以f(n)=n2+n-1,所以an===-,则{an}的前n项和为a1+a2+…+an-1+an=++…++=1-=,则{an}的前2025项的和为.故选C.
5.D　[解析] f(x)=x2+nlogn+1x-n2-3n,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(n)=n2+nlogn+1n-n2-3n=n(logn+1n-3)<-2n<0,f(n+1)=(n+1)2+nlogn+1(n+1)-n2-3n=1>0,所以由零点存在定理可得n6.ABD　[解析] 因为{an}是等差数列,且a2=3,a5=9,所以{an}的公差d==2,所以a1=a2-d=1,A正确;因为抛物线C:y2=4x的焦点为F,所以点F的坐标为(1,0),C错误;由抛物线的定义可得|PnF|=an+1,因为{an}是等差数列,所以数列{|PnF|}是等差数列,且|P1F|+|P2F|+…+|P50F|=50×1+×2+50×1=2550,B,D均正确.故选ABD.
7.ACD　[解析] 对于选项A,计算可得S4={2,4,8,16,32},则|S4|=5,故A正确.从m个元素中任取两个元素,一共有=种取法,所以当ai与aj的积互不相同时,|Sm|=,故C正确.若等差数列{an}的通项公式为an=n,则a1a6=6=a2a3,此时|Sm|<,故B错误.因为a1a28.6　[解析] 当n=1时,S1=a1,因为S1∈{2,3,4},所以首项a1只能是2,3或4中的一个.当n=2时,S2=a1+a2,且S2∈{2,3,4},所以a2=S2-a1.若a1=2,则a2可能为0,1,2;若a1=3,则a2可能为-1,0,1;若a1=4,则a2可能为-2,-1,0.综上,a2的可能取值为-2,-1,0,1,2.当n=3时,S3=S2+a3,S3∈{2,3,4},所以a3=S3-S2.因为S2∈{2,3,4},所以a3的可能取值同样为-2,-1,0,1,2.显然当n>3时,an的可能取值仍为-2,-1,0,1,2.构造数列{an},取a1=4,a2=0,a3=-2,a4=0,a5=1,a6=-1,a7=2,a8=-2,a9=0,a10=1,a11=-1,a12=2,…,此时数列{an}包含的不同数字为4,-2,0,1,-1,2,共6个;取a1=3,a2=1,a3=-2,a4=0,a5=1,a6=-1,a7=2,a8=-2,a9=0,a10=1,a11=-1,a12=2,…,此时数列{an}包含的不同数字为3,-2,0,1,-1,2,共6个.其他情况数列{an}包含的不同数字的个数均不超过6.故整数k的最大值为6.
9.　[解析] 当x∈[k-1,k)(k∈N+)时,[x]=k-1.若k=1,则此时[x]=0,故x[x]=0,此时f(x)=0;若k≥2,则此时(k-1)2≤x[x]=2,故S2025=2=2=.
10.解:(1)证明:由an+1-2an=3n,得an+1-3n+1=2(an-3n),
因为bn=an-3n,所以bn+1=2bn,
又b1=a1-31=5-3=2≠0,所以数列{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)知,bn=2×2n-1=2n,
则cn==,
所以Sn=+++…++,Sn=+++…++,
两式作差得Sn=+++…+-=+-=--,则Sn=5-(2n+5).
因为不等式(-1)nλ所以(-1)nλ<5-(2n+5)+对一切n∈N*恒成立,
则(-1)nλ<5对一切n∈N*恒成立.
当n为奇数时,可得-λ<5恒成立,则λ>-;
当n为偶数时,可得λ<5恒成立,则λ<.综上所述,λ的取值范围为.
11.解:(1)证明:∵==y'=,∴y1-y2=(x1-x2),又∵=,∴y1-y2=(x1-x2),
∴-=2(y1-y2),
∴-2y1=-2y2.
(2)(i)证明:设过Pn(xn,yn)的切线方程为y-yn=k*(x-xn),与y=x2联立,
得x2-2k*x+2k*xn-2yn=0,
令Δ=0,得(k*)2-2xnk*+2yn=0,
∴k*==xn±,记=t,则由(1)知=t,
所以k*=xn±t,设kn=xn+t,
则kn-1=xn-t,kn=xn+1-t,
∴xn+1-xn=[kn+t-(kn-t)]=2t,
∴{xn}为等差数列.
(ii)|P2025P2026|=2|P2025A2025|=
2|x2025-|=
2|x2025-k2025|=
2t.
此时x1=1,y1=0,则t==1,d=xn+1-xn=2t=2,∴|P2025P2026|=2=2.
12.解:(1)因为数列{an}的首项a1=1,
当n≥2时,an-an-1=2,
所以数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,所以an=2n-1.
由log2bn=n得bn=2n,因为数列{an}和{bn}的所有项合在一起,按从小到大的顺序依次排列构成新数列{cn},所以数列{cn}为1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,19,…,
所以c2=2,c9=11,c12=16.
(2)由(1)知c2=2,所以-1>c2等价于Tn>3cn+1.
因为cn+1≥2,所以Tn>6,又T3=6,所以n≥4.
当n=4时,T4=10,c5=5,T4<3c5,不符合题意;
当n=5时,T5=15,c6=7,T5<3c6,不符合题意;
当n=6时,T6=22,c7=8,T6<3c7,不符合题意;
当n=7时,T7=30,c8=9,T7>3c8,符合题意.故n的最小值为7.
(3)证明:由(1)知数列{cn}的前100项中无重复的项,所以P==×××…×,
所以P=×××…×<=.
设函数f(x)=ln(1+x)-(x>-1),则f'(x)=-=≥0,
所以f(x)在(-1,+∞)上单调递增,所以当-1故19ln=19ln<19×=-2,
则微点1　数列与函数、导数的交汇问题
例1 [2025·全国一卷] 已知数列{an}中,a1=3,=+.
(1)证明:数列{nan}是等差数列;
(2)给定正整数m,设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amxm,求f'(-2).
自测题
已知数列{an}满足a1=1,a3=6,且对任意的n≥2,n∈N*,都有an+1+an-1=2an+3.
(1)设bn=an+1-an,求数列{bn}的通项公式;
(2)数列cn=[lg bn],[x]表示不超过x的最大整数,求{cn}的前350项和T350.
微点2　数列与不等式的交汇问题
例2 [2023·新课标Ⅱ卷] 已知{an}为等差数列,bn=记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,S4=32,T3=16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)证明:当n>5时,Tn>Sn.
【规律提炼】
数列与不等式的交汇问题,一般利用作差法求解,有时也利用不等式放缩法来求解.其中应用不等式放缩法时,通常结合裂项求和解题.
自测题
[2025·湖南长沙三模] 已知等差数列{an}的第2项为3,其前5项和为25.数列{bn}是公比大于0的等比数列,b1=4,b3+b2=80.
(1)求{an}和{bn}的通项公式.
(2)记cn=b2n+,n∈N*.
(i)证明:{-c2n}是等比数列;
(ii)证明:<2,n∈N*.
微点3　数列与解析几何的交汇问题
例3 [2025·湖南长沙一模] 已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,第一象限内的点A1(x1,y1)和第二象限内的点B1(x'1,y'1)都在抛物线C上,且直线A1B1过焦点F.按照如下方式依次构造点An(n=2,3,…):作抛物线C在点An-1处的切线,与x轴交于点Dn-1,过点Dn-1作x轴的垂线,与抛物线C相交于点An,设点An的坐标为(xn,yn).用同样的方式构造点Bn(n=2,3,…),设点Bn的坐标为(xn',yn').
(1)证明:数列{xn},{x'n}都是等比数列;
(2)记an=·|xnxn'|,求数列{an}的前n项和Sn;
(3)证明:当n∈N*时,直线AnBn过定点.
【规律提炼】
数列与解析几何的交汇问题,一般需要通过动态的直线与曲线之间关系识别数列的项之间的递推关系,难度较大.
自测题
若圆锥曲线上的点列{Pn}经过一系列变换后得到的点列{Qn}在椭圆上,则称{Qn}为“下蛋点列”.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为,数列{an}满足a1=,点在抛物线C上.
(1)求a2,a3.
(2)若bn=,记xn=,yn=.
①证明:=;
②若点列{Tn(xn,yn)}是“下蛋点列”,请判断+2是否恒为偶数,并说明理由.　限时集训(十三)微专题13　数列与其他知识的交汇问题
1.[2025·河南信阳模拟] 对于数列{xn},若存在实数M>0,使得对一切正整数n,|xn|≤M恒成立,则称数列{xn}为有界数列.设数列{an}的前n项和为Sn,则下列选项中,满足数列{Sn}为有界数列的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.an=2n+1 B.an=(-2)n
C.an= D.an=(-1)nn2
2.已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若=, n∈N*, M>0,A. B. C. D.1
3.[2025·深圳模拟] 已知等差数列{an}的公差为,集合S={cos an|n∈N*},若S={a,b,c},则a+b+c= (　 )
A.-1 B.0
C.1 D.
4.函数f(x)满足 x,y∈Z,f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+1,且f(-2)=1.设an=(n∈N*),则{an}的前2025项的和为 (　 )
A. B.
C. D.
5.[2025·湖北宜荆荆恩四校联考] 设xn是函数f(x)=x2+nlogn+1x-n2-3n(n∈N*)的一个零点.记an=,其中[x]表示不超过x的最大整数,设数列{an}的前n项和为Sn,则S1001=(　 )
A.4992 B.499×500
C.5002 D.500×501
6.(多选题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点Pn(n∈N*)在C上,其横坐标为an,若{an}是等差数列,且a2=3,a5=9,则 (　 )
A.a1=1
B.数列{|PnF|)是等差数列
C.点F的坐标为(2,0)
D.|P1F|+|P2F|+…+|P50F|=2550
7.(多选题)[2025·安徽皖江名校联考] 设正整数m≥3(m为常数),递增数列a1,a2,…,am的各项均为正数,设集合Sm={ai·aj|1≤iA.若m=4,a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,则|S4|=5
B.若{an}是等差数列,则|Sm|=
C.当ai与aj的积互不相同时,|Sm|=
D.若|Sm|=2m-3,且m≥6,则必有a1·a4=a2·a3
8.无穷数列{an}由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和,若对任意n∈N*,Sn∈{2,3,4},则整数k的最大值为　　　　.
9.[2025·山东烟台三模] 不超过实数x的最大整数称为x的整数部分,记作[x].函数y=[x]称为取整函数,也称高斯函数.设函数f(x)=[x[x]],x∈[0,n)(n∈N+)的所有函数值的个数为an,比如当n=1时,f(x)=0,所以a1=1.若数列的前n项和为Sn,则S2025=　　　　.
10.[2025·邵阳模拟] 已知数列{an}满足a1=5,an+1-2an=3n(n∈N*),记bn=an-3n.
(1)求证:{bn}是等比数列;
(2)设cn=,数列{cn}的前n项和为Sn,若不等式(-1)nλ11.[2025·浙江稽阳联考] 位于y轴右侧的点P1(x1,y1)满足>2y1,过P1作曲线y=x2的切线,切点为A1(,),且满足x1<,设P2(x2,y2)为P1关于A1的对称点.
(1)证明:-2y1=-2y2.
(2)(i)若过P2的另一条直线与曲线y=x2相切于点A2,设P3为P2关于A2的对称点,如此重复进行下去,若Pn+1为Pn关于切点An的对称点,且Pn(xn,yn),证明:{xn}为等差数列.
(ii)由(i)所设且P1(1,0),求|P2025P2026|的值.
12.[2025·河南驻马店联考] 已知数列{an}的首项a1=1,当n≥2时,an-an-1=2,数列{bn}满足log2bn=n,n∈N*,数列{an}和{bn}的所有项合在一起,按从小到大的顺序依次排列构成新数列{cn}.
(1)求c2,c9,c12的值;
(2)记Tn为数列{cn}的前n项和,求使得-1>c2成立的n的最小值;
(3)从数列{cn}的前100项中每次随机抽取一项,有放回地抽取20次,设这20次抽取的项互不相同的概率为P,证明:P<.
附:不等式>(x1,x2>0,且x1≠x2)的推广式为>(x1,x2,…,xn均大于0,且不全相等).(共53张PPT)
微专题13 数列与其他知识的交汇问题
微点1 数列与函数、导数的交汇问题
微点2 数列与不等式的交汇问题
微点3 数列与解析几何的交汇问题
◆
◆
考法探析·明规律
备用习题
【考情分析】
考查 内容 考题统计 考情分析 必备知识
数列 与函 数、 导数 2025年Ⅰ 卷16 以数列为载体，考查数 列的函数性质 （单调性、最值等）， 数列不等式的恒成立问 题（结合最值分析）等 1.构造函数：将通项关
联为函数，利用导数分
析其单调性.
2.导数证不等式：构造
辅助函数，利用导数证
明目标不等式
考查 内容 考题统计 考情分析 必备知识
数列 与不 等式 2023年Ⅱ 卷18； 2022年Ⅰ 卷17； 2021年Ⅱ 卷17 在压轴题中极有可能涉 及利用导数进行数列不 等式证明的问题，要求 具备较强的分析能力与 综合应用能力 方法与技巧：
1.先求和再裂项.
2.裂项放缩.
3.等比放缩.
4.构造函数放缩
续表
考查 内容 考题统计 考情分析 必备知识
数列 与解 析几 何 2024年Ⅱ 卷19 以数列为主背景，融合 圆锥曲线、概率、新定 义等知识点，运用数学 运算、逻辑推理与数形 结合等素养和思想方法 1.模型化：将问题转化
为已知数列类型（可能隐含等差或等比关系）.
2.特例探路：计算前几
项寻找规律或周期性.
续表
考查 内容 考题统计 考情分析 必备知识
数列 与新 定 义、 概率 2024年Ⅰ 卷19 选择较好的视角进行分 析，将问题转化为等 差、等比或递推数列模 型求解 3.递推建立：根据定义
建立递推关系
续表
微点1 数列与函数、导数的交汇问题
例1 [2025· 全国一卷] 已知数列中， ，
.
（1）证明：数列 是等差数列；
证明：因为，所以 ，
即 ，
由等差数列的定义可得，数列 为等差数列.
例1 [2025· 全国一卷] 已知数列中， ，
.
（2）给定正整数，设函数 ，求
.
解：令，可得 ，
即是以 为首项，1为公差的等差数列，所以
.
因为 ，所以
,
将与 代入上式，
可得 .
令 ,
则 ，
所以,所以 .
自测题
已知数列满足,，且对任意的, ，都有
.
（1）设，求数列 的通项公式；
解：由 可得 ，
因为，所以，则 是以3为公
差的等差数列.
由,，得， ，
所以，解得，故 ，
所以 .
已知数列满足,，且对任意的, ，都有
.
（2）数列,表示不超过的最大整数，求 的前350
项和 .
解：由（1）可得,, ，
又，所以当时， 所
以 .
微点2 数列与不等式的交汇问题
例2 [2023· 新课标Ⅱ卷] 已知 为等差数列，
记，分别为数列，的前 项和，
， .
（1）求 的通项公式；
解：设数列的公差为 ，
， ，
又，即，， ，
.
例2 [2023· 新课标Ⅱ卷] 已知 为等差数列，
记，分别为数列，的前 项和，
， .
（2）证明：当时， .
证明：由（1）可得 .
当 为偶数时，
，
当 时，
，
即 ；
当 为奇数时，
，
当 时，
，
即 .
综上，当时， .
【规律提炼】
数列与不等式的交汇问题，一般利用作差法求解，有时也利用不等
式放缩法来求解.其中应用不等式放缩法时，通常结合裂项求和解题.
自测题
[2025·湖南长沙三模] 已知等差数列的第2项为3，其前5项和为
25.数列是公比大于0的等比数列，，.
（1）求和 的通项公式.
解：因为等差数列 的第2项为3，其前5项和为25，所以
，，可得 ，则的公差
，所以 .
设等比数列的公比为，因为， ，所
以 ，解得或（舍去），故 .
[2025·湖南长沙三模] 已知等差数列的第2项为3，其前5项和为
25.数列是公比大于0的等比数列，，.
（2）记， .
（i）证明： 是等比数列；
证明：由题意得 ，
所以 ，所以，
且，所以数列 是以4为公比的等比数列.
[2025·湖南长沙三模] 已知等差数列的第2项为3，其前5项和为
25.数列是公比大于0的等比数列，，.
（2）记， .
（ii）证明：， .
证明： 由题意知， ，
所以 ，
所以 .
设 ，则
，
两式相减得
，所以
，
所以 .
微点3 数列与解析几何的交汇问题
例3 [2025·湖南长沙一模] 已知抛物线的焦点为 ，第一
象限内的点和第二象限内的点都在抛物线 上，
且直线过焦点.按照如下方式依次构造点 作抛
物线在点处的切线，与轴交于点，过点作 轴的垂
线，与抛物线相交于点，设点的坐标为 .用同样的方式
构造点，设点的坐标为( .
（1）证明：数列， 都是等比数列；
证明：抛物线的方程可化为，求导可得 ，
将点的坐标代入抛物线的方程，得 ，
则抛物线在点处的切线方程为 ，
将 代入上式得
，
整理得 ，
令，可得，则 ，
故数列是公比为 的等比数列.
同理，数列也是公比为 的等比数列.
例3 [2025·湖南长沙一模] 已知抛物线的焦点为 ，第一
象限内的点和第二象限内的点都在抛物线 上，
且直线过焦点.按照如下方式依次构造点 作抛
物线在点处的切线，与轴交于点，过点作 轴的垂
线，与抛物线相交于点，设点的坐标为 .用同样的方式
构造点，设点的坐标为(.
（2）记，求数列的前项和 ；
解：由题意知焦点，设直线的方程为 ，
由整理得 ，
则 .
由数列，是公比为的等比数列，得， ，
则 ，
所以 ，
，
两式作差得 .
可得 .
例3 [2025·湖南长沙一模] 已知抛物线的焦点为 ，第一
象限内的点和第二象限内的点都在抛物线 上，
且直线过焦点.按照如下方式依次构造点 作抛
物线在点处的切线，与轴交于点，过点作 轴的垂
线，与抛物线相交于点，设点的坐标为 .用同样的方式
构造点，设点的坐标为 .
（3）证明：当时，直线 过定点.
证明：由（2）知，点的坐标为，点 的坐标为
，
则直线的斜率为 ，
可得直线的方程为 ，
令，则，故当 时，直线
过定点 .
【规律提炼】
数列与解析几何的交汇问题，一般需要通过动态的直线与曲线之间
关系识别数列的项之间的递推关系，难度较大.
自测题
若圆锥曲线上的点列经过一系列变换后得到的点列 在椭圆上，
则称为“下蛋点列”.已知抛物线的焦点为 ，
数列满足，点在抛物线 上.
（1）求， .
解：因为抛物线的焦点为，所以 ，
则抛物线 .
因为点在抛物线 上，所以 ，
故 ，
于是， .
若圆锥曲线上的点列经过一系列变换后得到的点列 在椭圆上，
则称为“下蛋点列”.已知抛物线的焦点为 ，
数列满足，点在抛物线 上.
（2）若，记， .
①证明： ；
证明：由（1）可知 ，
则 .
累乘得 ，
因为，所以 .
若圆锥曲线上的点列经过一系列变换后得到的点列 在椭圆上，
则称为“下蛋点列”.已知抛物线的焦点为 ，
数列满足，点在抛物线 上.
（2）若，记， .
②若点列是“下蛋点列”，请判断 是否恒为偶数，
并说明理由.
解： 因为，所以 ，
所以 ，
累加得 ，
因为，所以 ，
结合，得，即 ，
因此 恒为偶数.
［备选理由］例1的核心是三角恒等变换，利用二倍角公式和整体思
想求解.例2是典型的数列综合题，融合了等差等比数列、分组求和、
数论函数（除数函数）和不等式证明，难点在于第（3）问的新定义
与应用放缩法证明，对学生的知识迁移能力要求较高.例3以抛物线轨
迹问题为背景，结合点列对称性和数列求和，将解析几何与数列裂
项相消法结合，最后还涉及向量法求面积.例4是双曲线与直线位置关
系的综合题，难点是得到数列的递推关系.
例1 ［配例1使用］[2025·山西临汾模拟]已知， ，
，设，记，则
( )
A.624 B.625 C.626 D.627
[解析] 由题意可得，，则 ，
整理可得 ，即
，所以 .故选C.
√
例2 ［配例2使用］[2025·天津北辰区三模] 已知等差数列的前
项和为，，公差为整数且满足 .各项均为正
数的等比数列满足, .
（1）求数列, 的通项公式；
解：由题意知，解得 ，
因为公差为整数，所以，又，所以 .
因为各项均为正数的等比数列满足, ，
所以，解得（负值舍去），故 .
例2 ［配例2使用］[2025·天津北辰区三模] 已知等差数列的前
项和为，，公差为整数且满足 .各项均为正
数的等比数列满足, .
（2）设其中，求数列
的前项和 ；
解：由（1）得 ,所以
当时， ，
令 ，则
.
当时，
，
令 ，则
.
综上， .
例2 ［配例2使用］[2025·天津北辰区三模] 已知等差数列的前
项和为，，公差为整数且满足 .各项均为正
数的等比数列满足, .
（3）定义为除数函数，即它的函数值等于 的正因数的个
数，例如：, ，记
，求证：
.
证明：因为除数函数的函数值等于 的正因数的个数，
所以,,, ，
所以 ，
可得， ，
当 时，
，
另一方面 .
综上， .
例3 ［配例3使用］[2025·江西赣州二模] 已知点到点 的距
离比到轴的距离大1，点的轨迹为.点在 上，
过作斜率为的直线，交于另一点，设与关于 轴对称，
过作斜率为的直线交于另一点，设与关于 轴对称……
以此类推，设 .
（1）求 的方程；
解：当在轴左侧时，在轴的负半轴上， 的方程为 ；
当在轴上或轴右侧时，的轨迹是以为焦点， 为准线
的抛物线，方程为 .
综上，的方程为或 .
例3 ［配例3使用］[2025·江西赣州二模] 已知点到点 的距
离比到轴的距离大1，点的轨迹为.点在 上，
过作斜率为的直线，交于另一点，设与关于 轴对称，
过作斜率为的直线交于另一点，设与关于 轴对称……
以此类推，设 .
（2）设数列的前项和为，证明： ；
证明：因为在上，所以，可得 ，
由,可知 ，则
，
所以，故数列 是首项为2，公差为4的等差数列，
所以，则 ，
，
所以 ，
显然随着的增大而增大且恒小于，又 ，所
以 .
例3 ［配例3使用］[2025·江西赣州二模] 已知点到点 的距
离比到轴的距离大1，点的轨迹为.点在 上，
过作斜率为的直线，交于另一点，设与关于 轴对称，
过作斜率为的直线交于另一点，设与关于 轴对称……
以此类推，设 .
（3）求 的面积.
解：由（2）得, ,
，
所以, ，
所以
.
例4 ［配例3使用］[2025·重庆涪陵区二模] 已知双曲线
过点 ，其渐近线的方程为
.按照如下方式依次构造点过右支上点
作斜率为1的直线，与的左支交于点，过 再作
斜率为的直线，与的右支交于点 .
（1）求双曲线 的方程；
解：由题可得解得
所以双曲线的方程为 .
例4 ［配例3使用］[2025·重庆涪陵区二模] 已知双曲线
过点 ，其渐近线的方程为
.按照如下方式依次构造点过右支上点
作斜率为1的直线，与的左支交于点，过 再作
斜率为的直线，与的右支交于点 .
（2）用，表示点的坐标 ；
解：过且斜率为的直线方程是 ，
由得 ，
其两根是， ，
由根与系数的关系可得
，
所以，，即点 的坐标为
.
例4 ［配例3使用］[2025·重庆涪陵区二模] 已知双曲线
过点 ，其渐近线的方程为
.按照如下方式依次构造点过右支上点
作斜率为1的直线，与的左支交于点，过 再作
斜率为的直线，与的右支交于点 .
（3）求证：数列 是等比数列.
证明：设， ，
则 ，
解得或 （舍去），
所以 ，
，
所以 ，
所以 是公比为9的等比数列.

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