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高考真题
1-1　A　[解析] ∵直线是圆的一条对称轴,∴圆心(a,0)在直线2x+y-1=0上,即2a+0-1=0,解得a=.
1-2　A　[解析] 设M(x,y),则P'(x,0),P(x,2y),因为P在曲线C:x2+y2=16(y>0)上,所以x2+(2y)2=16(y>0),整理得点M的轨迹方程为+=1(y>0).故选A.
1-3　C　[解析] 因为曲线C:x2+y2=1+|x|y,令x=0得y=±1;令y=0得x=±1.在第一象限中,令x=1得y=1,根据图像的对称性,则在第二象限中,令x=-1得y=1,所以曲线恰好经过6个整点A(1,0),B(1,1),C(0,1),D(-1,1),E(-1,0),F(0,-1),故①正确.由图可知,曲线C上到原点距离最大的点在第一、二象限,由图像的对称性知,只需考虑曲线C在第一象限的点到原点距离的最大值,当x>0,y>0时,1+|x|y=1+xy=x2+y2≥2xy(当且仅当x=y时取等号),∴xy≤1,∴x2+y2=1+xy≤2,∴≤,故②正确.连接AB,BC,CD,DE,EF,AF(如图所示),则四边形OABC是正方形,且面积为1,△OEF的面积为,根据图像的对称性可得五边形ABDEF的面积为2×=3,所以“心形”区域的面积大于3,故③错误.综上,所有正确结论的序号为①②,故选C.
拓展延伸
1.　[解析] 由椭圆的第三定义,得kPAkPB=-,设∠PAB=θ,θ∈,则∠PBA=2θ,所以tan θtan(π-2θ)=-,即tan θtan 2θ=,所以=,可得tan2θ=.在△PAB中,由正弦定理得=,所以λ===2cos θ=2=
2=2=
2=.
2.ABD　[解析] 对于A,设P(x,y),则+|y-3|=4,可得曲线C的方程为x2+(y-1)2=(4-|y-3|)2,故A正确;对于B,将x2+(y-1)2=(4-|y-3|)2整理得x2=4y(y≤3)或x2=-12(y-4)(y>3),所以曲线C如图所示,由图可知曲线C关于y轴对称,故B正确;对于C,当y>3时,由4->3,得-23.-　[解析] 设P(x,y),x>0,则=(x+a,y),=(x-a,y).由PA⊥PB,得·=0,所以(x+a)(x-a)+y2=0,即x2+y2=a2.由(x2+y2)2+=x==≤=(x2+y2),即(x2+y2)2-(x2+y2)+≤0,解得≤x2+y2≤,所以≤a2≤,所以a≤.当2x2=x2+3y2,即x2=3y2时,x2=,y2=,所以amax=,所以log2a的最大值为-.
高考真题
2-1　ABD　[解析] 对于A,∵点A在圆C上,∴a2+b2=r2,∴圆心C(0,0)到直线l的距离d==r,直线l与圆C相切,A正确;对于B,∵点A在圆C内,∴a2+b2r,∴直线l与圆C相离,B正确;对于C,∵点A在圆C外,∴a2+b2>r2,∴圆心C(0,0)到直线l的距离d=拓展延伸
4.A　[解析] 由圆C的标准方程为(x+2)2+(y+2)2=1,可得圆心为C(-2,-2),半径r=1. 连接PC,CQ,则CQ⊥PQ,在Rt△PCQ中,根据勾股定理可得|PQ|2=|PC|2-|CQ|2,又|CQ|=r=1,所以|PQ|2=|PC|2-1. 因为点P(m,3),所以根据两点间的距离公式,可得|PC|==.因为(m+2)2≥0,当且仅当m=-2时,(m+2)2=0,此时|PC|取得最小值,所以|PC|min==5,所以|PQ=52-1=24,则|PQ|min==2,即 |PQ|的最小值为2,故选A.
高考真题
2-2　B　[解析] 由题意知|BF1|=|AB|=|AF2|+|F2B|=2|F2B|+|F2B|=3|F2B|,又由椭圆定义得|BF1|+|BF2|=2a,所以|BF2|=,|BF1|=a,|AF2|=|AF1|=a,而|F1F2|=2c=2,则在△AF1F2中,由余弦定理得cos∠F1AF2=①,在△ABF1中,由余弦定理得cos∠F1AB=②,解①②得a2=3,所以b2=3-1=2,所以椭圆C的方程为+=1.
2-3　ABD　[解析] 点A(0,4)到准线l:x=-1的距离为1,圆A的半径为1,故l与☉A相切,选项A正确.当P,A,B三点共线时,A(0,4),P(4,4),|PA|=4,则|PQ|==,选项B正确.当|PB|=2时,xP=1,得yP=±2,当点P的坐标为(1,2)时,B(-1,2),|AB|=|AP|=,不满足PA⊥AB;当点P的坐标为(1,-2)时,B(-1,-2),|AB|=|AP|=,不满足PA⊥AB,选项C不正确.设抛物线的焦点为F,则F(1,0),连接PF,AF,由抛物线的定义可得|PB|=|PF|,则满足|PA|=|PB|=|PF|的点P在线段AF的垂直平分线上,易知线段AF的垂直平分线的方程为y=x+,由得y2-16y+30=0,因为Δ=(-16)2-4×30=136>0,所以满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个,选项D正确.故选ABD.
拓展延伸
5.D　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为P(x0,y0),则x0=,y0=.将点A,B的坐标代入双曲线方程得-=1,-=1,两式相减得·=9,则kAB=9·(*).当A,B在双曲线的同一支上时,易知|x0|>1,无满足要求的选项.当A,B在双曲线的不同支上时,可知|kAB|<3,结合(*)式可得>3,所以只有选项D符合条件.故选D.
6.13　[解析] 不妨设F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,E在第一象限,如图,连接AF1,DF2,EF2.因为椭圆的离心率e==,所以a=2c,则b=c,所以|AF1|=|AF2|=a=2c=|F1F2|,可知△AF1F2为等边三角形,所以直线DE为AF2的中垂线,则△ADE的周长等于△F2DE的周长,由椭圆的定义知△F2DE的周长为4a.易知直线DE的方程为y=(x+c),由消去y,整理得13x2+8cx-32c2=0,设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,由|DE|=
=6,可得c=,所以4a=8c=13.教材回归
必记知识清单
两条直线 的平行和 垂直 已知l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2. ①l1∥l2 　②l1⊥l2 k1k2=-1
中点坐标 公式与定 比分点 公式 1.中点坐标公式: 设P是线段P1P2的中点,点P1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),则P点坐标为. 2.定比分点公式: 设P是线段P1P2上的点,点P1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),若=λ,则P点坐标为
圆的方程 (1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心为(a,b),半径为r. (2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). ①当D2+E2-4F>0时,方程表示圆; ②当D2+E2-4F=0时,方程表示点; ③当D2+E2-4F<0时,方程无几何意义
点与圆的 位置关系 点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系有三种:设d=,则 d>r 点P在圆外;d=r 点P在圆上;d距离公式 ①两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离dAB=; ②点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=; ③两平行线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0间的距离d=
直线与圆 的位置关系 直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系有三种:设d=,则 ①相离 d>r Δ<0; ②相切 d=r Δ=0;(求切线长,求切线方程) ③相交 d0.(求弦长,求弦所在直线的方程)
圆与圆的 位置关系 圆(x-a)2+(y-b)2=(r1>0)与圆(x-c)2+(y-d)2=(r2>0)的位置关系有五种:设d=,则 ①外离 d>r1+r2;(有4条公切线)(求公切线方程) ②外切 d=r1+r2;(有3条公切线)(求公切线方程) ③相交 |r2-r1|直线系、 圆系方程 ①过直线m:A1x+B1y+C1=0与n:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0; ②过直线m:Ax+By+C=0与圆O:x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为 Ax+By+C+λ(x2+y2+Dx+Ey+F)=0(A,B不同时为0); ③过圆O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0
参数方程 (1)直线l的参数方程为(t为参数),其中直线过点(x0,y0). (2)圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的参数方程为(θ为参数). (3)椭圆+=1(a>b>0)的参数方程为(φ为参数), 其中φ是动点M(x,y)所对应的圆的半径的旋转角. (4)双曲线-=1(a,b>0)的参数方程为,其中φ是动点M(x,y)所对应的圆的半径的旋转角
椭圆、 双曲线、 抛物线的 定义 (1)椭圆的标准方程 已知P为动点,F1,F2为定点,|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c. ①若|PF1|+|PF2|>|F1F2|,即2a>2c,则动点P的轨迹为椭圆; ②若|PF1|+|PF2|=|F1F2|,即2a=2c,则动点P的轨迹为线段F1F2; ③若|PF1|+|PF2|<|F1F2|,即2a<2c,则动点P没有轨迹,动点P没有轨迹方程. (2)双曲线的标准方程 已知P为动点,F1,F2为定点,||PF1|-|PF2||=2a,|F1F2|=2c. ①若||PF1|-|PF2||<|F1F2|,即2a<2c,则动点P的轨迹为双曲线, 若|PF1|-|PF2|<|F1F2|,则动点P的轨迹为双曲线的一支; ②若||PF1|-|PF2||=|F1F2|,即2a=2c,则动点P的轨迹为两条射线; ③若||PF1|-|PF2||<|F1F2|,即2a<2c,则动点P没有轨迹,动点P没有轨迹方程; ④若||PF1|-|PF2||=0,即2a=0,则动点P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线. (3)抛物线的几何意义:抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离
椭圆、 双曲线、 抛物线的 离心率 离心率e=. ①椭圆:e∈(0,1),e越大椭圆越扁,e越小椭圆越圆; ②抛物线:e=1; ③双曲线:e>1,e越大双曲线开口越大,e越小双曲线开口越小
椭圆、 双曲线、 抛物线的 第二定义 与焦半径 平面内到一个定点F与到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹.当01时,它是双曲线;当e=1时,它是抛物线.(其中e是圆锥曲线的离心率,定点F是圆锥曲线的焦点,定直线是圆锥曲线的准线) ①椭圆的焦半径:椭圆的焦点F1,F2在x轴上时(不妨设F1为左焦点,F2为右焦点),设P(x0,y0)为椭圆上一点,则|PF1|,|PF2|为椭圆的焦半径,|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,且|PF1|∈[a-c,a+c],|PF2|∈[a-c,a+c]. ②双曲线的焦半径:双曲线的焦点F1,F2在x轴上时(不妨设F1为左焦点,F2为右焦点),设P(x0,y0)为双曲线上一点,则|PF1|,|PF2|为双曲线的焦半径,|PF1|=|ex0+a|,|PF2|=|ex0-a|且|PF1|∈[c-a,+∞),|PF2|∈[c-a,+∞). ③抛物线的焦半径: 设抛物线方程为y2=2px(p>0),P(x0,y0)为抛物线上一点,F为抛物线的焦点, 则|PF|为抛物线的焦半径,且|PF|∈,|PF|=x0+, 即抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离
圆锥曲线的 第三定义 平面内的动点到两定点A1(-a,0),A2(a,0)的斜率乘积等于常数e2-1的点的轨迹叫作椭圆或双曲线, 其中两个定点为椭圆或双曲线的两个顶点.如果常数e2-1>0,那么轨迹为双曲线, 如果e2-1∈(-1,0),那么轨迹为椭圆. 反之,若椭圆的方程为+=1(a>b>0),过原点的直线交椭圆于A,B两点,P是椭圆上异于A,B的任一点,则有kPA·kPB=-. 若双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),过原点的直线交双曲线于A,B两点,P是双曲线上异于A,B的任一点,则有kPA·kPB=
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本源一　坐标法与曲线方程
【教材来源】
【高考真题】
1-1　[2022·北京卷] 若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.-
C.1 D.-1
1-2　[2024·新课标Ⅱ卷] 已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为 (　 )
A.+=1(y>0)
B.+=1(y>0)
C.+=1(y>0)
D.+=1(y>0)
1-3　[2019·北京卷] 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图).给出下列三个结论:
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过;
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中,所有正确结论的序号是 (　 )
A.① B.②
C.①② D.①②③
【拓展延伸】
1.已知A,B分别为椭圆+y2=1的左、右顶点,P是椭圆在第一象限内的点,满足|PA|=λ|PB|,且∠PBA=2∠PAB,则λ的值为　　　　.
2.(多选题)已知动点P到定点F(0,1)的距离与到定直线l:y=3的距离之和为4,记动点P的轨迹为曲线C,则下列结论正确的是 (　 )
A.曲线C的方程为x2+(y-1)2=(4-|y-3|)2
B.曲线C关于y轴对称
C.若点(x0,y0)在曲线C上,则-2D.曲线C上的点到直线x-y-15=0的距离的最大值为12
3.已知A(-a,0),B(a,0),a>0,曲线C的方程为(x2+y2)2+=x.若C上存在点P,使得PA⊥PB,则log2a的最大值为　　　　.
本源二　平面几何与解析几何
【教材来源】
题组一　点线位置
【高考真题】
2-1　(多选题)[2021·新高考全国Ⅱ卷] 已知直线l:ax+by-r2=0(r>0)与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是 (　 )
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
【拓展延伸】
4.过点P(m,3)作圆C:(x+2)2+(y+2)2=1的一条切线,切点为Q,则|PQ|的最小值为 (　 )
A.2 B.5
C. D.4+
题组二　 线段、角度、三角状态
【高考真题】
2-2　[2019·全国卷Ⅰ] 已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为 (　　)
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
2-3　(多选题)[2024·新课标Ⅱ卷] 抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点,过P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线, Q为切点,过P作l的垂线,垂足为B,则 (　 )
A.l与☉A相切
B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=
C.当|PB|=2时,PA⊥AB
D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
【拓展延伸】
5.[2023·全国乙卷] 设A,B为双曲线x2-=1上的两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是 (　 )
A.(1,1) B.(-1,2)
C.(1,3) D.(-1,-4)
6.[2022·新高考全国Ⅰ卷] 已知椭圆C:+=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是　　　　. (共52张PPT)
教材回归
本源一 坐标法与曲线方程
本源二 平面几何与解析几何
◆
◆
必记知识清单
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两条直 线的平 行和垂 直 已知， .
中点坐 标公式 与定比 分点公式 1.中点坐标公式：
设是线段的中点，点,的坐标分别是 ,
,则点坐标为 .
2.定比分点公式：
设是线段上的点，点,的坐标分别是 ,
,若,则点坐标为
续表
圆的方程 （1）圆的标准方程： ，
圆心为，半径为 .
（2）圆的一般方程：
.
①当 时，方程表示圆；
②当时，方程表示点 ；
③当 时，方程无几何意义
续表
点与圆 的位置 关系 点与圆 的位置关
系有三种：设 ，
则 点在圆外； 点在圆上；
点 在圆内
续表
距离公式 ①两点， 间的距离
；
②点到直线 的距离
；
③两平行线， 间
的距离
续表
直线与 圆的位 置关系 直线与圆
的位置关系有三种:设 ，则
①相离 ;
②相切 ;（求切线长，求切线方程）
③相交 .（求弦长，求弦所在直线的方
程）
续表
圆与圆 的位置 关系 圆 与圆
的位置关系有五种：设
，则
①外离 ；（有4条公切线）（求公切线方
程）
②外切 ；（有3条公切线）（求公切线方
程）
续表
圆与圆 的位置 关系 ③相交 ;（有2条公切线）
④内切 ；（有1条公切线）（求公切线方
程）
⑤内含 .（没有公切线）
续表
直线 系、圆 系方程 ①过直线与
交点的直线系方程为 ；
②过直线 与圆 交点的圆系方程为（， 不同时为0）；
③过圆 与圆
交点的圆系方程为
续表
参数方程 （1）直线的参数方程为（ 为参数），
其中直线过点 .
________________________________________________________
续表
参数方程 （2）圆 的参数方程为
（ 为参数）.
（3）椭圆 的参数方程为
（ 为参数），
其中 是动点 所对应的圆的半径的旋转角.
续表
参数方程 （4）双曲线 的参数方程为
，其
中 是动点 所对应的圆的半径的旋转角
续表
椭圆、 双曲 线、抛 物线的 定义 （1）椭圆的标准方程
已知为动点，，为定点， ， .
①若，即，则动点 的轨迹为椭圆;
②若，即，则动点 的轨迹
为线段 ；
③若，即，则动点 没有轨
迹，动点 没有轨迹方程.
续表
椭圆、 双曲 线、抛 物线的 定义 （2）双曲线的标准方程
已知为动点，，为定点， , .
①若，即，则动点 的轨
迹为双曲线，
若，则动点 的轨迹为双曲线的一支；
②若，即，则动点 的轨
迹为两条射线；
续表
椭圆、 双曲 线、抛 物线的 定义 ③若，即，则动点 没有
轨迹，动点 没有轨迹方程；
④若，即，则动点 的轨迹为线
段 的垂直平分线.
（3）抛物线的几何意义：抛物线上的点到焦点的距离等
于它到准线的距离
续表
椭圆、 双曲 线、抛 物线的 离心率 离心率 .
①椭圆：，越大椭圆越扁， 越小椭圆越圆；
②抛物线： ；
③双曲线：，越大双曲线开口越大， 越小双曲线
开口越小
续表
椭圆、 双曲 线、抛 物线的 第二定 义与焦 半径 平面内到一个定点与到一条定直线（不在 上）的距离的比等于常数的点的轨迹.当 时，它是椭圆；
当时，它是双曲线；当 时，它是抛物线．
（其中是圆锥曲线的离心率，定点 是圆锥曲线的焦点，
定直线是圆锥曲线的准线）
①椭圆的焦半径：椭圆的焦点，在 轴上时
(不妨设为左焦点，为右焦点),设 为椭圆上一点，
则, 为椭圆的焦半径,， ,且， .
续表
椭圆、 双曲 线、抛 物线的 第二定 义与焦 半径 ②双曲线的焦半径：双曲线的焦点，在 轴上时
（不妨设为左焦点，为右焦点），设 为双曲
线上一点，则， 为双曲线的焦半径，
， 且
， .
续表
椭圆、 双曲 线、抛 物线的 第二定 义与焦 半径 ③抛物线的焦半径：
设抛物线方程为， 为抛物线上一
点， 为抛物线的焦点，
则为抛物线的焦半径，且 ，
，
即抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离
续表
圆锥曲 线的第 三定义 平面内的动点到两定点， 的斜率乘积等于常数 的点的轨迹叫作椭圆或双曲线,
其中两个定点为椭圆或双曲线的两个顶点.如果常数 ,那么轨迹为双曲线，如果 ，那么轨迹为椭圆.
反之,若椭圆的方程为 ,过原点的直线交椭圆于,两点,是椭圆上异于, 的任一点,则有 .
续表
圆锥曲 线的第 三定义 若双曲线的方程为 ，过原点的直
线交双曲线于,两点，是双曲线上异于, 的任一点，
则有
续表
本源一 坐标法与曲线方程
【教材来源】
【高考真题】
1-1.[2022·北京卷]若直线是圆 的一
条对称轴，则 ( )
A. B. C.1 D.
[解析] 直线是圆的一条对称轴，
圆心 在直线上，即，解得 .
√
1-2.[2024·新课标Ⅱ卷]已知曲线，从 上任意
一点向轴作垂线，为垂足，则线段的中点 的轨迹方程
为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设,则,,
因为 在曲线上，
所以 ,
整理得点的轨迹方程为 .故选A.
√
1-3.[2019·北京卷]数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线
就是其中之一（如图）.给出下列三个结论:
①曲线 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数
的点）；
②曲线上任意一点到原点的距离都不超过 ;
③曲线 所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是( )
A.① B.② C.①② D.①②③
√
[解析] 因为曲线 ，
令得；令得 .
在第一象限中，令得 ，
根据图象的对称性，则在第二象限中，
令得 ，
所以曲线恰好经过6个整点,,, ,
,，故①正确.
由图可知，
曲线 上到原点距离最大的点在第一、二象限，
由图象的对称性知，
只需考虑曲线 在第一象限的点到原点距离的最大值，
当, 时，
（当且仅当 时取等号），， ,
,故②正确.
连接,,, ,,（如图所示），
则四边形 是正方形，且面积为1，
的面积为 ，
根据图象的对称性可得五边形的面积为 ，
所以“心形”区域的面积大于3，故③错误.
综上，所有正确结论的序号为①②，故选C.
【拓展延伸】
1.已知，分别为椭圆的左、右顶点， 是椭圆在第一象
限内的点，满足，且，则 的值为_ ___.
[解析] 由椭圆的第三定义，得，
设 ，，则 ，所以 ，
即，所以,可得.
在 中，由正弦定理得 ，
所以
.
2.（多选题）已知动点到定点的距离与到定直线 的距
离之和为4，记动点的轨迹为曲线 ，则下列结论正确的是
( )
A.曲线的方程为
B.曲线关于 轴对称
C.若点在曲线上，则
D.曲线上的点到直线 的距离的最大值为12
√
√
√
[解析] 对于A，设 ，则，
可得曲线 的方程为 ，故A正确；
整理得 或
，所以曲线如图所示，
由图可知曲线 关于轴对称，故B正确；
对于C，当 时，由，得，
当 时，由，得 ，
所以若点在曲线上，则 ，故C错误；
对于D,因为函数 的图象过点,且 ,所以，
所以函数 的图象在点 处的切线方程为，
即 ，所以该切线与直线 平行，
所以曲线上的点 到直线 的距离最大，
为，故D正确．故选 .
3.已知，,,曲线 的方程为
.若上存在点，使得 ，则
的最大值为____.
[解析] 设,,则, .
由,得,所以 ,即.
由
,
即，解得 ,
所以,所以.
当,即时, ,，
所以,所以的最大值为 .
本源二 平面几何与解析几何
【教材来源】
题组一 点线位置
【高考真题】
2-1.（多选题）[2021·新高考全国Ⅱ卷]已知直线
与圆,点 ,则下列说法
正确的是( )
A.若点在圆上,则直线与圆 相切
B.若点在圆内，则直线与圆 相离
C.若点在圆外，则直线与圆 相离
D.若点在直线上，则直线与圆 相切
√
√
√
[解析] 对于A, 点在圆上，,
圆心到直线 的距离,直线与圆相切,A正确；
对于B， 点 在圆内，,
圆心到直线 的距离, 直线与圆相离,B正确；
对于C， 点在圆 外，,
圆心到直线的距离， 直线与圆相交,C错误；
对于D， 点在直线上， ,
圆心到直线的距离， 直线与圆 相切,D正确.
故选 .
【拓展延伸】
4.过点作圆的一条切线，切点为 ，
则 的最小值为( )
A. B.5 C. D.
√
[解析] 由圆的标准方程为 ，
可得圆心为，半径.
连接，，则，
在 中，根据勾股定理可得，
又 ，所以.
因为点 ，所以根据两点间的距离公式，
可得 .
因为，当且仅当时，，
此时 取得最小值,所以,所以 ，
则，即的最小值为 ，故选A.
题组二 线段、角度、三角状态
【高考真题】
2-2.[2019·全国卷Ⅰ]已知椭圆的焦点为，，过 的直
线与交于，两点.若,,则 的方程为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意知 ，
又由椭圆定义得，
所以， ，,
而，
则在 中，由余弦定理得，
在 中，由余弦定理得，
解①②得 ，所以，所以椭圆的方程为 .
2-3.（多选题）[2024·新课标Ⅱ卷]抛物线的准线为，为
上动点，过作的一条切线，为切点，过
作的垂线，垂足为 ，则( )
A.与 相切
B.当，，三点共线时，
C.当时，
D.满足的点 有且仅有2个
√
√
√
[解析] 点到准线的距离为1,圆的半径为1，
故 与相切，选项A正确.
当,,三点共线时,, ,,
则,选项B正确.
当 时，,得,
当点的坐标为时， , ，不满足；
当点的坐标为 时，,,不满足 ，
选项C不正确.
设抛物线的焦点为，则，连接， ,
由抛物线的定义可得，
则满足的点在线段 的垂直平分线上，
易知线段的垂直平分线的方程为 ,
由得 ,
因为,
所以满足的点 有且仅有2个，选项D正确.故选 .
【拓展延伸】
5.[2023·全国乙卷]设，为双曲线 上的两点，下列四个
点中，可为线段 中点的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设,，线段的中点为 ，
则,.
将点,的坐标代入双曲线方程得 ,
，两式相减得，则.
当, 在双曲线的同一支上时,易知,无满足要求的选项.
当, 在双曲线的不同支上时,可知,结合式可得 ，
所以只有选项D符合条件.故选D.
6.[2022·新高考全国Ⅰ卷] 已知椭圆, 的上
顶点为，两个焦点为,,离心率为.过且垂直于的直线与
交于，两点，，则 的周长是____.
13
[解析] 不妨设,分别为椭圆的左、右焦点， 在第一象限，如图，
连接,, .
因为椭圆的离心率,所以,则 ,
所以,
可知 为等边三角形，所以直线为的中垂线，
则 的周长等于 的周长，由椭圆的定义知的周长为.
易知直线 的方程为,
由消去 ,整理得,
设, ，则, ,
由,可得 ，
所以 .

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