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模块五　解析几何
微专题18　直线与圆
【考法探析·明规律】
例1　(1)(x-1)2+(y+1)2=5　(2)A
[解析] (1)方法一:∵点M在直线2x+y-1=0上,∴可设点M为(a,1-2a),又点(3,0)和(0,1)均在☉M上,∴点M到点(3,0),(0,1)的距离相等,∴=,即a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2,解得a=1,∴M(1,-1),☉M的半径R==,∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
方法二:由题可知,M是以(3,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线3x-y-4=0与直线2x+y-1=0的交点,由得所以M(1,-1),所以圆M的半径R==,故圆M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
(2)设圆心为C(a,b),则☉C:(x-a)2+(y-b)2=1.因为圆C过点(3,4),所以(3-a)2+(4-b)2=1,所以圆心C的轨迹是以A(3,4)为圆心,1为半径的圆,所以圆心C到原点O的距离的最小值为|AO|-1=5-1=4.故选A.
自测题
2　[解析] 方法一:等边三角形ABC的顶点A,B在圆O:x2+y2=1上,如图所示,根据圆与等边三角形的对称性知,当|OC|取最大值时,线段OC过AB的中点M,设|AB|=x,则|CM|=x,|OM|==,所以|OC|=|OM|+|CM|=+x=(+x),00,y=+x单调递增,当x∈(,2)时,y'<0,y=+x单调递减,所以当x=时,ymax=+×=4,此时|OC|=2,又当x=2时,|OC|=<2,所以|OC|的最大值为2.
方法二:如图所示,设等边三角形ABC中AB的中点为E,∠BOC=α,0<α≤,则|OE|=cos α,|BE|=sin α,|CE|=sin α,所以|OC|=cos α+sin α=2sin∈(1,2],所以|OC|的最大值为2.
例2　(1)B　(2)ABD　[解析] (1)方法一:由题知圆心为C(0,-2),半径为r,因为圆心C到直线y=x+2的距离d==2,所以要使圆C上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有2个,则1方法二:设与直线y=x+2的距离为1的平行直线的方程为y=x+c,由=1解得c=0或c=4,则l1:y=x,l2:y=x+4,则圆与直线l1,l2共有2个交点,如图.因为圆心(0,-2)位于直线l1下方,所以圆与l1相交且与l2相离,所以(2)对于A,设动点P(x,y),则由|PA|=2|PB|,得=2,化简得x2+y2-6x+5=0,即(x-3)2+y2=4,故A正确.对于B,点P的轨迹为圆心为C(3,0),半径r=2的圆,则|AC|=4,所以|AP|的最大值为|AC|+r=6,故B正确.对于C,要使点B到直线AP的距离最大,则直线AP与圆(x-3)2+y2=4相切,设此时直线AP的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0,则=2,解得k=±,由对称性取k=,则直线AP与圆(x-3)2+y2=4相切时,直线AP的方程为x-y+=0,即x-y+1=0,此时点B到直线AP的距离为=,则点B到直线AP的距离的最大值为,故C错误.对于D,当直线BP的斜率不存在时,满足∠BAP=∠BAQ;当直线BP的斜率存在时,设直线BP的方程为y=k(x-2),设P(x1,y1),Q(x2,y2),由
得(1+k2)x2-(4k2+6)x+4k2+5=0,则x1+x2=,x1x2=,则kAP+kAQ=+=+=k·=k·=0,所以直线AP与直线AQ的倾斜角互补,则∠BAP=∠BAQ,故D正确.故选ABD.
自测题
1.A　[解析] 方法一:∵y=,∴x2+y2=1(y≥0),由
得2y2-2ky+k2-1=0(y≥0),若直线y=x+k与曲线y=有两个不同交点,则方程2y2-2ky+k2-1=0在y≥0时有两个不同的解.设函数f(y)=2y2-2ky+k2-1,则
即解得1≤k<.∵[1,) (-,),∴“-方法二:∵曲线y=表示半圆x2+y2=1(y≥0),平移直线y=x,如图所示,由图可知,若直线y=x+k与曲线y=有两个不同交点,则1≤k<,∵[1,) (-,),∴“-2.D　[解析] 由(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0可得(2x+y-7)m+(x+y-4)=0,令解得所以直线过定点P(3,1).又圆(x-1)2+(y-2)2=25的圆心为C(1,2),半径r=5,所以|CP|==,当CP⊥AB时,弦长|AB|最短,此时|AB|=2=2=4.
3.7　[解析] 由题知,圆的标准方程为(x-5)2+(y-5)2=1,圆心为M(5,5),半径r=1,设P(x,y),又A(4,0),B(0,3),所以=(4,-3),=(x,y-3),所以·=4x-3y+9,令4x-3y+9=t,则4x-3y+9-t=0,又P(x,y)在圆上,所以由≤1,解得9≤t≤19.根据题设可知t=9满足题意,此时直线4x-3y+9-t=0与圆M相切,|OP|==7,即点P到原点的距离为7.
例3　(1)3x+4y-5=0(或x=-1或7x-24y-25=0)　(2)4　[解析] (1)方法一:如图,由图易知x=-1为公切线CD的方程.设切点B(cos θ,sin θ),则由A(3,4)可知cos θ=,sin θ=,所以B,又kOA=,所以过点B的公切线的斜率为-,所以过点B的公切线的方程为y-=-,即3x+4y-5=0.由可得C,设公切线CE的方程为y+=k(x+1),即3kx-3y+3k-4=0,由=1,解得k=,所以公切线CE的方程为7x-24y-25=0.
方法二:显然公切线的斜率不为0,设公切线的方程为x+by+c=0,则=1,=4,故c2=1+b2①,|3+4b+c|=|4c|,所以3+4b+c=4c或3+4b+c=-4c,再结合①可得或或所以公切线有三条,其方程分别为x+1=0,7x-24y-25=0,3x+4y-5=0(填一个即可).
方法三:设圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r1=1,圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为C(3,4),半径r2=4,则|OC|=5=r1+r2,因此两圆外切.如图,由图可知,共有三条直线符合题意,显然,切线l1的方程为x+1=0.由方程(x-3)2+(y-4)2=16和x2+y2=1相减可得方程3x+4y-5=0,即为过两圆公共切点的切线l3的方程.易知两圆圆心所在直线OC的方程为4x-3y=0,直线OC与直线x+1=0的交点为A,则过点A且斜率为k的直线的方程为y+=k(x+1),由=1,解得k=,从而可得切线l2的方程为7x-24y-25=0.
(2)由题意知C:(x-3)2+y2=4的圆心为C(3,0),半径为2,如图,PA⊥AC,PB⊥BC,连接PC,则S四边形PACB=2×|PA|·|CA|=2|PA|,而|PA|==,所以当|PC|最小时,|PA|最小,则S四边形PACB=2|PA|最小.因为P在抛物线y2=4x上,所以设P(t2,2t),则|PC|===,当t2=1时,(t2-1)2+8取到最小值8,即|PC|取到最小值2,则|PA|=取到最小值2,故S四边形PACB=2|PA|的最小值为4.
自测题
B　[解析] 在平面内,与点M(a,0)的距离为2的直线是以M(a,0)为圆心,2为半径的圆M:(x-a)2+y2=4的切线,同理,与点N(2,3)的距离为3的直线是以N(2,3)为圆心,3为半径的圆N:(x-2)2+(y-3)2=9的切线.若符合题设的直线恰有2条,圆M和圆N相交,又|MN|=,所以1<|MN|<5,即1<<5,解得-21.A　[解析] 由l1⊥l2,得a(a-4)-5=0,解得a=5或a=-1,所以“a=5”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.故选A.
2.B　[解析] 由题可得|r-1|≤3≤r+1,解得2≤r≤4.故选B.
3.D　[解析] 圆x2+y2-2x+6y=0的标准方程为(x-1)2+(y+3)2=10,则其圆心坐标为(1,-3),则圆心到直线x-y+2=0的距离为=3,故选D.
4.A　[解析] 若点M(a,b)在圆O:x2+y2=9外,则a2+b2>9.若直线ax+by=1与圆O相交,则圆心到直线的距离d=<3,化简得a2+b2>.因为a2+b2>9能推出a2+b2>,但a2+b2>推不出a2+b2>9,所以“点M(a,b)在圆O外”是“直线ax+by=1与圆O相交”的充分不必要条件.故选A.
5.A　[解析] 设该圆的半径为r,如图,设圆与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,圆心为D,连接BD,由题意知|OD|=4-r,|BD|=r,|OB|=2,在Rt△OBD中,由勾股定理得|BD|2=|OD|2+|OB|2,即r2=(4-r)2+4,解得r=,则|OD|=4-r=,即圆心为D,则所求圆的方程为x2+=.故选A.
6.C　[解析] 如图,因为点A的坐标满足+=1,所以点A在圆x2+y2=1上,因为直线y=kx过x2+y2=1的圆心,所以点A关于直线y=kx对称的点必在圆x2+y2=1上.由得因为圆x2+y2=1与圆(x-3)2+y2=4有唯一公共点B(1,0),所以点A关于直线y=kx对称的点只能是点B.设直线y=kx与线段AB交于点D,因为|AO|=|BO|=1,|AB|==,所以由垂径定理可得,|OD|===,则在Rt△ODB中,tan∠BOD==×2=,因此k=tan∠BOD=.故选C.
7.D　[解析] 连接AM,BM,由题知☉M的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.设|PM|=t,则|PA|=.∵四边形APBM的面积S=|PA|·|AM|=|AB|·|PM|,∴|AB|==,∴|PM|·|AB|=4.要使|PM|·|AB|最小,只需t最小,当且仅当PM⊥l时,|PM|取得最小值,∴AB∥l,排除A,C,此时t=,|AB|=,检验B,D选项可知D正确.故选D.
8.A　[解析] 由题意可知,圆C:(x-a+1)2+(y-a-2)2=1的圆心为C(a-1,a+2),半径r=1.因为=+,=+=-,其中O为坐标原点,所以·=(+)·(-)=-=-4=5,则||=3,所以点M的轨迹为以O(0,0)为圆心,半径R=3的圆,设为圆O.由题意可知,圆C与圆O有公共点,则R-r≤|OC|≤R+r,即2≤≤4,解得-≤a≤,所以实数a的最大值为.故选A.
9.ACD　[解析] 对于A,由点A(3,0),B(0,3),可得直线AB的方程为x+y-3=0,由圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,可得圆心为C(3,4),半径为2,则圆心C到直线AB的距离d=2>2,所以直线AB与圆C相离,所以A正确;对于B,因为|AB|=3,点P到直线AB的距离的最小值为2-2,则△PAB的面积的最小值为×3×(2-2)=6-3,所以B错误;对于C,由|PA|max=|AC|+2=+2=6,所以C正确;对于D,当∠PBA最小时,直线PB与圆C相切,此时|PB|==,所以D正确.故选ACD.
10.BD　[解析] 对于A,由C1:x2+y2=6可得C1(0,0),半径r1=,由C2:x2+y2+2x-a=0,得4+4a>0,即a>-1,可得C2(-1,0),半径r2=,则|C1C2|=1,由圆C1与圆C2相交于A,B两个不同的点,可知两圆相交,故有|r1-r2|<|C1C2|11.9　[解析] 由已知,圆C1:(x+2)2+(y-2)2=9,圆C2:(x-1)2+(y+1)2=9,则圆C1的圆心为C1(-2,2),半径r1=3,圆C2的圆心为C2(1,-1),半径r2=3.
方法一:如图,由图可得四边形AC1BC2是边长为3的正方形,其面积为9.
方法二:将两圆方程相减,可得公共弦AB所在直线的方程为x-y+1=0,C1到AB的距离d==,所以==,即|AB|=3.又|C1C2|==3,所以四边形AC1BC2的面积S=|AB|·|C1C2|=9.
12.(x-2)2+(y-3)2=13　[解析] 方法一:依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.若圆过点(0,0),(4,0),(-1,1),则解得
所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13.若圆过点(0,0),(4,0),(4,2),则
解得所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5.若圆过点(0,0),(4,2),(-1,1),则解得
所以圆的方程为x2+y2-x-y=0,即+=.若圆过点(-1,1),(4,0),(4,2),则解得
所以圆的方程为x2+y2-x-2y-=0,即+(y-1)2=.所以满足条件的圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13.
方法二:设点A(0,0),B(4,0),C(-1,1),D(4,2),若圆过A,B,C三点,则圆心在直线x=2上,设圆心坐标为(2,a), 则4+a2=9+(a-1)2,可得a=3,半径r==,所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13.若圆过A,B,D三点, 则圆心在直线x=2上,设圆心坐标为(2,a),则4+a2=4+(a-2)2,可得a=1,半径r==,所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.若圆过 A,C,D三点,易知线段AC的中垂线方程为y=x+1,线段AD 的中垂线方程为y=-2x+5,两个方程联立,得x=,y=,所以圆心坐标为,半径r=,所以圆的方程为+=.若圆过B,C,D三点,易知线段BD的中垂线方程为y=1, 线段BC的中垂线方程为 y=5x-7,两个方程联立,得x=,y=1,所以圆心坐标为,半径r=,所以圆的方程为+(y-1)2=.所以满足条件的圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13.
13.15　[解析] 设直线l在x轴和y轴上的截距分别为a,b,则a,b∈N*,则直线l的截距式方程为+=1,由于直线l过点P,则+=1,故a===2025+,所以b-1为2025的正约数,故b-1∈{1,3,9,27,81,5,15,45,135,405,25,75,225,675,2025},即满足条件的正整数b的个数为15,因此,满足题设条件的直线l的条数为15.
14.B　[解析] 如图,设以AB为直径的圆的圆心为E,F(2,0),连接OE,BF,显然两圆内切,所以|OE|=4-|BA|,又OE为△ABF的中位线,所以|OE|=|BF|,所以|BF|=4-|BA|,所以|BA|+|BF|=8>4,所以点B的轨迹为以A,F为焦点,长轴长为8的椭圆,设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则2a=8,即a=4,c=2,所以b===2.显然当B为椭圆短轴端点时,S△BCD最大,最大值为|CD|·b=×8×2=8.故选B.
15.B　[解析] 因为PD⊥平面ABCD,DM 平面ABCD,所以PD⊥DM,所以|DM|=d,|MC|=2d.在正方形ABCD中,以D为原点DC,AD所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,C(3,0),设M(x,y),由=,得=,即|MC|2=4|DM|2,所以(x-3)2+y2=4x2+4y2,化简得(x+1)2+y2=4,所以点M的轨迹是以E(-1,0)为圆心,2为半径的圆,其方程为(x+1)2+y2=4,令x=0,解得y=±,则F(0,-),由于|DE|=1,所以∠DEF=,所以点M在底面正方形内的轨迹长度为×2=.故选B.
16.BCD　[解析] 由已知可得圆心为(1,1),半径r=2,由圆的性质知,当圆心在线段AO上时,弦AO的长度最大,此时|AO|=r+=2+,故A错误;由圆的性质知,当圆心到直线BD的距离取得最大值时弦BD的长度最小,此时|BD|=2=2,故B正确;取H,G,F分别是BC,CD,AD的中点,连接MH,HG,GF,FM,如图,则MF∥HG∥BD且|MF|=|HG|=|BD|,MH∥FG∥AC且|MH|=|FG|=|AC|,又AC⊥BD,所以易知四边形MHGF为矩形,连接FH,则|FH|2=|MF|2+|MH|2= (|BD|2+|AC|2),因为圆心(1,1)到直线AC,BD的距离d1,d2∈[0,]且 + =2,又|BD|2++|AC|2+ =2r2=2×4=8,则(|BD|2+|AC|2)=6,故|FH|=,所以点M在以FH为直径的圆上,故C正确;由以上分析可得|AC|=2,|BD|=2,又 S四边形ABCD=|AC||BD|,所以S四边形ABCD=2=2,令t==2-∈[0,2],则S四边形ABCD=2,所以当t=1,即d1=d2=1时,(S四边形ABCD)max=6,当t=0或2,即d1=0,d2=或d1=,d2=0时,(S四边形ABCD)min=4,所以S四边形ABCD∈[4,6],故D正确.故选BCD.
17.　[解析] 设P(x,y),则x≠0,由直线l:y-2=0与圆O:x2+y2=4相切于点T,可得T(0,2),因为以P为圆心,PA为半径的圆恰与l相切,所以|y-2|=|PA|==,化简可得x2=-4y,且x≠0.设P,且x0≠0,则sin∠PTO==
=,因为++2≥2+2=3,当且仅当=,即x0=±2时,等号成立,所以sin∠PTO=≤=,故sin∠PTO的最大值为.模块五　解析几何
微专题18　直线与圆
微点1　圆的方程
例1 (1)[2022·全国甲卷] 设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为　　　　　　　　.
(2)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.4 B.5
C.6 D.7
[听课笔记]

【规律提炼】
除了要掌握圆的标准方程和一般方程外,还要掌握:
圆的参数方程为(θ为参数,圆心为(a,b),半径为r);以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的两个端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
自测题
[2025·杭州二模] 已知☉O是单位圆,正三角形ABC的顶点A,B在☉O上,则|OC|的最大值为　　　　.
微点2　直线与圆的综合问题
例2 (1)[2025·全国一卷] 已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有2个,则r的取值范围为 (　 )
A.(0,1) B.(1,3)
C.(3,+∞) D.(0,+∞)
(2)(多选题)[2025·雅安二模] 已知点A(-1,0),B(2,0),动点P满足|PA|=2|PB|,记点P的轨迹为曲线C,则下列说法中正确的是 (　 )
A.曲线C的方程为(x-3)2+y2=4
B.|AP|的最大值为6
C.点B到直线AP的距离的最大值为2
D.设直线BP与曲线C的另一个交点为Q,则∠BAP=∠BAQ
[听课笔记]

自测题
1.[2025·西南“3+3+3”二联] “-A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.[2025·山东菏泽二模] 已知直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0与圆(x-1)2+(y-2)2=25交于A,B两点,则|AB|的最小值为 (　 )
A.5 B.10 C.2 D.4
3.[2025·怀化二模] 已知点P在圆x2+y2-10x-10y+49=0上,点A(4,0),B(0,3),则当·最小时,点P到原点的距离为　　　　.
微点3　圆与圆的综合问题
例3 (1)[2022·新高考全国Ⅰ卷] 写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程　　　　　　　　.
(2)[2025·江西八所重点中学联考] 过抛物线y2=4x上一动点P作圆C:(x-3)2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB面积的最小值为　　　　.
[听课笔记]

【规律提炼】
1.直线与圆、圆与圆的位置关系一般多结合图形判断,不用代数法(Δ);
2.在解决最值问题时,一般是利用圆的性质,转化为相切问题,即通过构造直角三角形求弦长和切线长;
3.利用垂直关系或定义(包括阿氏圆)确定动点的轨迹(圆).
自测题
[2025·浙江宁波二模] 已知点M(a,0),N(2,3)到同一直线的距离分别为2,3,若这样的直线恰有2条,则a的取值范围为 (　 )
A.(-2,0) B.(-2,6)
C.(0,6) D.(2,6)限时集训(十八)微专题18　直线与圆
1.[2025·大同模拟] 已知直线l1:ax+y+a=0与l2:(a-4)x-5y-4=0,则“a=5”是“l1⊥l2”的 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.[2025·温州三模] 已知圆x2+y2=1和圆(x-3)2+y2=r2(r>0)有公共点,则r的取值范围为 (　 )
A.[2,+∞) B.[2,4]
C.[3,4] D.[1,4]
3.[2024·北京卷] 圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为 (　 )
A. B.2
C.3 D.3
4.[2025·浙江六校模拟] 已知圆O:x2+y2=9,则“点M(a,b)在圆O外”是“直线ax+by=1与圆O相交”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门,已知该门的最高点到地面的距离为4米,门在地面处的宽度为4米.现将其截面图放置在平面直角坐标系Oxy中,以地面所在的直线为x轴,过圆心的竖直直线为y轴,则门的轮廓所在圆的方程为 (　 )
A.x2+=
B.x2+=
C.x2+=
D.x2+=
6.[2025·呼和浩特二模] 若点A关于直线y=kx对称的点在圆(x-3)2+y2=4上,则k的值为 (　 )
A.1 B.
C. D.2
7.已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为 (　 )
A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0
8.已知点A(-2,0),B(2,0),若圆C:(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上存在点M满足·=5,则实数a的最大值为 (　 )
A. B.
C. D.
9.(多选题)[2025·昆明三模] 已知点A(3,0),B(0,3),点P在圆C:(x-3)2+(y-4)2=4上运动,则 (　 )
A.直线AB与圆C相离
B.△PAB的面积的最小值为6-2
C.|PA|的最大值为6
D.当∠PBA最小时,|PB|=
10.(多选题)已知圆C1:x2+y2=6与圆C2:x2+y2+2x-a=0相交于A,B两个不同的点, 则下列说法正确的是 (　 )
A.实数a的取值范围为[6-2,6+2]
B.当a=3时,两圆的公共弦长|AB|=
C.若2=,则a=8
D.当a=时,两圆的公切线的夹角的正弦值为
11.[2025·安徽安庆二模] 已知圆C1:x2+y2+4x-4y-1=0与圆C2:x2+y2-2x+2y-7=0相交于A,B两点,则四边形AC1BC2的面积等于　　　　.
12.[2022·全国乙卷] 过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为　　　　　　　　　　　　.
13.[2025·沈阳三模] 已知过点P(2025,1)的直线l在x轴和y轴上的截距均为正整数,则满足条件的直线l的条数为　　　　.
14.[2025·安徽合肥二模] 已知点A(-2,0),C,D是☉O:x2+y2=16与x轴的交点.点B满足以AB为直径的圆与☉O相切,则△BCD面积的最大值为 (　 )
A.4 B.8
C.12 D.16
15.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,PD⊥平面ABCD,点M为底面上的动点,M到PD的距离记为d,若|MC|=2d,则点M在底面正方形内的轨迹的长度为 (　 )
A.2 B.
C. D.
16.(多选题)如图,经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆(x-1)2+(y-1)2=4相交于A,C,B,D四点,M为弦AB的中点,则下列结论正确的是 (　 )
A.弦AO长度的最大值为2
B.弦BD长度的最小值为2
C.点M的轨迹是一个圆
D.四边形ABCD面积的取值范围为[4,6]
17.[2025·厦门四检] 已知直线l:y-2=0与圆O:x2+y2=4相切于点T,A是圆O上一动点,点P满足PO⊥OA,且以P为圆心,PA为半径的圆恰与l相切,则sin∠PTO的最大值为　　　　. (共44张PPT)
微专题18 直线与圆
微点1 圆的方程
微点2 直线与圆的综合问题
微点3 圆与圆的综合问题
◆
◆
考法探析·明规律
备用习题
【考情分析】
考查 内容 考题统计 考情分析 必备知识
直线 （圆）与 圆的 位置 关系 2025年Ⅰ卷7； 2023年Ⅱ卷15； 2022年Ⅱ卷15； 2021年Ⅰ卷11； 2021年Ⅱ卷11 高频考点，年均 1～2题.考查直线 与圆和圆与圆位 置关系的判别， 难度中等.近年综 合性强，常与不 等式或最值问题 结合 1.利用点到直线的距离
与圆的半径比较；
2.构造直角三角形求弦
长（或切线长）；
3.圆圆相交时相交弦所
在直线方程及相交弦长
度（此处经常会考到隐
圆）
考查 内容 考题统计 考情分析 必备知识
圆的 切线 2024年Ⅱ卷10； 2023年Ⅰ卷6； 2022年Ⅰ卷14 考查切线方程、 切点条件，难度 中等偏上 1.求切线方程；
2.构造直角三角形求切
线长；
3.切点弦所在直线方程
续表
微点1 圆的方程
例1（1）[2022·全国甲卷] 设点在直线上，点
和均在上，则 的方程为______________________.
[解析] 方法一： 点在直线上， 可设点 为
，又点和均在上， 点到点，
的距离相等， ，
即，解得，
的半径 的方程为 .
方法二：由题可知，是以和 为端点的线段的垂直平分线
与直线的交点，
由 得所以，
所以圆的半径 ，
故圆的方程为 .
（2）已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小
值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
[解析] 设圆心为,则.
因为圆 过点，所以，
所以圆心 的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以圆心到原点 的距离的最小值为 .故选A.
√
【规律提炼】
除了要掌握圆的标准方程和一般方程外，还要掌握：
圆的参数方程为 为参数，圆心为，半径为
；以,为直径的两个端点的圆的方程为
.
[解析] 方法一：等边三角形的顶点，
在圆 上，如图所示,根据圆与等
边三角形的对称性知，当 取最大值时，线
段过的中点，
设 ,则， ,
自测题
[2025·杭州二模] 已知是单位圆，正三角形的顶点， 在
上，则 的最大值为___.
2
所以 .
设 ， ，则
，
令，即 ，移项平方
后化简可得或 （舍），
所以当时，， 单调递增,
当时， ，单调递减，
所以当 时， ,此时，
又当时， ，所以 的最大值为2.
方法二：如图所示，设等边三角形中 的中点为， ，
，则 , ,,
所以,
所以 的最大值为2.
微点2 直线与圆的综合问题
例2（1）[2025· 全国一卷]已知圆 上到直
线的距离为1的点有且仅有2个，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：由题知圆心为 ，半径为，
因为圆心到直线 的距离,
所以要使圆 上到直线 的距离为1的点有且仅有2个，
则 .故选B.
方法二：设与直线 的距离为1的平行直线的方程为
,由解得或 ，则 ，
，则圆与直线, 共有2个交点，如图.
因为圆心位于直线 下方，
所以圆与相交且与 相离，
所以，即 .
故选B.
（2）（多选题）[2025·雅安二模]已知点，，动点 满
足，记点的轨迹为曲线 ，则下列说法中正确的是
( )
A.曲线的方程为
B. 的最大值为6
C.点到直线 的距离的最大值为2
D.设直线与曲线的另一个交点为，则
√
√
√
[解析] 对于A，设动点，则由 ，得
，化简得 ，
即，故A正确.
对于B，点的轨迹为圆心为 ，半径的圆，则，
所以的最大值为 ，故B正确.
对于C，要使点到直线的距离最大，则直线 与圆
相切，设此时直线的方程为 ，即，
则，解得，由对称性取 ，则直线与圆
相切时，直线 的方程为，即
，此时点到直线 的距离为，则点到
直线的距离的最大值为 ，故C错误.
对于D，当直线的斜率不存在时，满足；当直线
的斜率存在时,设直线的方程为设, ，
由 得，
则 , ，则
，所以直线
与直线的倾斜角互补，则 ，故D正确.故选 .
自测题
1.[2025· 西南“3+3+3”二联]“”是“直线 与曲线
有两个不同交点”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 方法一： ， ，
由 得 ，
若直线与曲线 有两个不同交点，则方程
在 时有两个不同的解.
设函数 ，则
即解得 .
，， “ ” 是“直线与曲线
有两个不同交点”的必要不充分条件.故选A.
方法二： 曲线表示半圆
，平移直线，如图所示，
由图可知，若直线 与曲线
有两个不同交点，则，
，， “”是“直线 与曲线
有两个不同交点”的必要不充分条件.故选A.
2.[2025·山东菏泽二模]已知直线
与圆交于，两点，则 的最小值为
( )
A.5 B.10 C. D.
[解析] 由 可得
令解得 所以直线过定点.
又圆的圆心为 ，半径，所以
，当 时，弦长最小，此时
.
√
3.[2025·怀化二模] 已知点在圆 上，
点,，则当最小时，点 到原点的距离为___.
7
[解析] 由题知，圆的标准方程为 ，圆心为
，半径，设，又, ，所以
,，所以 ，
令，则，
又 在圆上，所以由，解得.
根据题设可知 满足题意，此时直线与圆相
切， ，即点 到原点的距离为7.
微点3 圆与圆的综合问题
例3（1）[2022·新高考全国Ⅰ卷] 写出与圆 和
都相切的一条直线的方程_______________
________________________________.
（或或）
[解析] 方法一：如图，由图易知 为公切
线的方程.设切点,则由 可
知,，所以，又 ,
所以过点的公切线的斜率为，所以过点 的
公切线的方程为 ,即.
由可得 ,设公切线的方程为 ,即
,由,解得 ,
所以公切线的方程为 .
方法二：显然公切线的斜率不为0，设公切线的方程为
，则， ,故 ①，
，所以 或 ，
再结合①可得或或
所以公切线有三条，其方程分别为， ，
（填一个即可）.
方法三：设圆的圆心为 ，半径
，圆 的圆心为
，半径 ，则 ，
因此两圆外切.如图，
由图可知，共有三条直线符合题意，显然，切线的方程为 .
由方程和 相减可得方程
，即为过两圆公共切点的切线 的方程.
易知两圆圆心所在直线的方程为，直线与直线
的交点为，
则过点且斜率为 的直线的方程为，
由 ，解得，
从而可得切线 的方程为 .
（2）[2025·江西八所重点中学联考] 过抛物线上一动点 作
圆的两条切线，切点分别为, ，则四边形
面积的最小值为___.
4
[解析] 由题意知 的圆心为
，半径为2，如图，, ，连接
,则 ，而
，所以当
最小时，最小，则 最小.
因为在抛物线上，所以设，则 ，当时， 8取到最小值8，即 取到最小值，则 取到最小值2，故 的最小值为4.
【规律提炼】
1.直线与圆、圆与圆的位置关系一般多结合图形判断，不用代数法
；
2.在解决最值问题时，一般是利用圆的性质，转化为相切问题，即通
过构造直角三角形求弦长和切线长；
3.利用垂直关系或定义（包括阿氏圆）确定动点的轨迹（圆）.
自测题
[2025·浙江宁波二模]已知点， 到同一直线的距离分别
为2，3，若这样的直线恰有2条，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 在平面内，与点的距离为2的直线是以 为圆心，
2为半径的圆的切线，
同理，与点 的距离为3的直线是以 为圆心，3为半径的圆
的切线.
若符合题设的直线恰有2条，圆 和圆相交，
又，所以 ，
即，解得 .故选B.
［备选理由］例1进一步理解圆的方程；例2考查直线与圆的位置关
系；例3考查圆的参数方程及直线与圆的综合；例4，例5是隐圆问题，
考查圆与圆的综合.
例1 ［配例1使用］[2025·河南新乡二模]曲线 的
长度为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由 ，得 ，
所以曲线是以坐标原点 为圆心，2为半径的圆
弧，如图，其中点 的横坐标为，
则， ，
故曲线的长度为 .
例2 ［配例2使用］[2022·新高考全国Ⅱ卷] 设点， ,直
线关于直线的对称直线为，已知 与圆
有公共点，则 的取值范围为______.
[解析] 由题意知直线过点.点关于直线 的对称点为
,所以直线的方程为 ,即
.
由题意知，圆心到直线 的距离,
整理得,解得 ，故的取值范围为 .
例3 ［配例1、例2使用］（多选题）[2025·河北承德模拟]已知圆
，点是圆 上的任意一点，则以下说法
正确的是( )
A.的取值范围是
B. 的最大值为3
C.的最小值为
D.的最小值为
√
√
[解析] 由题可知圆的圆心为 ，半径为1.
设，则，又点是圆 上的任意一点，所以
，解得，所以的取值范围为 ，故A
正确；
设 ， ，则
，其中 ，
当时，取得最大值 ，故B错误；
表示点到点的距离，因为圆心 到点
的距离为，故的最大值为，最小值为 ，
故C错误；
，表示点 到直线距离的
倍，因为圆心到直线 的距离为，所以
点到直线 距离的最小值为，故的
最小值为，故D正确.故选 .
例4 ［配例3使用］[2025·成都二模]在平面直角坐标系 中，已知
圆，点，若圆上存在点 ，
满足，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设，则， .
因为，
所以 ，即，
所以点的轨迹是以 为圆心，以1为半径的圆.
又因为点在圆上，所以圆与圆 有公共点，
所以，
又，所以 ，所以，
解得 .
例5 ［配例3使用］如图，已知圆 的方
程为， 是直线
上的一个动点，过点
作圆的两条切线， ，切点分别为
，，则线段 长度的最小值为_ ____.
[解析] 显然，，， 四点共圆，且 为该圆
的一条直径.设这四点所在圆的圆心为，
由在直线 上，
设，由 ，可知 ，
又，
所以圆 的方程为 ，
即.
又圆的半径 ，圆 的方程可化为，
由 可得圆与圆的公共弦 所在直线
的方程为 .
因为点到直线 的距离
，
所以
，所以当时，线段 的长度取得最小值 .

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