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微专题19　圆锥曲线的定义与性质
【考法探析·明规律】
例1　(1)A　(2)　[解析] (1)设圆(x+1)2+y2=1的圆心为C2且与圆C相切于点P,圆(x-1)2+y2=25的圆心为C1与圆C相切于点Q.由题意得|C1C|=5-|CQ|,|C2C|=1+|CP|,其中|CQ|=|CP|,所以|C1C|+|C2C|=5-|CQ|+1+|CP|=6>2=|C1C2|,由椭圆定义可知动圆圆心C的轨迹为以C1,C2为焦点的椭圆,设其方程为+=1(a>b>0),则2a=6,c=1,可得a=3,b2=a2-c2=9-1=8,故动圆圆心C的轨迹方程为+=1.
(2)过A作AA'⊥x轴,垂足为A',设A(m2,2m)(m>0),则|AF|=m2+1,|A'F|=1-m2,因为∠AFO=60°,所以m2+1=2(1-m2),解得m=(负值舍去).因为点A在第一象限内,所以A(m2,2m)在函数y=2的图象上,由y=2可得y'=2××=,所以抛物线在点A处的切线的斜率为==.
自测题
1.C　[解析] 由抛物线的定义知|PF|=|PM|,又|MF|=|PF|,所以△PMF为等边三角形, ∠FMN=30°(N为准线与y轴的交点).因为在抛物线y=中,p=2,所以|MF|===2p=4,故|PF|=4.故选C.
2.D　[解析] 因为双曲线C1的实轴长为6,所以a=3,因为双曲线C1的离心率为=,所以c=5,则b==4,所以双曲线C1的方程为-=1.因为曲线C2上的点到双曲线C1的两个焦点的距离之和为26,所以由椭圆的定义可知,曲线C2是以双曲线C1的两个焦点为焦点,长轴长为26的椭圆,设椭圆C2的标准方程为+=1(m>n>0),则m=13,所以n===12,因此椭圆C2的标准方程为+=1.故选D.
3.9　[解析] 设双曲线C:-=1的右焦点为F2,连接PF2,AF2,对于双曲线C:-=1,可得a2=4,则a=2.因为点P在双曲线的右支上,所以|PF|-|PF2|=2a=4,即|PF|=|PF2|+4,则|PA|+|PF|=|PA|+|PF2|+4.根据三角形两边之和大于第三边,可得|PA|+|PF2|≥|AF2|,当且仅当A,P,F2三点共线且P在A,F2之间时取等号.因为F2(3,0),A(0,4),根据两点间距离公式,可得|AF2|==5,所以|PA|+|PF|=|PA|+|PF2|+4≥|AF2|+4=5+4=9,即|PA|+|PF|的最小值为9.
例2　(1)D　(2)C　[解析] (1)因为△OPQ为等边三角形,所以由对称性可知,P,Q关于y轴对称,如图所示,要使△OPQ为等边三角形,需<,e1>=60°,其中e1是x轴正方向的单位向量,故斜率为正的渐近线与x轴正半轴的夹角应大于60°,所以该渐近线的斜率>tan 60°=.故e===>2,只有D选项符合.故选D.
(2)设|DC|=m,|AC|=n,则|BD|=2m,|AB|=n,设该椭圆的长半轴长为a,由椭圆的定义可知解得所以|BD|=a,|DC|=a,|AC|=a,|AB|=a.在△ABC中,显然有∠ADC=π-∠ADB,所以cos∠ADC=-cos∠ADB,设|AD|=x,由余弦定理可知=
-,即=-,可得x=a,因此椭圆的焦距2c=|AD|=a,所以椭圆的离心率e===.故选C.
自测题
1.B　[解析] 依题意,b>=2,又椭圆的焦点在x轴上,a=3,所以02.D　[解析] 设A(x1,y1),D(x0,y0),则B(-x1,-y1),所以kDA=,k2=kBD=.又+=1,+=1,所以kDA·k2===-.因为直线DA与l垂直,所以k1kDA=-1,k1≠0,所以kDA≠0,所以=.又=,所以=,故C的离心率e===.
3.　[解析] 设椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴长为2a2,|F1F2|=2c,由正弦定理得=,∵sin∠F1MF2=2sin∠MF1F2,∴|F1F2|=2|MF2|,故|MF2|=c.∵|MF1|+|MF2|=2a1,|MF1|-|MF2|=2a2,∴|MF1|=2a1-c=2a2+c,∴a1=a2+c,∴a1-a2=c,∴-=1,即e1=1-,∴e1+e2=1-+e2=(e2+1)-,由函数y=x-的性质知g(e2)=(e2+1)-在(1,+∞)上单调递增,∴g(e2)>g(1)=,即e1+e2∈.
例3　(1)A　(2)ACD　(3)ACD
[解析] (1)方法一:由题意得A(-a,0),设P(m,n),则Q(-m,n),kAP=,kAQ=,所以kAP·kAQ=·==.由+=1,得=,所以=,所以椭圆C的离心率e===.故选A.
方法二:设椭圆C的右顶点为B,连接BP,因为点P,Q均在C上且关于y轴对称,所以直线BP,AQ也关于y轴对称, 即kAP·kBP=-kAP·kAQ=-=e2-1,所以e2=,即e=.故选A.
(2)不妨设渐近线方程为y=x,M在第一象限,N在第三象限.对于A,由双曲线的对称性可得四边形A1MA2N为平行四边形,则∠A1MA2=π-=,故A正确.对于B,方法一:因为M在以F1F2为直径的圆上,所以F1M⊥F2M且|MO|=c(O为原点),设M(x0,y0),则
得故MA2⊥A1A2,由A得∠A1MA2=,所以|MA2|=|MA1|×,即|MA1|=|MA2|,故B错误.
方法二:因为tan∠MOA2=(O为原点),在双曲线中,c2=a2+b2,所以cos∠MOA2=,又因为以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,所以|OM|=c,过点M作MH⊥x轴,垂足为H,则|OH|=c·=a=|OA2|,所以点H与A2重合,则MA2⊥x轴,在Rt△MA1A2中,由∠A1MA2=,得=,即|MA1|=|MA2|,故B错误.
方法三:因为tan∠MOA2=(O为原点),c2=a2+b2,所以cos∠MOA2=,在△OMA2中由余弦定理知,|MA2|2=|OM|2+|OA2|2-2|OM||OA2|cos∠MOA2,即|MA2|2=c2+a2-2ac·=b2,则|MA2|=b,因为|MA2|2+|OA2|2=b2+a2=c2=|OM|2,所以MA2⊥OA2,所以△A1A2M为直角三角形,又∠A1MA2=,所以|MA2|=|MA1|,故B错误.对于C,方法一:因为=(+),所以4=+2·+,由B可知|MA2|=b,|MA1|=b,故4c2=b2+b2+2×b×b×=b2=(c2-a2),即c2=13a2,则离心率e=,故C正确.
方法二:因为==,所以=2,则e====,故C正确.对于D,当a=时,由C可知e=,则c=,b=2,故四边形NA1MA2的面积为2=2××2×2=8,故D正确.故选ACD.
(3)方法一:如图,由抛物线的定义可知|AD|=|AF|,故A正确.当AB⊥x轴时,不妨令A,B,易知E,所以|AB|=6,|AE|=3,故B错误.当AB不与x轴垂直时,设直线AB的方程为y=k(k≠0),则直线EF的方程为y=-,所以E,由
可得k2x2-(3k2+6)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,所以|AB|=|x1-x2|=·=6+∈(6,+∞);当AB⊥x轴时,|AB|=6.故C正确.当AB⊥x轴时,|AE|=|BE|=3,则|AE|·|BE|=18;当AB不与x轴垂直时,由C的分析知|EF|==3,由题易知EF⊥AB,所以S△AEB=|AE|·|BE|·sin∠AEB=|AB|·|EF|,则|AE|·|BE|==>18,故D正确.故选ACD.
方法二(二级结论):如图,过点B作准线l的垂线,垂足为M,设准线与x轴的交点为N.由抛物线的定义得|AD|=|AF|,|BM|=|BF|,易知AE,BE分别为∠DAB和∠MBA的平分线,因为AD∥MB,所以∠DAB+∠MBA=π,所以∠EBA+∠EAB=,所以 AE⊥BE(事实上△ABE就是阿基米德三角形,两条直线AE,BE都是抛物线的切线),故A正确,B错误;设直线AB的倾斜角为θ,由焦半径公式可知|AF|=,|BF|=,|AB|=≥2p=6,故C正确;因为S△ABE=|AE|·|BE|=|AB|·|EF|,所以|AE|·|BE|=|AB|·|EF|=·=≥2p2=18,故D正确.故选ACD.
自测题
1.D　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则kAB==1,x0=,y0=,所以kOP==,所以kABkOP=.将A,B两点坐标代入椭圆方程可得两式作差可得+-=0,所以kABkOP==-,则kOP=-,故选D.
2.AC　[解析] 因为当P运动到点(1,t)时,|PF|=1+=2,所以p=2,故A正确;抛物线E:y2=4x,其焦点为F(1,0),圆C:(x-5)2+y2=12的圆心为C(5,0),半径r=2,设P,则|PC|==≥4,即|PC|的最小值为4,所以|PM|的最小值为4-2,故B错误;若|PC|=4,由B选项可知t2=12,则P(3,±2),故直线PF的方程为y=±(x-1),因为圆心C(5,0)到直线PF的距离d==2=r,所以直线PF与圆C相切,故C正确;假设存在直线l使得A,B两点关于直线x+y-3=0对称,设l:x-y+m=0,由消去x得y2=4(y-m),即y2-4y+4m=0,则Δ=16-16m>0,解得m<1,又y1+y2=4,x1+x2=y1-m+y2-m=4-2m,所以+-3=0,解得m=1,与m<1矛盾,所以假设不成立,故D错误.故选AC.
3.ACD　[解析] 当y≥0时,曲线C:-y2=1且其渐近线方程为y=±,当y<0时,曲线C:+y2=1,作出曲线C如图①所示,由图可知,曲线上半部分为双曲线的一部分,下半部分为椭圆的一部分,且曲线关于y轴对称,根据对称性,只需讨论a≥0的情况.若a=0,则当b<-1时,直线y=ax+b与曲线无交点;当b=-1时,直线y=ax+b与曲线有1个交点;当b>-1时,直线y=ax+b与曲线有2个交点.若0,如图③,分别以直线y=ax+b与曲线双曲线、椭圆部分相切为界,直线在双曲线部分相切线上方时,直线与曲线有1个交点,直线与双曲线部分相切时,直线与曲线恒有2个交点,直线在椭圆相切线下方时,直线与曲线无交点,直线与椭圆部分相切时,直线与曲线有1个交点,直线在两条相切线之间时,直线与曲线有3个交点.综上,D(a,b)={0,1,2,3},A正确.直线y=ax+2恒过点(0,2),如图④所示,当0≤a≤时,直线与曲线恒有2个交点,当a>时,直线与曲线恒有1个交点,所以直线y=ax+2与曲线的交点个数为1或2,即D(a,2)={1,2},B错误.对于y=a(x-3),以直线与椭圆部分相切、直线与双曲线渐近线平行为界,由得(1+4a2)x2-24a2x+36a2-4=0,若Δ=576a4-4(1+4a2)(36a2-4)=0,则由a≥0,可得a=.当0≤a<时,直线与曲线有2个交点;当a=或a>时,直线与曲线有1个交点;当时存在直线与曲线有3个交点,而其他情况下不存在直线与曲线有3个交点,当a>时,假设b≥0,如图⑤,显然直线y=ax+b与曲线有且仅有1个交点,不符合题意,所以b<0,结合对称性,若直线与曲线有3个交点,则必有|a|>且b<0,D正确.故选ACD.
例4　ABD　[解析] 对于A,依题知曲线C的轨迹方程为·|x-a|=4.∵点(0,0)在曲线C上,∴|a|=2,又a<0,∴a=-2,故A正确.对于B,曲线C的方程为|x+2|·=4,令y=0,得|x2-4|=4,∴x=0或x=2,故B正确.对于C,由|x+2|·=4,得(x-2)2+y2=,∴y2=-(x-2)2,当x=时,y2=>1,∴C在第一象限的点的纵坐标的最大值大于1,故C错误.对于D,=-(x0-2)2≤,即y0≤,故D正确.故选ABD.
自测题
1.①③④　[解析] 曲线C:y2=x3-2x+5,用-y代换方程中的y,方程不变,所以曲线C关于x轴对称,所以①正确;设曲线C上的一点P(x,y),其中x<0,则|PA|2=(x+1)2+y2=x3+x2+6,当x=-时,|PA|2=+6>6,所以点P到点A(-1,0)的距离可以超过,所以②不正确;当x=1时,y2=4,即y=±2,当x=2时,y2=9,即y=±3,令f(x)=x3-2x+5,x∈[1,2],可得f'(x)=3x2-2>0,所以f(x)为增函数,令g(x)=f'(x)=3x2-2,x∈[1,2],可得g'(x)=6x>0,所以g(x)单调递增,所以f(x)的增长趋势越来越快,可得曲线大致如图所示,可得梯形PQNM的面积S=×(4+6)×1=5,所以曲线C与直线x=1,x=2围成图形的面积小于5,所以③正确;过点B(1,2)且与直线x-4y=0平行的直线方程为y=x+,由
整理得16x3-x2-46x+31=0,整理得(x-1)2(16x+31)=0,解得x=1或x=-,当x=1时,y=2,当x=-时,y=,所以经过点B(1,2)且与直线x-4y=0平行的直线与曲线C的所有交点的横、纵坐标均为有理数,所以④正确.故答案为①③④.
2.2　[解析] 对于方程x4+y4-x2y2-x2-y2=0,因为把x换成-x,方程不变,所以曲线x4+y4-x2y2-x2-y2=0关于y轴对称;因为把y换成-y,方程不变,所以曲线x4+y4-x2y2-x2-y2=0关于x轴对称;因为把x换成-x,同时把y换成-y,方程不变,所以曲线x4+y4-x2y2-x2-y2=0关于坐标原点对称;因为把x换成y,同时把y换成x,方程不变,所以曲线x4+y4-x2y2-x2-y2=0关于直线y=x对称.因此最小覆盖圆的圆心必在坐标原点,从而最小覆盖圆的半径为曲线x4+y4-x2y2-x2-y2=0上的点到原点的距离的最大值,因为x4+y4-x2y2-x2-y2=0,所以(x2+y2)2-(x2+y2)=3x2y2≤3(当且仅当x2=y2时取等号),所以0≤x2+y2≤4,所以0≤≤2,因此最小覆盖圆的半径为2.限时集训(十九)
1.D　[解析] 由题知2b=×2a,即=,则双曲线的离心率e===2.故选D.
2.C　[解析] 由题意可得动点M(x,y)到两定点(-3,0)与(3,0)的距离之和为10,且10>3+3=6,所以动点M(x,y)的轨迹为以(-3,0),(3,0)为焦点的椭圆,设椭圆方程为+=1(a>b>0),则易知a=5,c=3,b==4,所以动点M的轨迹方程为+=1.故选C.
3.B　[解析] 抛物线C:y2=8x的准线方程为x=-2,焦点坐标为(2,0),因为抛物线C:y2=8x上的点P到焦点的距离为6,所以由抛物线的定义可知,P到准线的距离为6,所以P的横坐标为4,即P到y轴的距离是4.故选B.
4.B　[解析] 方法一:因为·=0,所以∠F1PF2=90°,
则=b2tan 45°=1=×|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=2.故选B.
方法二:因为·=0,所以∠F1PF2=90°.因为c==2,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16,又|PF1|+|PF2|=2a=2,所以|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=16+2|PF1|·|PF2|=20,所以|PF1|·|PF2|=2.故选B.
5.A　[解析] 设P(x,y),F(c,0),因为F关于直线y=3x的对称点为P,所以×3=-1,=3×,解得x=-,y=.因为点P在C上,所以-=1,即-=1,整理得16c4-50c2a2+25a4=0,等式两边分别除以a4,得16e4-50e2+25=0,解得e2=或e2=(舍去),所以e=.故选A.
6.A　[解析] 由题知M={(x,y)|(x-1)2+y2=4},曲线C上的点构成集合N=,设曲线C上任意一点为P(x1,y1),则x1=x-1,y1=,所以x=x1+1,y=2y1,所以+4=4,即+=1.设x1=2cos θ,y1=sin θ,所以曲线C上的点P到直线y=x+2的距离d=
==
,其中tan φ=,因为cos(θ+φ)∈[-1,1],所以d=≤=,当且仅当cos(θ+φ)=1时取等号,所以曲线C上的点到直线y=x+2的最大距离为.故选A.
7.B　[解析] 设双曲线E的焦距为2c(c>0),如图,易知点M在双曲线的右支上,设|MN|=x,则由=得|MF1|=3x,|NF1|=2x,由双曲线的定义,得|MF2|=|MF1|-2a=3x-2a.又MF1⊥MF2,∠OF1N=∠MF1F2,所以△OF1N∽△MF1F2,所以=,即=,可得x=,则|MF1|=c,|MF2|=c-2a.在Rt△F1MF2中,由勾股定理得|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2,即(c)2+(c-2a)2=4c2,化简得c2-2ca+2a2=0,则e2-2e+2=0,由e>1,可得e=+1.故选B.
8.ACD　[解析] A选项中,将曲线C的方程化为标准方程+=1,∵m>n>0,∴<,∴C为焦点在y轴上的椭圆,A选项正确;B选项中,圆的半径应为,B选项不正确;C选项中,当mn<0时,曲线C是双曲线,令mx2+ny2=0,得双曲线的渐近线方程为y=±x,C选项正确;D选项中,若m=0,n>0,则y=±,C是平行于x轴的两条直线,D选项正确.故选ACD.
9.ACD　[解析] 抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线l:x=-1,点A(-1,0),设B(x1,y1),D(x2,y2).对于A,若直线BD的斜率为1,则BD的方程为y=x-1,由消去y得x2-6x+1=0,所以x1+x2=6,所以|BD|=x1+x2+2=8,故A正确;对于B,|BD|=x1+x2+2,线段BD的中点的横坐标x0==|BD|-1,所以弦BD的中点到准线的距离为|BD|,因此以BD为直径的圆与准线相切,故B错误;对于C,由|BF|=|BE|,BE∥AF,得∠AFE=∠BEF=∠BFE,同理∠AFG=∠DFG,则∠EFG=
∠AFE+∠AFG=(∠AFB+∠AFD)=90°,故C正确;对于D,设直线BD的方程为x=ty+1,由得y2-4ty-4=0,则y1y2=-4,易知直线OB:y=x,设直线OB与准线l交于点H(xH,yH),由可得yH=-=-=-,又y2=-,所以yH=y2,即H与G重合,所以B,O,G三点共线,故D正确.故选ACD.
10.　[解析] 如图,连接FP,取双曲线的一条渐近线的方程为y=x,即bx-ay=0.因为F(c,0),FP⊥OP,所以|PF|===b.在Rt△OPF中,|PF|=b,|OP|=b,|OF|=c,FP⊥OP,所以根据勾股定理得|PF|2+|OP|2=|OF|2,即b2+(b)2=c2,所以c2=3b2=a2+b2,所以=.所以双曲线C的离心率e==.
11.2　[解析] 因为抛物线C的焦点为F(1,0),所以=1,解得p=2,则抛物线C的方程为y2=4x,准线方程为x=-1, T(-1,0).易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2),由
整理得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,由Δ>0得k2<1,由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=1,又|FA|=x1+1, |FB|=x2+1,且|FA|=3|FB|,所以x1+1=3(x2+1),即x1=3x2+2,代入x1x2=1,整理得3+2x2-1=0,解得x2=或x2=-1(舍去),所以x1=3,=4x1=12,所以|y1|=2,所以S△TFA=|TF||y1|=2.
12.2　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为|AN|=|NM|=|MB|,所以M(-x1,0),N,B,则由
两式相减得+=0,即·=-,因为=,所以=,所以=1,==-=-,所以×=-,解得b2=1,所以c==,所以椭圆C的焦距为2.
13.D　[解析] 由题意作出图形如图所示,设|AF2|=m,因为|AF1|+|AF2|=2a,所以|AF1|=2a-|AF2|=2a-m,又|BF1|+|BF2|=2a,|BF1|=a,所以|BF2|=a,所以|AB|=a+m,又因为|AF1|=|AB|,所以a+m=2a-m,解得m=a,所以|AF1|=2a-a=a.在△AF1F2中,由余弦定理可得cos∠AF2F1=,在△BF1F2中,由余弦定理可得
cos∠BF2F1=,
因为cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0,
所以+
=0,整理得3c2-a2=0,所以=,所以离心率e==.
14.ABD　[解析] 对于A,由题意,开口向右的抛物线C:y2=2x,顶点在原点,焦点为F1,将抛物线C绕原点按逆时针方向旋转90°后得到的抛物线开口向上,焦点为F2,则其方程为x2=2y,即y=x2,故A正确;对于B,根据A中分析,由可得x=0或x=2,即xA=2,代入=2yA,可得yA=2,由图象对称性,可得A(2,2),B(2,-2),故|AB|=4,故B正确;对于C,如图,设直线x+y=t与第一象限花瓣分别交于点M,N,
由结合图象可得由
结合图象可得
即M(t+1-,-1),N(-1,t+1-),则|MN|==|t+2-2|,由图知,直线x+y=t经过点A时t=4,经过点O时t=0,所以直线x+y=t在第一象限与花瓣相交时,015.12　[解析] 因为|AM|=|MC|,所以|BM|+|AM|=|BM|+|MC|=|BC|=10>|AB|=6,所以点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆(不含长轴端点),且椭圆的长轴长为10,焦距为6.如图,以AB的中点为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(-3,0),B(3,0),由2a=10,2c=6,得b==4,所以M的轨迹方程为+=1(y≠0),△ABM的面积S=×|AB|×|yM|=3|yM|,当|yM|取最大值4(即M为椭圆短轴端点)时,△ABM的面积最大,最大面积为 3×4=12.微专题19　圆锥曲线的定义与性质
微点1　圆锥曲线的定义与标准方程
例1 (1)[2025·成都三模] 已知动圆C与圆(x+1)2+y2=1外切,同时与圆(x-1)2+y2=25内切,则动圆圆心C的轨迹方程为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.+=1 B.+y2=1
C.+=1 D.+y2=1
(2)[2025·温州二模] 已知A是抛物线y2=4x上在第一象限内的点,F是抛物线的焦点,∠AFO=60°(O为坐标原点),则抛物线在A处切线的斜率是　　　　.
[听课笔记]

【规律提炼】
解决圆锥曲线的定义和标准方程问题可以抓住三个关键点:
(1)统一定义,是核心灵魂;
(2)方程结构,体现几何特征;
(3)参数关系,揭示量之间的关系.
自测题
1.[2025·长郡中学一模] 已知抛物线C:y=的焦点为F,准线为l,P为C上一点,过P 作l的垂线,垂足为M.若|MF|=|PF|,则|PF|= (　 )
A.2 B.
C.4 D.2
2.[2025·十堰4月调考] 设双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为,实轴长为6,若曲线C2上的点到双曲线C1的两个焦点的距离之和为26,则曲线C2的标准方程为 (　 )
A.-=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
3.[2025·济南二模] 双曲线C:-=1的左焦点为F,点A(0,4),若P为C右支上的一个动点,则|PA|+|PF|的最小值为　　　　.
微点2　离心率求值或范围
例2 (1)[2025·北京十一中三模] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),若双曲线的左、右两支上各存在一点P,Q,使△OPQ(O为原点)为等边三角形,则该双曲线离心率的一个可能取值为 (　 )
A. B.
C.2 D.3
(2)[2025·潍坊二模] 如图,在△ABC中,|AC|=|AB|,D为边BC上一点,满足|BD|=2|DC|,以A,D为焦点作一个椭圆G,若G经过B,C两点,则G的离心率为 (　 )
A. B.
C. D.
[听课笔记]

【规律提炼】
1.圆锥曲线的离心率问题主要包括求离心率的值或范围,是高考常考的内容,关键是根据题意和图形的几何特征找到a,b,c的齐次恒等式或不等式.
2.解决离心率问题的主要方法有:(1)定义法;(2)几何性质法.
自测题
1.[2025·济南二模] 已知焦点在x轴上的椭圆C:+=1,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+4相交,则C的离心率的取值范围是 (　 )
A. B. C. D.
2.[2025·枣庄二模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0),直线l:y=k1x(k1≠0)与C交于A,B两点,过点A作与l垂直的直线交C于另一点D,记直线BD的斜率为k2,若=,则C的离心率为 (　 )
A. B.
C. D.
3.[2025·广西河池二模] 已知椭圆与双曲线有公共焦点,F1,F2分别为其左、右焦点,点M为它们在第一象限的交点,满足sin∠F1MF2=2sin∠MF1F2,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1+e2的取值范围是　　　　.
微点3　直线与圆锥曲线的位置关系
例3 (1)[2022·全国甲卷] 椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为 (　 )
A. B.
C. D.
(2)(多选题)[2025·全国二卷] 双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且∠NA1M=,则 (　 )
A.∠A1MA2=
B.|MA1|=2|MA2|
C.C的离心率为
D.当a=时,四边形NA1MA2的面积为8
(3)(多选题)[2025·全国一卷] 设抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,过F且垂直于AB的直线交准线l:x=-于E,过点A作准线l的垂线,垂足为D,则 (　 )
A.|AD|=|AF|
B.|AE|=|AB|
C.|AB|≥6
D.|AE|·|BE|≥18
[听课笔记]


【规律提炼】
1.直线与圆锥曲线的位置关系的小题常考查利用定义求弦长、中点弦、离心率等问题;
2.直线和双曲线的位置关系要借助于直线斜率和渐近线斜率的大小关系,数形结合;
3.记住一些常见的二级结论(如焦点三角形面积、中点弦、抛物线的焦点弦、圆锥曲线的第三定义等).
自测题
1.[2024·甘肃张掖三模] 已知倾斜角为的直线l与椭圆C:+y2=1交于A,B两点,P为AB的中点,O为坐标原点,则直线OP的斜率为 (　 )
A.-1 B.-
C.- D.-
2.(多选题)[2025·德州三模] 已知圆C:(x-5)2+y2=12,抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为E上一动点,当P运动到点(1,t)时,|PF|=2,直线l与E相交于A,B两点,则 (　 )
A.p=2
B.若M为C上一点,则|PM|的最小值为1
C.若|PC|=4,则直线PF与圆C相切
D.存在直线l,使得A,B两点关于直线x+y-3=0对称
3.(多选题)[2025·杭州二模] 设曲线C:-y|y|=1,直线y=ax+b与曲线C的交点个数的可能值构成的集合记为D(a,b),则 (　 )
A.D(a,b)={0,1,2,3}
B.D(a,2)={0,1,2}
C.D(a,-3a)={0,1,2}
D.若D(a,b)={3},则|a|>且b<0
微点4　不规则曲线的几何性质
例4 (多选题)[2024·新课标Ⅰ卷] 造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O,且C上的点满足横坐标大于-2,到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4,则 (　 )
A.a=-2
B.点(2,0)在C上
C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点(x0,y0)在C上时,y0≤
[听课笔记]


【规律提炼】
高考中对于不规则曲线的考查一般涉及轨迹方程和几何性质,在解决此类问题时,可以类比圆锥曲线的几何性质,如对称性,取值范围,交点,距离等.
自测题
1.[2025·北京昌平二模] 已知曲线C:y2=x3-2x+5,给出下列四个结论:
①曲线C关于x轴对称;
②当x<0时,曲线C上任意一点到点A(-1,0)的距离均不超过;
③曲线C与直线x=1,x=2围成图形的面积小于5;
④经过点B(1,2)且与直线x-4y=0平行的直线与曲线C的所有交点的横、纵坐标均为有理数.
其中所有正确结论的序号是　　　　.
2.[2025·成都二诊] 对于一个平面图形,如果存在一个圆能完全覆盖住这个平面图形,那么称这个图形能够被这个圆完全覆盖,我们把能完全覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆.则曲线x4+y4-x2y2-x2-y2=0的最小覆盖圆的半径为　　　　. 　限时集训(十九)微专题19　圆锥曲线的定义与性质
1.[2025·全国一卷] 双曲线C的虚轴长是实轴长的倍,则C的离心率为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.2
C. D.2
2.[2025·临汾三模] 已知动点M(x,y)的坐标满足+=10,则动点M的轨迹方程是 (　 )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
3.[2025·唐山二模] 已知抛物线C:y2=8x上的点P到焦点的距离为6,则P到y轴的距离是 (　 )
A.2 B.4
C.6 D.8
4.[2023·全国甲卷] 设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若·=0,则|PF1|·|PF2|= (　 )
A.1 B.2
C.4 D.5
5.[2025·芜湖二模] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若F关于直线y=3x的对称点P在C上,则双曲线C的离心率为 (　 )
A. B.
C. D.
6.[2025·湘豫名校联考二模] 已知集合M={(x,y)|(x-1)2+y2=4},曲线C上的点构成集合N=,则曲线C上的点到直线y=x+2的最大距离为 (　 )
A. B.
C. D.
7.[2025·陕西、山西、青海、宁夏四省联考] 已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在E上,满足MF1⊥MF2,直线MF1与y轴交于点N,且=,则E的离心率为 (　 )
A.2 B.+1
C.3 D.2
8.(多选题)已知曲线C:mx2+ny2=1. (　 )
A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若m=n>0,则C是圆,其半径为
C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±x
D.若m=0,n>0,则C是两条直线
9.(多选题)[2025·广州三模] 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,其准线l与x轴交于点A,O为坐标原点,过F的直线与C交于B,D两点,分别过B,D作l的垂线,垂足分别为E,G,则 (　 )
A.若直线BD的斜率为1,则|BD|=8
B.以BD为直径的圆与y轴相切
C.EF⊥GF
D.B,O,G三点共线
10.[2025·湖南长郡中学二模] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以OF(O为坐标原点)为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P,若|OP|=b,则双曲线C的离心率为　　　　.
11.[2025·深圳二模] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),C的准线与x轴的交点为T,若过点T的直线l与C交于A,B两点,且|FA|=3|FB|,则△TFA的面积等于　　　　.
12.[2025·襄阳模拟] 如图,斜率为的直线与椭圆C:+=1(013.[2025·广州二模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与C相交于A,B两点,且|AF1|=|AB|,|BF1|=a,则C的离心率为 (　 )
A. B.
C. D.
14.(多选题)在2024年巴黎奥运会艺术体操团体全能决赛中,中国队以69.800分的成绩夺得金牌,这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案,它可看作由抛物线C:y2=2px(p>0)绕其顶点分别逆时针旋转90°,180°,270°后所得三条曲线与C围成的(如图中阴影区域),A,B为C与其中两条曲线的交点,若p=1,则 (　 )
A.开口向上的抛物线的方程为y=x2
B.|AB|=4
C.直线x+y=t截第一象限花瓣的弦长的最大值为
D.阴影区域的面积大于4
15.[2025·温州三模] 在△ABC中,AB=6,BC=10,AC的中垂线交BC于点M,则△ABM的面积的最大值是　　　　. (共81张PPT)
微专题19 圆锥曲线的定义与性质
微点1 圆锥曲线的定义与标准方程
微点2 离心率求值或范围
微点3 直线与圆锥曲线的位置关系
微点4 不规则曲线的几何性质
◆
◆
考法探析·明规律
备用习题
【考情分析】
考查 内容 考题统计 考情分析 必备知识
离心 率 2025年Ⅰ卷3； 2024年Ⅰ卷12； 2023年Ⅰ卷5,16 1.小题特点：基 础题占比大，几 何性质为核心 （需要结合定义 或几何特征：焦 点或渐近线 等）. 1.熟记圆锥曲线的
定义、几何性
质；
2.熟记二级结论，
如焦点三角形面
积，抛物线焦点
弦弦长公式等；
抛物 线焦 点弦 2025年Ⅰ卷10； 2023年Ⅱ卷10； 2022年Ⅱ卷10 考查 内容 考题统计 考情分析 必备知识
定义 或其 他性 质 2025年Ⅱ卷6； 2025年Ⅱ卷11； 2024年Ⅱ卷10； 2023年Ⅱ卷5； 2022年Ⅰ卷11,16； 2022年Ⅱ卷16； 2021年Ⅰ卷5,14； 2021年Ⅱ卷3,13 2.高频考点：椭 圆和双曲线的离 心率，渐近线， 抛物线焦点弦， 焦点三角形，轨 迹，中点弦等 3.强化求离心率训
练；
4.关注交汇考点，
如渐近线夹角
（三角），范围
（函数）
续表
微点1 圆锥曲线的定义与标准方程
例1（1）[2025·成都三模]已知动圆与圆 外切，同
时与圆内切，则动圆圆心 的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设圆的圆心为且与圆相切于点 ，
圆的圆心为与圆相切于点 .
由题意得，，其中 ，
所以 ，
由椭圆定义可知动圆圆心的轨迹为以, 为焦点的椭圆，
设其方程为，则,，可得 ,
，
故动圆圆心的轨迹方程为 .
（2）[2025·温州二模] 已知是抛物线 上在第一象限内的
点，是抛物线的焦点，（ 为坐标原点），则抛物线在
处切线的斜率是____.
[解析] 过作轴，垂足为，设 ，则
，，
因为 ,所以解得（负值舍去）.
因为点 在第一象限内，所以在函数的图象上，
由 可得，
所以抛物线在点 处的切线的斜率为 .
【规律提炼】
解决圆锥曲线的定义和标准方程问题可以抓住三个关键点：
（1）统一定义，是核心灵魂；
（2）方程结构，体现几何特征；
（3）参数关系，揭示量之间的关系.
自测题
1.[2025·长郡中学一模]已知抛物线的焦点为，准线为，
为上一点，过作的垂线，垂足为.若，则
( )
A.2 B. C.4 D.
[解析] 由抛物线的定义知，又 ，所以
为等边三角形，（ 为准线与轴的交点）.
因为在抛物线中， ，所以
，故 .故选C.
√
2.[2025·十堰4月调考]设双曲线 的离心率
为，实轴长为6，若曲线上的点到双曲线 的两个焦点的距离之
和为26，则曲线 的标准方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为双曲线的实轴长为6，所以，因为双曲线 的离
心率为，所以，则，所以双曲线 的方
程为.
因为曲线上的点到双曲线 的两个焦点的距离之和为26,所以由椭圆的
定义可知,曲线是以双曲线 的两个焦点为焦点，长轴长为26的椭圆，
设椭圆 的标准方程为，则 ，所以
，
因此椭圆 的标准方程为 .故选D.
3.[2025·济南二模] 双曲线的左焦点为，点 ，若
为右支上的一个动点，则 的最小值为___.
9
[解析] 设双曲线的右焦点为，连接， ，
对于双曲线，可得，则.
因为点 在双曲线的右支上，所以，即
，则 .
根据三角形两边之和大于第三边，可得，当且仅
当，，三点共线且在, 之间时取等号.
因为 ,根据两点间距离公式,可得
,所以
，即 的最小值为9.
微点2 离心率求值或范围
例2（1）[2025·北京十一中三模]已知双曲线
，若双曲线的左、右两支上各存在一点，，使（ 为原
点）为等边三角形，则该双曲线离心率的一个可能取值为( )
A. B. C.2 D.3
√
[解析] 因为 为等边三角形，所以由对称性
可知，,关于 轴对称，如图所示，
要使 为等边三角形，需 ，
其中是 轴正方向的单位向量，故斜率为正的渐
近线与 轴正半轴的夹角应大于 ，
所以该渐近线的 斜率 .
故 ，只有D选项符合.故选D.
（2）[2025·潍坊二模]如图，在 中，，为边
上一点，满足，以,为焦点作一个椭圆，若 经过
,两点，则 的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设则 ,设该椭圆的长半轴
长为 ，由椭圆的定义可知解得
所以，，，.
在 中，显然有，所以，
设 ，由余弦定理可知 ，即
,可得 ,因此椭圆的焦距 ，
所以椭圆的离心率 .故选C.
【规律提炼】
1.圆锥曲线的离心率问题主要包括求离心率的值或范围，是高考常考
的内容，关键是根据题意和图形的几何特征找到,,的齐次恒等式
或不等式.
2.解决离心率问题的主要方法有：（1）定义法；（2）几何性质法.
自测题
1.[2025·济南二模]已知焦点在轴上的椭圆 ，
以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相交，
则 的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 依题意，，又椭圆的焦点在 轴上，，
所以，则，因此 的离心率
.故选B.
2.[2025·枣庄二模]已知椭圆 ，直线
与交于，两点，过点作与垂直的直线交 于
另一点，记直线的斜率为，若，则 的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设，，则，所以 ，
.又， ，
所以.
因为直线与 垂直，所以，，所以，
所以.又 ，所以，故的离心率 .
3.[2025·广西河池二模] 已知椭圆与双曲线有公共焦点，, 分别为
其左、右焦点，点 为它们在第一象限的交点，满足
，椭圆与双曲线的离心率分别为, ，则
的取值范围是_ _______.
[解析] 设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为, ，
由正弦定理得，
，，故
, ，
，即 ，
，
由函数 的性质知在 上单调递
增，，即 .
微点3 直线与圆锥曲线的位置关系
例3（1）[2022·全国甲卷]椭圆 的左顶点为
，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为 ,
则 的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：由题意得，设，则 ，,
，所以 .由得
所以所以椭圆 的离心率 .故选A.
方法二：设椭圆的右顶点为,连接，
因为点，均在 上且关于轴对称,所以直线,也关于 轴对称,
即,所以，即 .故选A.
（2）（多选题）[2025·全国二卷]双曲线
的左、右焦点分别为,，左、右顶点分别为,，以 为直径
的圆与的一条渐近线交于,两点，且 ，则( )
A.
B.
C.的离心率为
D.当时，四边形的面积为
√
√
√
[解析] 不妨设渐近线方程为，在第一象限， 在第三象限.
对于A，由双曲线的对称性可得四边形 为平行四边形，则
，故A正确.
对于B，方法一：因为在以 为直径的圆上，所以且
（ 为原点），设，则得故
，由A得，所以，即
，故B错误.
方法二：因为（ 为原点），
在双曲线中， ，所以
，又因为以 为直径的圆
与的一条渐近线交于， 两点，所以，
过点作轴，垂足为 ，则，所以点
与重合，则 轴，
在 中，由得 ,即 ，
故B错误.
方法三：因为（ 为原点），，所以 ，在中由余弦定理知，
，即
，则 ，
因为 ，所以 ，所以 为直角三角形，又 ，所以 ，故B错误.
对于C，方法一：因为 ，所以 ，由B可知 , ，故 ，即，则离心率 ，故C正确.
方法二：因为，所以 ，则
，故C正确.
对于D，当 时，由C可知，则， ，
故四边形 的面积为 ，故D正确.故选 .
（3）（多选题）[2025·全国一卷]设抛物线的焦点为 ，过
的直线交于，两点，过且垂直于的直线交准线 于
，过点作准线的垂线，垂足为 ，则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 方法一：如图，由抛物线的定义可知
，故A正确.
当 轴时，不妨令,，易知
，所以 ，，故B错误.
当不与 轴垂直时，设直线的方程为
，则直线 的方程为，所以 ,
由可得 ，
设,，由根与系数的关系得
，，
所以
；
当轴时，.故C正确.
当 轴时，，则
；当不与 轴垂直时，由C的分析知
,由题易知
，所以 ，则 ，故D正确.
故选 .
方法二（二级结论）：如图，过点作准线 的垂线，
垂足为，设准线与轴的交点为 .
由抛物线的定义得,，
易知， 分别为和的平分线，
因为 ,所以 ，
所以 ，所以（事实上
就是阿基米德三角形，两条直线， 都是抛物线的切线），
故A正确，B错误；
设直线的倾斜角为 ，由焦半径公式可知 ，， ，故C正确；
因为 ,所以
,故D正确. 故选 .
【规律提炼】
1.直线与圆锥曲线的位置关系的小题常考查利用定义求弦长、中点弦、
离心率等问题;
2.直线和双曲线的位置关系要借助于直线斜率和渐近线斜率的大小关
系,数形结合;
3.记住一些常见的二级结论（如焦点三角形面积、中点弦、抛物线的
焦点弦、圆锥曲线的第三定义等）.
自测题
1.[2024·甘肃张掖三模]已知倾斜角为的直线与椭圆 交
于,两点，为的中点，为坐标原点，则直线 的斜率为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设，，，则 ，
，，所以 ，所以
.
将，两点坐标代入椭圆方程可得 两式作差可得
，所以 ，则 ，
故选D.
2.（多选题）[2025·德州三模]已知圆 ，抛物线
的焦点为，为上一动点，当运动到点
时，，直线与相交于， 两点，则( )
A.
B.若为上一点，则 的最小值为1
C.若，则直线与圆 相切
D.存在直线，使得，两点关于直线 对称
√
√
[解析] 因为当运动到点时，，所以 ，故
A正确；
抛物线，其焦点为 ，圆的圆心
为，半径，设 ，则
，即 的最小值为4，所以的最小值为
，故B错误；
若 ，由B选项可知，则，故直线 的方程
为，因为圆心到直线 的距离
，所以直线与圆 相切，故C正确；
假设存在直线使得，两点关于直线 对称，设
，A(, ),B(, )由消去得
，即，则，解得 ，
又， ，所以
，解得，与 矛盾，所以假设不成立，故
D错误.故选 .
3.（多选题）[2025·杭州二模]设曲线 ，直线
与曲线的交点个数的可能值构成的集合记为 ，则
( )
A.
B.
C.
D.若，则且
√
√
√
[解析] 当时，曲线且其渐近线方程为 ，
当时，曲线，作出曲线 如图①所示，由图可知，
曲线上半部分为双曲线的一部分，下半部分为椭圆的一部分，且曲
线关于轴对称，根据对称性，只需讨论的情况.
若 ，则当时，直线与曲线无交点；
当 时，直线与曲线有1个交点；
当时，直线 与曲线有2个交点.
若，则当 时，如图②，当直线与椭圆部分
相切时，直线与曲线有1个交点， 不变，当时，直线与曲线
有2个交点，当 时，直线与曲线无交点，所以当，
时，直线与曲线的交点个数有0,1,2三种情况.
当时，，直线 与曲
线有2个交点；
当，时，直线与曲线的交点有1个或2个.
若 ，如图③，分别以直线 与曲线双曲线、椭圆部分
相切为界，直线在双曲线部分相切线上方时，直线与曲线有1个交点，
直线与双曲线部分相切时，直线与曲线恒有2个交点，直线在椭圆相
切线下方时，直线与曲线无交点，直线与椭圆部分相切时，直线与
曲线有1个 交点，直线在两条相切线之间时，直线与曲线有3个交点.
综上，，A正确.
直线恒过点 ，如图④所示，当时，直线与
曲线恒有2个交点，当 时，直线与曲线恒有1个交点，所以直线
与曲线的交点个数为1或2，即，B错误.
对于 ，以直线与椭圆部分相切、直线与双曲线渐近线平
行为界，由 得 ，
若，则由，可得 .
当时，直线与曲线有2个交点；当或 时，直线与
曲线有1个交点；当 时，直线与曲线无交点.
所以直线与曲线的交点个数为0或1或2，即
，C正确.
结合上述分析，当 时存在直线与曲线有3个交点，而其他情况
下不存在直线与曲线有3个交点，当时，假设 ，如图⑤，
显然直线 与曲线有且仅有1个交点，不符合题意，所以
，结合对称性，若直线与曲线有3个交点，则必有且
，D正确.故选 .
微点4 不规则曲线的几何性质
例4 （多选题）[2024·新课标Ⅰ卷]造型 可以看作图中
的曲线的一部分.已知过坐标原点，且 上的点满足横
坐标大于，到点的距离与到定直线
的距离之积为4，则( )
A.
B.点在 上
C. 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点在上时，
√
√
√
[解析] 对于A，依题知曲线 的轨迹方程为
点在曲线 上，
,又,,故A正确.
对于B，曲线 的方程为,
令 ，得,或 ,故B正确.
对于C，由,得 ,
,当时，, 在第一象限的
点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.
对于D，,即 ,故D正确.故选 .
【规律提炼】
高考中对于不规则曲线的考查一般涉及轨迹方程和几何性质，在解
决此类问题时，可以类比圆锥曲线的几何性质，如对称性，取值范
围，交点，距离等.
自测题
1.[2025·北京昌平二模] 已知曲线 ，给出下列四
个结论：
①曲线关于 轴对称；
②当时，曲线上任意一点到点的距离均不超过 ；
③曲线与直线, 围成图形的面积小于5；
④经过点且与直线平行的直线与曲线 的所有交点
的横、纵坐标均为有理数.
其中所有正确结论的序号是________.
①③④
[解析] 曲线，用 代换方程中的,方程不变,所
以曲线关于 轴对称，所以①正确；
设曲线上的一点 ，其中，则
，当时，，所以点 到点
的距离可以超过，所以②不正确；
当时， ，即，当时，
，即，令 , ，
可得，所以 为增函数，令
, ，可得
，所以单调递增，所以
的增长趋势越来越快，可得曲线大致如图所示，可得梯形的
面积 ，所以曲线与直线, 围成图
形的面积小于5，所以③正确；
过点 且与直线 平行的直线方程为，
由 整理得 ，整理得
，解得或 ，当时，，
当时， ，所以经过点且与直线 平行
的直线与曲线 的所有交点的横、纵坐标均为有理数，所以④正确.
故答案为①③④.
2.[2025·成都二诊] 对于一个平面图形，如果存在一个圆能完全覆盖
住这个平面图形，那么称这个图形能够被这个圆完全覆盖，我们把
能完全覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆.则曲线
的最小覆盖圆的半径为___.
2
[解析] 对于方程，
因为把换成 ，方程不变，所以曲线
关于 轴对称；
因为把换成，方程不变，所以曲线
关于轴对称；
因为把换成，同时把换成 ，方程不变，所以曲线
关于坐标原点对称；
因为把 换成，同时把换成 ，方程不变，所以曲线
关于直线 对称.
因此最小覆盖圆的圆心必在坐标原点，从而最小覆盖圆的半径为曲线
上的点到原点的距离的最大值，
因为 ，
所以（当且仅当
时取等号），所以,所以 ,因此最小覆
盖圆的半径为2.
［备选理由］例1考查圆、双曲线的标准方程与曲线的特征；例2，
例3分别为椭圆、双曲线的离心率问题；例4，例5分别考查直线与双
曲线、抛物线的位置关系；例6考查不规则曲线的几何性质.
例1 ［配例1使用］[2025·岳阳模拟]曲线 大致为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由可得 或
，即 或
，所以曲线 由一族同心圆
与直线 以及两族等轴双曲线
， 构成.故选D.
例2 ［配例2使用］[2025·云南曲靖二模]如图，圆柱
的轴与一平面所成的角为 ，该平面截圆柱
侧面所得的图形为椭圆，则此椭圆的离心率为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设圆柱底面圆的半径为 ，则椭圆的短轴长
，所以，圆柱的轴 与椭圆所在平
面所成的角为 ，所以椭圆的长轴长
，则.
设椭圆的焦距为 ，
则 ，
所以椭圆的离心率 ，故选D.
例3 ［配例2使用］[2025·浙江台州二模]已知， 分别为双曲线
的左、右焦点，过作直线与双曲线
的右支交于，两点，且，，则双曲线
的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由双曲线定义得， ，
，设，则 ,
,.
在 中,由余弦定理得，
可得， .
在 中,由余弦定理得，
，故离心率 .故选B.
例4 ［配例3使用］（多选题）[2025·山东青岛二模]双曲线
的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为 ，
，是双曲线右支上一点（与点不重合），如图，过点的直线
与双曲线的左支交于点，与双曲线的两条渐近线分别交于点， ，
则下列结论中正确的是( )
A.存在点，使得
B.到两条渐近线的距离之积为定值
C.当直线运动时，始终有
D.的内切圆的圆心的横坐标为
√
√
[解析] 双曲线中， ,
,，所以, ,
，则双曲线的渐近线方程为 ，
设，则，且 .
对于A， ，则
，即，又，所以，则不
存在点 ，使得，故A不正确；
对于B，点 到两条渐近线的距离分别
为, ，故
，即 到两条渐近线的距离之积为定值 ，
故B正确；
对于C，设点,,，显然直线 的斜率存在，
设直线，且 ，
由 得，由 ，
得，所以 ，
将直线的方程 分别与渐近线方程
，联立，得 ，
，则 ，
所以 ，
即 ，
由题可知 , ，
所以 ，故C正确；
对于D，如图所示，设轴与内切圆的切点为，
, 与内切圆的切点分别为, ，由双曲线
的定义可得 ，由圆的切
线长定理知，故 ，
即 ，设内切圆圆心的横坐标
为，则点的横坐标为 ，故，解得 ，
故D不正确.故选 .
例5 ［配例3使用］（多选题）[2025·安徽蚌埠二模]在平面直角坐标
系中，抛物线的焦点为,,,
为上的任意三点（异于点），且 ，则下列说法
正确的是( )
A.
B.存在点，使得
C.若直线,,的斜率分别为,,，则
D.
√
√
√
[解析] 因为,,为上的任意三点，且，所以
为的重心，，所以， ，
所以 ，故A正确；
，所以 ，
解得，所以，故B错误；
因为 , ，两式相减得 ，
所以，同理可得, ，所以
，故C正确；
不妨设, ,，则,, ，
代入，得 ，所以
，由得 ，
所以
，
故D正确.故选 .
例6 ［配例4使用］（多选题）[2025·绍兴上虞区模拟]曲线
，，是曲线 上任意两点，则下列说法正确
的有( )
A.曲线 关于原点对称
B.的最大值为
C.直线与曲线 没有其他交点
D.曲线所围成的图形的面积为
√
√
√
[解析] 对于曲线，当，时，曲线
的方程为 ，即
，表示以为圆心，
为半径的圆在第一象限的部分（包括坐标轴上
的点）；
当，时，曲线 的方程为，即
，表示以为圆心， 为半径的圆在第四象限
的部分（包括坐标轴上的点）；
当，时，曲线 的方程为
，即 ，
表示以 为圆心， 为半径的圆在第二象
限的部分（包括坐标轴上的点）；
当， 时，曲线的方程为 ，即
，表示以 为圆心， 为半径的圆在第
三象限的部分（包括坐标轴上的点）.曲线 如图（由图中实线部分
及原点组成）.
对于A，对于曲线的方程 ，
将换成，换成 得
，即 ，曲线方
程不变，所以曲线关于原点对称，A正确；
对于B，易知当, 分别为直线与曲线 的
关于原点对称的两个交点时， 最大，联立
与，得 或 （舍去），不妨取，同理可得
，此时，即的最大值为 ，故B正确；
对于C，不妨设直线的方程为 ，此时直
线与曲线 有3个交点，故C错误；
对于D，曲线 围成的图形的面积为4个半圆与
1个正方形 的面积之和，其中4个半圆的
半径均为，正方形的边长为 ，所以
曲线 所围成的图形的面积为 ，故D
正确.故选 .

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