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微专题20　圆锥曲线热点问题(一)求值计算类
【考法探析·明规律】
例1　解:(1)由题意得解得所以e===.
(2)方法一:易知直线AP的斜率kAP==-,
则直线AP的方程为y=-x+3,即x+2y-6=0,
|AP|==.
由(1)知C:+=1,设点B到直线AP的距离为d,则d==.
将直线AP沿着与AP垂直的方向平移个单位长度,此时该平行线与椭圆的交点即为点B,
设该平行线的方程为x+2y+E=0,则=,解得E=6或E=-18.
当E=6时,由解得或
即B(0,-3)或.
当B(0,-3)时,kBP=,此时直线l的方程为y=x-3,即3x-2y-6=0;
当B时,kBP=,此时直线l的方程为y=x,即x-2y=0.
当E=-18时,由得2y2-27y+117=0,Δ=272-4×2×117=-207<0,
此时该直线与椭圆无交点.
综上,直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.
方法二:同方法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0,点B到直线AP的距离d=,
设B(x0,y0),则
解得或即B(0,-3)或,以下同方法一.
方法三:同方法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0,
点B到直线AP的距离d=,
设B(2cos θ,3sin θ),其中θ∈[0,2π),则有=,与cos2θ+sin2θ=1联立,
解得或即B(0,-3)或,以下同方法一.
方法四:当直线AB的斜率不存在时,B(0,-3),
则S△ABP=×6×3=9,符合题意,此时kl=,直线l的方程为y=x-3,即3x-2y-6=0.
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+3,
由消去y整理得(4k2+3)x2+24kx=0,其中k≠kAP,
即k≠-,解得x=0或x=,k≠0,k≠-,令x=,则y=,则B.
同方法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0,
点B到直线AP的距离d=,则=,解得k=,
此时B,
则kl==,直线l的方程为y=x,即x-2y=0.
综上,直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.
方法五:当直线l的斜率不存在时,l:x=3,B,|PB|=3,点A到直线PB的距离d=3,
此时S△ABP=×3×3=≠9,不满足条件.
当直线l的斜率存在时,设PB:y-=k(x-3),令P(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y得(4k2+3)x2-(24k2-12k)x+36k2-36k-27=0,Δ=(24k2-12k)2-4(4k2+3)(36k2-36k-27)>0,且k≠kAP,即k≠-,
由根与系数的关系得则|PB|=
=
,点A到直线PB的距离d=,则S△ABP=··=9,
所以k=或k=,均满足题意,所以直线l的方程为=x或y=x-3,即3x-2y-6=0或x-2y=0.
方法六:当直线l的斜率不存在时,l:x=3,B,|PB|=3,点A到直线PB的距离d=3,
此时S△ABP=×3×3=≠9,不满足条件.
当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x-3)+,设l与y轴的交点为Q,令x=0,则Q,
由消去y得(3+4k2)x2-8kx+36k2-36k-27=0,Δ=8k2-4(3+4k2)(36k2-36k-27)>0,且k≠-,
则3xB=,
即xB=,
则S△ABP=|AQ||xP-xB|==9,解得k=或k=,代入判别式验证均满足题意,
则直线l的方程为y=x或y=x-3,即3x-2y-6=0或x-2y=0.
自测题
1.解:(1)由椭圆C上的动点M满足+=2a(a>1),得椭圆C的右焦点为F(1,0),
又F(1,0)是抛物线Γ:y2=2px的焦点,所以p=2,
所以抛物线Γ的方程为y2=4x.
不妨设点P在第一象限,P(x0,y0),
由|PF|=,得x0+1=,解得x0=,则y0=,
即P,
则2a=+
=+=4,
所以椭圆C的长半轴长a=2,短半轴长b==,
所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)易知直线l不垂直于y轴,
设其方程为x=ty+1,M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),
由|MF|·|NF|=2|AF|·|BF|,
得|y1|·|y2|=2|y3|·|y4|,
即|y1y2|=2|y3y4|.
由消去x得y2-4ty-4=0,则y1y2=-4,
由消去x得(3t2+4)y2+6ty-9=0,则y3y4=-,
所以=4,解得t=±,
所以直线l的方程为x±y-=0.
2.解:(1)由题知b=1,c2=a2-1,
·=(+)·(+)=-=-c2≥b2-c2(O为坐标原点),
所以b2-c2=1-c2=0,
所以c2=1,则a2=2,
所以椭圆M的方程为+y2=1.
(2)由(1)知F2(1,0),因为2+=0,即=-2,所以直线AB的斜率是正数,设l:x=ky+1,直线l的斜率为(k>0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),由
消去x整理得(k2+2)y2+2ky-1=0,
由根与系数的关系得y1+y2=,y1y2=.
由题意知y2=-2y1,
则y1=,-2=,
解得k=,所以直线AB的斜率是.
例2　解:(1)根据题意得2a=4,Q1(0,b),Q2(0,-b),P(a,0),
则=(-a,b),=(-a,-b),所以·=a2-b2=4,
则可得
故椭圆C的标准方程为+=1.
(2)①设A(x1,y1),B(x2,y2),易知E(m,0),由消去x得4y2+2my+m2-8=0,由Δ=8m2-16(m2-8)>0,得-4由根与系数的关系得y1+y2=-m,y1y2=.
S△ABO=|m||y1-y2|=
|m|=
|m|=
|m|==≤×=2,所以当m=±2时,△ABO的面积取得最大值2.
②因为|AE|2=(x1-m)2+,|BE|2=(x2-m)2+,
所以|AE|2+|BE|2=(y1)2++(y2)2+=3(+)=3[(y1+y2)2-2y1y2]=3=12.
不妨设|AE|=2sin θ,|BE|=2cos θ,则3|AE|+4|BE|=6sin θ+8cos θ=10sin(θ+α)≤10,其中tan α=,
所以≥=,所以的最小值为.
自测题
解:(1)设椭圆C的半焦距为c,依题意得,a=,
当点P在短轴端点处时△PF1F2的面积最大,所以bc=,
即b=,解得b2=,
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)(i)证明:由(1)知,椭圆C的方程可化为x2+2y2=3,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由消去y得(2p2+1)x2+4pqx+2q2-3=0,
则Δ=16p2q2-4(2p2+1)(2q2-3)=4(6p2-2q2+3)>0,由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=.
因为·=0,所以x1x2+y1y2=x1x2+(px1+q)(px2+q)=0,整理得(p2+1)x1x2+pq(x1+x2)+q2=0,
则(p2+1)·-+q2=0,
化简得q2=p2+1,此时Δ>0成立,所以q2=p2+1.
(ii)设线段PQ的中点为M,
因为∥(+),
所以=t(+)=2t,不妨设t>0,易知S四边形PRQS=2S四边形OPRQ=4tS△OPQ,S△OPQ=|q||x1-x2|=
|q|=
|q|·.
由=t(+),得点R的坐标为(t(x1+x2),t(y1+y2)),
则
所以+2=3,化简得=3,则t=,
所以S四边形PRQS=4·|q|·=·=·∈[,2),
所以四边形PRQS的面积的取值范围为[,2).
例3　解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),当m=0时,直线l的方程为y=x,
由可得
或所以|AB|=·|x1-x2|=×=2.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),
因为|QA|=|QB|,所以QM⊥AB,且∠AQB=2∠AQM.
由消去y得4x2+6mx+3m2-6=0,
则Δ=36m2-4×4×3(m2-2)=12(8-m2)>0,
由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=,
则y1+y2=x1+x2+2m=,
故M,
所以|PM|=|x0|=|m|.
因为|AB|=·
=·
=,
所以|AM|2=|AB|2=,
又|QM|2=|PQ|2-|PM|2=9-m2=(8-m2),所以tan∠AQM===,
又∠AQM∈,所以∠AQM=,所以∠AQB=2∠AQM=.
自测题
解:(1)因为|AB|=2,|PA|+|PB|=4>|AB|,所以点P在以A,B为焦点,4为长轴长的椭圆上,
设椭圆方程为+=1(a>b>0),焦距为2c,
则c=1,a=2,所以b2=a2-c2=3,
所以曲线C的方程为+=1.
(2)证明:①设直线l的方程为x=my-4,E(x1,y1),F(x2,y2),
由消去x整理得(3m2+4)y2-24my+36=0,
则Δ=144(m2-4)>0,由根与系数的关系得y1+y2=,y1y2=,
所以my1y2=(y1+y2).
因为A(-1,0),所以k1=,k2=,
所以=====
=-1.
②设M(x0,y0),由①知=-1,所以k1+k2=0,
作E关于x轴的对称点E'(x1,-y1),则F,A,E'三点共线.
直线AF的方程即为直线AE'的方程,为x=y-1,
直线BE的方程为x=y+1,
两式作差,可得y0=-,
所以x0=·-1=,
所以x1=,y1=-,
易知x1<0,则x0<0.
因为+=1,
所以+=1,
化简得-=,
即-=1(x0<0),
所以点M在以A,B为焦点,1为实轴长的双曲线的左支(椭圆内部)上运动,
所以|MA|-|MB|=-1,为定值.
例4-1　解:(1)由题意得2b=2,则b=1,所以a2-c2=1,
又=,所以c2=a2,解得a2=4,c2=3,故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)证明:设直线l的方程为y=kx+m,与椭圆+y2=1联立,消去y得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,
由Δ=16(4k2+1-m2)>0,得4k2+1>m2,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,
直线A1P的斜率为,直线A2Q的斜率为.
由已知得=,
即=,
则=,
化简得(2k2+1)x1x2+(2km+2)(x1+x2)+2m2+4=0,
则(2k2+1)+(2km+2)+2m2+4=0,
整理得(2k-3m)(2k-m)=0.
因为直线l不经过点A1(-2,0),所以2k-m≠0,
所以2k-3m=0,得m=k,所以直线l的方程为y=kx+k=k,所以直线l经过定点.
例4-2　证明:由双曲线C:-=1,得A1(-2,0),A2(2,0).
当直线MN的斜率不存在时,直线MN的方程为x=-4,
则易知M(-4,4),N(-4,-4),
∴直线MA1的方程为y=-2(x+2),直线NA2的方程为y=(x-2),
由解得
∴P(-1,-2).
当直线MN的斜率存在时,设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为y=k(x+4),由题意知k≠0且k≠±2,
直线MA1的方程为y=(x+2),直线NA2的方程为y=(x-2).
联立直线MA1与直线NA2的方程,消去y得(x+2)=(x-2),
则(x+2)=(x-2),
即(x1+4)(x2-2)(x+2)=(x2+4)(x1+2)(x-2),
解得x=2·①.
由可得(4-k2)x2-8k2x-16k2-16=0,
则
可得
代入①可得x=2·
=
-=-1,
∴当直线MN的斜率存在时,点P在直线x=-1上.
又点(-1,-2)在直线x=-1上,故点P在定直线x=-1上.
自测题
1.解:(1)设点Q的坐标为(6,y0),因为点Q在第一象限,所以y0>0,
双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,因为点Q在双曲线的渐近线上,所以y0=4,
所以点Q的坐标为(6,4),
又点Q(6,4)在抛物线y2=2px上,所以48=2p×6,解得p=4,
故抛物线E的标准方程为y2=8x.
(2)证明:设直线AB的方程为x=my-3,与y2=8x联立,
消去x得y2-8my+24=0,
由Δ=64m2-96>0,得2m2-3>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=8m,y1y2=24.
因为B'(x2,-y2), 所以直线AB'的方程为y+y2=(x-x2),即y==,
又y2×+x2===
==3,所以直线AB'的方程为y=(x-3),所以直线AB'过定点(3,0).
2.证明:(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则M,
易知+=1,+=1,两式相减可得+=0,
即=-,
所以kOM·kPQ=×==-==e2-1=-1=-,为定值.
(2)由题意得可得所以椭圆C的方程为+y2=1,则A(0,1),B(0,-1).
由消去y整理得(2k2+1)x2+8kx+6=0,
由Δ=(8k)2-4×6(2k2+1)>0,得k2>,由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=.
直线BP的方程为y+1==①,
直线AQ的方程为y-1==②,
设直线BP与直线AQ的交点D(x0,y0),
则由①②两式相减可得x0=,代入①可得,
y0+1=×=
==,即y0=.
所以点D在定直线y=上.限时集训(二十)
1.解:(1)将点A(2,y1)的坐标代入抛物线方程可得y1=,
因为|AF|=y1+=+=2,p>0,所以p=2,
所以抛物线E的方程为x2=4y.
(2)证明:由(1)知A(2,1),由题意可知直线BC的斜率存在,
设直线BC的方程为y=kx+m,
由消去y整理得x2-4kx-4m=0,
则Δ=16(k2+m)>0,x2+x3=4k,x2x3=-4m,
易知x2≠2,x3≠2.
因为kAB·kAC==
===-,
所以m=2k+,
所以直线BC的方程为y=kx+2k+=k(x+2)+,
当x=-2时,y=,故直线BC过定点.
2.解:(1)根据抛物线的定义,知|PF|=xp+,
由题意可得,当xp=0时,|PF|取得最小值,则=1,解得p=2,
所以抛物线C的标准方程为y2=4x.
(2)抛物线的焦点为F(1,0),
设直线l的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去x整理得y2-4my-4=0,所以
由S△AOB=|OF||y1-y2|=
=,可得m2=,
由=++2=-,解得=-或=-3,
又=,所以=或=3.
3.解:(1)当b=时,双曲线Γ:x2-=1,其中M(-2,0),A2(1,0),
因为△MA2P为等腰三角形,点P在第一象限,
所以由双曲线性质可知,MP为三角形的底边,|A2P|=|MA2|=3,
所以点P在以A2为圆心、3为半径的圆上,其方程为(x-1)2+y2=9.
设P(x0,y0),其中x0>0,y0>0,
则有可得
所以P(3,).
(2)由题意知l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my-2,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则R(-x2,-y2),
由消去x整理得(b2m2-1)y2-4b2my+3b2=0,
则b2m2-1≠0,y1+y2=,y1y2=.
因为=(-x2+1,-y2),=(x1-1,y1),
所以·=(-x2+1)(x1-1)-y1y2=(-my2+2+1)(my1-2-1)-y1y2=-(my2-3)(my1-3)-y1y2=1,
即y1y2(m2+1)-(y1+y2)3m+10=0,
则(m2+1)·-3m·+10=0,化简得b2m2+3b2-10=0,
所以b2=∈,
将m2=-3代入b2m2-1≠0,得10-3b2≠1,
所以b2≠3,所以b2∈(0,3)∪.
综上,b的取值范围为(0,)∪.
4.解:(1)设双曲线C的标准方程为-=1(a>0,b>0),F(c,0),
则双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0,点F到渐近线的距离为=b=1,因为点Q在双曲线C上,
所以-=1,解得a2=3,
所以双曲线C的标准方程为-y2=1.
(2)双曲线C:-y2=1的渐近线方程为x±y=0,
由P(x0,y0)在双曲线C上,得-=1,即-3=3.
过点P(x0,y0)与直线x+y=0平行的直线方程为x-x0+(y-y0)=0,
由解得
记E,
则|OE|=|x0+y0|.
因为点P到直线x-y=0的距离d=,
所以四边形OEPG的面积S=|OE|d=|-3|=,为定值.
(3)假设存在点M(t,0)满足题意.
由(1)知,F(2,0),由直线l不垂直于坐标轴,可设直线l的方程为y=k(x-2),k≠0,
由消去y整理得(3k2-1)x2-12k2x+12k2+3=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则得k<-或k>.
由|BM|·S△AMF=|AM|·S△BMF,得=,因为=,
所以=,所以MF平分∠AMB,所以直线AM,BM的斜率互为相反数,
所以+=
=
=0,
则2x1x2-(2+t)(x1+x2)+4t=2·-(2+t)·+4t==0,解得t=.
故在x轴上存在定点M,使|BM|·S△AMF=|AM|·S△BMF恒成立.
5.解:(1)设M(x,y),圆M的半径为R,
易知圆F的圆心为F(3,0),半径为1,
因为圆M与圆F相外切,且与l相切,所以
消去R得=|x+2|+1,
当x≤-2时,y2=8x-8<0,舍去;
当x>-2时,y2=12x.
综上所述,曲线E的方程为y2=12x.
(2)(i)证明:由题意可知,直线AB的斜率不为0,
设直线AB的方程为x=ty+3,
由消去x整理得y2-12ty-36=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
设C(x3,y3),x3y3≠0,
因为k1k2=k3k4,所以·=·,
因为A,B,C是E上的三点,所以=12xi,i=1,2,3,
所以·=·,
则y1y2=(y3+y1)(y3+y2),
可得y1+y2+y3=0.
因为k1+k4=+=+==0,
k2+k3=+=+==0,
所以k1+k4=k2+k3.
(ii)不存在直线AB,使得m,n,r均为正整数,理由如下:
因为N为线段AB的中点,所以m=,n=,则
由m=6t2+3,n=6t,消去t得n2=6(m-3),
假设存在直线AB,使得m,n,r均为正整数,
则n是6的正整数倍,所以m,r都是3的正整数倍,
不妨设m=3m',n=6n',r=3r'(m',n',r'∈N*),
则消去n'得(m'+1)2-r'2=3,
即(m'+1+r')(m'+1-r')=3.
因为m'+1+r',m'+1-r'有相同的奇偶性,且m'+1+r'>m'+1-r',
所以解得
所以m=3,r=3,
所以n=0,与m,n,r均为正整数矛盾.
综上,不存在直线AB,使得m,n,r均为正整数.微专题20　圆锥曲线热点问题(一)求值计算类
微点1　求值问题
例1 [2024·新课标Ⅰ卷] 已知点A(0,3)和点P分别为椭圆C:+=1(a>b>0)上的两点.
(1)求C的离心率.
(2)若过点P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程.
【规律提炼】
求线段的长度、图形的面积、点到直线的距离等问题是圆锥曲线的常见问题,其解决问题的主要策略是通过设点或设线,将几何问题代数化,从而解决问题.
自测题
1.[2025·成都二诊] 已知椭圆C上的动点M(x,y)总满足关系式+=2a(a>1),且椭圆C与抛物线Γ:y2=2px(p>0)有共同的焦点F,P是椭圆C与抛物线Γ的一个公共点,|PF|=.
(1)求抛物线Γ的方程和椭圆C的标准方程;
(2)过点F的直线l交抛物线Γ于M,N两点,交椭圆C于A,B两点,若|MF|·|NF|=2|AF|·|BF|,求直线l的方程.
2.已知椭圆M:+y2=1(a>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上任意一点,·的最小值是0.
(1)求椭圆M的方程.
(2)过点F2的直线l与椭圆M交于A,B两点.若A在x轴的上方,且2+=0,求直线AB的斜率.
微点2　最值、范围问题
例2 [2025·石家庄模拟] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为4,Q1,Q2,P分别为椭圆C的上、下顶点和右顶点,且·=4.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)直线l:y=(x-m)与椭圆C交于A,B两点,与x轴交于点E.
①求△ABO的面积的最大值(O为坐标原点);
②求的最小值.
【规律提炼】
解决解析几何中的最值问题一般有两种方法:一是利用几何意义,用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
自测题
[2025·湖南名校联合体模拟] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为2,左、右焦点分别为F1,F2,直线l:y=px+q与椭圆C交于P,Q两点,且△PF1F2的面积的最大值为.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若·=0(O为坐标原点).
(i)证明:q2=p2+1;
(ii)若直线m经过原点,与椭圆C交于R,S两点,且∥(+),求四边形PRQS的面积的取值范围.
微点3　定值问题
例3 [2025·北京海淀二模] 已知椭圆C:+=1.设直线l:y=x+m交椭圆C于不同的两点A,B,与y轴交于点P.
(1)当m=0时,求|AB|的值;
(2)若点Q满足|PQ|=3且|QA|=|QB|,求∠AQB的大小.
【规律提炼】
变中求不变是定值问题的本质,消参是关键,化简能力至关重要.解决定值问题的常见方法有:
1.坐标化+代数计算;
2.几何性质转化:利用几何图形的固有性质(相似、全等、平行、对称性、垂直、角平分线等)转化几何问题,再进行坐标运算;
3.向量:利用向量的运算来表示几何量,并证明其结果与参数无关;
4.特殊值:在运动中取几个特殊位置,计算目标值后再进行验证.
自测题
[2025·南京二模] 在平面直角坐标系xOy中,A(-1,0),B(1,0),Q(-4,0),动点P满足|PA|+|PB|=4,记点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程.
(2)过点Q且斜率不为0的直线l与曲线C相交于E,F(E在F的左侧)两点.设直线AE,AF的斜率分别为k1,k2.
①求证:为定值;
②设直线AF,BE相交于点M,求证:|MA|-|MB|为定值.
微点4　定点、定线问题
例4-1 [2025·山东聊城三模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若A1,A2分别是椭圆C的左、右顶点,不与x轴垂直的动直线l与椭圆C交于P,Q两点(不同于A1,A2),且直线A1P的斜率等于直线A2Q的斜率的2倍,求证:直线l经过定点.
例4-2 [2023·新课标Ⅱ卷节选] 记双曲线C:-=1的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上.
【规律提炼】
1.定点问题的常见处理方法:(1)参数分离法:将直线方程整理成关于参数(如斜率k、截距m等)的等式,通过分离参数并令其系数为0,解出定点坐标;(2)特殊值法(验证定点);(3)对称性法(特定曲线适用):若动直线由对称点或对称性质生成,可利用对称性直接推断定点.
2.定线问题的常见处理方法:(1)轨迹法:用参数表示动点坐标,联立关系式消去参数;(2)几何性质法:分析动点满足的固定几何条件,直接列出该条件的方程.
自测题
1.[2025·江西六校二模] 已知抛物线E:y2=2px(p>0)与双曲线-=1的渐近线在第一象限的交点为Q,且点Q的横坐标为6.
(1)求抛物线E的标准方程;
(2)过点M(-3,0)的直线l与抛物线E交于A,B两点,B关于x轴的对称点为B',证明:直线AB'必过定点.
2.[2025·湖南师大附中模拟] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A,B分别为椭圆C的上、下顶点,O为坐标原点,直线y=kx+2与椭圆C交于不同的两点P,Q.
(1)设点M为线段PQ的中点,证明:直线OM与直线PQ的斜率之积为定值;
(2)若|AB|=2,证明:直线BP与直线AQ的交点D在定直线上.　限时集训(二十)微专题20　圆锥曲线热点问题(一)求值计算类
1.[2025·贵州黔东南三模] 已知抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F,且A(2,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)为抛物线E上三个不同的点,|AF|=2.
(1)求抛物线E的方程;
(2)若直线AB,AC的斜率之积为-,证明:直线BC过定点.
2.[2025·杭州六校5月模拟] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上的动点P到点F的最小距离为1.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,S△AOB=,求的值.
3.[2025·山东泰安二模] 已知双曲线Γ:x2-=1(b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,过M(-2,0)的直线l交双曲线于P,Q两点.
(1)若b=,点P在第一象限,△MA2P是等腰三角形,求点P的坐标;
(2)连接QO并延长交双曲线于点R,若·=1,求b的取值范围.
4.[2025·江西上饶二模] 已知双曲线C过点Q(3,),其右焦点F到渐近线的距离为1,过点F作与坐标轴都不垂直的直线l交双曲线C的右支于A,B两点.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)P(x0,y0)为双曲线C上的一个动点,过点P作两条渐近线的平行线交渐近线于E,G两点,若O为坐标原点,则四边形OEPG的面积是否为定值 若是,求出该定值,若不是,请说明理由.
(3)在x轴上是否存在定点M,使|BM|·S△AMF=|AM|·S△BMF恒成立 若存在,求出定点M的坐标;若不存在,请说明理由.
5.[2025·南通四模] 在平面直角坐标系xOy中,已知圆F:(x-3)2+y2=1,直线l:x=-2,动圆M与圆F外切且与l相切,记圆心M的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程.
(2)经过点F的直线与曲线E交于A,B两点.
(i)C是曲线E上异于O,A,B的点,设直线OA,OB,CA,CB的斜率分别为k1,k2,k3,k4,若k1k2=k3k4,证明:k1+k4=k2+k3.
(ii)记线段AB的中点为N(m,n),|ON|=r,是否存在直线AB,使得m,n,r均为正整数 若存在,求直线AB的方程;若不存在,请说明理由.(共103张PPT)
微专题20 圆锥曲线热点问题（一）
求值计算类
微点1 求值问题
微点2 最值、范围问题
微点3 定值问题
微点4 定点、定线问题
◆
◆
考法探析·明规律
备用习题
【考情分析】
考查 内容 考题统计 考情分析 必备知识
求值 2025年Ⅱ卷16； 2024年Ⅰ卷 16； 2022年Ⅰ卷 21； 2022年Ⅱ卷 21 1.高频求长度、面 积、斜率等； 2.核心思想：从几 何条件到代数方 程，到求解目标； 强调逻辑链完整， 考查运算能力 1.基础工具：直线方程、各
种距离公式、圆锥曲线的方
程和性质；
2.核心方法和技巧：“设而
不求”、“根与系数的关
系”、“判别式”、“变量消元
和整体代入”；
3.计算能力
考查 内容 考题统计 考情分析 必备知识
范围 与最 值 2025年Ⅰ卷 18； 2023年Ⅰ卷2 2 难度较大，综合性 强，常为压轴题； 一般是根据动源合 理设参、代数化目 标量、确定变量范 围、选择合适的方 法求最值或范围 1.核心是准确建立目标表达
式，精研求最值的方法
（基本不等式、二次函数、
导数等）；
2.注意变量的取值范围对最
值的影响；
3.几何问题的转化分析
续表
考查 内容 考题统计 考情分析 必备知识
定 点、 定直 线、 定值 2023年Ⅱ卷 21； 2021年Ⅱ卷 20； 2021年Ⅰ卷 21 核心特征“变中有 不变” 1.定点问题可以利用消参得
到直线系方程，或特殊点法
再验证，或齐次化简；
2.动点定直线：用参数表示
动点坐标，再消去参数，得
到直线方程；
续表
考查 内容 考题统计 考情分析 必备知识
定 点、 定直 线、 定值 2023年Ⅱ卷 21； 2021年Ⅱ卷 20； 2021年Ⅰ卷 21 核心特征“变中有 不变” 3.定值问题重点在计算，但
需要关注几何条件的转化分
析
续表
考查 内容 考题统计 考情分析 必备知识
与其 他综 合 2024年Ⅱ卷 19； 2023年Ⅰ卷 22 融合了迭代构造、 数列证明、对称变 换、恒等式，对代 数运算、递推建 模、结构识别、几 何代数化等要求较 高，难度较大
续表
微点1 求值问题
例1 [2024· 新课标Ⅰ卷] 已知点和点 分别为椭圆
上的两点.
（1）求 的离心率.
解：由题意得解得 所以
.
例1 [2024· 新课标Ⅰ卷] 已知点和点 分别为椭圆
上的两点.
（2）若过点的直线交于另一点，且的面积为9，求 的方程.
解：方法一：易知直线的斜率 ，
则直线的方程为，即 ，
.
由(1)知设点到直线的距离为 ,则 .
将直线沿着与垂直的方向平移 个单位长度，此时该平行线
与椭圆的交点即为点 ，设该平行线的方程为，
则，解得 或 .
当时，由解得或
即或 .
当时，，此时直线的方程为 ，即
；
当时，此时直线的方程为 ,即 .
当时，由得 ，
，此时该直线与椭圆无交点.
综上，直线的方程为或 .
方法二：同方法一得到直线的方程为，点 到直线
的距离 ，
设，则 解得或
即或 ，以下同方法一.
方法三：同方法一得到直线的方程为 ，
点到直线的距离 ，
设，其中 ，则有
，与 联立，
解得或即或 ，以下同方
法一.
方法四：当直线的斜率不存在时， ，
则，符合题意，此时，直线 的方程为
，即 .
当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，
由消去整理得，其中 ，
即，解得或，，，
令 ，则，则 .
同方法一得到直线的方程为 ，
点到直线的距离，则 ，解得
，此时 ，则，直线的方程为，
即 .
综上，直线的方程为或 .
方法五：当直线的斜率不存在时，,,,点 到
直线的距离 ，
此时 ，不满足条件.
当直线的斜率存在时，设，
令 , ，
由消去 得
，
，且 ，
即 ，
由根与系数的关系得 则
，
点 到直线的距离,
则 ，
所以或，均满足题意，
所以直线的方程为 或，
即或 .
方法六：当直线的斜率不存在时，,,,点 到
直线的距离 ，此时 ，不满足条件.
当直线的斜率存在时，设，设与轴的交点为 ，
令，则 ，
由消去 得
，
，且 ，
则 ,即 ，
则，解得 或
，代入判别式验证均满足题意，
则直线的方程为或，
即 或 .
【规律提炼】
求线段的长度、图形的面积、点到直线的距离等问题是圆锥曲线的
常见问题，其解决问题的主要策略是通过设点或设线，将几何问题
代数化，从而解决问题.
自测题
1.[2025·成都二诊] 已知椭圆上的动点 总满足关系式
，且椭圆 与抛物线
有共同的焦点,是椭圆与抛物线 的一个公共
点， .
（1）求抛物线 的方程和椭圆 的标准方程；
解：由椭圆上的动点 满足
，得椭圆 的右焦点
为 ，
又是抛物线的焦点，所以 ，
所以抛物线 的方程为 .
不妨设点在第一象限， ，
由，得，解得,则 ，即 ，
则 ，
所以椭圆的长半轴长，短半轴长 ，
所以椭圆的标准方程为 .
1.[2025·成都二诊] 已知椭圆上的动点 总满足关系式
，且椭圆 与抛物线
有共同的焦点,是椭圆与抛物线 的一个公共
点， .
（2）过点的直线交抛物线 于,两点，交椭圆于, 两点，若
，求直线 的方程.
解：易知直线不垂直于 轴，
设其方程为，,,, ，
由 ，
得 ，
即 .
由消去得，则 ，
由消去得 ，则
，
所以，解得 ，
所以直线的方程为 .
2.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点
是椭圆上任意一点， 的最小值是0.
（1）求椭圆 的方程.
解：由题知， ，
（ 为坐标原点），
所以 ，所以，则 ，
所以椭圆的方程为 .
2.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点
是椭圆上任意一点， 的最小值是0.
（2）过点的直线与椭圆交于，两点.若在 轴的上方，且
，求直线 的斜率.
解：由（1）知，因为，即 ，所
以直线的斜率是正数，设，直线的斜率为 ，
设，，由
消去整理得 ，
由根与系数的关系得， .
由题意知 ，
则， ，
解得，所以直线的斜率是 .
微点2 最值、范围问题
例2 [2025·石家庄模拟] 已知椭圆 的长轴长
为,,,分别为椭圆 的上、下顶点和右顶点，且
.
（1）求椭圆 的标准方程；
解：根据题意得,,, ,
则,，所以 ，
则可得 故椭圆的标准方程为 .
例2 [2025·石家庄模拟] 已知椭圆 的长轴长
为,,,分别为椭圆 的上、下顶点和右顶点，且
.
（2）直线与椭圆交于,两点，与轴交于点 .
①求的面积的最大值（ 为坐标原点）；
解：设,，易知，由 消去
得，
由 ，得 ，
由根与系数的关系得, .
，所以当时，
的面积取得最大值 .
例2 [2025·石家庄模拟] 已知椭圆 的长轴长
为,,,分别为椭圆 的上、下顶点和右顶点，且
.
（2）直线与椭圆交于,两点，与轴交于点 .
②求 的最小值.
解：因为, ，
所以 .
不妨设 , ，则
，
其中 ，
所以，所以的最小值为 .
【规律提炼】
解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是利用几何意义，
用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是
将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用
参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及
均值不等式法求解.
自测题
[2025·湖南名校联合体模拟] 已知椭圆的长
轴长为，左、右焦点分别为,，直线与椭圆交
于,两点，且的面积的最大值为.
（1）求椭圆 的方程.
解：设椭圆的半焦距为，依题意得， ,
当点在短轴端点处时的面积最大，所以 ，
即，解得 ，所以椭圆的方程为 .
[2025·湖南名校联合体模拟] 已知椭圆的长
轴长为，左、右焦点分别为,，直线与椭圆交
于,两点，且的面积的最大值为.
（2）若（ 为坐标原点）.
（i）证明： ；
证明：由(1)知,椭圆的方程可化为设 , ，
由消去得 ，
则 ，
由根与系数的关系得, .
因为 ，所以 ，
整理得 ，
则 ，
化简得，此时成立，所以 .
[2025·湖南名校联合体模拟] 已知椭圆的长
轴长为，左、右焦点分别为,，直线与椭圆交
于,两点，且的面积的最大值为.
（2）若（ 为坐标原点）.
（ii）若直线经过原点，与椭圆交于,两点，且 ，
求四边形 的面积的取值范围.
解：设线段的中点为 ，
因为 ，所以，
不妨设 ,易知 ，
.
由，得点的坐标为 ，
则
所以，化简得 ,则 ，
所以
，
所以四边形的面积的取值范围为 .
微点3 定值问题
例3 [2025·北京海淀二模] 已知椭圆 .设直线
交椭圆于不同的两点，，与轴交于点 .
（1）当时，求 的值；
解：设，，当时，直线的方程为 ，
由可得 或
所以 .
例3 [2025·北京海淀二模] 已知椭圆 .设直线
交椭圆于不同的两点，，与轴交于点 .
（2）若点满足且，求 的大小.
解：设，，线段的中点为 ，
因为，所以，且 .
由消去得 ，
则 ，
由根与系数的关系得， ，
则 ，故 ，
所以 .
因为
，所以 ，
又 ，所以
，
又，所以，所以 .
【规律提炼】
变中求不变是定值问题的本质，消参是关键，化简能力至关重要.解
决定值问题的常见方法有：
1.坐标化代数计算；
2.几何性质转化：利用几何图形的固有性质（相似、全等、平行、对
称性、垂直、角平分线等）转化几何问题，再进行坐标运算；
3.向量：利用向量的运算来表示几何量，并证明其结果与参数无关；
4.特殊值：在运动中取几个特殊位置，计算目标值后再进行验证.
自测题
[2025·南京二模] 在平面直角坐标系中，，，
，动点满足，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线 的方程.
解：因为，，所以点在以， 为
焦点，4为长轴长的椭圆上，
设椭圆方程为，焦距为 ，则，，
所以 ，所以曲线的方程为 .
[2025·南京二模] 在平面直角坐标系中，，，
，动点满足，记点的轨迹为曲线.
（2）过点且斜率不为0的直线与曲线相交于，（在 的左侧）
两点.设直线，的斜率分别为， .
①求证： 为定值；
证明：设直线的方程为，， ，
由消去整理得 ，
则，由根与系数的关系得 ，
，所以 .
因为，所以， ，所以
.
[2025·南京二模] 在平面直角坐标系中，，，
，动点满足，记点的轨迹为曲线.
（2）过点且斜率不为0的直线与曲线相交于，（在 的左侧）
两点.设直线，的斜率分别为， .
②设直线，相交于点，求证： 为定值.
证明：设，由①知，所以 ，
作关于轴的对称点，则，， 三点共线.
直线的方程即为直线的方程，为 ，
直线的方程为 ，两式作差，可得 ，
所以 ，所以， ，
易知，则 .
因为 ，所以 ，化简得 ，
即 ，
所以点在以， 为焦点，1为实轴长的双曲线的左支（椭圆内部）
上运动，
所以 ，为定值.
微点4 定点、定线问题
例4-1 [2025·山东聊城三模] 已知椭圆 的短
轴长为2，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
解：由题意得，则，所以 ，
又，所以，解得,，
故椭圆 的方程为 .
例4-1 [2025·山东聊城三模] 已知椭圆 的短
轴长为2，离心率为 .
（2）若，分别是椭圆的左、右顶点，不与轴垂直的动直线
与椭圆交于，两点（不同于，），且直线 的斜率等于
直线的斜率的2倍，求证：直线 经过定点.
证明：设直线的方程为，与椭圆 联立，消去
得 ，
由，得 ，
设,，由根与系数的关系得 ,
，
直线的斜率为，直线的斜率为 .
由已知得 ，即 ，
则 ，
化简得 ，
则 ，
整理得 .
因为直线不经过点，所以 ，
所以，得，所以直线 的方程为
，所以直线经过定点 .
例4-2 [2023· 新课标Ⅱ卷节选] 记双曲线 的左、右顶
点分别为，，过点的直线与交于，两点， 在第二
象限，直线与交于点，证明：点 在定直线上.
证明：由双曲线，得, .
当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ，
则易知， ，
直线的方程为，直线 的方程为
，
由解得 .
当直线的斜率存在时，设，，直线 的方程
为，由题意知且 ，
直线的方程为，
直线 的方程为 .
联立直线与直线的方程，消去 得
，
则 ，
即 ，
解得 .
由可得 ，
则 可得
代入①可得 ，
当直线的斜率存在时，点在直线 上.
又点在直线上，故点在定直线 上.
【规律提炼】
1.定点问题的常见处理方法：（1）参数分离法：将直线方程整理成
关于参数（如斜率、截距等）的等式，通过分离参数并令其系数
为0，解出定点坐标；（2）特殊值法（验证定点）；（3）对称性法
（特定曲线适用）若动直线由对称点或对称性质生成，可利用对
称性直接推断定点.
2.定线问题的常见处理方法：（1）轨迹法：用参数表示动点坐标，
联立关系式消去参数；（2）几何性质法：分析动点满足的固定几何
条件，直接列出该条件的方程.
自测题
1.[2025·江西六校二模] 已知抛物线 与双曲线
的渐近线在第一象限的交点为，且点 的横坐标为6.
（1）求抛物线 的标准方程；
解：设点的坐标为，因为点在第一象限，所以 ，
双曲线的渐近线方程为，因为点 在双曲线的
渐近线上，所以 ，所以点的坐标为 ，
又点在抛物线上，所以，解得 ，
故抛物线的标准方程为 .
1.[2025·江西六校二模] 已知抛物线 与双曲线
的渐近线在第一象限的交点为，且点 的横坐标为6.
（2）过点的直线与抛物线交于，两点，关于 轴的
对称点为，证明：直线 必过定点.
证明：设直线的方程为，与 联立，
消去得 ，
由，得 ，
设,，则, .
因为，所以直线的方程为 ，
即 ，
又
，
所以直线的方程为，
所以直线 过定点 .
2.[2025·湖南师大附中模拟] 已知椭圆 的离
心率为,,分别为椭圆的上、下顶点， 为坐标原点，直线
与椭圆交于不同的两点, .
（1）设点为线段的中点，证明：直线与直线 的斜率之积
为定值；
证明：设, ，则 ，
易知,，两式相减可得 ，
即 ，所以
，为定值.
2.[2025·湖南师大附中模拟] 已知椭圆 的离
心率为,,分别为椭圆的上、下顶点， 为坐标原点，直线
与椭圆交于不同的两点, .
（2）若，证明：直线与直线的交点 在定直线上.
证明：由题意得可得所以椭圆 的方程为
，则, .
由消去整理得 ，
由，得 ，
由根与系数的关系得, .
直线的方程为 ，
直线的方程为 ，
设直线与直线的交点 ，
则由①②两式相减可得 ，代入①可得，
,即 .
所以点在定直线 上.
［备选理由］例1考查双曲线中的定点问题；例2考查抛物线中的定
点、定值问题；例3考查双曲线中的求值问题；例4考查抛物线中的
定值问题；例5是不熟悉的曲线与弦的位置关系的题目，第（2）问
类比研究椭圆等熟悉曲线的性质，研究不熟悉曲线的性质，第（3）
问考查对称性以及参数法解决最值问题，对学生素养要求较高.
例1 ［配例使用］已知双曲线 的离
心率为2，右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为 .
（1）求双曲线 的标准方程；
解：右焦点的坐标为，双曲线的渐近线方程为 ，
则右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为 ，
则 ，
又因为离心率,，所以, ，
所以双曲线的标准方程为 .
例1 ［配例使用］已知双曲线 的离
心率为2，右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为 .
（2）过右焦点作直线交双曲线于,两点，过点 作直线
的垂线，垂足为，求证：直线 过定点.
证明：当直线的斜率不为0时，设直线的方程为 ，
设,,则 ，
由消去整理得 ，
则，且, ，
所以， .
直线的方程为，
令 得 ，所以
，
所以 ，所以直线过定点 .
当直线的斜率为0时，直线的方程为，此时,均在 轴
上，故直线过点 .
综上，直线过定点 .
例2 ［配例3、例4使用］已知抛物线 的焦点为
，直线与抛物线交于，两点，，点 为坐标原
点， .
（1）求抛物线 的方程.
解：由抛物线性质知，所以 ，所以抛物
线的方程为 .
例2 ［配例3、例4使用］已知抛物线 的焦点为
，直线与抛物线交于，两点，，点 为坐标原
点， .
（2）证明：直线 过定点，并求出该定点坐标.
证明：设直线的方程为，， ，
由消去整理得，则 ，
因为，所以，
又， ，所以 ，
所以，即，解得，
则直线 的方程为，
故直线过定点 .
例2 ［配例3、例4使用］已知抛物线 的焦点为
，直线与抛物线交于，两点，，点 为坐标原
点， .
（3）已知，若直线，分别与抛物线相交于， 两点
（异于，两点），记的面积为，记的面积为 ，
试判断 是否为定值？若为定值，求出此定值;若不为定值，请说明
理由.
解：设直线的方程为 ，与抛物线方程联立得
，设，则，即 ，
设，同理得 ，
因为，所以，
因为 ，，所以，
又， ，，
所以 ，
所以 为定值，定值为4.
例3 ［配例1使用］[2025·金华义乌三模] 双曲线
的离心率为，过左焦点的直线 与双曲线的左、右两支分别
交于点,，当直线与 轴垂直时， .
（1）求双曲线 的方程；
解：因为当直线与轴垂直时，，所以 ，则
，
又双曲线的离心率为，所以，则 ，
所以双曲线的方程为 .
例3 ［配例1使用］[2025·金华义乌三模] 双曲线
的离心率为，过左焦点的直线 与双曲线的左、右两支分别
交于点,，当直线与 轴垂直时， .
（2）点满足，其中是坐标原点，求四边形 的
面积.
解：由（1）知，设直线的方程为， ，
.由消去整理得 ，
则，，
因为， 分别在左、右两支上，所以，可得.
因为，所以 ，所以 .
所以，，消去 得
，解得，满足 ，则
,
又点到直线的距离 ，
所以 ，
因为，所以 ,
.
例4 ［配例3使用］[2025·安徽安庆二模] 已知抛物线
的焦点也是椭圆的一个焦点，过点 的直线交抛物线
于, 两点.
（1）求抛物线 的方程.
解：抛物线的焦点坐标为 ，
所以椭圆的焦点也在轴上，则, ，
又抛物线与椭圆有相同的焦点，所以，可得 ，所以
抛物线的方程为 .
例4 ［配例3使用］[2025·安徽安庆二模] 已知抛物线
的焦点也是椭圆的一个焦点，过点
的直线交抛物线于, 两点.
（2）求证：抛物线在, 两点处的切线互相垂直.
证明：由（1）知，因为直线 与抛物线有两个交点，所以直
线 的斜率必存在，
设直线的方程为,, ，
由消去整理得，则 .
对求导得 ，
设抛物线在,两点处的切线的斜率分别为则 , ，
则 ，
即抛物线在, 两点处的切线互相垂直.
例4 ［配例3使用］[2025·安徽安庆二模] 已知抛物线
的焦点也是椭圆的一个焦点，过点
的直线交抛物线于, 两点.
（3）设为线段的中点，以线段为直径的圆交抛物线在 处
的切线于点，试判断 是否为定值？并证明你的结论.
解：方法一：由（2）可知直线的方程为 ，
即 ，
则与轴的交点坐标为 .
，
因为, ，
所以
，
则 ,
所以 为定值.
方法二：设抛物线在,两点处的切线分别为,，两切线交点为 ，
则,，
联立得点 的坐标为 ，
由（2）知,则点的坐标为 ，
又，所以，则 ，
所以 ，
所以，即，
因为 ，所以 ，
所以，故在中， ，
所以，即，所以 ，
为定值.
方法三：设抛物线在,两点处的切线分别为,，两切线交点为 ，
则,，
联立得点 的坐标为 ，
由（2）知,则点的坐标为 ，
又，所以，则 ，
所以 ，所以，即 ，
因为 ，所以
，
又，所以 ，
，即 ，
又，所以 ，为定值.
例5 ［配例2使用］[2025·武汉模拟] 造型
. .可以看作图中曲线的一部分，已知 过
坐标原点，且曲线上的点满足横坐标大于
，到点的距离与到定直线
的距离之积为1.
（1）求 的值;
解：因为点在曲线上，所以点到直线的距离为 ，
而 ，所以，解得 .
（2）当点在曲线上时，求证： ;
例5 ［配例2使用］[2025·武汉模拟] 造型
. .可以看作图中曲线的一部分，已知 过
坐标原点，且曲线上的点满足横坐标大于
，到点的距离与到定直线
的距离之积为1.
证明：方法一：因为，所以曲线 的
方程为 ，
化简得 ，
即 ，
所以 ，则 ，
所以，当且仅当且 时取等号.
方法二：因为，所以曲线 的方程为
，
所以 ，
所以，当且仅当且 时
取等号.
方法三：如图，设曲线上一点在 轴、直线上的射影分别
为， ，则根据定义 ，
所以，即 ，
所以，当且仅当 且 时取等号.
（3）如图，过点作两条互相垂直的弦，分别交曲线于 ，
，，，其中 ，求四边
形 面积的最小值.
例5 ［配例2使用］[2025·武汉模拟] 造型
. .可以看作图中曲线的一部分，已知 过
坐标原点，且曲线上的点满足横坐标大于
，到点的距离与到定直线
的距离之积为1.
解：由 ，得
.
当其中一条直线的斜率为0时，另一条直线的
斜率不存在，此时
.
当两条直线的斜率均存在且不为0时，设直线的斜率为 ，倾斜角
为 ，由对称性不妨设 ，，
则直线的方程为，其中 ，
则直线的方程为 .
由 消去 整理得
，
所以 则 ，
故 ，
所以 ，同理 ，
所以
.
令 ，
令 ，
因为，所以 ，因为
，所以 ，
所以在 上单调递增，
当，即时， ，
此时 .
综上所述，四边形 的面积的最小值为 .

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