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微专题21　圆锥曲线热点问题(二)位置关系类
【考法探析·明规律】
例1　解:(1)方法一:设P(x,y),则|y|=,化简得y=x2+,
即W的方程为y=x2+.
方法二:根据抛物线的定义可知,点P在以F为焦点,x轴为准线的抛物线上,其中p=,
从而x2=2p=y-,故W的方程为y=x2+.
(2)证明:不妨设A,B,D三点在W上,且有BA⊥DA,
设A,直线BA,DA的斜率分别为k,-,由对称性不妨设|k|≤1.
由可得x2-kx+ka-a2=0,
由根与系数的关系得xA+xB=k,
所以B,
所以|AB|=·|k-2a|.
同理可得|AD|=·=·,
所以|AB|+|AD|=·|k-2a|+·≥
≥·=.
令m=k2,设f(m)==m2+3m++3(0所以f(m)在上单调递减,在上单调递增,所以f(m)在(0,1]上的最小值为f=.
所以|AB|+|AD|=≥,分析可知,|AB|+|AD|取不到,
所以矩形ABCD的周长为2(|AB|+|AD|)>3,故得证.
自测题
1.解:(1)由题意可得
解得所以椭圆C的方程为+=1.
(2)假设在椭圆C上存在关于直线l对称的相异两点,分别设为B(x1,y1),C(x2,y2),由(1)知F1(-,0),F2(,0),
设直线l与x轴的交点为Q(x0,0)(-因为l为∠F1AF2的平分线,
所以∠F1AQ=∠QAF2,
又∠F1QA+∠AQF2=π,
所以sin∠F1AQ=sin∠QAF2,
sin∠F1QA=sin∠AQF2,在△F1QA中,由正弦定理得=,
在△F2QA中,由正弦定理得=,两式相除得=,
所以=,
化简得2-11x0+12=0,
解得x0=4(舍去)或x0=,所以kl=2,
所以直线l的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.
因为B,C关于直线l对称,所以kBC=-,
设直线BC的方程为y=-x+m,
由消去y得2x2-4mx+4m2-8=0,
由Δ=16m2-4×2×(4m2-8)>0,解得-2由根与系数的关系得x1+x2=2m,x1x2=2m2-4.
设线段BC的中点为N(x0,y0),
则x0==m,代入直线BC的方程得y0=,所以N,
将N的坐标代入l的方程,可得m=2,与-2故假设不成立,所以椭圆C上不存在关于直线l对称的相异两点.
2.解:(1)因为四边形ABCD为平行四边形,B,D分别是椭圆Ω的左、右顶点,
所以线段BD,AC的中点为坐标原点,又点A,C在椭圆Ω上,
椭圆Ω为中心对称图形,所以点A,C关于原点对称.
(2)(i)由对称性可知|CF2|=|AF1|,
又|AF2|+|CF2|=6,
所以|AF2|+|AF1|=6,
由椭圆的定义可知2a=6,即a=3,所以D(3,0).
设A(x,y)(y≠0),则C(-x,-y),
因为点A在椭圆上,所以+=1,所以y2=b2,
又kAD·kCD=-,所以·=-,即=,
所以b2=,
解得b2=,所以椭圆Ω的方程为+=1.
(ii)过点A作AH⊥BD,垂足为H,直线x=4与x轴交于点M,
因为AD⊥DE,所以∠ADH+∠EDM=90°,又∠ADH+∠HAD=90°,所以∠HAD=∠EDM,
所以Rt△AHD∽Rt△DME,所以==,
又|AD|=2|DE|,M(4,0),D(3,0),
所以|AH|=2|DM|=2,|HD|=2|ME|,
所以|yA|=2,
又点A在椭圆上,所以+=1,解得xA=±1.
当点A的坐标为(1,2)时,|HD|=2,所以|ME|=1,
又B(-3,0),所以S△ABE=S△ABH+S四边形AHME-S△MBE=×4×2+×(1+2)×3-×7×1=5.
当点A的坐标为(-1,2)时,|HD|=4,所以|ME|=2,所以四边形AHME是矩形,
又B(-3,0),所以S△ABE=S△ABH+S四边形AHME-S△MBE=×2×2+5×2-×7×2=5.
由对称性可得当A(1,-2)或A(-1,-2)时,S△ABE=5.
综上可得,S△ABE=5.
例2　解:(1)设F(c,0)(c>0),
当直线PF与x轴垂直时,不妨取P,则+=1,
又a2=b2+c2,所以4b4=a2.
因为|PR|的最小值为2-b=1,所以b=1,
则a=2,c=,故椭圆E的方程为+y2=1.
(2)设M(m,0),N(n,0),R(t,2),易知直线RM,RN的斜率均不为0,
则直线RM的方程为x=y+m,直线RN的方程为x=y+n,
由消去x整理得[16+(t-m)2]y2+4(t-m)my+4(m2-4)=0,
因为RM与椭圆E相切,所以Δ=[4(t-m)m]2-4[16+(t-m)2]·4(m2-4)=0,
即16(t-m)2m2-16[16+(t-m)2](m2-4)=0,
化简得3m2+2tm-t2-16=0,
同理有3n2+2tn-t2-16=0,
故m,n是一元二次方程3x2+2tx-t2-16=0的两根,由根与系数的关系得m+n=-,mn=-,所以|MN|=|m-n|==
=,
又t2≥0,所以S△RMN=|MN|×2=≥=,所以△RMN的面积的取值范围为.
自测题
解:(1)因为椭圆+y2=1的上顶点为(0,1),所以抛物线C:x2=2py的焦点为F(0,1),
所以抛物线C的标准方程为x2=4y,其准线方程为y=-1.
(2)易知直线l的斜率一定存在,
设直线l的方程为y=kx+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),
由消去y得x2-4kx-4=0,由根与系数的关系得x1+x2=4k,x1x2=-4,则|PQ|=·=·=4(1+k2)=8,解得k=±1,
所以直线l的方程为x-y+1=0或x+y-1=0.
(3)证明:依题意,设M(t,-1),A(x3,y3),B(x4,y4),
由y=x2,求导得y'=x,
所以抛物线C在点A处的切线方程为y-y3=x3(x-x3),
即2y-2y3=x3x-4y3,整理得x3x=2(y+y3),
同理抛物线C在点B处的切线方程为x4x=2(y+y4),
又点M(t,-1)是两切线的交点,所以tx3=2(-1+y3),tx4=2(-1+y4),
故直线AB的方程为tx=2(y-1),显然直线AB过点(0,1),
所以A,B,F三点共线.限时集训(二十一)
1.解:(1)设双曲线C的焦距为2c,
因为双曲线C的离心率为2,所以==4-1=3,
即b2=3a2,所以双曲线C的方程为-=1.
当直线l的斜率为0时,直线l的方程为y=1,代入-=1,得x=±,
所以|AB|=2=,解得a2=4,
所以双曲线C的标准方程为-=1.
(2)假设存在直线l,使得A,B两点关于直线y=x+2对称,
则直线l与直线y=x+2垂直,所以k=-1,
所以直线l的方程为y=-x+2,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得2x2+4x-16=0,则x1+x2=-2,
则y1+y2=-(x1+x2)+4=6,
所以线段AB的中点坐标为(-1,3),
又因为3≠-1+2,即点(-1,3)不在直线y=x+2上,
所以不存在l,使得A,B两点关于直线y=x+2对称.
2.解:(1)由题意得2c=2,解得c=,
因为双曲线的渐近线方程为ay±bx=0,
所以=1,可得a=b,
又a2+b2=c2=2,所以a=b=1,所以双曲线E的标准方程为x2-y2=1.
(2)由λ>1得,同向,
且||>||,所以直线F1A,F2B与双曲线E均有两个交点.
设直线F1A:x=ty-,它与E的另一个交点记为C.
由双曲线的对称性可知,点B与点C关于原点对称,则|F1C|=|F2B|,所以三角形AF2B的面积等于三角形CF1F2的面积,
所以四边形AF1F2B的面积等于三角形ACF2的面积.
设A(x1,y1),C(x2,y2),
由消去x整理得(t2-1)y2-2ty+1=0,则t2-1≠0,
则y1+y2=,y1y2=,
则三角形ACF2的面积S=×2·|y1-y2|===,
整理得14t4-37t2+5=0,解得t2=或t2=.
当t2=>1时,y1y2=>0,故A,C均在x轴上方或下方,
不妨令A,C均在x轴上方,画出大致图象如图,
此时,反向,不符合题意,
所以t2=,经验证得,同向,符合题意.
当t=-时,由解得y=-或y=,
因为λ>1,所以y1=-,y2=,
故λ====3;
当t=时,同理可得λ===3.
综上,λ=3.
3.解:(1)由题知,PQ⊥x轴,由|PQ|=2,可设P(x0,1),则x0=,
由y=,得y'=,
所以kPG==p,
所以p==,可得p=,
所以抛物线E的标准方程为y2=x.
(2)(i)设AB的方程为x=my+n(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由得y2-my-n=0,
所以y1+y2=m,y1y2=-n,Δ=m2+4n>0.
因为|AB|=|y1-y2|=2,
所以|AB|2=(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]=(1+m2)(m2+4n)=4,
即m4+4m2n+m2=4-4n.
因为x1+x2=m(y1+y2)+2n=m2+2n,所以C,
所以==4=m4+4n2+m2+4m2n=4n2-4n+4=4,
所以当n=时,|+|取得最小值.
(ii)证明:方法一:由(i)知直线AB的方程为x=my+n(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),C,
设D(x4,y4),易知直线OC的方程为y=x,代入抛物线方程可得y4=.
直线AD的斜率k===,
则直线AD的方程为y=(x-x1)+y1,
易知直线OB的方程为y=x=x=x,将直线OB的方程代入直线AD的方程,可得xM=,yM=,
即M.
同理N.
所以直线MN的斜率kMN=
=·=
===kAB,
所以AB∥MN.
方法二(极点极线):
因为C,
所以点C关于抛物线E的极线MN的方程为y·=,
即y=,
又因为直线AB的斜率kAB===,
所以kMN=kAB,则AB∥MN.
4.解:(1)由题得所以所以椭圆E的标准方程为+=1.
(2)当外切矩形ABCD的四边所在直线的斜率不存在或为零时,矩形ABCD的面积为2a·2b=4ab=32.
当外切矩形ABCD的四边所在直线的斜率都存在时,
设直线AB的方程为y=kx+m(k≠0),
由消去y整理得(3+4k2)x2+8mkx+4m2-48=0,
由AB与椭圆相切得Δ=64m2k2-4(3+4k2)(4m2-48)=-48m2+576+768k2=0,得m2=12+16k2,
由题可设直线CD的方程为y=kx+s(s≠m),同理可得s2=12+16k2,
直线CD和直线AB间的距离d1=.
设直线BC的方程为=-x+n,
由消去x整理得(4+3k2)y2-6nk2y+3n2k2-48=0,
由BC与椭圆相切得Δ=36n2k4-4(4+3k2)(3n2k2-48)=-48n2k2+768+576k2=0,得n2=+12,
由题可设直线AD的方程为y=-x+t(n≠t),
同理可得t2=+12,直线BC和直线AD间的距离d2=.
所以矩形ABCD的面积S=d1d2=·=
=
16,
令h=k2+≥2=2,当且仅当k2=,即k=±1时,等号成立,所以0<≤,则S=16=16∈(32,56],
综上,矩形ABCD的面积的取值范围为[32,56].
(3)证明:设切线PM的方程为y=k0x+m0,
由消去y得(3+4)x2+8m0k0x+4-48=0,
则Δ=64-4(3+4)(4-48)=-48+576+768=0,得=12+16,此时xM=-,
yM=k0+m0=,
所以kOM=-,
同理可得kON=,
所以kOM·kON=-,为定值.微专题21　圆锥曲线热点问题(二)位置关系类
微点1　对称问题
例1 [2023·新课标Ⅰ卷] 在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点的距离,记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程;
(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于3.
【规律提炼】
在解决圆锥曲线问题中,对称关系是常见的关系,可以利用四边形中的对称关系、角平分线中的对称关系等设点,减少参数,结合距离相等、垂直关系等条件降低运算量.
自测题
1.[2025·山东淄博二模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2,点A(2,1)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设l为∠F1AF2的平分线所在的直线,C上是否存在关于直线l对称的相异两点 若存在,请找出;若不存在,请说明理由.
2.[2025·贵州黔南三模] 已知F1,F2分别是椭圆Ω:+=1(a>b>0)的左、右焦点,B,D分别是椭圆Ω的左、右顶点,点A,C在椭圆Ω上,且不与B,D两点重合.
(1)当四边形ABCD为平行四边形时,请写出点A,C的位置关系(说明理由即可,不需证明).
(2)在(1)的条件下,若|AF2|+|CF2|=6,且kAD·kCD=-.
(i)求椭圆Ω的方程;
(ii)若点E在直线x=4上,且|AD|=2|DE|,AD⊥DE,求△ABE的面积.
微点2　双相切问题
例2 [2025·广东深圳二模] 已知椭圆E:+=1(a>b>0),F为椭圆E的右焦点,P为椭圆E上的动点,当直线PF与x轴垂直时,|PF|=,R是直线y=2上一动点,|PR|的最小值为1.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过R作E的两条切线分别交x轴于M,N两点,求△RMN的面积的取值范围.
【规律提炼】
求圆锥曲线切点弦所在直线的方程时,会用到“同构”的思想,步骤为:
1.切线“参数化”:对给定的圆锥曲线,由斜率k或其他参数表示过某点的切线方程;
2.构造统一方程:将切线方程化为关于参数k的方程;
3.利用根与系数的关系:若两条切线对应参数k1,k2是方程F(k)=0的两个根,此时可用根与系数的关系得到k1+k2,k1k2的值,从而绕开单独求k1,k2的复杂计算.
自测题
已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F与椭圆+y2=1的上顶点重合,点O为坐标原点.
(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程;
(2)过点F的直线l交抛物线C于P,Q两点,且|PQ|=8,求直线l的方程;
(3)设点M是抛物线C的准线上任意一点,直线MA,MB分别与抛物线C相切于点A,B,证明:A,B,F三点共线.　限时集训(二十一)　微专题21　圆锥曲线热点问题(二)位置关系类
1.[2025·邢台二模] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过点P(1,1)的直线l与双曲线C相交于A,B两点,且当直线l的斜率为0时,|AB|=.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)是否存在直线l,使得A,B两点关于直线y=x+2对称 若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
2.[2025·浙江衢州、丽水、湖州三地二模] 已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,圆(x-)2+y2=1与双曲线E的渐近线相切.
(1)求双曲线E的标准方程;
(2)若双曲线E上的两点A,B满足=λ(λ>1),且四边形AF1F2B的面积为,求λ的值.
3.[2025·宜宾二诊] 已知抛物线E:y2=2px(p>0),过点G(-1,0)作抛物线E的切线,切点分别为P,Q,且|PQ|=2.
(1)求抛物线E的标准方程.
(2)设A,B为E上两点,C为线段AB的中点(C不在x轴上),O为坐标原点,直线OC交抛物线E于另一点D,直线DA与直线OB交于点M,直线AO与直线DB交于点N.
(i)若|AB|=2,求|+|的最小值;
(ii)求证:AB∥MN.
4.已知椭圆E:+=1(a>b>0)过G(-4,0),H(2,3)两点,椭圆E的所有外切矩形的顶点在一个定圆Q:x2+y2=a2+b2上,称此圆为椭圆E的蒙日圆.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)矩形ABCD为椭圆E的外切矩形,求矩形ABCD面积的取值范围;
(3)过椭圆E的蒙日圆上一点P作椭圆的两条切线,切点分别为M,N,且直线OM,ON的斜率kOM,kON都存在(O为坐标原点),证明:kOM·kON为定值.(共48张PPT)
微专题21 圆锥曲线热点问题（二）
位置关系类
微点1 对称问题
微点2 双相切问题
◆
◆
考法探析·明规律
备用习题
微点1 对称问题
例1 [2023· 新课标Ⅰ卷] 在直角坐标系中，点到 轴的距离等于
点到点的距离，记动点的轨迹为 .
（1）求 的方程；
解：方法一：设，则，化简得，
即的方程为 .
方法二：根据抛物线的定义可知，点在以为焦点， 轴为准
线的抛物线上，其中 ，
从而，故的方程为 .
例1 [2023· 新课标Ⅰ卷] 在直角坐标系中，点到 轴的距离等于
点到点的距离，记动点的轨迹为 .
（2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形 的周长大
于 .
证明：不妨设，，三点在上，且有 ，
设直线,的斜率分别为 ,由对称性不妨设 .
由可得 ，
由根与系数的关系得 ，所以 ，
所以 .
同理可得 ，
所以
.
令，设 ，
可得 ，
所以在上单调递减，在上单调递增,
所以在 上的最小值为 .
所以分析可知, 取不到 ，
所以矩形的周长为 ，故得证.
【规律提炼】
在解决圆锥曲线问题中，对称关系是常见的关系，可以利用四边形
中的对称关系、角平分线中的对称关系等设点，减少参数，结合距
离相等、垂直关系等条件降低运算量.
自测题
1.[2025·山东淄博二模] 已知椭圆 的左、右
焦点分别为,，焦距为，点在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程.
解：由题意可得 解得
所以椭圆的方程为 .
1.[2025·山东淄博二模] 已知椭圆 的左、右
焦点分别为,，焦距为，点在椭圆 上.
（2）设为的平分线所在的直线，上是否存在关于直线 对
称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，请说明理由.
解：假设在椭圆上存在关于直线 对称的相异两点，分别设为
，，由（1）知， ，
设直线与轴的交点为 ，
因为为 的平分线，所以 ，
又所以 ，
，
在 中，由正弦定理得 ，
在中，由正弦定理得 ，
两式相除得 ，所以 ，
化简得 ，
解得（舍去）或，所以 ，
所以直线的方程为，即 .
因为,关于直线对称，所以 ，
设直线的方程为 ，
由消去得 ，
由，解得 ，
由根与系数的关系得, .
设线段的中点为 ，
则，代入直线的方程得，所以 ，
将的坐标代入的方程，可得，与 矛盾，
故假设不成立，所以椭圆上不存在关于直线 对称的相异两点.
（1）当四边形为平行四边形时，请写出点， 的位置关系
（说明理由即可，不需证明）.
解：因为四边形为平行四边形，，分别是椭圆 的左、右
顶点，所以线段，的中点为坐标原点，又点，在椭圆 上，
椭圆 为中心对称图形，所以点， 关于原点对称.
2.[2025·贵州黔南三模] 已知 分别是椭圆
的左、右焦点，，分别是椭圆 的左、右顶点，点，在椭圆
上，且不与, 两点重合.
2.[2025·贵州黔南三模] 已知 分别是椭圆
的左、右焦点，，分别是椭圆 的左、右顶点，点，在椭圆
上，且不与, 两点重合.
（2）在（1）的条件下，若，且 .
（ⅰ）求椭圆 的方程；
解：由对称性可知 ，
又 ，所以 ，
由椭圆的定义可知，即，所以 .
设，则 ，
因为点在椭圆上，所以，所以 ，
又，所以，即 ，所以
，解得，所以椭圆 的方程为 .
（2）在（1）的条件下，若，且 .
（ⅱ）若点在直线上，且，，求
的面积.
2.[2025·贵州黔南三模] 已知 分别是椭圆
的左、右焦点，，分别是椭圆 的左、右顶点，点，在椭圆
上，且不与, 两点重合.
解：过点作，垂足为，直线与轴交于点 ，
因为，所以 ，
又 ，所以 ，
所以，所以 ，
又，， ，
所以， ，所以 ，
又点在椭圆上，所以，解得 .
当点的坐标为时，，所以 ，
又 ，所以
.
当点的坐标为时，,所以 ，所以四边形
是矩形，
又 ，所以
.
由对称性可得当或时， .
综上可得, .
微点2 双相切问题
例2 [2025·广东深圳二模] 已知椭圆， 为
椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，当直线与 轴垂直时，
，是直线上一动点， 的最小值为1.
（1）求椭圆 的方程；
解：设 ，当直线与轴垂直时，不妨取，
则 ，又，所以 .
因为的最小值为，所以 ，则,，
故椭圆的方程为 .
例2 [2025·广东深圳二模] 已知椭圆， 为
椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，当直线与 轴垂直时，
，是直线上一动点， 的最小值为1.
（2）过作的两条切线分别交轴于，两点，求 的面积
的取值范围.
解：设,,，易知直线， 的斜率均不为0，
则直线的方程为,直线的方程为 ，
由消去 整理得
，
因为与椭圆 相切，所以
，
即 ，
化简得 ，
同理有 ，
故，是一元二次方程 的两根，
由根与系数的关系得, ，所以
，
又，所以 ，
所以的面积的取值范围为 .
【规律提炼】
求圆锥曲线切点弦所在直线的方程时，会用到“同构”的思想，步骤
为：
1.切线“参数化”：对给定的圆锥曲线，由斜率或其他参数表示过某
点的切线方程；
2.构造统一方程：将切线方程化为关于参数的方程；
3.利用根与系数的关系：若两条切线对应参数,是方程
的两个根，此时可用根与系数的关系得到,的值，从而绕
开单独求,的复杂计算.
自测题
已知抛物线的焦点与椭圆 的上顶点
重合，点 为坐标原点.
（1）求抛物线 的标准方程及其准线方程；
解：因为椭圆的上顶点为，所以抛物线
的焦点为 ，
所以抛物线的标准方程为，其准线方程为 .
已知抛物线的焦点与椭圆 的上顶点
重合，点 为坐标原点.
（2）过点的直线交抛物线于,两点，且，求直线 的方程；
解：易知直线 的斜率一定存在，
设直线的方程为，, ，
由消去得 ，
由根与系数的关系得,，
则，解得 ，
所以直线的方程为或 .
已知抛物线的焦点与椭圆 的上顶点
重合，点 为坐标原点.
（3）设点是抛物线的准线上任意一点，直线, 分别与抛物
线相切于点,，证明：,, 三点共线.
证明：依题意，设，, ，
由，求导得 ，
所以抛物线在点处的切线方程为 ，
即，整理得 ，
同理抛物线在点处的切线方程为 ，
又点是两切线的交点，
所以 ， ，
故直线的方程为，显然直线过点 ，
所以,, 三点共线.
［备选理由］例1是经典的对称过定点问题；例2是点差法求直线方
程，以及抛物线的双切线求面积最值问题，注意所求的三角形两点
并非抛物线上的点，与常规所求图形略微有所区别；例3和椭圆的蒙
日圆有关，体现有关切线的性质.
（1）求双曲线 的方程.
解：由题知，,，则, .
因为，所以，所以，所以 ，
所以双曲线的方程为 .
例1 ［配例1使用］[2025·湖南长沙模拟] 已知双曲线
的焦距为4，一条渐近线的倾斜角为 .
例1 ［配例1使用］[2025·湖南长沙模拟] 已知双曲线
的焦距为4，一条渐近线的倾斜角为 .
（2）过点作直线，与双曲线的左支相交于,两点，点
与点关于轴对称，问：直线 是否过定点？若是，求出该定点的
坐标；若不是，请说明理由.
解：设直线的方程为，代入 ，得
，即 ，
设,，则, .
假设直线过定点，因为点与点及双曲线的左支均关于 轴对
称，所以猜想：定点在 轴上.
设，由题知，则 ,
.
因为向量与共线，所以 ，
即 ，
即，
所以 ，即 .
因为为变量，所以，所以直线过定点 .
经检验，符合题意，所以直线过定点 .
例2 ［配例2使用］[2025·浙江台州二模] 已知抛物线
的焦点为，直线与抛物线 交于， 两
点，且为线段 的中点.
（1）求抛物线 的标准方程；
解：因为抛物线的焦点为 ，
所以，解得 ，
所以抛物线 的标准方程为 .
例2 ［配例2使用］[2025·浙江台州二模] 已知抛物线
的焦点为，直线与抛物线 交于， 两
点，且为线段 的中点.
（2）求直线 的方程；
解：由题易知直线的斜率存在.设, ，则
两式相减得，即 .
因为线段的中点为，所以, ，
所以，则直线的方程为 ，
即直线的方程为 .
例2 ［配例2使用］[2025·浙江台州二模] 已知抛物线
的焦点为，直线与抛物线 交于， 两
点，且为线段 的中点.
（3）过点作抛物线 的两条切线，分别交直线 于
，两点，求 的面积的最小值.
解：设过点的抛物线的切线方程为 ，
由消去整理得，由 ，
可得，则， .
设直线的方程为 ，
由 可得，同理得 ，
则
.
因为点到直线的距离 ,所以 ，
令，,则 ，
令，可得 .
当时，，单调递减；
当 时，， 单调递增.
所以，所以的面积的最小值为 .
例3 ［配例2使用］[2025·陕西西安模拟] 已知左、右焦点分别为
，的椭圆的离心率为，点在椭圆
上，且面积的最大值为 .
（1）求椭圆 的方程.
解：根据题意得可得
所以椭圆的方程为 .
例3 ［配例2使用］[2025·陕西西安模拟] 已知左、右焦点分别为
，的椭圆的离心率为，点在椭圆
上，且面积的最大值为 .
（2）过点作椭圆的两条切线 ，
，为切点 .
①求证：以为直径的圆过点 ；
证明：易知点在以原点为圆心， 为半径
的圆上，所以点的轨迹方程为 .
当切线，中一条切线的斜率不存在时， ，
此时，在椭圆顶点处，，故以为直径的圆过点 .
当切线，的斜率存在时，设，设过点 的切线的方程
为，与椭圆方程联立，消去 整理得
，
因为切线与椭圆相切，所以 ，
所以 ，
所以切线与互相垂直，所以以为直径的圆过点 .
综上，以为直径的圆过点 .
例3 ［配例2使用］[2025·陕西西安模拟] 已知左、右焦点分别为
，的椭圆的离心率为，点在椭圆
上，且面积的最大值为 .
（2）过点作椭圆的两条切线 ，
，为切点 .
②求 面积的取值范围.
解：当直线的斜率不存在时，，
又 ，所以切线斜率为 ，
不妨取直线，与 联立得
，可得 ，
此时 .
当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，
, ，
由得 ，则
, ，
，
因为 ，
点到直线的距离 ，
所以 .
又直线，直线，切线， 相交
于点，所以，，
则直线 的方程为 ，即，
所以, ，
则 ，
令,，则 ，
设， ，
所以在上单调递增，则 ，
综上，面积的取值范围为 .

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