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高分提能六　圆锥曲线中非对称韦达定理的解题技巧
【典型例题】
例1　解:(1)由题意得可得
故椭圆C的方程为+=1.
(2)证明:由题意,直线MN的方程为y=kx+4,A(0,2),B(0,-2),
设M(x1,y1),N(x2,y2),
由消去y整理得(1+2k2)x2+16kx+24=0,
则Δ=(16k)2-4(1+2k2)×24>0,可得k2>,
所以k<-或k>,由根与系数的关系得
直线BM的方程为y+2=x,直线AN的方程为y-2=x,
由消去x整理可得=,从而===.
方法一:由①②知kx1x2=-(x1+x2),
则===-3,
从而=-3,解得yG=1,所以点G在定直线y=1上.
方法二:由①知x1=--x2,
结合②得=
=
=-3,
从而=-3,解得yG=1,所以点G在定直线y=1上.
例2　解:(1)由题意得A(-2,0),B(2,0),F(1,0),当l的斜率为1时,l的方程为y=x-1,设M(x1,y1),N(x2,y2),
由消去x整理得7y2+6y-9=0,判别式Δ=62-4×7×(-9)=288>0,
则y1+y2=-,y1y2=-,所以四边形AMBN的面积S=|AB|·|y1-y2|=|AB|·=×4×=.
(2)证明:显然直线l不与y轴垂直,故可设其方程为x=my+1,
由消去x整理得(3m2+4)y2+6my-9=0,易得判别式Δ1>0,由根与系数的关系得
由题意得==
=.
方法一:由①②知my1y2=(y1+y2),所以==
=,即为定值.
方法二:由①知y1=--y2,
结合②得=
=
=,即为定值.提能特训(六)
1.解:(1)由题知解得
∴椭圆C的方程为+=1.
(2)当直线l的斜率为0时,不妨设M(-2,0),N(2,0),
由平面几何知识得|BP|==,|BQ|==,
此时=1.
下面证明当直线l的斜率符合题意且不为0时,恒有=1.
设直线l:x=my-4,M(x1,y1),N(x2,y2).
由得(m2+4)y2-8my+8=0,
令Δ=64m2-4×8×(m2+4)>0,解得m2>4,
则y1+y2=,y1·y2=.
此时直线AM的方程为y+1=(x+2),
令x=-4,得yP=-1.
同理可得yQ=-1.
方法一:和积转化——寻找两根之和与两根之积的关系.
====,
因为y1+y2=my1y2,
所以====1.
方法二:半代换——对能代换的部分使用韦达定理,剩下的部分进行配凑.
======1.
方法三:先猜后证——先寻找一个特殊情况得到定值1,不难发现点P,Q关于点B对称,再通过证明点P,Q的纵坐标互为相反数,从而得到其余情况也是定值1.
yP+yQ=--=
-=
-=0,故yQ=-yP,所以====1.
2.解:(1)以OB为对角线的正方形OPBQ(不妨设P在第一象限)的顶点分别为O(0,0),B(a,0),P,Q.因为P,Q在椭圆上,
所以+=1,所以=3,即a2=3b2,所以c2=a2-b2=2b2,所以离心率e==.
(2)方法一(特值验证):
当a=2时,b=,所以椭圆C的方程为x2+3y2=4.
①当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=1,不妨设M在第一象限,则M(1,1),N(1,-1),
所以k1==,k2==1,所以=.
②当直线l的斜率存在时,设l的方程为x=my+1,m≠0,
M(x1,y1),N(x2,y2),不妨设y2<0由可得(m2+3)y2+2my-3=0,Δ=16m2+36>0,
所以y1+y2=-,
y1y2=-.
要证=,只需证=,
只需证3y1(x2-2)=y2(x1+2),只需证3y1(my2-1)=y2(my1+3),
只需证2my1y2=3(y1+y2),
因为y1+y2≠0,m≠0,
所以只需证=.
因为y1+y2=-,y1y2=-,
所以=,所以=.
综上所述,=.
方法二(整体代换):
当a=2时,b=,所以椭圆C的方程为x2+3y2=4.
设l的方程为x=my+1,
M(x1,y1),N(x2,y2),不妨设y2<00,
所以y1+y2=-,y1y2=-,所以=,
即2my1y2=3(y1+y2).
==·=
==
==,
所以=.
方法三(设而不求):
当a=2时,b=,所以椭圆C的方程为x2+3y2=4.
设l的方程为x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),不妨设y2<0由可得(m2+3)y2+2my-3=0,Δ=16m2+36>0,所以y1+y2=-,y1y2=-.
因为N在椭圆C上,所以+3=4,即-4+3=0,
所以·=-.
==·=·==
=
==,所以=.
方法四(引入参数):
当a=2时,b=,所以椭圆C的方程为x2+3y2=4.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
不妨设y2<0因为M在椭圆上,所以+3=4,所以·=-,
所以k1==-·,同理k2==-·.设t=,
则t==,
所以tx1y2+2ty2=x2y1-2y1①,
x1y2-2y2=tx2y1+2ty1②,
①+②得(t+1)x1y2+2(t-1)y2=(t+1)x2y1+2(t-1)y1.
当t=-1时,y2=y1,不合题意,舍去;
当t≠-1时,y2=y1,所以直线MN经过点,
又直线MN过定点(1,0),
所以=1,解得t=.
综上所述,=.
3.解:(1)由题意得A1(-a,0),A2(a,0),P(0,b),
则·=(-a,-b)·(a,-b)=-a2+b2=-c2=-1,所以c=1,
又所以a=,b=1,所以椭圆E的方程为+y2=1.
(2)证明:当直线l的斜率不存在时,直线AM与y轴重合.
当直线l的斜率存在时,
设直线l:y=kx-4,A(x1,y1),B(x2,y2),则M(-x2,y2),
由消去y得(1+2k2)x2-16kx+30=0,由Δ=(-16k)2-120(1+2k2)>0,得k2>,
所以x1+x2=,x1x2=.
kAM===,
则直线AM的方程为y-y1=(x-x1),
即y=y1+(x-x1)=kx1-4+(x-x1)=
=
=
x+-4,
因为x1+x2=,x1x2=,所以-4=-4=-,直线AM的方程可化为y=x-,则直线AM恒过定点.
因为点在y轴上,所以直线AM恒过定点.高分提能六　圆锥曲线中非对称韦达定理的解题技巧
非对称韦达定理问题的几种处理策略
　　将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去y,得到一元二次方程ax2+bx+c=0,若a>0,设它的两个根分别为x1,x2,则x1+x2=-,x1x2=,借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理|x1-x2|,+,+之类的结构.但在一些定点、定值、定线问题中,我们会遇到涉及x1,x2的不同系数的代数式的计算,比如求λx1+μx2或,之类的结构,就无法直接利用韦达定理来处理了.形如x1+2x2,λx1y2+μx2y1,,中x1,x2的系数不相等的情况,这些式子是非对称结构,称为“非对称韦达定理”.
　　例如:y1+y2=,y1y2=,求.
　　策略一:和积转换——找出韦达定理中的两根之和与两根之积的关系.
　　因为y1y2=(y1+y2),所以===2.
　　策略二:配凑半代换——对能代换的部分进行代换,剩下的部分进行配凑.
　　===2.
例1 已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点P(2,),且离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的上、下顶点分别为A,B,过点P(0,4)且斜率为k的直线与椭圆C交于M,N两点,求证:直线BM与AN的交点G在定直线上.
例2 已知F为椭圆+=1的右焦点,A,B分别为其左、右顶点,过F作直线l交椭圆于不与A,B重合的M,N两点.
(1)当l的斜率为1时,求四边形AMBN的面积S;
(2)设直线AM,BN的斜率分别为k1和k2,求证:为定值.　提能特训(六)圆锥曲线中非对称韦达定理的解题技巧
1.已知椭圆C:+=1过点A(-2,-1),且a=2b.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=-4于点P,Q,求的值.
2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,O为原点.以OB为对角线的正方形OPBQ的顶点P,Q在C上.
(1)求C的离心率.
(2)当a=2时,过点(1,0)作与x轴不重合的直线l与C交于M,N两点,直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,试判断是否为定值 若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
3.已知A1,A2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右顶点,离心率e=,P是椭圆E的上顶点,且·=-1.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若动直线l过点(0,-4),且与椭圆E交于A,B两点,点M与点B关于y轴对称,求证:直线AM恒过定点.
基础过关
能力提升(共14张PPT)
高分提能六 圆锥曲线中非对称韦达定理
的解题技巧
◆
典型例题
非对称韦达定理问题的几种处理策略
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去，得到一元二次方程
，若，设它的两个根分别为,，则
,,借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理
,,之类的结构.但在一些定点、定值、定线问题
中，我们会遇到涉及,的不同系数的代数式的计算，比如求
或，之类的结构，就无法直接利用韦达定理来处
理了.形如，,，中,的系数不相
等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达定理”.
例如：,,求.
策略一：和积转换——找出韦达定理中的两根之和与两根之积的关系.
因为,所以.
策略二：配凑半代换——对能代换的部分进行代换,剩下的部分进行
配凑.
.
例1 已知椭圆过点,且离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
解：由题意得可得
故椭圆的方程为 .
例1 已知椭圆过点,且离心率为 .
（2）设椭圆的上、下顶点分别为，，过点且斜率为 的直
线与椭圆交于，两点，求证：直线与的交点 在定直线上.
证明：由题意，直线的方程为,, ,
设, ,
由消去整理得 ,
则,可得 ，
所以或,由根与系数的关系得
直线的方程为,直线的方程为 ,
由消去整理可得 ，
从而 .
方法一：由①②知 ,
则 ，
从而,解得,所以点在定直线 上.
方法二：由①知 ,
结合②得 ，
从而,解得,所以点在定直线 上.
例2 已知为椭圆的右焦点，， 分别为其左、右顶点，
过作直线交椭圆于不与，重合的， 两点.
（1）当的斜率为1时，求四边形的面积 ；
解：由题意得,,,
当的斜率为1时， 的方程为，设, ，
由消去整理得 ,
判别式 ，
则，，所以四边形 的面积
.
例2 已知为椭圆的右焦点，， 分别为其左、右顶点，
过作直线交椭圆于不与，重合的， 两点.
（2）设直线，的斜率分别为和,求证： 为定值.
证明：显然直线不与轴垂直，故可设其方程为 ,
由消去整理得 ,
易得判别式,由根与系数的关系得
由题意得 .
方法一：由①②知 ,
所以,即为定值 .
方法二：由①知 ,
结合②得，即为定值 .

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