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高分提能七　圆锥曲线融合交汇问题
【典型例题】
例1　解:(1)∵点P1(5,4)在C上,
∴25-16=m,得m=9.
过点P1(5,4)且斜率k=的直线的方程为y-4=(x-5),即x-2y+3=0.
由解得
或∴Q1(-3,0),
∴P2(3,0),得x2=3,y2=0.
(2)证明:由题知,当n>1且n∈N*时,Pn(xn,yn)关于y轴的对称点是Qn-1(-xn,yn),
Pn-1(xn-1,yn-1)与Qn-1(-xn,yn)在同一条斜率为k的直线上,
则xn-1≠-xn,即xn-1+xn≠0,且yn-yn-1=-k(xn+xn-1)①,
又Pn-1,Qn-1都在双曲线C上,
∴由②-③得(xn-xn-1)(xn+xn-1)=(yn-yn-1)(yn+yn-1),
将①式代入上式得xn-xn-1=-k(yn+yn-1)④,
由④-①得xn-yn-(xn-1-yn-1)=k(xn-yn)+k(xn-1-yn-1),
即(1-k)(xn-yn)=(1+k)(xn-1-yn-1),由题知xn-yn≠0,
∴=,
又x1-y1=5-4=1≠0,
∴数列{xn-yn}是公比为的等比数列.
(3)证明:由(2)得数列{xn-yn}是公比为的等比数列,
∵x1-y1=5-4=1,∴xn-yn=(x1-y1)=.
记q=,则q>1,xn-yn=qn-1,
∵-=9=(xn-yn)(xn+yn),
∴xn+yn=9q1-n,
∴xn=(qn-1+9q1-n).
∵==
=
1-=
1-=
1-,==
=
1-=
1-=1-=1-=,∴PnPn+3∥Pn+1Pn+2,
∴=,
即Sn=Sn+1.
自测题
解:(1)由题意知F,圆的圆心坐标为(0,-3),半径为1,
所以+3+1=,解得p=1,所以C的方程为x2=2y.
(2)证明:①设Mn,
由y=x2得y'=x,
所以ln的斜率为xn,所以直线MnMn+1的斜率为-,
所以直线MnMn+1:y-=-(x-xn),与x2=2y联立,可得-==-(x-xn),
可得xn+1=--xn,即Mn+1的横坐标为--xn,
所以yn+1===++2=yn++2>yn+2.
当n≥2时,有yn=(yn-yn-1)+(yn-1-yn-2)+…+(y2-y1)+y1>2(n-1)+=2n-,
又y1=,所以yn≥2n-(n∈N*),所以|MnF|=yn+≥2n-1.
②直线MnMn+1:y-=-(x-xn),则点F到直线MnMn+1的距离为,
又|MnMn+1|=|xn+1-xn|=,
所以Sn==≥=+1(当且仅当|xn|=1时取等号),
由①知当n≥2时,yn>2n-,即>2n-,
所以当n≥2时,>4n-3,所以当n≥2时,Sn>+1>4n-2=2(2n-1),
所以当n≥2时,<<=.
当n=1时,=<;
当n≥2时,<+=+<+=.
综上,<.
例2　解:(1)由抛物线的定义得,动点P的轨迹是以F为焦点,直线x=-为准线的抛物线,
所以曲线C的方程为y2=2x.
(2)(i)证明:由题可知,直线l的斜率存在且不为0,
故设直线l的方程为x=my+2(m≠0),则直线l的斜率为kl=,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
不妨设y1>0,y2<0,
由消去x得y2-2my-4=0,则y1+y2=2m,y1y2=-4,
由y=-,得y'=-,
则曲线C在点B处的切线斜率为-=-·=,
则曲线C在点B处的切线方程为y=(x-x2)+y2=+y2=x+,
令y=0,得x=-,
即点E.
直线OA的方程为y=x,令x=-2,得y=-2·=-2·=,
即D,所以直线DE的斜率kDE==-=-==,所以kDE=kl,即直线DE∥l.
(ii)由(i)得D,y1y2=-4,所以D(-2,y2),
又因为B(x2,y2),所以DB∥x轴,所以四边形DBME为平行四边形.
由E,得S四边形ABDE=S四边形DBME+S△AEM=(2-xE)=·=·=--3y2-,
若四边形ABDE的面积为12,
则--3y2-=12,
整理得+3+12y2+4=0.
设f(x)=x4+3x2+12x+4,x<0,则f'(x)=2x3+6x+12,
设g(x)=2x3+6x+12,x<0,则g'(x)=6x2+6>0,
所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,
又g(-2)=-16<0,g(-1)=4>0,
所以存在x0∈(-2,-1),使得g(x0)=0,
所以f(x)在(-∞,x0)上单调递减,在(x0,0)上单调递增,
又f(-2)=0,f(-1)=-<0,f(0)=4>0,
所以f(x)有2个零点,即+3+12y2+4=0有2个根,
其中y2=-2时,直线l的斜率不存在,不符合题意,舍去.
由对称性可知,交换A,B点的位置也符合题意,所以满足四边形ABDE的面积为12的直线l共有2条.
自测题
解:(1)设双曲线C1的实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距为2c,
由题意知直线x=0(倾斜角为90°)与直线y=x(倾斜角为30°)为双曲线C1的渐近线,
故直线y=x(倾斜角为60°)为双曲线C1的一条对称轴.
设直线y=x与双曲线C1交于A1,A2两点,不妨设A1在第三象限,A2在第一象限,
由可得A1,A2,
则|A1A2|=6,即a=3,
又=,所以b=,所以c=2,
所以双曲线C1的焦点坐标为(-,-3),(,3).
(2)由(1)可得双曲线C2的方程为-=1,则F(2,0),
由题知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my+2,与C2的方程联立可得(m2-3)y2+4my+3=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),易知m2-3≠0,Δ>0,
则y1+y2=-,y1y2=,
所以·=x1x2+y1y2=(my1+2)(my2+2)+y1y2=(m2+1)+2m+12=21,
化简可得m2=1,解得m=±1,
此时均满足Δ=48m2-12(m2-3)=36(m2+1)>0,
所以直线l的方程为x+y-2=0或x-y-2=0.
例3　解:(1)设椭圆+=1(a>b>0)的半焦距为c,
则F(-c,0),A(a,0),由离心率e==,可得a=2c.
因为P为直线x=a上一点,
所以设P(a,m),
又直线PF的斜率为,所以=,即=,
所以=,解得m=c,则P(2c,c).
因为△PFA的面积为,|AF|=a-(-c)=a+c=3c,|PA|=c,
所以S△PFA=|AF||PA|=×3c×c=,可得c=1,
所以a=2c=2,所以b2=a2-c2=3,
所以椭圆的方程为+=1.
(2)证明:由(1)可知P(2,1),F(-1,0),A(2,0),
易知直线PB的斜率存在,设直线PB的方程为y=kx+n,
则1=2k+n,即n=1-2k,
由消去y得(3+4k2)x2+8knx+4n2-12=0,
因为直线与椭圆有唯一交点,所以Δ=(8kn)2-4(3+4k2)·(4n2-12)=0,
即4k2-n2+3=0,则4k2-(1-2k)2+3=0,解得k=-,则n=2,
所以直线PB的方程为y=-x+2.
由解得
则B.
以下分别用四种方法证明结论:
方法一:因为=,=(3,1),=(3,0),
所以cos ∠BFP==
=,
cos ∠PFA===,所以cos ∠BFP=cos ∠PFA,
又∠BFP,∠PFA∈,
所以∠BFP=∠PFA,
即PF平分∠AFB.
方法二:因为kFB==,kPF==,kAF=0,
所以tan∠BFP==,tan∠PFA==,
所以tan∠BFP=tan∠PFA,
又∠BFP,∠PFA∈,
所以∠BFP=∠PFA,
即PF平分∠AFB.
方法三:因为tan∠PFA=kPF=,tan∠BFA=kFB=,
所以tan 2∠PFA====tan∠BFA,
又∠BFA∈,∠PFA∈,
所以∠BFA=2∠PFA,所以∠BFP=∠PFA,即PF平分∠AFB.
方法四:因为kFB==,
所以直线FB的方程为y=(x+1),即3x-4y+3=0,
则点P到直线FB的距离d==1,
又点P到直线FA的距离也为1,
所以PF平分∠AFB.
自测题
解:(1)设C的半焦距为c,则由题意知=,故a=c.
由△PF1F2的周长为4+2,得2a+2c=4+2,即2c+2c=4+2,解得c=,所以a=2,b=,
故C的方程为+=1.
由题意知P(rcos θ,rsin θ),则+=1,
所以=+=+=,故m=4.
(2)证明:由题意知∠POP1=∠P1OP2=∠P2OP=,设|OP1|=r1,|OP2|=r2,
则S1=rr1·sin=rr1,同理S2=r1r2,S3=r2r,
故=×=.
根据(1)中求m=4的过程,可知即使P点在其他象限或者坐标轴上,=仍然成立,
所以=×
,
又sin2θ+sin2+sin2=
=
=,
所以=,为定值.
(3)是定值,该定值为.
由题意知=,
所以===
=.提能特训(七)
1.解:(1)当直线l平行于y轴时,|AB|=2,
则点(1,1)在抛物线上,故1=2p,得p=,所以抛物线C的方程为y2=x.
(2)证明:由题设知,直线l的斜率存在且不为0,
设l:x=my+1(m≠0),则kAB=.
设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0>y2,
由得y2-my-1=0,
所以y1+y2=m,y1y2=-1.
由y=-,得y'=-,
故直线BE的斜率为-=-×=,
所以直线BE的方程为y=(x-x2)+y2=(x-)+y2=+,
令y=0,得x=-,故E(-,0).
易知直线OA:y=x,令x=-1,则y=-=-=-,
故D.
所以kDE====,
所以kAB=kDE,即l∥DE,
所以∠DEO+∠BMO=π.
2.解:(1)因为两抛物线交点的横坐标分别为3,-1,
所以解得
故C1:y=2x2,C2:y=x2+2x+3,
故A1(3,18),B1(-1,2).
因为A2(a2,2),B2(b2,+2b2+3),A1A2∥B1B2,
所以=,整理得2(3+a2)=b2+1,可得2a2-b2=-5.
(2)证明:由题设有An(an,2),Bn(bn,+2bn+3),
当n≥2时,An-1(an-1,2),Bn-1(bn-1,+2bn-1+3),
因为An-1An∥Bn-1Bn(n≥2),
所以=
(n≥2),
整理得2an+2an-1=bn+bn-1+2(n≥2),所以2an-bn=-(2an-1-bn-1)+2(n≥2),
故2an-bn-1=-[(2an-1-bn-1)-1](n≥2),
又2a1-b1-1=6≠0,
所以数列{2an-bn-1}是首项为6,公比为-1的等比数列,
故2an-bn-1=6×(-1)n-1,
所以2an-bn=1+6×(-1)n-1.
当n为奇数时,2an-bn=7;当n为偶数时,2an-bn=-5.
故2an-bn=
3.解:(1)由题意可知,2a=4,所以a=2,
又e==,所以c=,b2=a2-c2=2,
故椭圆方程为+=1.
(2)由消去x得+2y2=4,
整理得(+2)y2-8y0y+8-2=0①,
因为+=1,所以+2=4,8-2=4,
故①式可变为4y2-8y0y+4=0,即(y-y0)2=0,所以y=y0,
所以直线x0x+2y0y-4=0与椭圆相切,M为切点.
方法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),易知当x1=x2时,由对称性可知,=.
当x1≠x2时,不妨设x2由解得
由解得
所以=====.
==
==
=,故=.
综上,=.
方法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),
由
解得
由解得
当y0≠±1时,kOA===,kOB===-,kOM=,
因为+=1,所以+2=4.
如图,不妨设kOA>kOM>kOB,
则tan∠AOM==
=-=
-=,tan∠BOM=====,
则tan∠AOM=tan∠BOM,
即∠AOM=∠BOM,所以==.当y0=±1时,易得==.
综上,=.高分提能七　圆锥曲线融合交汇问题
　　【考情分析】 高考试卷结构变化之后,注重知识融会贯通,要求具备将不同模块知识综合应用的能力,本专题在模块间的融合主要侧重以下三个方面:(1)圆锥曲线与数列;(2)圆锥曲线与函数;(3)圆锥曲线与三角.
类型一　圆锥曲线与数列交汇
例1 [2024·新课标Ⅱ卷] 已知双曲线C:x2-y2=m(m>0),点P1(5,4)在C上,k为常数,0(1)若k=,求x2,y2;
(2)证明:数列{xn-yn}是公比为的等比数列;
(3)设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积,证明:对于任意正整数n, Sn=Sn+1.
自测题
[2025·山东临沂二模] 已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,P为圆x2+(y+3)2=1上的动点,|PF|的最大值为.
(1)求C的方程.
(2)已知点M1,按照如下方式构造点Mn(n=1,2,3,4,…),设直线ln为C在点Mn处的切线,过点Mn作ln的垂线交C于另一点Mn+1,记Mn的坐标为(xn,yn).
①证明:当n≥1时,|MnF|≥2n-1;
②设△MnFMn+1的面积为Sn,证明:<.
类型二　 圆锥曲线与函数交汇
例2 [2025·广东广州一模] 已知动点P到点F的距离等于它到直线x=-的距离,记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程.
(2)O为坐标原点,过点M(2,0)且斜率存在的直线l与C相交于A,B两点,直线AO与直线x=-2相交于点D,过点B且与C相切的直线交x轴于点E.
(i)证明:直线DE∥l.
(ii)满足四边形ABDE的面积为12的直线l共有多少条 说明理由.
自测题
“对号函数”y=ax+(a>0,b>0)的图象也可以看成是以直线x=0与直线y=ax为渐近线的双曲线.设函数y=,若将其图象看成双曲线C1.
(1)求双曲线C1的焦点坐标;
(2)将双曲线C1绕着坐标原点O顺时针旋转,使焦点落到x轴上,得到双曲线C2,设双曲线C2的右焦点为F,过F的直线l与双曲线C2的右支交于A,B两点,当·=21时,求直线l的方程.
类型三　圆锥曲线与三角交汇
例3 [2025·天津卷] 已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,P为直线x=a上一点,且直线PF的斜率为,△PFA的面积为,椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异于点A),求证:PF平分∠AFB.
自测题
[2025·石家庄二模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2分别为C的左、右焦点,点P为椭圆C在第一象限内的一点,△PF1F2的周长为4+2,若O为坐标原点,记|OP|=r,∠POF2=θ,=.
(1)求C的方程及m的值.
(2)若P1,P2为C上不同的两点,满足∠POP1=∠P1OP2=∠P2OP,设△POP1,△P1OP2,△P2OP的面积分别为S1,S2,S3,求证:当θ变化时,为定值.
(3)请探究:若P1,P2,…,P2n为C上2n(n≥2)个不同的点,且∠PiOPi+1=,|OPi|=ri,其中i=1,2,…,2n-1,|OP2n|=r2n,点P1与点P重合,当θ变化时,是否为定值 若是定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由.
参考公式:cos α+cos(α+d)+cos(α+2d)+…+cos[α+(n-1)d]=.　提能特训(七)圆锥曲线融合交汇问题
1.在平面直角坐标系xOy中,过点M(1,0)的直线l与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点(其中点A在点B的上方),当直线l平行于y轴时,|AB|=2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线l的斜率存在,直线AO与直线x=-1相交于点D,过点B且与抛物线C相切的直线交x轴于点E,证明:∠DEO+∠BMO=π.
2.[2025·河北秦皇岛三模] 已知抛物线C1:y=px2(p≠0)与C2:y=x2+2x+q相交于A1,B1两点,A1,B1的横坐标分别为a1=3,b1=-1.在抛物线C1上另取(n-1)个点A2,A3,…,An,在抛物线C2上另取(n-1)个点B2,B3,…,Bn,使AiAi+1∥BiBi+1(i=1,2,…,n-1).记Ai,Bi(i=2,3,…,n)的横坐标分别为ai,bi(i=2,3,…,n).
(1)求p,q及2a2-b2的值;
(2)证明:2an-bn=
3.[2025·北京卷] 已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆方程.
(2)设O为原点,M(x0,y0)(x0≠0)为椭圆上一点,直线x0x+2y0y-4=0与直线y=2,y=-2分别交于A,B两点.设△OAM与△OBM的面积分别为S1,S2,比较与的大小.(共69张PPT)
高分提能七 圆锥曲线融合交汇问题
类型一 圆锥曲线与数列交汇
类型二 圆锥曲线与函数交汇
类型三 圆锥曲线与三角交汇
◆
◆
典型例题
备用习题
【考情分析】 高考试卷结构变化之后，注重知识融会贯通，要
求具备将不同模块知识综合应用的能力，本专题在模块间的融合主
要侧重以下三个方面：（1）圆锥曲线与数列；（2）圆锥曲线与函
数；（3）圆锥曲线与三角.
类型一 圆锥曲线与数列交汇
例1 [2024·新课标Ⅱ卷] 已知双曲线,点
在上,为常数, ,按照如下方式依次构造点
过点作斜率为的直线与的左支交于点 ,令为关于
轴的对称点，记的坐标为 .
（1）若,求, ;
解： 点在 上，,得 .
过点且斜率的直线的方程为 ,
即 .
由解得 或 ,
，得, .
例1 [2024·新课标Ⅱ卷] 已知双曲线,点
在上,为常数, ,按照如下方式依次构造点
过点作斜率为的直线与的左支交于点 ,
令为关于轴的对称点，记的坐标为 .
（2）证明：数列是公比为 的等比数列；
证明：由题知,当且时，关于 轴的对称点是
,
与在同一条斜率为 的直线上，
则,即,且 ，
又，都在双曲线 上，
由 得 ,
将①式代入上式得 ,
由 得 ，
即，
由题知 , ，
又 ,
数列是公比为 的等比数列.
例1 [2024·新课标Ⅱ卷] 已知双曲线,点
在上,为常数, ,按照如下方式依次构造点
过点作斜率为的直线与的左支交于点 ,
令为关于轴的对称点，记的坐标为 .
（3）设为的面积，证明：对于任意正整数 ，
.
证明：由（2）得数列是公比为 的等比数列，
， .
记,则, ,
, ,
.
,
,
,即 .
自测题
[2025·山东临沂二模] 已知抛物线的焦点为，
为圆上的动点，的最大值为.
（1）求 的方程.
解：由题意知，圆的圆心坐标为 ，半径为1，
所以，解得，所以的方程为 .
[2025·山东临沂二模] 已知抛物线的焦点为，
为圆上的动点，的最大值为.
（2）已知点，按照如下方式构造点 ，设
直线为在点处的切线，过点作的垂线交于另一点 ，
记的坐标为 .
①证明：当时， ；
证明：设 ，由得 ，
所以的斜率为，所以直线的斜率为 ，
所以直线，
与 联立，可得 ，
可得，即的横坐标为 ，
所以 .
当 时，
有
，
又，所以，
所以 .
[2025·山东临沂二模] 已知抛物线的焦点为，
为圆上的动点，的最大值为.
（2）已知点，按照如下方式构造点 ，设
直线为在点处的切线，过点作的垂线交于另一点 ，
记的坐标为 .
②设的面积为，证明： .
证明： 直线，
则点到直线 的距离为 ，
又 ，
所以
（当且仅当 时取等号），
由①知当时，，即 ，
所以当时，，
所以当 时， ，
所以当时， .
当时， ；
当 时，
.
综上， .
类型二 圆锥曲线与函数交汇
例2 [2025·广东广州一模] 已知动点到点 的距离等于它到直
线的距离，记动点的轨迹为曲线 .
（1）求 的方程.
解：由抛物线的定义得,动点的轨迹是以 为焦点，
直线 为准线的抛物线，所以曲线的方程为 .
例2 [2025·广东广州一模] 已知动点到点 的距离等于它到直
线的距离，记动点的轨迹为曲线 .
（2）为坐标原点，过点且斜率存在的直线与相交于,
两点，直线与直线相交于点，过点且与 相切的直线交
轴于点 .
（ⅰ）证明：直线 .
证明：由题可知，直线 的斜率存在且不为0，
故设直线的方程为，则直线的斜率为 ，
设, ，不妨设, ，
由消去得，
则 , ，由，得 ，
则曲线在点处的切线斜率为 ，
则曲线在点 处的切线方程为
，
令，得 ，即点 .
直线的方程为，
令，得 ，即，
所以直线 的斜率
，
所以 ，即直线 .
例2 [2025·广东广州一模] 已知动点到点 的距离等于它到直
线的距离，记动点的轨迹为曲线 .
（2）为坐标原点，过点且斜率存在的直线与相交于,
两点，直线与直线相交于点，过点且与 相切的直线交
轴于点 .
（ⅱ）满足四边形的面积为12的直线 共有多少条？说明理由.
解：由得，，所以 ，
又因为，所以轴，所以四边形 为平行四边形.
由 ，得
，
若四边形 的面积为12，则 ，
整理得 .
设,，则 ，
设,，则 ，
所以在 上单调递增，
又, ，
所以存在，使得 ，
所以在上单调递减，在 上单调递增，
又，, ，
所以有2个零点，即 有2个根，
其中时，直线 的斜率不存在，不符合题意，舍去.
由对称性可知，交换， 点的位置也符合题意，
所以满足四边形的面积为12的直线 共有2条.
自测题
“对号函数” 的图象也可以看成是以直线
与直线为渐近线的双曲线.设函数 ，若将
其图象看成双曲线 .
（1）求双曲线 的焦点坐标；
解：设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为 ，
由题意知直线（倾斜角为）与直线（倾斜角为 ）
为双曲线 的渐近线，
故直线（倾斜角为）为双曲线 的一条对称轴.
设直线与双曲线交于，两点，
不妨设 在第三象限， 在第一象限，
由可得， ，
则，即 ，
又，所以，所以 ，
所以双曲线的焦点坐标为， .
“对号函数” 的图象也可以看成是以直线
与直线为渐近线的双曲线.设函数 ，若将
其图象看成双曲线 .
（2）将双曲线绕着坐标原点顺时针旋转，使焦点落到 轴上，得
到双曲线，设双曲线的右焦点为，过的直线与双曲线 的右
支交于，两点，当时，求直线 的方程.
解：由（1）可得双曲线的方程为，则 ，
由题知直线的斜率不为0，设直线的方程为，
与 的方程联立可得 ，
设，，易知， ，
则， ，
所以 ，
化简可得，解得 ，
此时均满足 ，
所以直线的方程为或 .
类型三 圆锥曲线与三角交汇
例3 [2025·天津卷] 已知椭圆的左焦点为 ，
右顶点为，为直线上一点，且直线的斜率为， 的
面积为，椭圆的离心率为 .
（1）求椭圆的方程；
解：设椭圆的半焦距为 ，则，，
由离心率 ，可得 .
因为为直线 上一点，所以设 ，
又直线的斜率为，所以，即 ，
所以，解得，则 .
因为的面积为 ，， ，
所以 ，可得 ，
所以，所以 ，
所以椭圆的方程为 .
例3 [2025·天津卷] 已知椭圆的左焦点为 ，
右顶点为，为直线上一点，且直线的斜率为， 的
面积为，椭圆的离心率为 .
（2）过点的直线与椭圆有唯一交点（异于点），求证： 平分
.
证明：由（1）可知，， ，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为 ，
则，即 ，
由消去得 ，
因为直线与椭圆有唯一交点，
所以 ，
即，则，解得 ，
则 ，所以直线的方程为 .
由解得 则 .
以下分别用四种方法证明结论：
方法一：因为,, ，
所以 ，
，所以 ，
又, ，所以 ，即平分 .
方法二：因为，， ，
所以， ，
所以 ，
又, ，所以 ，
即平分 .
方法三：因为 ，
所以 ，
又， ，
所以，所以，即平分 .
方法四：因为 ，
所以直线的方程为，即 ，
则点到直线的距离 ，
又点到直线 的距离也为1，所以平分 .
自测题
[2025·石家庄二模] 已知椭圆的离心率为
，，分别为的左、右焦点，点为椭圆在第一象限内的一
点，的周长为，若为坐标原点，记，
，.
（1）求的方程及 的值.
解：设的半焦距为，则由题意知，故 .
由的周长为，得 ，
即，解得，所以， ，
故的方程为 .
由题意知，则 ，
所以，故 .
[2025·石家庄二模] 已知椭圆的离心率为
，，分别为的左、右焦点，点为椭圆在第一象限内的一
点，的周长为，若为坐标原点，记，
，.
（2）若，为上不同的两点，满足 ，
设，，的面积分别为，，，求证：当
变化时， 为定值.
证明：由题意知，
设 ， ，
则，同理， ，
故 .
根据（1）中求的过程，可知即使 点在其他象限或者坐标轴上， 仍然成立，
所以 ，
又
，
所以 ，为定值.
[2025·石家庄二模] 已知椭圆的离心率为
，，分别为的左、右焦点，点为椭圆在第一象限内的一
点，的周长为，若为坐标原点，记，
，.
（3）请探究：若，， ，为上 个不同的点，且
，，其中,2， ，， ，
点与点重合，当 变化时， 是否为定值？若是定值，请求
出该定值；若不是定值，请说明理由.
参考公式：
.
解：是定值，该定值为 .
由题意知 ，所以
.
［备选理由］例1将双曲线与对勾函数相结合，考查图形的特征与性
质；例2是圆锥曲线通过角的关系、与三角恒等变换结合的题目；例3
是将三角形通过旋转得到几何体，与立体几何体积的最值相结合的问
题，结合比较顺畅.三道题目对学生的转化能力以及综合能力要求较高.
例1 ［配例2使用］[2025·南昌二模]将双曲线绕其中心旋转一个合适
的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比例函数 ，
“对勾”函数,“飘带”函数 等等，它们的图象都能由某
条双曲线绕原点旋转而得.现将双曲线 绕
原点旋转一个合适的角度，得到“飘带”函数的图象，
则双曲线 的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] “飘带”函数图象的渐近线为直线与 轴，
设两条渐近线的夹角为，
则 ，整理得，
又，所以 ，
整理得，
由，解得 ，
所以旋转之前双曲线的一条渐近线的斜率
，
所以双曲线的离心率 .故选B.
例2 ［配例3使用］[2025·河南部分学校5月联考] 已知双曲线
的右焦点为，左顶点为，对双曲线
的右支上任意一点都有 .
（1）求双曲线 的离心率；
解：设,，由对称性不妨设，
由 在双曲线上，得，所以 ，
由题知, ，
则
,
又，所以 ，
所以，可得 ，
所以可得,，
故双曲线 的离心率为2.
例2 ［配例3使用］[2025·河南部分学校5月联考] 已知双曲线
的右焦点为，左顶点为，对双曲线
的右支上任意一点都有 .
（2）若点在双曲线上，且点 不在坐标轴上，求
的取值范围.
解：由（1）可知双曲线的方程为，
将点 的坐标代入，得，可得,, .
设 ，则，
又，在 中，由正弦定理得，
所以, ，
所以
，
由，得，所以 ，
可得的取值范围为 .
例3 ［补充使用］[2025·重庆南开中学月考] 已知抛物线
的焦点为,为坐标原点.过作两条直线, ，这
两条直线与抛物线 分别交于，和，两点（在的上方，
在的上方）.当垂直于轴时， .
（1）求抛物线 的方程；
解：当轴时，, ，由得 ，
抛物线 的方程为 .
例3 ［补充使用］[2025·重庆南开中学月考] 已知抛物线
的焦点为,为坐标原点.过作两条直线, ，这
两条直线与抛物线 分别交于，和，两点（在的上方，
在的上方）.当垂直于轴时， .
（2）若，求四边形 面积的取值范围；
解：设, ，
依题意，直线,的斜率均存在且不为0，设 ，
将其与联立，消去得 ，
, ，
于是 .
，
.
，，同理可得 ，
则，当且仅当 时取等号，
四边形面积的取值范围为 .
例3 ［补充使用］[2025·重庆南开中学月考] 已知抛物线
的焦点为,为坐标原点.过作两条直线, ，这
两条直线与抛物线 分别交于，和，两点（在的上方，
在的上方）.当垂直于轴时， .
（3）将绕 轴旋转一周得到一个旋转体，求该旋转体体积的
最小值.
解：设，关于轴的对称点分别为,，
记将等腰梯形绕 轴旋转一周所得圆台的体积为 ，
以为底面直径，为顶点的圆锥的体积为，
以 为底面直径，为顶点的圆锥的体积为 ，
则所求旋转体的体积
，
当且仅当，即 时等号成立，
所求旋转体体积的最小值为 .

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