资源简介

微专题26　随机变量及其分布
【考法探析·明规律】
例1　解:(1)丙投篮水平较高,理由如下:
设甲、乙、丙各自独立投篮投中的概率分别为p1,p2,p3.
依题意,得可得因为p1=p2(2)记A组投篮投中的次数为X1,B组投篮投中的次数为X2,
由(1)知X1~B,X2~B,
若B组获胜,则X1=0,X2=1或X1=0,X2=2或X1=1,X2=2,
所以P(X1=0,X2=1)=×××××=,
P(X1=0,X2=2)=×××××=,
P(X1=1,X2=2)=×××××=,
故B组获胜的概率P=P(X1=0,X2=1)+P(X1=0,X2=2)+P(X1=1,X2=2)=++=.
自测题
解:(1)记事件A表示“四局结束比赛”,
则P(A)=P(李猛赢)+P(张明赢)=×××+×××=.
(2)由题意知,X(单位:万元)的所有可能取值为2,3,4,6,7,8,
所以P(X=2)==,
P(X=3)=×××=,
P(X=4)=×××=,P(X=6)=×××=,
P(X=7)=×××=,P(X=8)==.
所以X的分布列为
X 2 3 4 6 7 8
P
所以E(X)=2×+3×+4×+6×+7×+8×=(万元).
例2　解:(1)由题知,抽到的4人中,恰好有2名医生且这2名医生恰好来自同一科室的情况包含这2名医生都来自A科室和都来自B科室,有(+)个样本点,从11人中抽4人有个样本点,所以所求的概率为==.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==,
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=.
自测题
解:(1)由题意可知,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,
则随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
故E(X)=0×+1×+2×=1.
(2)记第一次从甲袋中随机摸出1个球,摸出的是1,2,3号球分别为事件A1,A2,A3,第二次摸到的是3号球为事件B,
则P(A1)=,P(A2)=P(A3)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×=.
例3　解:(1)若甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分,则甲在第一阶段比赛中至少投中1次,乙在第二阶段比赛中也至少投中1次,
∴甲、乙所在队比赛成绩不少于5分的概率P=(1-0.63)×(1-0.53)=0.686.
(2)(i)若甲参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率P甲=[1-(1-p)3]q3,
若乙参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率P乙=[1-(1-q)3]p3.
P甲-P乙=q3-(q-pq)3-p3+(p-pq)3=3pq(p-q)(pq-p-q),
∵00,p-q<0,pq-p-q<0,∴P甲-P乙>0,得P甲>P乙,
∴应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)若甲参加第一阶段比赛,记甲、乙所在队的比赛成绩为X,则X的所有可能取值为0,5,10,15,
P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3]·(1-q)3,
P(X=5)=[1-(1-p)3]q·(1-q)2,
P(X=10)=[1-(1-p)3]q2·(1-q),
P(X=15)=[1-(1-p)3]·q3,
∴E(X)=15[1-(1-p)3]q=15(p3-3p2+3p)·q.
若乙参加第一阶段比赛,记甲、乙所在队的比赛成绩为Y,则Y的所有可能取值为0,5,10,15,
同理可得E(Y)=15(q3-3q2+3q)·p.
∵E(X)-E(Y)=15pq(p-q)(p+q-3)>0,∴应该由甲参加第一阶段比赛.
自测题
解:(1)因为Z表示一天内发生故障的机器台数,所以Z的所有可能取值为0,1,2,
则P(Z=0)=(1-0.1)×(1-0.2)=0.9×0.8=0.72,
P(Z=1)=0.1×(1-0.2)+(1-0.1)×0.2=0.1×0.8+0.9×0.2=0.26,P(Z=2)=0.1×0.2=0.02,
所以Z的分布列为
Z 0 1 2
P 0.72 0.26 0.02
(2)因为甲生产出的零件内径X~N(10,1),所以μ1=10,σ1=1,
则P(X<8)=P(X<10-2×1)≈=0.022 75,
P(X>10)=0.5,P(8≤X≤10)=1-P(X<8)-P(X>10)≈1-0.022 75-0.5=0.477 25,
因为每台机器每天生产1000件零件,所以甲机器每天生产出的零件的平均利润约为1000×[0.022 75×(-2)+0.5×(-8)+0.477 25×20]=1000×(-0.045 5-4+9.545)=1000×5.499 5=5499.5(元).
因为乙生产出的零件内径Y~N(8,4),所以μ2=8,σ2=2,
则P(Y<8)=0.5,P(Y>10)=P(Y>8+1×2)≈=0.158 65,
P(8≤Y≤10)≈0.682 7÷2=0.341 35,
则乙机器每天生产出的零件的平均利润约为1000×[0.5×(-2)+0.158 65×(-8)+0.341 35×20]=1000×(-1-1.269 2+6.827)=1000×4.5578=4557.8(元).
因为5499.5>4557.8,所以甲机器每天生产出的零件的平均利润更大.限时集训(二十六)
1.解:(1)由表格可得,=×(1+2+3+4+5)=3,=×(32+48+63+80+107)=66,
(xi-)2=4+1+0+1+4=10,(xi-)(yi-)=68+18+0+14+82=182,
所以===18.2,=-=66-18.2×3=11.4,故y关于x的经验回归方程是=18.2x+11.4.
(2)当x=1时,=18.2×1+11.4=29.6,残差的绝对值为|32-29.6|=2.4<3;
当x=2时,=18.2×2+11.4=47.8,残差的绝对值为|48-47.8|=0.2<3;
当x=3时,=18.2×3+11.4=66,残差的绝对值为|66-63|=3;
当x=4时,=18.2×4+11.4=84.2,残差的绝对值为|80-84.2|=4.2>3;
当x=5时,=18.2×5+11.4=102.4,残差的绝对值为|107-102.4|=4.6>3.
所以“异常数据”为第四对和第五对,共2对数据,
故X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
故E(X)=0×+1×+2×=.
2.解:(1)由题可知,从A品牌智能门锁中随机抽取一件产品为优质品的概率为p1=0.4+0.1=0.5=,
从B品牌智能门锁中随机抽取一件产品为优质品的概率为p2=0.3+0.1=0.4=,
所以从A,B两种品牌的智能门锁中各随机抽取2件产品,其中至少有3件是优质品的概率为P=××××+××××+×××=.
(2)由题意知,X的可能取值为-400,0,200,400,600,800,
P(X=-400)=×=,
P(X=0)=××=,
P(X=200)=××=,
P(X=400)=×=,
P(X=600)=××=,
P(X=800)=×=,
所以X的分布列为
X -400 0 200 400 600 800
P
故E(X)=-400×+0×+200×+400×+600×+800×=360.
3.解:(1)(i)根据表格中的数据,可得==9,解得t=10.
(ii)由题得=×(2+3+4+5+6)=4,则==
=0.7,
所以=4-9×0.7=-2.3,
故y关于x的经验回归方程为=0.7x-2.3.
当x=14时,=0.7×14-2.3=7.5,
所以当学科知识整合能力指标为14时,创新思维能力指标的预测值为7.5.
(2)由题可知,X~B,
则E(X)=3×=.
由题可知,Y的可能取值为0,1,2,3,
P(Y=0)=(1-m)×=(1-m),
P(Y=1)=m×+(1-m)××+(1-m)×=-m,
P(Y=2)=m××+m××+(1-m)××=+m,
P(Y=3)=m××=m,
所以E(Y)=-m+2+3×m=+m.
当E(X)=E(Y)时,=+m,解得m=;
当E(X)>E(Y)时,>+m,
又0当E(X)又0综上,当m=时,该考生报考甲高校或乙高校都可以;
当0当4.解:(1)设事件Ai=“第i轮比赛A团队获胜”,则事件=“第i轮比赛B团队获胜”,
由题得P(Ai)=,P()=(i=1,2,3,4,5).
设事件B=“当比赛结束时恰好进行了5轮,且A团队获‘最佳环测算法团队’称号”,
则P(B)=P(A2A3A4A5∪A1A3A4A5∪A1A2A4A5)=××=.
(2)(i)由题可知,X的可能取值为3,5,6.
P(X=3)=P(A1A2A3∪)=+==.
设事件C=“当比赛结束时恰好进行了5轮,且B团队获“最佳环测算法团队”称号,
则P(X=5)=P(B)+P(C)=+××=,
P(X=6)=(-1)×××1+(-1)×××1=,
所以X的分布列为
X 3 5 6
P
所以E(X)=3×+5×+6×=.
(ii)设事件D=“比赛轮数不限制,A团队获‘最佳环测算法团队’称号”.
设比赛过程中,A与B团队累积得分的差为Y,
P(Y=k)表示Y=k时最终A团队获“最佳环测算法团队”称号的概率,其中k∈{-3,-2,-1,0,1,2,3}.
由题知,P(Y=3)=1,P(Y=-3)=0,P(Y=0)=P(D).
根据全概率公式,可得P(Y=k)=P(Y=k+1)+P(Y=k-1),k∈{-2,-1,0,1,2},
则P(Y=k+1)-P(Y=k)=[P(Y=k)-P(Y=k-1)],k∈{-2,-1,0,1,2},
所以P(Y=3)-P(Y=2)=[P(Y=2)-P(Y=1)]=[P(Y=1)-P(Y=0)]=[P(Y=0)-P(Y=-1)]=[P(Y=-1)-P(Y=-2)]=[P(Y=-2)-P(Y=-3)]=P(Y=-2),
则P(Y=3)-P(Y=2)=P(Y=-2),P(Y=2)-P(Y=1)=P(Y=-2),P(Y=1)-P(Y=0)=P(Y=-2),P(Y=0)-P(Y=-1)=P(Y=-2),P(Y=-1)-P(Y=-2)=P(Y=-2),
累加得P(Y=3)-P(Y=-2)=P(Y=-2)=P(Y=-2),
解得P(Y=-2)=,
由P(Y=0)=P(Y=-2)+P(Y=-2)+P(Y=-2)=×=,得P(D)=,
故若比赛轮数不限制,则A团队获“最佳环测算法团队”称号的概率为.
5.解:(1)在甲先摸球的情况下,记甲摸到的三种颜色的球的数量由多到少依次为a,b,c(a≥b≥c),
则a+b+c=3,X=a,且(a,b,c)可能的情况有(3,0,0),(2,1,0),(1,1,1),
则P(X=3)==,
P(X=2)==,
P(X=1)==,
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
故E(X)=1×+2×+3×=.
在甲先摸球的情况下,记乙摸到的三种颜色的球的数量由多到少依次为d,e,f(d≥e≥f),则d+e+f=3,Y=d,且(d,e,f)可能的情况有(3,0,0),(2,1,0),(1,1,1),
则P(Y=3)=P(X=3)P(Y=3|X=3)+P(X=2)P(Y=3|X=2)+P(X=1)P(Y=3|X=1)=×+×+×=,
P(Y=2)=P(X=3)P(Y=2|X=3)+P(X=2)P(Y=2|X=2)+P(X=1)P(Y=2|X=1)=×+×+×=,
P(Y=1)=P(X=3)P(Y=1|X=3)+P(X=2)P(Y=1|X=2)+P(X=1)P(Y=1|X=1)=×+×+×=,
所以Y的分布列为
Y 1 2 3
P
故E(Y)=1×+2×+3×=.
(2)在甲先摸球的情况下,
由题意可知,p1=P(X>Y)=P(X=3且Y=1)+P(X=3且Y=2)+P(X=2且Y=1)=P(X=3)P(Y=1|X=3)+P(X=3)P(Y=2|X=3)+P(X=2)P(Y=1|X=2)=,
p2=P(X则p1=p2,即先摸球和后摸球获胜的概率一样,
故参赛者获胜的概率不受摸球先后顺序的影响.
6.解:(1)由题知每个芯片的合格率为0.8+(1-0.8)×0.6=0.92,
则X~B(n,0.92),所以E(X)=0.92n,D(X)=0.073 6n.
(2)记事件A1=“芯片通过测试Ⅰ”,事件A2=“芯片通过测试Ⅱ”,事件C=“芯片合格”,
则P(C)=1-[1-P(A1)][1-P(A2)]=p+(1-p)q,则θ=P(A1|C)==.
(3)因为k~B(m,θ),所以E(k)=mθ,D(k)=mθ(1-θ).
E()=E=E(k)=θ,D()=D(k)=,
则对任意的ε>0,均有P(|-θ|≥ε)≤,
又θ(1-θ)≤=,当且仅当θ=时等号成立,
所以对任意的ε>0,均有P(|-θ|≥ε)≤,取ε=0.05,
则P(|-θ|≥0.05)≤.
因为P(|-θ|≥0.05)总能不超过0.1,
所以≤0.1,可得m≥1000,故估计最小样本量m为1000.微专题26　随机变量及其分布
微点1　概率分布问题
角度1　二项分布
例1 [2025·湖南师大附中二模] 甲、乙、丙三人各自独立投篮,甲和乙都投中的概率是,甲投中而丙未投中的概率是,乙投中而丙未投中的概率是.
(1)请问三人中哪一位投篮水平较高 并说明理由.
(2)现将投篮水平较低的两人组成一组(记为A),与投篮水平较高的人(记为B组)进行投篮比赛,甲、乙、丙各自独立投篮2次,且每次投篮的结果互不影响,投中次数较多的一组获胜,求B组获胜的概率.
【规律提炼】
1.求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤:
(1)判断取值;(2)探求概率;(3)写分布列;(4)求期望值.
2.要注意随机变量是否服从特殊的分布(如超几何分布或二项分布等)或与服从特殊分布的另一随机变量存在线性对应关系.若服从特殊的分布,或存在线性对应关系,则可跳过分布中概率的计算,利用公式得到期望或方差.
自测题
[2025·江西新余实验中学模拟] 某高校为了丰富大学生的业余生活,每年定期举行乒乓球比赛.通过资格赛和淘汰赛,该高校的李猛和张明进入决赛,决赛采用五局三胜制,即选手率先获得三局胜利时,比赛结束并获得冠军.根据以往李猛和张明的比赛胜负数据分析,李猛每局获胜的概率为,张明每局获胜的概率为,每局比赛相互独立.
(1)求四局结束比赛的概率.
(2)此次决赛设总奖金10万元,若决赛结果为3∶0,则冠军奖金为8万元,亚军奖金为2万元;若决赛结果为3∶1,则冠军奖金为7万元,亚军奖金为3万元;若决赛结果为3∶2,则冠军奖金为6万元,亚军奖金为4万元.求李猛此次决赛获得奖金X(单位:万元)的分布列和数学期望.
角度2　超几何分布
例2 [2025·河北张家口模拟] 为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德,某医院从A,B两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动,已知A,B两个科室中的志愿者分布如下:
类别科室 志愿者
医生 护士
A科室 2 3
B科室 3 3
(1)求抽到的4人中,恰好有2名医生,且这2名医生恰好来自同一科室的概率;
(2)设X为选出的4人中医生的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
【规律提炼】
超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布.
超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.
自测题
[2025·湖南郴州三模] 已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球,其中甲袋内装有两个1号球,一个2号球和一个3号球;乙袋内装有两个1号球,一个3号球;丙袋内装有三个1号球,两个2号球和一个3号球.
(1)从甲袋中一次性摸出2个小球,记随机变量X为摸出的1号球的个数,求随机变量X的分布列和数学期望.
(2)现按照如下规则摸球:共摸球两次,第一次先从甲袋中随机摸出1个球,若摸出的是1号球则放入甲袋,摸出的是2号球则放入乙袋,摸出的是3号球则放入丙袋;第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率.
微点2　风险与决策问题
例3 [2024·新课标Ⅱ卷] 某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.
(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.
(2)假设0(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛
(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛
【规律提炼】
决策的工具是有关概率或期望,决策方案的最佳选择是将概率或期望最大(最小)作为最佳方案,可能需要借助函数的性质去实现.
自测题
[2025·江苏苏州三模] 现有甲、乙两台机器生产一批零件,甲生产出的零件内径X(单位:mm)服从正态分布N(10,1),乙生产出的零件内径Y(单位:mm)服从正态分布N(8,4).
(1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2,且两台机器工作状态相互独立.设一天内发生故障的机器台数为Z,求Z的分布列.
(2)若生产出的零件内径小于8 mm,则每件亏损2元;若生产出的零件内径大于10 mm,则每件亏损8元;若生产出其他尺寸的零件,则每件获利20元.已知每天每台机器生产出1000件零件,试比较哪一台机器每天生产出的零件的平均利润更大.
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ1.某品牌新能源汽车在某城市2024年1月至5月的销售量如表所示:
月份x 1 2 3 4 5
销售量y/辆 32 48 63 80 107
(1)求y关于x的经验回归方程;
(2)用(1)中所求的方程来拟合数据时,定义残差的绝对值大于3的一对数据为“异常数据”,现从这5对数据中任取3对,求取到的数据中“异常数据”的对数X的分布列和数学期望.
附:经验回归直线=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=,=-.
2.[2025·山东德州三模] 随着信息技术的迅猛发展,智能化家居让人们的生活越来越幸福,智能门锁就是其中之一.智能门锁的质量是根据其正常使用的时间来衡量的,使用时间越长,表明质量越好,且使用时间大于或等于6年的为优质品.现用A,B两种不同品牌的智能门锁做试验,各随机抽取部分产品作为样本,得到试验结果的频率分布直方图如图所示,以试验结果中各组的频率作为相应的概率.
(1)现从大量的A,B两种品牌的智能门锁中各随机抽取2件产品,求其中至少有3件是优质品的概率.
(2)通过多年统计发现,A品牌智能门锁每件产品的利润y(单位:元)与其使用时间t(单位:年)的关系如表.
使用时间t(单位:年) t<5 5≤t<6 t≥6
每件产品的利润y(单位:元) -200 200 400
若从大量的A品牌智能门锁中随机抽取两件,将其利润之和记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.
3.[2025·广东惠州模拟] 强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才,对考生设置两项能力测试:学科知识整合能力指标x(考查数学、物理等学科知识的交叉应用)和创新思维能力指标y(考查逻辑推理、建模等能力).随机抽取5名考生的测试结果如表:
x 6 8 9 t 12
y 2 3 4 5 6
(1)若学科知识整合能力指标的平均数=9.
(i)求t的值;
(ii)求y关于x的经验回归方程=x+,并求当学科知识整合能力指标为14时,创新思维能力指标的预测值.
(2)现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目,每门科目通过情况相互独立.
甲高校:每门科目通过的概率均为,通过科目数记为随机变量X.
乙高校:第一门科目通过的概率为m(0以笔试环节通过科目数的期望为决策依据,分析考生应选择报考哪所高校.
附:经验回归方程=x+中和的最小二乘估计分别为==,=-.
4.在某次全球AI创新峰会中,参与“环境监测问题解决方案”代码编写比赛组的科技团队A和B通过实时编写代码,争夺“最佳环测算法团队”称号.规定每轮比赛限时编写一个算法模块,评委会通过对算法模块测试,评定胜方,胜方记1分,另一方记0分,无平局;当两团队累积得分的差为3分时,比赛结束,累积得分高的团队获“最佳环测算法团队”称号.若每轮比赛中,A团队获胜的概率为,且每轮比赛结果相互独立.
(1)求当比赛结束时恰好进行了5轮,且A团队获“最佳环测算法团队”称号的概率.
(2)(i)若比赛最多进行6轮,求比赛结束时轮数X的分布列及数学期望E(X);
(ii)若比赛轮数不限制,求A团队获“最佳环测算法团队”称号的概率.
5.有一摸球游戏如下:盒子中有红、黄、绿三种颜色的球各3个,球除颜色外其他均相同,两人摸球,规定每人一次从盒中摸3个球,第二人从第一人摸球后剩余的6个球中再摸3个球.记每个人摸到的3个球中颜色相同的球的最大数量为其得分,规定得分高者获胜.现有甲、乙二人参与此摸球游戏,记甲、乙的得分分别为X,Y.
(1)若甲先摸球,求X,Y的分布列及其数学期望;
(2)在甲先摸球的情况下,分别计算甲获胜的概率p1和乙获胜的概率p2,并判断参赛者获胜的概率是否受摸球先后顺序的影响.
6.[2025·安徽芜湖二模] 某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试.首次测试(测试Ⅰ)通过率为p(0(1)若某批次生产了n枚芯片,合格数为随机变量X.当p=0.8,q=0.6时,求X的期望与方差.
(2)已知一枚芯片合格,求其通过测试Ⅰ的概率θ.
(3)为估计(2)中的θ,工厂随机抽取m枚合格芯片,其中k枚通过测试Ⅰ.记=,若要使得P(|-θ|≥0.05)总能不超过0.1,试根据参考内容估计最小样本量m(m∈N*).
附:设随机变量X的期望为E(X),方差为D(X),则对任意ε>0,均有P(|X-E(X)|≥ε)≤.(共63张PPT)
微专题26 随机变量及其分布
微点1 概率分布问题
微点2 风险与决策问题
◆
◆
考法探析·明规律
备用习题
【考情分析】
考查内 容 考题统计 考情分析 必备知识
期望与 方差 2025年Ⅰ卷14； 2024年Ⅱ卷 18； 2023年Ⅰ卷21； 2021年Ⅰ卷18； 2021年Ⅱ卷21 小题主要考查基础概念 辨析与简单计算 （如离散型随机变量的 期望、方差）.大题则侧 重综合应用，常结合概 率分布 1.熟练掌握常见
随机变量的分布
模型.
考查内 容 考题统计 考情分析 必备知识
期望与 方差 2025年Ⅰ卷14； 2024年Ⅱ卷 18； 2023年Ⅰ卷21； 2021年Ⅰ卷18； 2021年Ⅱ卷21 列、实际应用问题 （如决策优化、风险评 估）考查，需建立数学 模型并计算期望、方差 进行方案比较 2.常见的离散型
随机变量的分布
列、期望与方差
计算.
3.期望与方差的
性质
续表
考查内 容 考题统计 考情分析 必备知识
二项分 布、超 几何分 布 高考命题的热点，需要 考生熟练掌握二项分 布、超几何分布及其他 类别的分布列与期望方 差问题
续表
考查内 容 考题统计 考情分析 必备知识
正态分 布 2024年Ⅰ卷9; 2022年Ⅱ卷 13； 2021年Ⅱ卷6 主要考查正态分布的定 义及指定区间内概率的 计算 1.正态分布的定
义
2.正态曲线的性
质
3.正态分布的
原则
续表
微点1 概率分布问题
角度1 二项分布
例1 [2025·湖南师大附中二模] 甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和
乙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是 ，乙投中而丙未
投中的概率是 .
（1）请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由.
解：丙投篮水平较高，理由如下：
设甲、乙、丙各自独立投篮投中的概率分别为，， .
依题意，得可得因为 ，
所以丙投篮水平较高.
例1 [2025·湖南师大附中二模] 甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和
乙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是 ，乙投中而丙未
投中的概率是 .
（2）现将投篮水平较低的两人组成一组（记为 ），与投篮水平较
高的人（记为 组）进行投篮比赛，甲、乙、丙各自独立投篮2次，
且每次投篮的结果互不影响，投中次数较多的一组获胜，求 组获胜
的概率.
解：记组投篮投中的次数为，组投篮投中的次数为 ，
由（1）知， ，
若组获胜，则，或，或， ，
所以 ，
，
，
故 组获胜的概率
.
【规律提炼】
1.求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤:
（1）判断取值;（2）探求概率;（3）写分布列;（4）求期望值.
2.要注意随机变量是否服从特殊的分布（如超几何分布或二项分布等）
或与服从特殊分布的另一随机变量存在线性对应关系.若服从特殊的
分布，或存在线性对应关系，则可跳过分布中概率的计算,利用公式
得到期望或方差.
自测题
[2025·江西新余实验中学模拟] 某高校为了丰富大学生的业余生活，
每年定期举行乒乓球比赛.通过资格赛和淘汰赛，该高校的李猛和张
明进入决赛，决赛采用五局三胜制，即选手率先获得三局胜利时，
比赛结束并获得冠军.根据以往李猛和张明的比赛胜负数据分析，李
猛每局获胜的概率为，张明每局获胜的概率为，每局比赛相互独立.
（1）求四局结束比赛的概率.
解：记事件 表示“四局结束比赛”，
则（李猛赢） （张明赢）
.
[2025·江西新余实验中学模拟] 某高校为了丰富大学生的业余生活，
每年定期举行乒乓球比赛.通过资格赛和淘汰赛，该高校的李猛和张
明进入决赛，决赛采用五局三胜制，即选手率先获得三局胜利时，
比赛结束并获得冠军.根据以往李猛和张明的比赛胜负数据分析，李
猛每局获胜的概率为，张明每局获胜的概率为，每局比赛相互独立.
（2）此次决赛设总奖金10万元，若决赛结果为 ，则冠军奖金为8万
元，亚军奖金为2万元；若决赛结果为 ，则冠军奖金为7万元，亚军
奖金为3万元；若决赛结果为 ，则冠军奖金为6万元，亚军奖金为4
万元.求李猛此次决赛获得奖金 （单位:万元）的分布列和数学期望.
解：由题意知， （单位：万元）的所有可能取值为2，3，4，6，7，8，
所以 ,
，
,
，
, .
所以 的分布列为
2 3 4 6 7 8
所以
（万元）.
角度2 超几何分布
例2 [2025·河北张家口模拟] 为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老
的传统美德，某医院从， 两个科室的志愿者中随机抽调4人为某
社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知， 两个科室中
的志愿者分布如下：
类别科室 志愿者
医生 护士
科室 2 3
科室 3 3
（1）求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一
科室的概率；
解：由题知，抽到的4人中，恰好有2名医生且这2名医生恰好来自同
一科室的情况包含这2名医生都来自科室和都来自 科室，
有个样本点，从11人中抽4人有 个样本点，
所以所求的概率为 .
例2 [2025·河北张家口模拟] 为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老
的传统美德，某医院从， 两个科室的志愿者中随机抽调4人为某
社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知， 两个科室中
的志愿者分布如下：
类别科室 志愿者
医生 护士
科室 2 3
科室 3 3
（2）设为选出的4人中医生的人数，求随机变量 的分布列和数学
期望.
解：随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3，4，
，
，
，， ，
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
所以 .
【规律提炼】
超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体
的个数.超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象
的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数的概率分布.
超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其
实质是古典概型.
自测题
[2025·湖南郴州三模] 已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标
号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一
个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号
球，两个2号球和一个3号球.
（1）从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量 为摸出的1号球的
个数，求随机变量 的分布列和数学期望.
解：由题意可知，随机变量 的所有可能取值为0，1，2，
则,, ，
则随机变量 的分布列为
0 1 2
故 .
[2025·湖南郴州三模] 已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标
号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一
个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号
球，两个2号球和一个3号球.
（2）现按照如下规则摸球：共摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸
出1个球，若摸出的是1号球则放入甲袋，摸出的是2号球则放入乙袋，
摸出的是3号球则放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1
个球.求第二次摸到的是3号球的概率.
解：记第一次从甲袋中随机摸出1个球，摸出的是1，2，3号球分别
为事件,,，第二次摸到的是3号球为事件 ，
则,,, ,
，
所以
.
微点2 风险与决策问题
例3 [2024· 新课标Ⅱ卷] 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两
名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投
篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投
中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次
投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 ，乙每次
投中的概率为 ，各次投中与否相互独立.
（1）若， ,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的
比赛成绩不少于5分的概率.
解：若甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，
则甲在第一阶段比赛中至少投中1次，乙在第二阶段比赛中也至少投
中1次，
甲、乙所在队比赛成绩不少于5分的概率
.
例3 [2024· 新课标Ⅱ卷] 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两
名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投
篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投
中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次
投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 ，乙每次
投中的概率为 ，各次投中与否相互独立.
（2）假设 .
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁
参加第一阶段比赛？
解： 若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分
的概率 ，
若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率
.
，
,,,, ,
得 ，
应该由甲参加第一阶段比赛.
例3 [2024· 新课标Ⅱ卷] 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两
名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投
篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投
中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次
投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 ，乙每次
投中的概率为 ，各次投中与否相互独立.
（2）假设 .
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参
加第一阶段比赛？
解：若甲参加第一阶段比赛，记甲、乙所在队的比赛成绩为 ，
则 的所有可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
.
若乙参加第一阶段比赛，记甲、乙所在队的比赛成绩为，则 的所
有可能取值为0，5，10，15，
同理可得 .
， 应该由甲参加第
一阶段比赛.
【规律提炼】
决策的工具是有关概率或期望,决策方案的最佳选择是将概率或期望
最大（最小）作为最佳方案,可能需要借助函数的性质去实现.
自测题
[2025·江苏苏州三模] 现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出
的零件内径（单位：）服从正态分布，乙生产出的零
件内径（单位：）服从正态分布.
（1）若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为, ，且两台机器
工作状态相互独立.设一天内发生故障的机器台数为，求 的分布列.
解：因为表示一天内发生故障的机器台数，所以 的所有可能取值
为0，1，2，
则 ，
0 1 2
0.72 0.26 0.02
， ，
所以 的分布列为
[2025·江苏苏州三模] 现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出
的零件内径（单位：）服从正态分布，乙生产出的零
件内径（单位：）服从正态分布.
（2）若生产出的零件内径小于 ，则每件亏损2元；若生产出的
零件内径大于 ，则每件亏损8元；若生产出其他尺寸的零件，
则每件获利20元.已知每天每台机器生产出1000件零件，试比较哪一
台机器每天生产出的零件的平均利润更大.
参考数据：若，则 ,
.
解：因为甲生产出的零件内径，所以， ，
则 ，
，
，
因为每台机器每天生产1000件零件，
所以甲机器每天生产出的零件的平均利润约为
（元）.
因为乙生产出的零件内径，所以， ，
则 ，
，
，
则乙机器每天生产出的零件的平均利润约为
（元）.
因为 ，所以甲机器每天生产出的零件的平均利润更大.
［备选理由］例1考查服从两点分布的随机变量的概率计算，涉及概
率的基本性质，属于基础但易错的知识点.例2考查有放回抽样中随机
变量期望的计算.例3考查列联表并进行独立性检验，涉及分层随机抽
样和离散型随机变量的分布列.例4考查古典概型概率计算和二项分布
性质的应用，要求比较有放回与不放回抽样的估计误差概率，涉及
实际推断.设计很有新意，突出其对比研究的教学价值.
例1 ［补充使用］[2025·湖北宜荆荆恩四校联考]已知随机变量，
均服从两点分布，若，，且 ，
则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为随机变量，均服从两点分布，且 ，
，
所以 ，
，
所以.
又因为 ，所以 ，
所以 .
例2 ［补充使用］某盒子中有黑、白球各1个，记“从该盒子中随机
抽取一个球，记录颜色后放回该球”为一次操作，重复以上操作，首
次集齐黑、白两种颜色的操作次数为随机变量，则 的数学期望为
___．
3
[解析] 第一次操作必然得到一种颜色（黑或白,概率均为 ），此时
已有一种颜色；
则在集齐两种颜色前，每次操作以概率 得到另一种颜色（即首次成
功集齐两种颜色），或以概率得到相同颜色（状态不变）.
设 为第一次操作后，直到首次得到另一种颜色所需的额外操作次数,
则随机变量 的分布列为
1 2 3 … …
… …
，
令 ，
则，
得
,
, ,
易知总操作次数，
所以 .
例3 ［配例4使用］[2025·山西临汾适应性考试] 近年来，我国各级
政府重视提高老年人的生活质量.在医疗、餐饮等多方面为老人提供
了方便.用餐方面，各社区创建了“幸福大食堂”“爱心午餐”“老人食堂”
等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题.据统计“幸福大食堂”
2025年1月份共为1600名老人提供了午餐服务，并获得1200位老人的
好评，其余老人均为非好评.为了提升菜品品质，该食堂更换了厨师，
更换厨师后该食堂2025年2月份为4000名老人提供了午餐服务，并获
得3200位老人的好评，其余老人均为非好评.
（1）完成列联表，并依据小概率值 的独立性检验，判
断该食堂是否能获得好评是否与更换厨师有关联；
单位：人
厨师情况 评价 合计
好评 非好评
更换厨师前
更换厨师后
合计
解：由题可得列联表为
单位：人
厨师情况 评价 合计
好评 非好评
更换厨师前 1200 400 1600
更换厨师后 3200 800 4000
合计 4400 1200 5600
零假设为 该食堂是否能获得好评和更换厨师无关联.
经计算得 ，
根据小概率值的独立性检验，推断 不成立，
即认为该食堂是否能获得好评和更换厨师有关联，此推断犯错误的
概率不超过0.01.
例3 ［配例4使用］[2025·山西临汾适应性考试] 近年来，我国各级
政府重视提高老年人的生活质量.在医疗、餐饮等多方面为老人提供
了方便.用餐方面，各社区创建了“幸福大食堂”“爱心午餐”“老人食堂”
等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题.据统计“幸福大食堂”
2025年1月份共为1600名老人提供了午餐服务，并获得1200位老人的
好评，其余老人均为非好评.为了提升菜品品质，该食堂更换了厨师，
更换厨师后该食堂2025年2月份为4000名老人提供了午餐服务，并获
得3200位老人的好评，其余老人均为非好评.
（2）现从更换厨师前的评价中，用比例分配的分层随机抽样方法做
抽样调查，拟从给予好评和非好评的老人中共抽取8位，再从这8位
老人中随机抽取3位，记抽取的3位老人中给予好评的人数为，求
的分布列和数学期望.
附：，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
解：由题可知，抽样调查的8位老人中，给予好评的人数为，
给予非好评的人数为2，则 的所有可能取值为1,2,3，
，， ，
所以 的分布列为
1 2 3
故数学期望 .
例4 ［配例3使用］[2025·湖北黄冈二模] 一个袋子中有4个红球，
个绿球.若从中不放回地依次摸出2个球，则摸出的2个球都是红球的
概率为 .
（1）求 的值.
解：由题可得, ，
即，，可得 .
例4 ［配例3使用］[2025·湖北黄冈二模] 一个袋子中有4个红球，
个绿球.若从中不放回地依次摸出2个球，则摸出的2个球都是红球的
概率为 .
（2）从中依次随机地摸出4个球作为样本，设采用有放回摸球和不
放回摸球得到的样本中绿球的个数分别为, .
（i）求 的数学期望和方差；
解：对于有放回摸球，每次摸到绿球的概率为 ，且每次试验是独
立的，则,
所以 ,
.
例4 ［配例3使用］[2025·湖北黄冈二模] 一个袋子中有4个红球，
个绿球.若从中不放回地依次摸出2个球，则摸出的2个球都是红球的
概率为 .
（2）从中依次随机地摸出4个球作为样本，设采用有放回摸球和不
放回摸球得到的样本中绿球的个数分别为, .
（ii）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中绿球的比例估计总
体中绿球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率，并比较所求两
概率的大小，说明其实际含义.
解： 样本中绿球的比例分别为, ，有放回摸球时，
其概率
；
不放回摸球时，
其概率
.
所以 ，在误差不超过0.2的相同限制下，用样本中绿球比例估
计总体中绿球比例，采用不放回摸球估计的结果更可靠些.

展开更多......

收起↑