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高分提能八　概率与数列交汇问题
【典型例题】
例1　解:(1)一人投掷两颗骰子,向上的点数之和为4的倍数的概率为=.
(i)因为第1次从小明开始,所以前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率P=××+××+××=.
(ii)设游戏的前4次中,小芳投掷的次数为X,依题意知X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=××=,
P(X=1)=××+××+××=,
P(X=2)=,P(X=3)=××=,所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.
(2)设An表示“第n次由小芳投掷”,则Pn=P(An),P(An|An-1)=(n≥2),P(An|)=(n≥2),
所以由全概率公式得Pn=P(An)=P(An-1)P(An|An-1)+P()P(An|)=Pn-1+(1-Pn-1)=Pn-1+-Pn-1=-Pn-1+(n≥2),
所以Pn-=-(n≥2).因为P1=1,所以P1-=,则是以为首项,-为公比的等比数列,所以Pn-=,即Pn=-.
自测题
解:(1)由题意知,该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇指标的平均数为×1.4+×1.5=1.44.
该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇指标的方差为×[0.6+(1.4-1.44)2]+×[0.3+(1.5-1.44)2]=0.482 4.
(2)按男女员工的比例采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名员工,则抽取到3名男员工,2名女员工.
从这5名员工中随机选择3人,记抽到男员工的人数为X,则X的所有可能取值为1,2,3,P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
可得X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E(X)=1×+2×+3×=.
(3)由题意知p1=,pn=pn-1+(1-pn-1)=-pn-1+(n≥2),
所以pn-=-(n≥2),又p1-=-≠0,
所以是以-为首项,-为公比的等比数列,
所以pn=-.
所以p365=-≈,即一年以后,员工选择A餐厅的概率约为.
设400名员工中选择A餐厅的人数为X,则X~B,
所以400名员工中选择A餐厅的平均人数约为E(X)=400×≈229>180,
故A餐厅每天准备180人的用餐是不合理的.
例2　解:(1)由题意知,p1=,pn+1=(1-pn)+0·pn=-pn+,
设pn+1+λ=-(pn+λ),
则pn+1=-pn-λ,所以-λ=,解得λ=-,
所以pn+1-=-,
又p1-=,所以数列是以为首项,-为公比的等比数列,
所以pn-=×,
所以pn=+×.
(2)因为pi=+×,i=1,2,…,n,
所以当n∈N*时,Y的数学期望E(Y)=p1+p2+…+pn=+×++×+…++×=+×=+×=+×=-×.
自测题
解:(1)当答题活动结束时,设事件A=“答题人数为1”,B=“答题人数为2”,则A与B互斥.
由题可知P(A)=×=,P(B)=××+××=,
则P(A+B)=P(A)+P(B)=+=,所以答题人数不超过2的概率为.
(2)若按规则一答题,则第3号同学答题后答题活动结束需进行4次答题,其中前3次第1,2号同学第一题至多答对1次,
第二题都答错或不会答,第4次第3号同学答对第二题,
其概率P1=×××+×××+×××=++=.
若按规则二答题,因为每个同学两题都答对的概率为×=,
则第3号同学答题后答题活动结束的概率P2=××=.
因为P2(3)证明:按规则二答题,X的所有可能取值为1,2,3,…,n,
当1≤k≤n-1时,P(X=k)=×=×;当k=n时,P(X=n)==.
则E(X)=+n.
设S=1+2×+3×+…+(n-1),
则S=1×+2×+…+(n-2)+(n-1),两式相减,得S=1+++…+-(n-1)=3-(n-1)=3-(n+2),所以E(X)=S+n=3-2×.
由题设知,an=E(X-3)=E(X)-3=-2×,则a1=-2,
当n≥2时,=,所以数列{an}是首项为-2,公比为的等比数列.提能特训(八)
1.D　[解析] 对于A选项,设投掷2次骰子,最终的得分为X,由题易知随机变量X的所有可能取值为2,3,4,则P(X=2)=×=,P(X=3)=××=,P(X=4)=×=,所以E(X)=2×+3×+4×=,故A错误;对于B选项,由经过n次投掷,最终得分恰为n+1分,可得只有一次投掷得2分,其余投掷均得1分,所以Pn=××=,所以Pi=++…++,利用错位相减法可以求得Pi=-×,故B错误;对于C选项,由B选项的分析可知Pn=××=,所以Pn-1+Pn-2=·+·=≠Pn,故C错误;对于D选项,因为最终得分为n分,每一次投掷的得分为1分或2分,所以除去最后一次投掷的得分外其余投掷的得分合计为n-1分或n-2分,所以Pn=Pn-1+Pn-2(n≥3),故D正确.故选D.
2.解:(1)因为甲以13∶11获胜,所以在接下来的比赛中各局获胜的情况为乙甲甲甲或甲乙甲甲,
因此甲以13∶11获胜的概率为0.4×0.5×0.8×0.8+0.6×0.2×0.5×0.8=0.176.
(2)设“在第n球比赛中甲获胜”为事件A,“在第n+1球比赛中甲获胜”为事件B,
则P(B)=Pn+1,P(A)=Pn,P(B|)=p,P(B|A)=0.8,
所以Pn+1=P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.8Pn+(1-Pn)p,
故Pn+1=(0.8-p)Pn+p.
(3)证明:由(2)可知,Pn+1-=(0.8-p),
因为P1=0.6,0.3所以P1-=0.6-=<0,
故是以0.8-p为公比,0.6-为首项的等比数列,
所以Pn-=×(0.8-p)n-1,
所以Pn=×(0.8-p)n-1+.
因为Pn+1-Pn=×(0.8-p)n-1×(-0.2-p)>0,
所以Pn+1>Pn,故数列{Pn}为递增数列,
所以Pn≥P1=0.6.
3.解:(1)记事件A=“经过2次传球并由甲执行投篮”,B=“球有经过丙的手”,故P(B|A)===.
(2)记事件Cn=“经过n次传球后球回到乙手中”,
设P(Cn)=an,则a1=0,
∵当n≥2时,P(Cn)=P()P(Cn|)+P(Cn-1)P(Cn|Cn-1),
∴an=(1-an-1)(n≥2),可得an-=-(n≥2),
∴数列是首项为-,公比为-的等比数列,
∴an-=-,即an=-,
故经过n次传球后,球回到乙手中的概率为-.
(3)证明:记事件En=“经过n次传球后球到甲手中”,事件Dn=“经过n次传球后球不在甲和乙的手中”
则P(En)=P()P(En|)+P()P(En|)+P(En-1)P(En|En-1),
∴P(En)=Pn=an-1+(1-an-1-Pn-1)+0=-Pn-1+an-1+=-Pn-1-+,
两边同乘(-4)n,得(-4)nPn=(-4)n-1Pn-1+(-4)n-,
设Mn=(-4)nPn,
则有Mn=Mn-1+(-4)n-,
又M1=-4·P1=-2,
∴Mn=M1+-(n-1)=-(-4)n-1-,
∴Pn=-.
显然,当n为奇数时,Pn>,当n为偶数时,Pn<,
因此满足Pn>的n的个数不少于满足Pn<的n的个数.
4.解:(1)设5轮取出的白球总数为X,由题意知,每轮取出白球的概率为,
则X~B,
则E(X)=5×=2.
(2)记Ai=“第i轮取出白球”,Bi=“第i轮取出黑球”(i∈N*).
(i)记C=“在第1轮取出黑球的条件下,第5轮恰好取出所有白球”,
则P(C)=P[(A2B3B4A5∪B2A3B4A5∪B2B3A4A5)|B1]=×××+×××+×××=.
(ii)由题意知,前n-1轮中恰有1轮取出白球,
则P(AkAn)=×××=×(1≤k≤n-1),
则第n轮恰好取出所有白球的概率Pn=P(AkAn)=
× =
× =
-.
5.解:(1)满足条件ai∈{1,2,3,4,5,6}的数列a1,a2,a3,a4共有6×6×6×6=64(个),则n(Ω)=64.
从1,2,3,4,5,6中任选4个数(允许重复),共有+6×++6×+6=126(种)取法,
所以事件“数列a1,a2,a3,a4,且ai∈{1,2,3,4,5,6} 后三项中每一项都不小于前一项”包含的样本点的个数为126,故所求概率为=.
(2)①若bn=2,则未连续出现三次“1”的概率为pn-1;
②若bn=1,bn-1=2,则未连续出现三次“1”的概率为×pn-2;
③若bn=1,bn-1=1,则未连续出现三次“1”的概率为××pn-3.
综上,pn=pn-1+pn-2+pn-3(n≥4).
(3)设{cn}或{dn}经过k次才会第一次出现“1”,即前k-1次均未出现“1”,其概率为qk=·.
当{cn}第一次就出现“1”而停止时,则{dn}进行一次或两次操作,其概率为q1(q1+q2);
当{cn}第k次才停止时,则{dn}进行k-1次、k次或k+1次操作,其概率为qk(qk-1+qk+qk+1).综上,所求概率P=q1(q1+q2)+qk(qk-1+qk+qk+1)=+=+×=.
6.解:(1)因为P(A)=,所以报名参加答题活动的人数为100×=45,
又因为P(B|A)=,所以报名参加答题活动的男生人数为45×=30,
报名参加答题活动的女生人数为45-30=15,
又P(A|B)=,所以样本中男生人数为30÷=50,女生人数为50,
得到2×2列联表为
单位:人
报名情况 性别 合计
男生 女生
未报名参加答题活动 20 35 55
报名参加答题活动 30 15 45
合计 50 50 100
零假设为H0:学生是否报名参加答题活动与性别无关联,
则χ2==
≈9.091>7.879=x0.005,
依据小概率值α=0.005的独立性检验,我们推断H0不成立,
即认为学生是否报名参加答题活动与性别有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005.
(2)①由题可知X的所有可能取值为1,2,3,…,m,
其中P(X=i)=×(i=1,2,3,…,m-1),P(X=m)=,
所以E(X)=+2××+3××+…+(m-1)××+m×,
E(X)=×+2××+3××+…+(m-1)××+m×,
以上两式相减得E(X)=+×+×+…+×+×-m×,
所以E(X)=1+++…++(2m+1)×-3m·=+(2m+1)×-3m·=3-2·.
②每轮比赛甲得1分的概率为×=,得2分的概率为1-=,
依题意可得P1=,
P2=+=,
当n≥3时,Pn=Pn-1+Pn-2,
可得Pn-Pn-1=-(Pn-1-Pn-2)(n≥3),
又P2-P1=,
所以数列{Pn+1-Pn}是首项为,公比为-的等比数列,故Pn+1-Pn=·=.
又Pn+Pn-1=Pn-1+Pn-2(n≥3)且P2+P1=1,
所以数列是各项均为1的常数列,则Pn+1+Pn=1.
由解得Pn=-.
当n为奇数时,>0,
Pn=-<;
当n为偶数时,<0,
Pn=->.
又当n为偶数时,Pn=-=+,
显然Pn随着n的增大而减小,
所以当n=2时,Pn取得最大值,为P2=.高分提能八　概率与数列交汇问题
　　【考情分析】高考试卷的结构变化之后,注重知识融会贯通,突出思维能力、核心概念,要求具备将不同模块知识综合应用的能力.概率与数列的综合问题既符合此变化,也是站在高阶观点看概率统计对于马尔科夫链的综合考查,需要关注概率问题中的状态划分、递推关系与动态规划.涉及的考点主要是概率统计与数列的证明、求通项等.本专题在模块间的融合主要侧重以下两个模型:(1)基础模型;(2)传球模型.
类型一　基础模型
例1 小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏,规则如下:若掷出的点数之和为4的倍数,则由原投掷人继续投掷;若掷出的点数之和不是4的倍数,则由对方接着投掷.
(1)若第1次从小明开始.
(i)求前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率;
(ii)设游戏的前4次中,小芳投掷的次数为X,求随机变量X的分布列与期望.
(2)若第1次从小芳开始,求第n次由小芳投掷的概率Pn.
自测题
[2025·湖北恩施模拟] 某单位有400名员工,其中男员工240人,女员工160人,该单位为了了解员工的高密度脂蛋白胆固醇情况,以便调整食堂菜品,使员工身体更加健康,调查得知:该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇指标的平均数为1.4,方差为0.6,女员工的高密度脂蛋白胆固醇指标的平均数为1.5,方差为0.3.为了让员工吃得更健康,该单位设立了营养餐厅A和素食餐厅B两家餐厅,经过统计分析发现:一个员工第一天会随机地选择一家餐厅用餐,然后前一天选择了A餐厅的员工第二天选择A餐厅的概率为,第二天选择B餐厅的概率为;前一天选择了B餐厅的员工第二天选择A餐厅的概率为,第二天选择B餐厅的概率为,如此往复.
(1)求该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇指标的平均数与方差.
(2)按男女员工的比例采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名员工,再从这5名员工中随机选择3人参加座谈会,记抽到男员工的人数为X,求X的分布列及数学期望.
(3)设第n天选择A餐厅用餐的概率为pn,求pn;经过一年(365天)后,在A餐厅和B餐厅就餐的员工趋于稳定,如果A餐厅准备每天180人的用餐,是否合理,请说明理由.
类型二　传球模型
例2 在某次社团活动中,甲、乙、丙这三人相互做传球训练,第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记n次传球后球在乙手中的概率为pn,n=1,2,3,….
(1)求pn;
(2)若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E=qi.记前n次(即从第1次到第n次传球)中球在乙手中的次数为随机变量Y,求Y的数学期望.
自测题
某中学国学小组共有n(n∈N*,n≥2)个同学,分别编号为1,2,3,…,n.在一次小组活动中,指导老师设计了两道问答题,并给出如下两个答题规则.
规则一:①第1号同学首先答第一题.②若第i(i=1,2,3,…,n-1)号同学答对第一题,则该生继续答第二题;若第i号同学答错或不会答第一题,则由第i+1号同学接替答第一题.③若第i号同学答对第二题,则答题活动结束;若第i号同学答错或不会答第二题,则由第i+1号同学接替答第二题.④若答题轮到第n号同学,如果该同学答对第一题,则继续答第二题,如果该同学答对第二题,则答题活动结束,当该同学遇到答错或不会答的情况时,答题活动也结束.
规则二:①,②同规则一.③若第i号同学答对第二题,则答题活动结束;若第i号同学答错或不会答第二题,则由第i+1号同学接替答题,且重新从第一题开始作答.④同规则一.
假设每个同学答对第一题的概率都为,答对第二题的概率都为,且各同学的答题相互独立.
(1)若n≥3,且按规则一答题,当答题活动结束时,求答题人数不超过2的概率;
(2)若n≥4,为使第3号同学答题后答题活动结束的概率较大,应选择哪个规则答题;
(3)若按规则二答题,记答题活动结束时参与答题的总人数为X,an=E(X-3),证明:数列{an}为等比数列.提能特训(八)概率与数列交汇问题
1.[2025·云南泸水二模] 投掷均匀的骰子,每次投得的点数为1或2时得1分,投得的点数为3,4,5或6时得2分,独立重复投掷一枚骰子若干次,将每次得分加起来的结果作为最终得分,则下列说法正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.投掷2次骰子,最终得分的期望为
B.设投掷n次骰子合计得分恰为n+1分的概率为Pn,则Pi=1
C.设投掷n次骰子合计得分恰为n+1分的概率为Pn,则Pn=Pn-1+Pn-2(n≥3)
D.设最终得分为n分的概率为Pn,则Pn=Pn-1+Pn-2(n≥3)
2.在某场乒乓球比赛中,甲、乙两人进入决胜局,且目前该局比分为10∶10,接下来比赛规则如下:两人轮流各发一个球,谁赢此球就获得1分,直到有一方得分超过对方2分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球,且甲此球取胜的概率为0.6,若上一球甲获胜,则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8,若上一球乙获胜,则甲在下一球比赛中获胜的概率为p,其中0.3(1)若p=0.5,求甲以13∶11获胜的概率;
(2)求Pn与Pn+1的关系;
(3)证明:Pn≥0.6.
3.[2025·福建泉州模拟] 已知某篮球队有五名队员,其中甲是主要得分手,乙是组织后卫.若球在乙手中,则他传球给甲的概率为,传球给其他队员的概率均为;若球不在乙手中,则这名队员传球给任何队友的概率都是.开始进攻时,球在乙手中.
(1)求经过2次传球并由甲执行投篮的条件下,球有经过丙的手的概率;
(2)求经过n次传球后,球回到乙手中的概率;
(3)记经过n次传球后,球到甲的手中的概率为Pn,求证:满足Pn>的n的个数不少于满足Pn<的n的个数.
4.[2025·广东东莞六校联考] 已知某盒子中装有除颜色外完全相同的5个小球,其中2个白球,3个黑球,每轮从盒子中随机取出1个小球.
(1)若有放回地连续抽取5轮,求5轮取出的白球总数的数学期望.
(2)若规定:取出的是白球,则直接丢弃,若取出的是黑球,则放入盒中.
(i)求在第1轮取出黑球的条件下,第5轮恰好取出所有白球的概率;
(ii)求第n(n≥2)轮恰好取出所有白球的概率.
5.利用计算机生成随机数来模拟实际生活中的事件,然后估计相关事件发生的概率是概率统计中经常使用的方法.
(1)现在用这种方法生成数列a1,a2,a3,a4,满足ai∈{1,2,3,4,5,6}(i=1,2,3,4),求后三项中每一项都不小于前一项的概率.
(2)利用这种方法生成数列b1,b2,…,bn,满足bi∈{1,2}(i=1,2,…),用pn表示未连续出现三次“1”的概率,试求出{pn}的递推公式.
(3)利用这种方法生成数列{cn},{dn},满足:
①ci,di∈{1,2,3,4,5,6}(i=1,2,…) ;②当出现“1”时,操作停止.求{cn}和{dn}至多相差一项的概率.
6.[2025·山东烟台德州联考] 近年来,全球数字化进程持续加速,人工智能(简称AI)已然成为科技变革的核心驱动力.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动,为了解男、女学生参与答题意愿的差异,用比例分配的分层随机抽样的方法在全体学生中抽取100人,设事件A=“学生报名参加答题活动”,B=“学生为男生”,据统计P(A)=,P(B|A)=,P(A|B)=.
(1)根据已知条件,完成下列2×2列联表,并依据小概率值α=0.005的独立性检验,能否推断该校学生是否报名参加答题活动与性别有关联
单位:人
报名情况 性别 合计
男生 女生
未报名参加答题活动
报名参加答题活动
合计 100
(2)网络答题规则:答题活动不限时间,不限轮次,答多少轮由选手自行确定;每轮均设置m(m≥3)道题,选手参与该轮答题,则至少答一道题,一旦答对一题,则其本轮答题结束,答错则继续答题,直到第m道题答完,本轮答题结束.已知甲同学报名参加答题活动,假设甲每道题回答是否正确相互独立,且每道题被答对的概率均为.
①求甲在一轮答题过程中答题数量X的数学期望;
②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道,本轮答题得2分,否则得1分.记甲答题累计得分为n的概率为Pn(n∈N*),求Pn的最大值.
参考公式与数据:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828(共34张PPT)
高分提能八 概率与数列交汇问题
类型一 基础模型
类型二 传球模型
◆
典型例题
【考情分析】高考试卷的结构变化之后，注重知识融会贯通，
突出思维能力、核心概念，要求具备将不同模块知识综合应用的能
力.概率与数列的综合问题既符合此变化，也是站在高阶观点看概率
统计对于马尔科夫链的综合考查，需要关注概率问题中的状态划分、
递推关系与动态规划.涉及的考点主要是概率统计与数列的证明、求
通项等.本专题在模块间的融合主要侧重以下两个模型：（1）基础模
型；（2）传球模型.
类型一 基础模型
例1 小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：
若掷出的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点
数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷．
（1）若第1次从小明开始．
（ⅰ）求前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率；
解：一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概率为．
因为第1次从小明开始，所以前4次投掷中小明恰好投掷2次的
概率 ．
例1 小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：
若掷出的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点
数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷．
（1）若第1次从小明开始．
（ⅱ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为，求随机变量 的分布
列与期望．
解： 设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为，依题意知 的可能
取值为0，1，2，3，
，
，
，，
所以 的分布列为
0 1 2 3
所以 ．
例1 小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：
若掷出的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点
数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷．
（2）若第1次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率 ．
解：设表示“第次由小芳投掷”，
则 ，， ，
所以由全概率公式得
，
所以．
因为，所以 ，
则是以为首项， 为公比的等比数列，
所以，即 ．
自测题
[2025·湖北恩施模拟] 某单位有400名员工，其中男员工240人，女员工160人，
该单位为了了解员工的高密度脂蛋白胆固醇情况，以便调整食堂菜品，使员
工身体更加健康，调查得知：该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇指标的平
均数为，方差为，女员工的高密度脂蛋白胆固醇指标的平均数为，
方差为0.3.为了让员工吃得更健康，该单位设立了营养餐厅和素食餐厅两
家餐厅，经过统计分析发现：一个员工第一天会随机地选择一家餐厅用餐，
然后前一天选择了餐厅的员工第二天选择餐厅的概率为，第二天选择
餐厅的概率为；前一天选择了餐厅的员工第二天选择餐厅的概率为，
第二天选择餐厅的概率为，如此往复.
（1）求该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇指标的平均数与方差.
解：由题意知，该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇指标的平均
数为 .
该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇指标的方差为
.
[2025·湖北恩施模拟] 某单位有400名员工，其中男员工240人，女员
工160人，该单位为了了解员工的高密度脂蛋白胆固醇情况，以便调
整食堂菜品，使员工身体更加健康，调查得知：该单位男员工的高
密度脂蛋白胆固醇指标的平均数为，方差为，女员工的高密度
脂蛋白胆固醇指标的平均数为，方差为0.3.为了让员工吃得更健
康，该单位设立了营养餐厅和素食餐厅两家餐厅，经过统计分析
发现：一个员工第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选
择了餐厅的员工第二天选择餐厅的概率为，第二天选择餐厅的
概率为；前一天选择了餐厅的员工第二天选择餐厅的概率为，
第二天选择餐厅的概率为，如此往复.
（2）按男女员工的比例采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5
名员工，再从这5名员工中随机选择3人参加座谈会，记抽到男员工
的人数为，求 的分布列及数学期望.
解：按男女员工的比例采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名
员工，则抽取到3名男员工，2名女员工.
从这5名员工中随机选择3人，记抽到男员工的人数为，
则 的所有可能取值为1，2，3， ，
，
，
可得 的分布列为
1 2 3
所以 .
[2025·湖北恩施模拟] 某单位有400名员工，其中男员工240人，女员
工160人，该单位为了了解员工的高密度脂蛋白胆固醇情况，以便调
整食堂菜品，使员工身体更加健康，调查得知：该单位男员工的高
密度脂蛋白胆固醇指标的平均数为，方差为，女员工的高密度
脂蛋白胆固醇指标的平均数为，方差为0.3.为了让员工吃得更健
康，该单位设立了营养餐厅和素食餐厅两家餐厅，经过统计分析
发现：一个员工第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选
择了餐厅的员工第二天选择餐厅的概率为，第二天选择餐厅的
概率为；前一天选择了餐厅的员工第二天选择餐厅的概率为，
第二天选择餐厅的概率为，如此往复.
（3）设第天选择餐厅用餐的概率为，求 ；经过一年（365天）
后，在餐厅和餐厅就餐的员工趋于稳定，如果 餐厅准备每天180
人的用餐，是否合理，请说明理由.
解：由题意知 ，
，
所以，又 ，
所以是以为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
所以，
即一年以后，员工选择 餐厅的概率约为 .
设400名员工中选择餐厅的人数为，则 ，
所以400名员工中选择 餐厅的平均人数约为
，
故 餐厅每天准备180人的用餐是不合理的.
类型二 传球模型
例2 在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次
由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个
人中的任何一人.记次传球后球在乙手中的概率为， ，2，
3， .
（1）求 ；
解：由题意知，， ，
设 ，则 ，
所以，解得 ，所以 ，
又，所以数列是以为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
所以 .
例2 在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次
由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个
人中的任何一人.记次传球后球在乙手中的概率为， ，2，
3， .
（2）若随机变量 服从两点分布，且
，，2， ， ，则
.记前次（即从第1次到第 次传球）中球在乙手中
的次数为随机变量，求 的数学期望.
解：因为，，2， ， ，
所以当时， 的数学期望
.
自测题
某中学国学小组共有个同学，分别编号为1,2,3, , .
在一次小组活动中，指导老师设计了两道问答题，并给出如下两个
答题规则.
规则一：①第1号同学首先答第一题.②若第 号
同学答对第一题，则该生继续答第二题；若第 号同学答错或不会答
第一题，则由第号同学接替答第一题.③若第 号同学答对第二题，
则答题活动结束；若第号同学答错或不会答第二题，则由第 号
同学接替答第二题.④若答题轮到第 号同学，如果该同学答对第一
题，则继续答第二题，如果该同学答对第二题，则答题活动结束，
当该同学遇到答错或不会答的情况时，答题活动也结束.
规则二：①，②同规则一.③若第 号同学答对第二题，则答题活动结
束；若第号同学答错或不会答第二题，则由第 号同学接替答题，
且重新从第一题开始作答.④同规则一.
假设每个同学答对第一题的概率都为，答对第二题的概率都为 ，
且各同学的答题相互独立.
（1）若 ，且按规则一答题，当答题活动结束时，求答题人数
不超过2的概率；
解：当答题活动结束时，设事件“答题人数为1”， “答题人数
为2”，则与 互斥.
由题可知, ，
则 ，
所以答题人数不超过2的概率为 .
某中学国学小组共有个同学，分别编号为1,2,3, , .
在一次小组活动中，指导老师设计了两道问答题，并给出如下两个
答题规则.
规则一：①第1号同学首先答第一题.②若第 号
同学答对第一题，则该生继续答第二题；若第 号同学答错或不会答
第一题，则由第号同学接替答第一题.③若第 号同学答对第二题，
则答题活动结束；若第号同学答错或不会答第二题，则由第 号
同学接替答第二题.④若答题轮到第 号同学，如果该同学答对第一
题，则继续答第二题，如果该同学答对第二题，则答题活动结束，
当该同学遇到答错或不会答的情况时，答题活动也结束.
规则二：①，②同规则一.③若第 号同学答对第二题，则答题活动结
束；若第号同学答错或不会答第二题，则由第 号同学接替答题，
且重新从第一题开始作答.④同规则一.
假设每个同学答对第一题的概率都为，答对第二题的概率都为 ，
且各同学的答题相互独立.
（2）若 ，为使第3号同学答题后答题活动结束的概率较大，应
选择哪个规则答题；
解：若按规则一答题，则第3号同学答题后答题活动结束需进行4次
答题，其中前3次第1，2号同学第一题至多答对1次，
第二题都答错或不会答，第4次第3号同学答对第二题，
其概率
.
若按规则二答题，因为每个同学两题都答对的概率为 ，
则第3号同学答题后答题活动结束的概率
.
因为 ，所以应选择规则一答题.
某中学国学小组共有个同学，分别编号为1,2,3, , .
在一次小组活动中，指导老师设计了两道问答题，并给出如下两个
答题规则.
规则一：①第1号同学首先答第一题.②若第 号
同学答对第一题，则该生继续答第二题；若第 号同学答错或不会答
第一题，则由第号同学接替答第一题.③若第 号同学答对第二题，
则答题活动结束；若第号同学答错或不会答第二题，则由第 号
同学接替答第二题.④若答题轮到第 号同学，如果该同学答对第一
题，则继续答第二题，如果该同学答对第二题，则答题活动结束，
当该同学遇到答错或不会答的情况时，答题活动也结束.
规则二：①②同规则一.③若第 号同学答对第二题，则答题活动结
束；若第号同学答错或不会答第二题，则由第 号同学接替答题，
且重新从第一题开始作答.④同规则一.
假设每个同学答对第一题的概率都为，答对第二题的概率都为 ，
且各同学的答题相互独立.
（3）若按规则二答题，记答题活动结束时参与答题的总人数为 ,
.
解：按规则二答题，的所有可能取值为1,2,3, , ，
当时， ；当
时， .
则 .
设 ，
则 ，
两式相减，得 ,所以 .

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