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高考真题
1-1　64　[解析] 若选修2门课,则需要从体育类和艺术类选修课中各选1门,有=16(种)方案;若选择3门课,则包含两种情况:选2门体育类,1门艺术类或2门艺术类,1门体育类,有+=48(种)方案.故不同的选课方案共有16+48=64(种).
1-2　　[解析] 方法一:设甲的数字为1,3,5,7时乙对应的数字分别为a,b,c,d,样本点记为(a,b,c,d),则该试验的样本空间包含的样本点个数为=24.甲的总得分不小于2包含的样本点有(6,2,4,8),(8,2,4,6),(6,2,8,4),(8,2,6,4),(6,8,2,4),(8,6,2,4),(6,8,4,2),(8,6,4,2),(4,2,8,6),(4,8,2,6),(8,4,2,6),(2,8,4,6),共12个.故所求概率为=.
方法二:设甲在四轮比赛中的得分分别为X1,X2,X3,X4,甲四轮比赛的总得分为X.对于任意一轮比赛,甲、乙两人在该轮出示每张牌的概率均相等,其中使甲得1分的出牌组合有6种,所以P(Xk=1)==,E(Xk)=(k=1,2,3,4),所以E(X)=E(X1+X2+X3+X4)=E(Xk)==.记pt=P(X=t)(t=0,1,2,3),如果甲的总得分为0,则组合方式是唯一的,必定是甲出1,3,5,7,分别对应乙出2,4,6,8,所以p0==; 如果甲的总得分为3,则组合方式也是唯一的,必定是甲出1,3,5,7,分别对应乙出8,2,4,6,所以p3==.因为p0+p1+p2+p3=1,p1+2p2+3p3=E(X)=, 所以p1+p2+=1,p1+2p2+=, 两式相减得p2+=,所以p2+p3=,所以甲的总得分不小于2的概率为p2+p3=.
1-3　　[解析] 方法一:X的所有可能取值为1,2,3,P(X=1)=×=,P(X=2)=×××=,P(X=3)=×=,所以E(X)=1×+2×+3×=.
方法二:令Xi=
(i=1,2,3,4,5),则X=X1+X2+X3+X4+X5,E(Xi)=P(标号为i的球被取出至少一次)=1-P(标号为i的球没被取过)=1-=,故E(X)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+E(X4)+E(X5)=5×=.
拓展延伸
1.7　[解析] 记当白球摸出的次数比黑球多k(k=-3,-2,-1,0,1,2,3)时,继续摸球,直至游戏结束时需进行的摸球次数为Xk,期望为E(Xk).在白球少2次的前提下,继续摸球一次:若是白球,则白球比黑球少1次,继续摸球至结束,还需要E(X-1)次,共摸球[E(X-1)+1]次;若是黑球,则白球比黑球少3次,游戏结束,共摸球1次,所以E(X-2)=[E(X-1)+1]+×1,同理,得E(X-1)=[E(X0)+1]+×[E(X-2)+1],E(X0)=[E(X1)+1]+×[E(X-1)+1],E(X1)=[E(X2)+1]+×[E(X0)+1],E(X2)=×1+×[E(X1)+1],联立上式解得E(X0)=7.
高考真题
2-1　解:(1)若甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分,则甲在第一阶段比赛中至少投中1次,乙在第二阶段比赛中也至少投中1次,
∴甲、乙所在队比赛成绩不少于5分的概率P=(1-0.63)×(1-0.53)=0.686.
(2)(i)若甲参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率P甲=[1-(1-p)3]q3,
若乙参加第一阶段比赛,
则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率P乙=[1-(1-q)3]p3.
P甲-P乙=q3-(q-pq)3-p3+(p-pq)3=3pq(p-q)(pq-p-q),
∵00,p-q<0,pq-p-q<0,
∴P甲-P乙>0,得P甲>P乙,∴应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)若甲参加第一阶段比赛,记甲、乙所在队的比赛成绩为X,
则X的所有可能取值为0,5,10,15,
P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3]·(1-q)3,
P(X=5)=[1-(1-p)3]q·(1-q)2,
P(X=10)=[1-(1-p)3]q2·(1-q),
P(X=15)=[1-(1-p)3]·q3,
∴E(X)=15[1-(1-p)3]q=15(p3-3p2+3p)·q.
若乙参加第一阶段比赛,记甲、乙所在队的比赛成绩为Y,则Y的所有可能取值为0,5,10,15,
同理可得E(Y)=15(q3-3q2+3q)·p.
∵E(X)-E(Y)=15pq(p-q)(p+q-3)>0,∴应该由甲参加第一阶段比赛.
拓展延伸
2.解:(1)(i)由题意,得p2=××+=.
(ii)由题意,知X~B,
则P(X=0)==,
P(X=1)=××=,
P(X=2)=××==,P(X=3)=××==,
P(X=4)=××=,
P(X=5)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
故E(X)=5×=.
(2)(i)升级装置正常运行时,设备的平均稳定率为90%×90%+95%×10%=0.905,所以安装升级装置后该设备的平均稳定率为60%×(1-pk)+0.905×pk=0.305pk+0.6.
(ii)控制系统中模块总数为奇数,若增加2个模块,则第一类,原系统中至少有k+1个模块正常工作,
增加模块后系统正常运行的概率为p(1)=pk-pk(1-p)k-1;
第二类,原系统中恰好有k个模块正常工作,新增2个模块中至少有1个正常工作,
增加模块后系统正常运行的概率为p(2)=pk(1-p)k-1·[1-(1-p)2]=pk+1(1-p)k-1(2-p);
第三类,原系统中有k-1个模块正常工作,新增2个模块全部正常工作,增加模块后系统正常运行的概率为p(3)=pk-1(1-p)k·p2=pk+1(1-p)k.
所以pk+1=p(1)+p(2)+p(3)=pk-pk(1-p)k-1+pk+1(1-p)k-1(2-p)+pk+1(1-p)k=pk+pk(1-p)k(2p-1),
则pk+1-pk=pk(1-p)k(2p-1).
所以当p>时,pk+1-pk>0,pk随k的增加而增加,
即增加模块个数设备正常工作的概率变大;
当p≤时,pk+1-pk≤0,
即增加模块个数设备正常工作的概率没有变大.
又因为安装升级装置后该设备的平均稳定率为0.305pk+0.6,且0.305pk+0.6随pk的增加而增加,
所以当p>时,设备可以通过增加控制系统中模块的个数来提高平均稳定率;
当p≤时,设备不可以通过增加控制系统中模块的个数来提高平均稳定率.教材回归
必记知识清单
平均数、 标准差、 方差、用 最小二乘 法求经验 回归方程 (1)平均数:数据x1,x2,…,xn的平均数是(x1+x2+…+xn),记作. (2)标准差:s=; 方差:s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]. (3)比例分配的分层随机抽样的均值和方差: 如果总体分为两层,两层包含的个体数分别为M,N,两层抽取的样本量分别为m,n,两层的样本平均数分别为,,两层的总体平均数分别为,,总体平均数为,样本平均数为,那么=+=+=. 设样本数据的平均数为,方差为s2,样本分为两层,其中两层的个体数量分别为m,n,两层的平均数分别为,,方差分别为,, 则=+,s2=[+(-)2]+[+(-)2]. (4)用最小二乘法求经验回归方程=x+:==,=-
概率 (1)概率的加法公式:若事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B); 若事件A与事件B互为对立事件,则P(A∪B)=1,P(A)=1-P(B). (2)古典概型:P(A)=
计数原理 (1)排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=(n,m∈N*,且m≤n),=n!. (2)组合数公式:==(n,m∈N*,且m≤n),==1,=. (3)二项式定理:(a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn(n∈N*); 二项展开式的通项:Tr+1=an-rbr; 各二项式系数和:+++…+=2n
随机变量 及其分 布列 (1)分布列、均值、方差 离散型随机变量X的分布列为 Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn
均值:E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn,E(aX+b)=aE(X)+b; 方差:D(X)=[xi-E(X)]2pi,D(aX+b)=a2D(X). (2)条件概率:事件A发生的条件下,事件B发生的概率为P(B|A)=. 概率的乘法公式: P(AB)=P(B|A)P(A). (3)相互独立事件:事件A与事件B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B). (4)全概率公式: 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,有P(B)=P(Ai)P(B|Ai). (5)n重伯努利试验:每次试验中事件A发生的概率为p(0期望的 性质 (1)常数的期望:若C是常数,则E(C)=C. (2)线性变换:若X是随机变量,a,b是常数,则E(aX+b)=aE(X)+b. (3)可加性:对于任意随机变量X和Y,E(X+Y)=E(X)+E(Y).推广到多个随机变量, E=E(Xi). (4)独立性:若X和Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y).推广到多个独立随机变量,E=E(Xi).
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本源一　古典概型、分布列与期望、方差计算
【教材来源】
【高考真题】
1-1　[2023·新课标Ⅰ卷] 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有　　　　种(用数字作答).
1-2　[2024·新课标Ⅰ卷] 甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8.两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小.数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为　　　　.
1-3　[2025·全国一卷] 一个箱子里有5个球,分别以1~5标号,若有放回地取三次,记至少取出一次的球的个数为X,则E(X)=　　　　.
【拓展延伸】
1.盒中装有6个大小、质地相同的小球,其中4个白球和2个黑球.小华每次从中摸出一个球,观察颜色后放回,当摸出一种颜色球的次数比另一种颜色球的次数多3时结束游戏.记当白球摸出次数与黑球摸出次数相等时,继续摸球,直至游戏结束时需摸球的次数为X0,则X0的数学期望为　　　　.
本源二　概率统计中的平均数
【教材来源】
【高考真题】
2-1　[2024·新课标Ⅱ卷] 某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.
(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.
(2)假设0(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛
(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛
【拓展延伸】
2.某医院对原有生命维持设备安装升级装置,安装后该升级装置的控制系统由2k-1(k∈N*)个相同的电子模块组成,每个模块正常工作的概率均为p(0(1)若每个模块正常工作的概率为0.75.
(i)计算p2.
(ii)当k=3时,求控制系统中正常工作的模块个数X的分布列和期望.
(2)已知设备安装升级装置前单位时间可维持患者生命体征的稳定率为60%,安装后升级装置正常运行时有90%的概率触发“基础模式”,稳定率可提升至90%,有10%的概率触发“高效模式”,稳定率可达95%.
(i)用pk表示安装升级装置后该设备的平均稳定率.
(ii)在确保模块总数为奇数的条件下,能否通过增加模块的数量来提高平均稳定率 请说明理由.(共49张PPT)
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本源一 古典概型、分布列与期望、方差计算
本源二 概率统计中的平均数
◆
◆
必记知识清单
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平均数、 标准差、 方差、用 最小二乘 法求经验 回归方程 （1）平均数:数据,, , 的平均数是
,记作 .
（2）标准差:
;
方差: .
平均数、 标准差、 方差、用 最小二乘 法求经验 回归方程 （3）比例分配的分层随机抽样的均值和方差:
如果总体分为两层,两层包含的个体数分别为, ,两层抽
取的样本量分别为,,两层的样本平均数分别为, ,两
层的总体平均数分别为,,总体平均数为 ,样本平均数
为,那么 .
续表
平均数、 标准差、 方差、用 最小二乘 法求经验 回归方程 设样本数据的平均数为,方差为 ,样本分为两层,其中两
层的个体数量分别为,,两层的平均数分别为, ,方差
分别为, ,
则 ,
.
续表
平均数、 标准差、 方差、用 最小二乘 法求经验 回归方程 （4）用最小二乘法求经验回归方程 :
,
续表
概率 （1）概率的加法公式:若事件与事件 互斥,则
；
若事件与事件互为对立事件,则 ,
.
（2）古典概型:
续表
计数原理 （1）排列数公式:
,,且, !.
（2）组合数公式:
, ,且
,, .
续表
计数原理 （3）二项式定理:
;
二项展开式的通项: ;
各二项式系数和:
续表
随机变量 及其分布 列 （1）分布列、均值、方差
离散型随机变量 的分布列为
_______________________________________________________________________________
均值: ,
;
方差:, .
续表
随机变量 及其分布 列 （2）条件概率:事件发生的条件下,事件 发生的概率为
.
概率的乘法公式: .
（3）相互独立事件:事件与事件 相互独立,则
.
续表
随机变量 及其分布 列 （4）全概率公式:
一般地,设,, , 是一组两两互斥的事件,
,且,,2, , ,则对
任意的事件 ,有 .
（5）重伯努利试验:每次试验中事件 发生的概率为
,在重伯努利试验中,事件恰好发生 次的
概率为 .
续表
随机变量 及其分布 列 （6）超几何分布:假设一批产品共有件,其中有 件次
品,从件产品中随机抽取件（不放回）,用 表示抽取
的件产品中的次品数,则 的分布列为
,,,, ,,其中, ,
,,,, ,
, .
续表
随机变量 及其分布 列 （7）二项分布:分布列为
,记为
;
数学期望,方差 .
续表
随机变量 及其分布 列 （8）正态分布: 的图象称为正态密度
曲线,其中直线 为对称轴.
若,则 , .
原则: ,
② ,
③
续表
期望的性 质 （1）常数的期望：若是常数，则 .
（2）线性变换：若是随机变量，, 是常数，则
.
（3）可加性：对于任意随机变量和 ，
.推广到多个随机变量，
.
续表
期望的性 质 （4）独立性：若和相互独立，则 .
推广到多个独立随机变量， .
续表
本源一 古典概型、分布列与期望、方差计算
【教材来源】
【高考真题】
1-1.[2023· 新课标Ⅰ卷] 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类
选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少
选修1门，则不同的选课方案共有____种（用数字作答）.
64
[解析] 若选修2门课，则需要从体育类和艺术类选修课中各选1门，
有 （种）方案；
若选择3门课，则包含两种情况：选2门体育类，1门艺术类或2门艺
术类，1门体育类，有 （种）方案.
故不同的选课方案共有 （种）.
1-2.[2024· 新课标Ⅰ卷] 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有
一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别
标有数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自
从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小.数
字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片
（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得
分不小于2的概率为__．
[解析] 方法一：设甲的数字为1，3，5，7时乙对应的数字分别为 ,
,,,样本点记为 ,
则该试验的样本空间包含的样本点个数为.
甲的总得分不小于2包含的样本点有, ,
,,,,,, ,
,,,共12个.
故所求概率为 .
方法二：设甲在四轮比赛中的得分分别为，，， ，甲四轮
比赛的总得分为 .对于任意一轮比赛，甲、乙两人在该轮出示每张
牌的概率均相等，其中使甲得1分的出牌组合有6种，
所以， ，
所以 .
记 ，如果甲的总得分为0，
则组合方式是唯一的，必定是甲出1,3,5,7,分别对应乙出2,4,6,8，
所以 ；
如果甲的总得分为3，则组合方式也是唯一的，必定是甲出1，3,5,7，
分别对应乙出8，2，4,6，所以 .
因为， ，
所以，，
两式相减得 ，所以,
所以甲的总得分不小于2的概率为 .
1-3.[2025· 全国一卷] 一个箱子里有5个球，分别以 标号，若有
放回地取三次，记至少取出一次的球的个数为，则 ___.
[解析] 方法一：的所有可能取值为1,2,3,
, ,
，
所以 .
方法二：令 ,
则,
（标号为 的球被取出至少一次）（标号为的球没被
取过） ，
故 .
【拓展延伸】
1.盒中装有6个大小、质地相同的小球，其中4个白球和2个黑球．小
华每次从中摸出一个球，观察颜色后放回，当摸出一种颜色球的次
数比另一种颜色球的次数多3时结束游戏.记当白球摸出次数与黑球摸
出次数相等时，继续摸球，直至游戏结束时需摸球的次数为 ，则
的数学期望为___．
7
[解析] 记当白球摸出的次数比黑球多 时，
继续摸球,直至游戏结束时需进行的摸球次数为，期望为．
在白球少2次的前提下，继续摸球一次：
若是白球，则白球比黑球少1次，继续摸球至结束，还需要次，
共摸球 次；
若是黑球，则白球比黑球少3次，游戏结束，共摸球1次，
所以 ，
同理，得
，
，
本源二 概率统计中的平均数
【教材来源】
【高考真题】
2-1.[2024 ·新课标Ⅱ卷] 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两
名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投
篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投
中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次
投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 ，乙每次
投中的概率为 ，各次投中与否相互独立.
（1）若， ,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的
比赛成绩不少于5分的概率.
解：若甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲在第一阶段比赛中
至少投中1次，乙在第二阶段比赛中也至少投中1次，
甲、乙所在队比赛成绩不少于5分的概率
.
2-1.[2024 ·新课标Ⅱ卷] 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两
名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投
篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投
中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次
投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 ，乙每次
投中的概率为 ，各次投中与否相互独立.
（2）假设 .
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁
参加第一阶段比赛？
解：若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分
的概率 ，
若乙参加第一阶段比赛，
则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率 .
，
,,, ,
,得， 应该由甲参加第一阶段比赛.
2-1.[2024 ·新课标Ⅱ卷] 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两
名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投
篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投
中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次
投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 ，乙每次
投中的概率为 ，各次投中与否相互独立.
（2）假设
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参
加第一阶段比赛？
解：若甲参加第一阶段比赛，记甲、乙所在队的比赛成绩为 ，
则 的所有可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
.
若乙参加第一阶段比赛，记甲、乙所在队的比赛成绩为，则 的所
有可能取值为0，5，10，15，
同理可得 .
， 应该由甲参加第
一阶段比赛.
【拓展延伸】
2.某医院对原有生命维持设备安装升级装置，安装后该升级装置的控
制系统由 个相同的电子模块组成，每个模块正常工作
的概率均为 ，各模块之间相互独立．控制系统有不少于
个模块正常工作时升级装置正常运行，否则升级装置不工作
（原设备正常工作）．升级装置正常运行的概率为（例如 表示
控制系统由5个模块组成时升级装置正常运行的概率）．
（1）若每个模块正常工作的概率为0.75．
（i）计算 .
解：由题意，得 .
（1）若每个模块正常工作的概率为0.75．
（ii）当时，求控制系统中正常工作的模块个数 的分布列和期望.
解：由题意，知 ，
则 ，
，
，
，
，
，
所以 的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
故 .
2.某医院对原有生命维持设备安装升级装置，安装后该升级装置的控
制系统由 个相同的电子模块组成，每个模块正常工作
的概率均为 ，各模块之间相互独立．控制系统有不少于
个模块正常工作时升级装置正常运行，否则升级装置不工作
（原设备正常工作）．升级装置正常运行的概率为（例如 表示
控制系统由5个模块组成时升级装置正常运行的概率）．
（2）已知设备安装升级装置前单位时间可维持患者生命体征的稳定
率为，安装后升级装置正常运行时有 的概率触发“基础模
式”，稳定率可提升至，有 的概率触发“高效模式”，稳定率
可达 ．
（i）用 表示安装升级装置后该设备的平均稳定率.
解：升级装置正常运行时，设备的平均稳定率为
，
所以安装升级装置后该设备的平均稳定率
为 .
2.某医院对原有生命维持设备安装升级装置，安装后该升级装置的控
制系统由 个相同的电子模块组成，每个模块正常工作
的概率均为 ，各模块之间相互独立．控制系统有不少于
个模块正常工作时升级装置正常运行，否则升级装置不工作
（原设备正常工作）．升级装置正常运行的概率为（例如 表示
控制系统由5个模块组成时升级装置正常运行的概率）．
（2）已知设备安装升级装置前单位时间可维持患者生命体征的稳定
率为，安装后升级装置正常运行时有 的概率触发“基础模
式”，稳定率可提升至，有 的概率触发“高效模式”，稳定率
可达 ．
（ii）在确保模块总数为奇数的条件下，能否通过增加模块的数量来
提高平均稳定率 请说明理由．
解：控制系统中模块总数为奇数，若增加2个模块，
则第一类，原系统中至少有 个模块正常工作，
增加模块后系统正常运行的概率为 ；
第二类，原系统中恰好有 个模块正常工作，新增2个模块中至少有1
个正常工作，增加模块后系统正常运行的概率为
；
第三类，原系统中有 个模块正常工作，新增2个模块全部正常
工作，增加模块后系统正常运行的概率为
.
所以
，
则 .
所以当时，，随 的增加而增加，
即增加模块个数设备正常工作的概率变大；
当时， ，
即增加模块个数设备正常工作的概率没有变大.
又因为安装升级装置后该设备的平均稳定率为 ，且
随 的增加而增加，
所以当 时，设备可以通过增加控制系统中模块的个数来提高平
均稳定率；
当 时，设备不可以通过增加控制系统中模块的个数来提高平均
稳定率．

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