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小题1　“8+3+3”73分练
(时间:40分钟　分值:73分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={-1,0,1},B=,则A∩B= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.{0,1} B.{-1,1}
C.{-2,0} D.{-2,1}
2.[2025·唐山一模] 已知a∈R,若(a-2)+(a-1)i(i为虚数单位)是纯虚数,则a= (　 )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
3.[2025·常德模拟] 已知平面向量a=(2,1),b=(m,-1),若a∥(a-b),则实数m= (　 )
A.-2 B.3
C.6 D.-1
4.[2025·济南模拟] 若数列{an}的各项均为正数,则“{an}为等比数列”是“{ln an}为等差数列”的 (　 )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.[2025·江西六校联考] 已知sin=+cos α,则cos= (　 )
A.- B.
C.- D.
6.[2025·福建部分优质高中联考] 已知圆C1:(x+3)2+y2=16,圆C2:x2+y2-6y-27=0,则两圆的公切线的条数为 (　 )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为 (　 )
A.c8.[2025·天津南开区模拟] 如图所示的“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,第一、二层的每一个球均分别与其下一层相邻的三个球相切.现将该“三角垛”放置在地面上,若每个球的半径均为1,则第一层的球的表面上的点到地面的最大距离为 (　 )
A.+1 B.+2
C.+1 D.+2
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.如图,在正三棱台ABC-A1B1C1中,D,E,D1,E1分别是AB,BC,A1B1,B1C1的中点,且AC=2A1C1,则下列说法正确的是 (　 )
A.AC⊥BB1
B.AC∥平面D1E1ED
C.AB⊥平面D1E1ED
D.若D1E1=DD1,则BB1⊥平面ACC1A1
10.[2025·湖北新八校协作体三模] 函数y=tan x与y=cos x的图象在[0,4π]上有n个交点,其坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(x1A.sin x1= B.n=4
11.[2025·浙江Z20名校联盟二联] 数学中有许多美丽的曲线,如图中美丽的眼睛图案由两条曲线C1,C2构成,曲线C1:+=1的上顶点为E,右顶点为G,曲线C2上的点满足到F(0,-1)和直线y=1的距离之和为定值4,已知两条曲线具有公共的上下顶点,过F作斜率小于0的直线l与两曲线从左到右依次交于A,B,C,D,且yA≥1,则 (　 )
A.曲线C2由两条抛物线的一部分组成
B.线段AF的长度与点A到直线y=5的距离相等
C.若线段AB的长度为,则直线l的斜率为-
D.若S△AFE=3S△DFG,则直线l的斜率为-
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.二项式(2x-3y)5的展开式中含x3y2的项的系数为　　　　.
13.[2025·葫芦岛一模] 若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率大于,则双曲线离心率的取值范围是　　　　.
14.[2025·太原三模] 一个盒子中有2个红球和3个白球,从中随机取1个球,观察其颜色后放回,并同时放入与其颜色相同的1个球,再从中不放回地取2个球,若取到的2个球中红球的个数为X,则E(X)=　　　　.
小题1　“8+3+3”73分练
1.B　[解析] 因为A={-1,0,1},B=={x|x=2k+1,k∈Z},所以A∩B={-1,1}.故选B.
2.D　[解析] 因为(a-2)+(a-1)i(i为虚数单位)是纯虚数,所以解得a=2.故选D.
3.A　[解析] 因为a=(2,1),b=(m,-1),所以a-b=(2-m,2),又a∥(a-b),所以2-m-4=0,解得m=-2.故选A.
4.C　[解析] 在数列{an}中,an>0.若数列{an}为等比数列,令其公比为q(q>0),则an=a1qn-1,两边取对数得ln an=ln a1+(n-1)ln q,所以ln an+1-ln an=ln q为常数,因此数列{ln an}为等差数列;反之,若{ln an}为等差数列,令其公差为d,则ln an+1-ln an=d,所以=ed为常数,因此数列{an}为等比数列.所以“{an}为等比数列”是“{ln an}为等差数列”的充要条件.故选C.
5.B　[解析] 因为sin=+cos α,所以sin α+cos α=+cos α,即sin α-cos α=,所以sin=,则cos=cos 2=1-2sin2=1-2×=.故选B.
6.B　[解析] 由题意得圆C2:x2+(y-3)2=36,所以圆C2的圆心坐标为(0,3),半径r2=6.圆C1:(x+3)2+y2=16,其圆心坐标为(-3,0),半径r1=4.根据两点间的距离公式,得两圆的圆心距d===3,又r1+r2=4+6=10,|r2-r1|=|6-4|=2,2<3<10,所以两圆相交.当两圆相交时,公切线的条数为2.故选B.
7.D　[解析] b===>1.因为0<<,所以0,所以<,根据幂函数y=在[0,+∞)上单调递增,可得>,即a>c.故c8.D　[解析] 根据题意,该“三角垛”中每个球的球心均在如图所示的正四面体SABC的棱上,且该正四面体的棱长为4.设△ABC的中心为E,连接BE并延长,交AC于点D,则D为AC的中点,连接SE,则SE为正四面体SABC的高,所以第一层的球的表面上的点到地面的最大距离为SE+2.由BD==2,可得BE=BD=,所以SE==,所以第一层的球的表面上的点到地面的最大距离为+2.故选D.
9.ABD　[解析] 由题意,可将正三棱台补为如图所示的正三棱锥P-ABC.对于选项A,取AC的中点F,连接BF,PF,则BF⊥AC,PF⊥AC,又PF∩BF=F,PF,BF 平面PBF,所以AC⊥平面PBF.因为BB1 平面PBF,所以AC⊥BB1,A正确.对于选项B,因为D,E分别是AB,BC的中点,所以DE∥AC,又DE 平面PDE,AC 平面PDE,所以AC∥平面PDE,即AC∥平面D1E1ED,B正确.对于选项C,假设AB⊥平面D1E1ED,因为DE 平面D1E1ED,所以AB与DE垂直,而△BDE是等边三角形,即DE与AB不垂直,矛盾,假设不成立,C不正确.对于选项D,若D1E1=DD1,则由AC=2A1C1,知DE=2D1E1=2DD1,设AC=2,则PD=DE=PE=1,AD=BD=1,根据勾股定理得PA=PB==,而PA2+PB2=AB2=4,故AP⊥PB,又AC⊥PB,AC∩AP=A,所以 PB⊥平面PAC,即BB1⊥平面ACC1A1,D正确.故选ABD.
10.ACD　[解析] 由题意知tan x1=cos x1,所以sin x1=cos2x1=1-sin2x1,可得sin x1=,故A正确;作出函数y=tan x与y=cos x在[0,4π]上的大致图象,如图,由图可知两图象有4个交点,即n=4,故B正确;4个点两两关于点对称,所以xi=2×+2×=6π,(xi+yi)=6π+0=6π,故C正确,D错误.故选ACD.
11.ABD　[解析] 对于A选项,设曲线C2上任意一点为M(x,y),则由题可知,+|y-1|=4,移项、平方可得x2+(y+1)2=(4-|y-1|)2=16-8|y-1|+(y-1)2,即x2=16-4y-8|y-1|=所以曲线C2由两条抛物线的一部分组成,故A正确.对于B选项,F(0,-1)和直线y=5分别为抛物线x2=-12y+24的焦点和准线,由抛物线的定义可知B正确.对于C选项,设l与y轴的夹角为θ,因为F同时为抛物线x2=-12y+24和椭圆C1的焦点,所以|AB|=|AF|-|BF|=-=,解得cos θ=,则kl=-,故C错误.对于D选项,易知F同时为抛物线x2=4y+8和x2=-12y+24的焦点,因此|AF|=,|DF|=,即|AF|=3|DF|,若S△AFE=3S△DFG,则点E到直线l的距离与点G到直线l的距离相等,因此EG∥l,所以kl=kEG=-,故D正确.故选ABD.
12.720　[解析] 二项式(2x-3y)5的展开式的通项为
Tr+1=·(2x)5-r·(-3y)r=·25-r·(-3)r·x5-ryr,令r=2,得T3=×23×(-3)2x3y2=720x3y2,所以二项式(2x-3y)5的展开式中含x3y2的项的系数为720.
13.(1,2)　[解析] 易知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为,依题意可得>,所以0<<,所以双曲线的离心率e==<=2,又e∈(1,+∞),所以双曲线离心率的取值范围是(1,2).
14.　[解析] X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=×+×=,P(X=1)=×+×=,P(X=2)=×+×=,所以E(X)=0×+1×+2×=.

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