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小题3　“8+3+3”73分练
(时间:40分钟　分值:73分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2025·湖北七市州调研] 已知全集U={x∈N|x≤2},集合A={1,2},B={x∈N|x2-x≤0},则 U(A∩B)= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.{1,2,3} B.{0,1}
C.{0,2} D.{0,3}
2.[2025·沈阳三模] 已知i为虚数单位,若z=i5+i4-i3,则= (　 )
A.1+2i B.1-2i
C.2+i D.2-i
3.[2025·邯郸一模] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0),过点F的直线l与抛物线C的一个交点为A(m,8),则直线l的方程为 (　 )
A.4x+3y-8=0 B.4x-3y-8=0
C.3x+4y-6=0 D.3x-4y-6=0
4.[2025·昆明质检] 已知函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)g(x)的图象可能是 (　 )
A B C D
5.小明为了研究温差x(单位:℃)与本单位当天新增感冒人数y(单位:人)的关系,记录了5天的数据,如下表.
x 3 4 5 6 7
y 16 20 25 28 36
由表中数据求得温差x与本单位当天新增感冒人数y的经验回归方程为=x+1,则下列结论不正确的是 (　 )
A.y与x正相关 B.经验回归直线经过点(5,25)
C.当x=6时,残差为1.8 D.=4.8
6.[2025·安徽皖北协作区一模] 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AA1=5,E,F,G分别为棱BB1,CC1,DD1上一点,则AE+EF+FG+GA1的最小值为 (　 )
A. B.
C. D.14
7.[2025·厦门二模] 已知α∈(0,π),若sin α+cos α=-,则cos 2α= (　 )
A.- B.-
C. D.
8.[2025·浙江Z20名校联盟二联] 定义在(0,+∞)上的增函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(xy)-1,且f(2)=0,f(an)=n-1.已知数列{an}的前n项和为Sn,则使得Sn<2025成立的n的最大值是 (　 )
A.8 B.9
C.10 D.11
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2025·武汉模拟] 使关于a,b的不等式ab+1>a+b成立的充分不必要条件可以是 (　 )
A.a>1且b>1 B.a<1且b<1
C.|a|<1且|b|<1 D.|a|>1且|b|>1
10.[2025·湛江模拟] 已知锐角三角形ABC的内角分别为A,B,C,则 (　 )
A.sin[cos(A-B)]>sin(cos C)
B.tan(sin A)C.sin(sin A)>sin(tan A)
D.cos(cos A)>cos(sin B)
11.已知正四面体ABCD的棱长为6,点M,N分别是BC,AD的中点,则下列几何体能够整体放入正四面体ABCD的有 (　 )
A.底面在平面BCD上,且底面半径为,高为2的圆锥
B.底面在平面BCD上,且底面半径为,高为1的圆柱
C.轴为直线MN,且底面半径为,高为2的圆锥
D.轴为直线MN,且底面半径为,高为0.2的圆柱
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2025·潍坊模拟] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,a3+a9=24,则S6=　　　　.
13.[2025·苏北七市调研] 已知点A在直线x-y+1=0上,=(2,0),则原点O与B的最短距离为　　　　.
14.如图,斜率为的直线与椭圆C:+=1(0小题3　“8+3+3”73分练
1.C　[解析] 由x2-x≤0,即(x-1)x≤0,解得0≤x≤1,所以B={x∈N|x2-x≤0}={x∈N|0≤x≤1}={0,1},又U={x∈N|x≤2}={0,1,2},A={1,2},所以A∩B={1},则 U(A∩B)={0,2}.故选C.
2.B　[解析] 因为z=i5+i4-i3=i+1+i=1+2i,所以=1-2i.故选B.
3.B　[解析] 由题设,得=2,则p=4,故抛物线C:y2=8x,∵A(m,8)在抛物线C:y2=8x上,∴82=8m,得m=8,∴A(8,8),∴kl==,∴直线l的方程为y=(x-2),即4x-3y-8=0.故选B.
4.A　[解析] 由题图可知,函数y=f(x)g(x)的定义域为函数y=f(x)和函数y=g(x)的定义域的交集,为(-∞,0)∪(0,+∞),故函数y=f(x)g(x)的图象不经过坐标原点,排除选项B,C;又因为函数y=f(x)是偶函数,函数y=g(x)是奇函数,所以函数y=f(x)g(x)是奇函数,排除选项D.故选A.
5.C　[解析] 对于选项A,观察表中数据,可得当x增大时y也增大,说明y与x正相关,故A中结论正确;对于选项B,==5,==25,故经验回归直线经过点(5,25),故B中结论正确;对于选项D,将(,)代入经验回归方程=x+1,得25=×5+1,解得=4.8,故D中结论正确;对于选项C,当x=6时, 预测值为=4.8×6+1=29.8,观测值为y=28,则残差为y-=28-29.8=-1.8,故C中结论不正确.故选C.
6.A　[解析] 如图所示,将正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图①)的侧面展开,得到展开图(如图②),易知当A,E,F,G,A1五点共线时,AE+EF+FG+GA1取得最小值,且最小值为=.故选A.
7.C　[解析] ∵sin α+cos α=-,∴(sin α+cos α)2=,即1+2sin αcos α=,∴2sin αcos α=-,∴sin αcos α=-<0,又α∈(0,π),∴sin α>0,cos α<0,故cos α-sin α<0.∵(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1+=,∴cos α-sin α=-,∴cos 2α=cos2α-sin2α=(sin α+cos α)(cos α-sin α)=×=.故选C.
8.B　[解析] 方法一:∵f(x)+f(y)=f(xy)-1,∴可令f(x)=logax-1(a>1),又f(2)=0,∴loga2-1=0,∴a=2,∴f(x)=log2x-1.∵f(an)=log2an-1=n-1,∴an=2n,∴Sn==2n+1-2<2025,∴2n+1<2027.∵210=1024,211=2048,∴(n+1)max=10,∴nmax=9.
方法二:f(x)+f(y)=f(xy)-1,f(an)=n-1.由题知f(2)=0=1-1,∴a1=2;令x=y=2,得f(2)+f(2)=f(4)-1,∴f(4)=1=2-1,∴a2=4;令x=2,y=4,得f(2)+f(4)=f(8)-1,∴f(8)=2=3-1,∴a3=8.∴a1=21,a2=22,…,an=2n,故Sn==2n+1-2<2025,即2n+1<2027.∵210=1024,211=2048,∴(n+1)max=10,∴nmax=9.故选B.
9.ABC　[解析] 不等式ab+1>a+b等价于(a-1)(b-1)>0,则a-1与b-1同正或同负,即或对于A,由a>1且b>1能推出或但由或不能推出a>1且b>1,故A符合题意;对于B,由a<1且b<1能推出或反之不能,故B符合题意;对于C,|a|<1且|b|<1等价于-11且|b|>1等价于a>1或a<-1且b>1或b<-1,故|a|>1且|b|>1不能推出或故D不符合题意.故选ABC.
10.AD　[解析] 因为△ABC为锐角三角形,所以0≤|A-B|cos C>0,从而sin[cos(A-B)]>sin(cos C),A选项正确;由A+B>,得>A>-B>0,则1>sin A>sin=cos B>0,则tan(sin A)>tan(cos B),B选项错误;由A∈,可得tan A∈(0,+∞),则当A=时,sin(sin A)=sin,得>B>-A>0,则1>sin B>sin=cos A>0,从而cos(cos A)>cos(sin B),D选项正确.故选AD.
11.ACD　[解析] 对于A,如图①,在正四面体ABCD中,作AO⊥平面BCD,交平面BCD于O,连接OD,则O为正三角形BCD的中心,又正四面体的棱长为6,所以△BCD的内切圆半径为,OD=2,则正四面体的高AO===2,又圆锥的底面半径为,且<,高为2,所以底面在平面BCD上,且底面半径为,高为2的圆锥可以放到正四面体内,故A正确;对于B,如图②所示,平面EFG∥平面BCD,H为△EFG的中心,当HO=1时,设△EFG内切圆的半径为r',则==,则r'=<,所以底面在平面BCD上,且底面半径为,高为1的圆柱无法放到正四面体内,故B错误;对于C,如图③所示,易得MN===3,在线段MN上取点K使得NK=2,作KL⊥MN,且KL交MD于点L,则=,即=,则KL=>,所以轴为直线MN,且底面半径为,高为2的圆锥可以放到正四面体内,故C正确;对于D,采用选项C中的图,此时条件变为KL=,则=,即=,得MK=2,若圆柱可以放入正四面体,则其轴中点必然为线段MN的中点,而2MK=4<3-0.2,所以轴为直线MN,且底面半径为,高为0.2的圆柱可以放到正四面体内,故D正确.故选ACD.
12.42　[解析] 因为数列{an}为等差数列,所以a3+a9=2a6,所以a6=12,所以S6===42.
13.　[解析] 方法一:设点A(t,t+1),则=+=(t,t+1)+(2,0)=(t+2,t+1),因此||===≥,当且仅当t=-时,等号成立,因此,原点O与B的最短距离为.
方法二:由题知,直线x-y+1=0按向量=(2,0)平移后就得到点B的轨迹,即点B在直线x-y-1=0上,所以原点O与B的最短距离就是原点O到直线x-y-1=0的距离,容易求得距离为.
14.2　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为|AN|=|NM|=|MB|,所以M(-x1,0),N,则B,则由
两式相减得+=0,即·=-,因为=,所以=,所以=1,则==-=-,所以·=-,可得b=1,所以c==,所以椭圆C的焦距为2.

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