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小题4　“8+3+3”73分练
(时间:40分钟　分值:73分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2025·郑州二检] 已知集合M={x|ln x<0},N={x||x|≤1},则M∩N= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-1,1) B.(0,1)
C.(0,1] D.(-∞,1)
2.在复平面内,复数z1对应的点与复数z2=(i为虚数单位)对应的点关于实轴对称,则z1= (　 )
A.1+i B.-1-i
C.-1+i D.1-i
3.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a4-a2=6,a5-a3=12,则= (　 )
A.2n-1 B.2-21-n
C.2-2n-1 D.21-n-1
4.[2025·开封二模] 已知正方体的内切球的体积为4π,则该正方体的外接球的表面积为 (　 )
A.12π B.36π
C.9π D.12π
5.[2025·太原一模] 将函数f(x)=sin(2x+θ)的图象先向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得的图象经过点,则θ= (　 )
A.- B.
C.- D.
6.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”,图中曲线为圆或半圆,已知点P(x,y)是阴影部分(包括边界)内的动点,则的最小值为 (　 )
A.- B.- C.- D.-1
7.[2025·潍坊模拟] 某学校组织中国象棋比赛,甲、乙两名同学进入决赛.决赛采取3局2胜制,假设每局比赛中甲获胜的概率均为,且各局比赛的结果相互独立,则在甲获胜的条件下,甲第一局获胜的概率是 (　 )
A. B. C. D.
8.[2025·济宁一模] 曲线y=(a>0)与曲线y=ln x和曲线y=ex分别交于A,B两点,设曲线y=ln x在A处的切线斜率为k1,曲线y=ex在B处的切线斜率为k2,若k1+k2=,则a= (　 )
A.2ln 2 B.2ln 3 C.3ln 2 D.3ln 3
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.若小明坐公交上班的用时X(单位:min)和骑自行车上班的用时Y(单位:min)分别满足X~N(30,62),Y~N(34,22),且在同一坐标系中X的密度曲线与Y的密度曲线的一个交点的横坐标约为38,则下列说法正确的是 (　 )
A.P(X>38)38)
B.P(24≤X≤36)=P(32≤Y≤36)
C.若X的密度曲线与Y的密度曲线的另一个交点的横坐标为t,则t<30
D.若某天有34分钟可用,为使上班不迟到,则小明最好选择坐公交
10.[2025·菏泽一模] 若从正方体的8个顶点中任选4个顶点,则下列说法正确的有 (　 )
A.若这4个点不共面,则这4个点构成的几何体的体积都相等
B.这4个点能构成三棱锥的选法种数为58
C.若正方体的棱长为a,则这4个点能构成的所有三棱锥中表面积的最大值为2a2
D.若这4个点中的2个点确定一条直线,另外2个点确定另一条直线,则这两条直线所成的角不可能为30°
11.[2025·长沙模拟] 如图,双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过右焦点F2且斜率为的直线l交双曲线C的右支于A,B两点,且=7,则 (　 )
A.双曲线C的离心率为
B.△AF1F2与△BF1F2的面积之比为7∶1
C.△AF1F2与△BF1F2的周长之比为7∶2
D.△AF1F2与△BF1F2内切圆的半径之比为3∶1
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2025·苏州调研] 数据1,3,2,2,9,3,3,10的第75百分位数为　　　　.
13.[2025·茂名模拟] 已知函数f(x)为R上的奇函数,f(2)=0,当x>0时,f(x)+f'(x)>0,则不等式(x-1)f(x)<0的解集为　　　　.
14.[2025·重庆一中三模] 已知矩形ABCD的边AB=3,AD=2,点P,Q分别在边BC,CD上,若∠PAQ=,则·的最小值为　　　　.
小题4　“8+3+3”73分练
1.B　[解析] 因为M={x|ln x<0}={x|02.D　[解析] z2====1+i,所以在复平面内,复数z2对应的点为(1,1),因为复数z1对应的点与复数z2对应的点关于实轴对称,所以复数z1对应的点为(1,-1),所以z1=1-i,故选D.
3.B　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,因为所以
解得所以===2-21-n.故选B.
4.B　[解析] 设正方体的棱长为a,则正方体内切球的半径为,内切球的体积为π×=4π,解得a=2,所以正方体的体对角线长为a=6,所以正方体外接球的半径为×a=3,则外接球的表面积为4π×32=36π,故选B.
5.C　[解析] 将函数f(x)=sin(2x+θ)的图象先向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)=sin+1=sin+1的图象.当x=时,g=sin+1=2,化简得sin=1,即sin=1,则+θ=+2kπ,k∈Z,解得θ=-+2kπ,k∈Z,又因为-<θ<,所以k=0,θ=-.故选C.
6.C　[解析] 如图,设A(2,0),则k=为直线AP的斜率,由图可知,当直线AP与半圆x2+(y-1)2=1(x>0)相切时,k最小,此时直线AP的方程为y=k(x-2),故=1,解得k=-或k=0(舍去),故kmin=-.故选C.
7.D　[解析] 设甲获胜为事件A,甲第一局获胜为事件B,则P(A)=×+××+××=,P(AB)=×+××=,所以在甲获胜的条件下,甲第一局获胜的概率是P(B|A)===.故选D.
8.A　[解析] 因为y=ln x和y=ex互为反函数,其图象关于直线y=x对称,且反比例函数y=(a>0)的图象也关于直线y=x对称,所以点A,B关于直线y=x对称.设A(x0,ln x0),x0>1,则B(ln x0,x0),设f(x)=ln x,g(x)=ex,则f'(x)=,g'(x)=ex,由题意可得k1+k2=f'(x0)+g'(ln x0)=+=+x0=,解得x0=2或x0=(舍去),可得A(2,ln 2),则=ln 2,所以a=2ln 2.故选A.
9.BD　[解析] 由题意易知坐公交上班用时的方差比骑自行车上班用时的方差大,即X的密度曲线较矮胖,Y的密度曲线较瘦高,则X的密度曲线在38分钟后在Y的密度曲线的上方,可在同一坐标系中作出密度曲线,如图,易知P(X>38)>P(Y>38),故A错误;由3σ原则可知P(30-6≤X≤30+6)=P(34-2≤Y≤34+2),故B正确;根据条件可知X,Y对应的密度函数分别为f(x)=,g(x)=,令=,得=3,整理可得8x2-552x+9×342-302=72ln 3,则t+38≈=69,故t≈31>30,故C错误;易知P(X≤34)>0.5=P(Y≤34),故D正确.故选BD.
10.BCD　[解析] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接B1A,B1C,B1D1,AC,AD1,CD1,BD1.对于A,设AB=1,则=××1×1×1=,=1-4=,所以A不正确;对于B,从正方体的8个顶点中任选4个的选法有==70(种),其中不能构成三棱锥的有两类:①所选的4个点在正方体的一个面上,即所选的4个点为ABCD,A1B1C1D1,ABB1A1,DCC1D1,ADD1A1,BCC1B1,共6种;②所选的4个点在正方体的相对棱上,即所选的4个点为ABC1D1,A1B1CD,BCD1A1,B1C1DA,BB1D1D,AA1C1C,共6种.所以所选的4个点可以构成三棱锥的选法种数为70-6-6=58,故B正确;对于C,正方体的棱长为a,从正方体的8个顶点中任选3个,构成三角形,其中面积最大的就是与等边三角形AB1C全等的三角形,其边长为a,面积为a2,所以这4个点能构成的所有三棱锥中表面积的最大值为a2×4=2a2,例如三棱锥A-B1D1C,故C正确;对于D,在正方体的8个顶点中任选4个,连成两条直线,设这两条直线所成的角为θ,则sin θ的值可能为0,,,,1,所以θ不可能为30°,故D正确.故选BCD.
11.BD　[解析] 对于A选项,设||=m,则||=7m(m>0),由双曲线的定义可得||=||+2a=7m+2a,||=||+2a=m+2a,在△AF1F2中,由余弦定理可得(7m+2a)2=(7m)2+(2c)2-2×7m×2c×cos 120°,即2a2+14am-2c2-7cm=0,所以2a2-2c2=7cm-14am.在△BF1F2中,由余弦定理可得(m+2a)2=m2+(2c)2-2·m·2c·cos 60°,即2a2+2am-2c2+cm=0,所以2a2-2c2=-cm-2am,所以7cm-14am=-cm-2am,整理可得=,所以双曲线C的离心率e=,A错误;对于B选项,==7,B正确;对于C选项,将c=a代入2a2+2am-2c2+cm=0可得m=a,所以||=7m=5a,||=5a+2a=7a,△AF1F2的周长为||+||+||=7a+5a+2c=15a,||=m=a,||=+2a=,所以△BF1F2的周长为||+||+||=++2c=,所以△AF1F2与△BF1F2的周长之比为15a∶=7∶3,C错误;对于D选项,设△AF1F2与△BF1F2的内切圆半径分别为r1,r2,则==7,解得=3,D正确.故选BD.
12.6　[解析] 将数据从小到大排列为1,2,2,3,3,3,9,10,共8个数据,8×75%=6,从小到大排列后的第6个数据是3,第7个数据是9,所以第75百分位数为=6.
13.(-2,0)∪(1,2)　[解析] 令g(x)=exf(x),则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)],当x>0时,f(x)+f'(x)>0,此时g'(x)>0,g(x)单调递增,f(x)=e-xg(x)的符号由g(x)的符号决定.因为f(2)=0,所以g(2)=0,因为g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以当02时,g(x)>0,此时f(x)=e-xg(x)>0,又因为f(x)为R上的奇函数,所以当-20,当x<-2时,-x∈(2,+∞),则f(x)=-f(-x)<0,且f(-2)=-f(2)=0=f(0).若(x-1)f(x)<0,则或即
或解得114.12(2-)
[解析] 以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),D(0,2).设∠PAB=θ,则P(3,3tan θ),Q,则=(3,3tan θ),=,0≤tan θ≤.因为·=6tan+6tan θ=+6tan θ=+6tan θ=-6+6tan θ=+2(tan θ+3)-12≥2-12=24-12=12(2-),当且仅当=2(tan θ+3),即tan θ=2-时,“=”成立,所以·的最小值为12(2-).

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