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2025-2026学年甘肃省陇南市西和县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0无实数根，则m的取值范围是（　　）
A. m＞1 B. m≥1 C. m＜1 D. m≤1
2.一枚质地均匀的正六面体骰子标有数字1到6，抛掷这枚骰子1次，下列事件中，发生可能性最大的是（　　）
A. 朝上一面的数字是2 B. 朝上一面的数字是偶数
C. 朝上一面的数字是3的倍数 D. 朝上一面的数字不小于5
3.有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感.设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（　　）个人患流感.
A. 7 B. 8 C. 448 D. 512
4.“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）.经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件.已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（　　）
A. w=（99-x）[300+3（x-50）] B. w=（x-50）[300+3（x-99）]
C. w=（x-50）[300+3（99-x）] D. w=（x-50）[300-3（99-x）]
5.在如图所示的正方形ABCD中，点E在边AB上，把△BCE绕点C顺时针旋转得到△DCF，且∠BCE=25°，则旋转角的度数是（　　）
A. 25°
B. 65°
C. 90°
D. 115°
6.下列说法中，正确的是（　　）
A. 直径所对的圆周角是直角 B. 三角形的外心到三角形各边的距离相等
C. 相等的圆心角，所对的弧相等 D. 经过三点一定可以作圆
7.如图，在△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，.将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使点D落在AC边上，连接CE，则CE的长为（　　）
A.
B. 6
C. 3
D.
8.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，且坐标原点O为AB的中点，点A的坐标为（-2，0）.将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点D的坐标为（　　）
A. （-2，4）
B. （4，2）
C. （2，-4）
D. （-4，2）
9.如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB=1m,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为（　　）
A. 1.25m B. 1.3m C. 1.4m D. 1.45m
10.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为（3，0）．给出下列结论：①b2-4ac＜0；②4a+2b+c＞0；③图象与x轴的另一个交点为（-1，0）；④当x＞0时，y随x的增大而减小；⑤不等式ax2+bx+c＜0的解集是-1＜x＜3．其中正确结论的个数是（　　）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知某一元二次方程的一个根是-2，则此方程可以是 .（填一个即可）
12.在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆b=a2-b2，，则方程2☆x=x★6的解为 .
13.如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过2，则称该三位数为“友好数”.用2，4，6这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“友好数”的概率为 .
14.点A（1，y1），B（2，y2）都在二次函数y=x2+1的图象上，则y1 y2.（选填“＞”“=”或“＜”）
15.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=58°，∠C=90°，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，则Rt△ABC旋转的度数为 .
16.如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，P是直径CD上一动点，⊙O的半径是2，则PA+PB的最小值为______.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：x2+4x-5=0．
四、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=-1，求m的值．
19.(本小题6分)
如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DFE关于点O成中心对称，△ABC与△DFE的顶点均在格点上.
（1）请在图中直接画出点O；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C，请画出△A1B1C.
20.(本小题8分)
公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量.某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同.求该品牌头盔销售量的月增长率.
21.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．
（1）求n的值；
（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．

22.(本小题10分)
为推广阳光体育“大课间”活动，我市某中学决定在学生中开设A：实心球，B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：
（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？
（2）请计算本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；
（3）若调查到喜欢“跳绳”的5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．
23.(本小题8分)
已知：如图．△ABC和△DEC都是等边三角形．D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P．AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N．
（1）在图①中，求证：AD=BE；
（2）当△CDE绕点C沿逆时针方向旋转到图②时，∠APB=______．
24.(本小题10分)
某公司经过市场调查发现，该公司生产的某商品在第x天的销售单价为（x+20）元/件（1≤x≤50），且该商品每天的销量y（件）满足关系式y=200-4x.已知该商品第10天的售价按8折出售，仍然可以获得20%的利润.
（1）求公司生产该商品每件的成本为多少元？
（2）问销售该商品第几天时，每天的利润最大？最大利润是多少？
25.(本小题10分)
如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF=FE，连接EF.
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若OD=1且BD=BF，求⊙O的半径.
26.(本小题10分)
如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．点P是抛物线上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求C、D两点坐标及△BCD的面积．
（3）若点P在x轴下方的抛物线上．满足S△PCD=S△BCD，求点P的坐标．
27.(本小题12分)
【探究与证明】
【问题情境】如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE=2，BE=4，∠AEB=90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′、E′.
【问题解决】
（1）如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上，求此时CB′的长；
（2）若α=90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交DE′于点F，
①试判断四边形AEFE′的形状，并说明理由；
②连接CE，求CE的长.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】x2=4（答案不唯一）
12.【答案】x1=-4，x2=1
13.【答案】
14.【答案】＜
15.【答案】122°
16.【答案】2
17.【答案】解：x2+4x-5=0
（x+5）（x-1）=0，
x+5=0或x-1=0，
x1=-5，x2=1．
18.【答案】解：根据条件知：α+β=-（2m+3），αβ=m2，
∴+==-1，
∴=-1，
即：m2-2m-3=0，
解得：m=3或-1，
当m=3时，方程为x2+9x+9=0，此方程有两个不相等的实数根，
当m=-1时，方程为x2+x+1=0，此方程无实根，不合题意，舍去，
∴m=3．
19.【答案】解：（1）如图所示，点O即为所求；
（2）如图所示，△A1B1C即为所求．
20.【答案】20%．
21.【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，
∴AC=DC，∠A=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴n的值是60；
（2）四边形ACFD是菱形；
理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中点，
∴FC=DF=FE，
∵∠CDF=∠A=60°，
∴△DFC是等边三角形，
∴DF=DC=FC，
∵△ADC是等边三角形，
∴AD=AC=DC，
∴AD=AC=FC=DF，
∴四边形ACFD是菱形．
22.【答案】解：（1）根据题意得：
15÷10%=150（名）．
答；在这项调查中，共调查了150名学生；
（2）本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数是；150-15-60-30=45（人），
所占百分比是：×100%=30%，
画图如下：
（3）用A表示男生，B表示女生，画图如下：
共有20种情况，同性别学生的情况是8种，
则刚好抽到同性别学生的概率是=．
23.【答案】（1）证明：∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
（2）60°．
24.【答案】20元；
销售该商品第25天时，每天的利润最大，最大利润是2500元．
25.【答案】解：（1）证明：如图，连接OE，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
∵DF=FE，
∴∠FED=∠FDE，
∵∠FDE=∠CDO，∠CDO+∠OCD=90°，
∴∠FED+∠OEC=90°，
即∠FEO=90°，
∴OE⊥FE，
∵OE是半径，
∴EF为⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径EO=BO=r,则BD=BF=r-1，
∴FE=DF=2BD=2（r-1），OF=OD+DF=1+2（r-1）=2r-1,
在Rt△FEO中，由勾股定理得，
FE2+OE2=OF2，
∴（2r-2）2+r2=（2r-1）2，
解得r=3，或r=1（舍去），
∴⊙O的半径为3．

26.【答案】解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4），
∴设抛物线的解析式y=a（x-1）2+4，
把点B（0，3）代入得，a+4=3，
解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4；
令y=0，则0=-（x-1）2+4，
∴x=-1或x=3，
∴C（-1，0），D（3，0）；
∴CD=4，
∴S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6；
（3）由（2）知，S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6；CD=4，
∵S△PCD=S△BCD，
∴S△PCD=CD×|yP|=×4×|yP|=2，
∴|yP|=1，
∵点P在x轴上方的抛物线上，
∴yP＞0，
∴yP=-1，
∵抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4；
∴-1=-（x-1）2+4，
∴x=1±，
∴P（1+，-1），或P（1-，-1）．
27.【答案】解：（1）∵AE=2，BE=4，∠AEB=90°，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，∠ABC=90°，
∴，
由旋转的性质得：，
∴；
（2）①四边形AEFE′是正方形，理由如下：
由旋转的性质得：AE′=AE，∠EAE′=α=90°，∠AE′D=∠AEB=90°，
∵∠AEF=180°-90°=90°，
∴四边形AEFE′是矩形，
又∵AE′=AE，
∴四边形AEFE′是正方形；
②过点C作CG⊥BE于点G，如图3所示：
则∠BGC=90°=∠AEB，
∴∠CBG+∠BCG=∠CBG+∠ABE=90°，
∴∠BCG=∠ABE，
在△BCG和△ABE中，
，
∴△BCG≌△ABE（AAS），
∴CG=BE=4，BG=AE=2，
∴EG=BE-BG=4-2=2，
∴．

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