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小题5　“8+3+3”73分练
(时间:40分钟　分值:73分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2025·齐齐哈尔二模] 已知集合A={0,a},B={1,a-1,2a},若A B,则a= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0 B.
C.1 D.0或1
2.[2025·泰安模拟] 已知a,b为空间中两条不同的直线,α为平面,a α,b α,则“a⊥b”是“a⊥α”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.[2025·南通模拟] 在复平面内,复数z=(sin α-2sin β)+(cos α-2cos β)i(i为虚数单位,α,β∈R)与点Z(,1)对应,则cos(α-β)= (　 )
A.- B.
C. D.-
4.已知f(x)=是偶函数,则a= (　 )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
5.[2025·重庆南开中学质检] 已知向量a满足|a|=2,若=,则|b|的最小值为 (　 )
A. B.1
C. D.
6.一组数据中,2,3,4,5出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且p1+p2+p3+p4=1,设这组数据的平均数为,中位数为n,下列条件一定能使得>n的是 (　 )
A.p1∶p2∶p3∶p4=2∶3∶4∶1
B.p1∶p2∶p3∶p4=1∶4∶4∶1
C.p1∶p2∶p3∶p4=1∶4∶3∶2
D.p1∶p2∶p3∶p4=1∶1∶1∶1
7.[2025·福州三中质检] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为C在第一象限内的点,且PF1⊥PF2,点P关于x轴的对称点为Q,若△F1PQ为等边三角形,则C的离心率为 (　 )
A. B.+1
C. D.
8.[2025·邯郸一模] 已知函数f(x)=(x-3)ex+ax恰有一个极值点,则a的取值范围是 (　 )
A.(-∞,0]∪{e} B.[0,+∞)∪{-e}
C.(-∞,0] D.[0,+∞)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2025·九江模拟] 若函数f(x)=cos 2x+msin 2x对任意的x∈R,都有f(x)≥f,则 (　 )
A.m=-
B.f(x)在上单调递减
C.y=f为奇函数
D.y=[f(x)]2的最小正周期为
10.[2025·聊城一模] 将四个不同的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中,每个小球放入各个盒子的可能性都相等,设X表示空盒的个数,Y表示1号盒子中小球的个数,则 (　 )
A.每个盒子中恰有1个球的概率为
B.事件“1号是空盒”与事件“2号是空盒”不独立
C.随机变量Y的方差为
D.随机变量X的均值为
11.已知抛物线E:x=y2的焦点为F,准线为l,l与x轴的交点为M,过F的直线与E分别交于A,B两点,则下列选项正确的是 (　 )
A.F的坐标为(1,0)
B.当MA⊥MB时,|AB|=4
C.若|AF|·|BF|=16,则S△MAB=8
D.过点F作与AB垂直的直线与E交于C,D两点,则四边形ACBD面积的最小值为32
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.(2-x3)(x+a)5的展开式中的各项系数和为243,则该展开式中x3的系数为　　　　.
13.[2025·重庆八中模拟] 若直线y=kx+b是函数f(x)=ex-1的图象的切线,也是函数g(x)=ex-2的图象的切线,则k=　　　　.
14.[2025·湛江模拟] 将数列{3n+2}与{4n}中所有的项去掉它们的公共项后,剩余的项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前202项和为　　　　.
小题5　“8+3+3”73分练
1.C　[解析] 因为集合A={0,a},B={1,a-1,2a},A B,所以0∈B,所以a-1=0或2a=0.若a-1=0,则a=1,此时A={0,1},B={1,0,2},满足题意;若2a=0,则a=0,此时集合A不满足集合中元素的互异性,舍去.综上,a=1.故选C.
2.B　[解析] 由线面垂直的判定定理可得,直线a垂直于平面α内相交的两条直线才能得到a⊥α,故“a⊥b” / “a⊥α”;若a⊥α,则a垂直于α内的任意一条直线,又b α,故a⊥b,即“a⊥α” “a⊥b”.所以“a⊥b”是“a⊥α”的必要不充分条件.故选B.
3.C　[解析] 由题意知
∴
∴1-4(cos αcos β+sin αsin β)+4=4,∴1-4cos(α-β)=0,∴cos(α-β)=,故选C.
4.D　[解析] 因为f(x)=为偶函数,所以f(x)-f(-x)=-==0,又因为x≠0,所以ex-=0,即ex=e(a-1)x,则x=(a-1)x,即1=a-1,解得a=2.故选D.
5.B　[解析] 方法一:令a=,b=,则a+b=,故A=,|b|=||,故|b|的最小值为点B到射线AC的距离,即|b|min=||·sin=1.故选B.
方法二:设a==(2,0),a+b==(m,m),则=(m-2,m),|b|=||=,故当m=时,|b|取得最小值1.
6.C　[解析] 对于A选项,由p1+p2+p3+p4=1,p1∶p2∶p3∶p4=2∶3∶4∶1,可得p1=,p2=,p3=,p4=,所以=2×+3×+4×+5×=,因为p1+p2=,所以n==,则n,C满足要求;对于D选项,由p1+p2+p3+p4=1,p1∶p2∶p3∶p4=1∶1∶1∶1,可得p1=p2=p3=p4=,所以=2×+3×+4×+5×=,因为p1+p2=,所以n==,则=n,D不满足要求.故选C.
7.B　[解析] 如图,设双曲线C的半焦距为c,由P,Q关于x轴对称,且△F1PQ为等边三角形,得∠PF1F2=30°.由PF1⊥PF2,得|PF2|=|F1F2|=c,|PF1|=c,则c-c=2a,所以双曲线C的离心率e===+1.故选B.
8.C　[解析] 因为f(x)=(x-3)ex+ax,所以f'(x)=(x-2)ex+a,因为函数f(x)=(x-3)ex+ax恰有一个极值点,所以f'(x)=(x-2)ex+a恰有一个变号零点,令f'(x)=0,得a=(2-x)ex,令g(x)=(2-x)ex,则g'(x)=(1-x)ex,令g'(x)>0,解得x<1,函数g(x)在(-∞,1)上单调递增,令g'(x)<0,解得x>1,函数g(x)在(1,+∞)上单调递减,则g(x)max=g(1)=e,又g(2)=0,当x<2时,g(x)>0,当x>2时,g(x)<0,故g(x)的图象如图所示,要使f'(x)恰有一个变号零点,则直线y=a与函数g(x)的图象恰有一个交点,且在交点附近,g(x)的图象位于直线y=a的两侧,故a的取值范围是(-∞,0].故选C.
9.AD　[解析] 依题意知,f是f(x)的最小值,故f=-+m=-,解得m=-,故A正确;由m=-,得f(x)=cos 2x-sin 2x=2cos,由≤x≤,得3π≤2x+≤4π,∵y=2cos x在[3π,4π]上单调递增,∴f(x)在上单调递增,故B错误;y=f=2cos 2x为偶函数,故C错误;y=[f(x)]2=2cos+2的最小正周期T==,故D正确.故选AD.
10.BCD　[解析] 对于A选项,每个盒子中恰有1个球的概率为=,A错误;对于B选项,记事件E=“1号是空盒”,事件F=“2号是空盒”,则P(E)=P(F)=,P(EF)==,所以P(EF)≠P(E)·P(F),故事件“1号是空盒”与事件“2号是空盒”不独立,B正确;对于C选项,由题意可知Y~B,故D(Y)=4××=,C正确;对于D选项,由题意可知,随机变量X的可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)=,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,故E(X)=0×+1×+2×+3×=,D正确.故选BCD.
11.ABD　[解析] 对于A,抛物线E:y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),故A正确;对于B,设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知M(-1,0),直线AB的斜率不为零,设直线AB的方程为x=my+1,由得y2-4my-4=0,故可得x1+x2=my1+1+my2+1=4m2+2,x1x2=(my1+1)(my2+1)=1,由MA⊥MB得·=0,故(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,所以1+4m2+2+1-4=0,解得m=0,所以|AB|=x1+x2+p=2+2=4,故B正确;对于C,S△MAB=S△MFB+S△MFA=|MF||y1-y2|==4,因为|AF|·|BF|=(x1+1)(x2+1)=4m2+4=16,所以m2+1=4,所以S△MAB=8,故C错误;对于D,设C(x3,y3),D(x4,y4),设直线CD的方程为x=-y+1(m≠0),由得y2+y-4=0,故可得x3+x4=-y3+1-y4+1=+2,所以S四边形ACBD=|AB||CD|=(x1+x2+2)(x3+x4+2)=8≥32,当且仅当m2=1时等号成立,故D正确.故选ABD.
12.48　[解析] 令x=1可得(2-13)(1+a)5=243,解得a=2.(x+2)5的展开式的通项为Tr+1=x5-r·2r,r=0,1,2,3,4,5,分别令5-r=0,5-r=3,得r=5,r=2,所以(x+2)5的展开式中的常数项和含x3的项分别为T6=x5-5·25=32,T3=x5-2·22=40x3,所以(2-x3)(x+2)5的展开式中x3的系数为2×40-32=48.
13.2　[解析] 设函数f(x)=ex-1的图象在点A(x0,)处的切线和函数g(x)=ex-2的图象在点B(x1,-2)处的切线相同,均为直线y=kx+b,又f'(x)=ex-1,g'(x)=ex,故==k,故x1=x0-1,函数f(x)=ex-1的图象在点A(x0,)处的切线方程为y-=(x-x0),又B(x1,-2)在该切线上,故-2-=(x1-x0),即-2-=(x0-1-x0),即=2,解得x0=1+ln 2,故k=e1+ln 2-1=2.
14.49 609　[解析] {3n+2}与{4n}的公共项为12n-4,去掉它们的公共项后,剩余的项从小到大排列为4,5,11,12,14,16,17,23,24,26,28,29,35,…,且每两个相邻的公共项之间有5项,分别求和,11+12+14+16+17=70,23+24+26+28+29=130,35+36+38+40+41=190,…,可以看出以这5项的和为一项构成的新数列是首项为70,公差为60的等差数列.因为(202-2)÷5=40,所以{an}的前202项和为4+5+40×70+=49 609.

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