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2025-2026学年吉林省长春市汽开区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中，抛物线y=2x2的开口方向是（　　）
A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右
2.已知AB是⊙O的弦，若⊙O的半径为4cm,则弦AB的长不可能为（　　）
A. 2cm B. 4cm C. 8cm D. 12cm
3.若关于x的一元二次方程x2+4x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为（　　）
A. -4 B. 4 C. -2 D. 2
4.把二次函数y=x2-4x+3化成y=a（x-h）2+k的形式是（　　）
A. y=（x-2）2-1 B. y=（x+2）2-1 C. y=（x-2）2+7 D. y=（x+2）2+7
5.人行天桥的示意图如图所示，若斜道AC长为30米，∠A=α，则高BC的长为（　　）
A. 30sinα米 B. 30cosα米 C. 米 D. 米
6.如图，在⊙O中，=，点D在⊙O上，∠CDB=25°，则∠AOB=（　　）
A. 45°
B. 50°
C. 55°
D. 60°
7.在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+3的图象大致是（　　）
A. B. C. D.
8.如图，在△ABC中，CA=CB，CD为△ABC的高，CD=3，AB=8，点M是⊙C上一动点，连结AM，取AM的中点E，连结DE.若⊙C的半径为2，则DE长的最大值为（　　）
A. 2.5
B. 3.5
C. 7
D. 8
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.已知关于x的一元二次方程x2+x+c=0的一个根是2，则c的值为 .
10.铁路道口的栏杆如图所示，O为栏杆的支点，AO=2米，CO=10米.若栏杆左端下降的垂直距离AB为0.8米，则栏杆右端上升的垂直距离CD为 米.
11.如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需 个正五边形？
12.已知正方形的边长为5，当边长增加x时，其面积增加y,那么y与x之间的函数关系式是 .
13.已知二次函数y=x2-4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2-4x+m的两个实数根是______．
14.如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的动点，E在△ABP的外接圆上，且位于正方形ABCD的内部，，分别连结EA、EP、BE、DE，过点E作EF⊥BC于点F.给出下面四个结论：①EA=EP；②∠EAP=45°；③DE=PF；④当点P是BC的中点时，若DE=4，则.上述结论中，正确结论的序号有 .
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
求值：sin30°+tan45°+tan60° cos30°.
16.(本小题6分)
今年寒假，老师布置了两个实践任务：A.制作“冰雪+体育”手抄报；B.制作“冰雪+非遗”手抄报，并让学生们随机抽取两个任务中的一个进行组队.用画树状图（或列表）的方法，求小冰和小雪这两位同学都抽到任务B的概率.
17.(本小题6分)
通过广州国际汽车展览会调研，某汽车公司计划加大“油电混”汽车的生产量.该公司计划这种“油电混”汽车的月生产量由明年一月份的4000辆增加到三月份的4840辆.求该“油电混”汽车这两个月生产量的平均月增长率.
18.(本小题7分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与y轴的交点坐标为（0，-3），抛物线的对称轴为直线x=-1.
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）该抛物线的顶点坐标为______；
（3）当y＜0时，直接写出x的取值范围.
19.(本小题7分)
作图并填空：
（1）在图中，利用尺规作图，作出已知⊙O的内接正六边形；
（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）
（2）若已知⊙O的半径为2，则这个内接正六边形的面积为______.
20.(本小题7分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是边AB上一点，以点O为圆心、OB长为半径作⊙O，⊙O与AC相切于点D，连结BD.
（1）求证：∠ABD=∠CBD；
（2）若OB=2，，则BC的长为______.
21.(本小题8分)
某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化关系的图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分.结合图象信息，解答下列问题.
（1）求P与I之间的函数关系式；
（2）当I=0.5A时，求P的值；
（3）当I=______A时，P取得最大值为______W.
22.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8.点D是边AB的中点，动点P在边AB上且与点D不重合，作射线PQ，使∠DPQ=45°，交边AC或边BC于点Q.
（1）tanA=______，AD的长为______；
（2）当AP=3时，求△BPQ的面积；
（3）连结DQ，若DQ⊥AB，直接写出AP的长.
23.(本小题10分)
数学活动：探究相似扇形.
提示：在本活动中涉及的扇形都用三个大写字母表示，第一个和第三个字母为弧的两个端点，第二个字母为圆心.例如圆心为O，弧的端点为A、B的扇形，记作扇形AOB.
【定义】圆心角相等的两个扇形称为相似扇形，其半径的比叫做相似比.
【性质探索】可以类比相似三角形的性质，得到相似扇形的性质如下：
关于弧长：两个相似扇形的相似比为k,则弧长之比为______；
关于面积：两个相似扇形的相似比为k,则面积之比为______.
【判定探索】根据定义，探索相似扇形的判定，得到如下结论：
半径和弧长对应成比例的两个扇形是相似扇形.
为说明这一结论正确，分析如下：如图①，已知扇形AOB与扇形A′O′B′，，设∠AOB=n°，∠A′O′B′=m°，只要说明n=m,即可判断扇形AOB与扇形A′O′B′是相似扇形.
请你结合以上思路，写出完整的推理过程.
【拓展应用】如图②，已知扇形BAC，点P是半径AB上的一点，扇形BCP与扇形BAC相似，且点P在半径AC的垂直平分线上.若的长为a,则的长为______（用含a的代数式表示）.
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=x2+bx-3（b是常数）经过点A（3，0），点B在该抛物线上，其横坐标为m（m≠0），过点B作BC∥x轴，点C的横坐标为-2m.
（1）求该抛物线对应的函数表达式和顶点坐标；
（2）当点C在抛物线上时，求C的坐标；
（3）作点C关于坐标原点O的对称点D，连结BD、CD.
①点D的坐标为______（用含m的代数式表示）；
②当点B在y轴右侧时，若此抛物线在△BCD内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，则m的取值范围为______；
③当抛物线的顶点落在△BCD边上时，直接写出m的值.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】-6
10.【答案】4
11.【答案】7
12.【答案】x2+10x
13.【答案】x1=1，x2=3
14.【答案】①②④
15.【答案】3．
16.【答案】．
17.【答案】10%．
18.【答案】y=x2+2x-3 （-1，-4） -3＜x＜1
19.【答案】如图，正六边形ABCDEF即为所求； 6
20.【答案】连接OD，
∵AC为⊙O的切线，
∴OD⊥AC，
∵∠C=90°，
∴OD∥BC，
∴∠ODB=∠CBD，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB，
∴∠ABD=∠CBD
21.【答案】抛物线解析式为P=-55I2+220I=-55（I-2）2+220 P=96.25 2;220
22.【答案】;5 4.5
23.【答案】k；k2；
∵=，
∴=，
解得：n=m，
∴扇形AOB与扇形A'O'B'是相似扇形；

24.【答案】抛物线对应的函数表达式为y=x2-2x-3．顶点坐标为（1，-4） 点C的坐标为（4，5） ①（2m，-m2+2m+3）；②0＜m≤；③m=1或
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