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小题6　“8+3+3”73分练
(时间:40分钟　分值:73分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2025·白银三模] 已知全集U=R,集合A=,B={x||x+1|<4},则图中阴影部分表示的集合为 (　 )
A.(-∞,-5] B.(-5,+∞)
C.(-∞,-5]∪[3,+∞) D.(-∞,2]∪[3,+∞)
2.[2025·太原质检] 已知a∈R,则“a<0”是“复数2+(2-a)i在复平面内对应的点在第一象限”的 (　 )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.在平面直角坐标系xOy中,设角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(t,1),sin=-,则t= (　 )
A.-2 B.-
C. D.2
4.[2025·福州质检] 已知菱形ABCD的边长为2,E为AB的中点,则·= (　 )
A. B. C. D.3
5.[2025·东北三省三校联考] 已知为曲线y=cos x与曲线y=sin(2x+φ)(0≤φ<π)的一个交点的横坐标,则函数f(x)=sin(2x+φ)在下列区间上单调递增的是 (　 )
A. B.
C. D.
6.[2025·重庆南开中学质检] 已知a=ln-,b=ln-,c=ln 2-2,则 (　 )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
7.已知轴截面为等边三角形的圆锥与其内切球表面的交线为Γ(除去圆锥底面圆心),Γ所在的平面将圆锥分成上、下两部分,则上、下两部分几何体的体积之比为 (　 )
A.1∶6 B.1∶7 C.1∶8 D.1∶9
8.[2025·邯郸一模] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过点F2的直线l与双曲线C的右支交于A,B两点,若|AF1|+|BF1|=3|F1F2|,则双曲线C的离心率的取值范围是 (　 )
A.(1,3+] B.
C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2025·抚顺模拟] 若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,则 (　 )
A.E(X)= B.E(3X-1)=2
C.D(X)= D.D(3X-1)=2
10.[2025·济宁一模] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=Sn+2,{bn}为等差数列,且b2=a1,b8=a3,记集合A={x∈N*|bn≤x≤an}中元素的个数为cn,数列{cn}的前n项和为Tn,则下列结论正确的是 (　 )
A.an=2n
B.bn=n
C.cn=2n-n
D.Tn=2n+1--2
11.[2025·杭州学军中学3月模拟] 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,正方形BCC1B1内(不含边界)的一动点P在运动过程中始终满足BP=2PC,则下列说法中正确的有 (　 )
A.存在点P使得BP⊥PC
B.直线BC1与点P的轨迹有公共点
C.点P的轨迹长为
D.三棱锥P-BCD体积的最大值为8
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2025·郑州质检] 某高校计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名教师到4所不同的学校进行宣讲,每个学校至少安排1人,则甲、乙安排在同一所学校的概率为　　　　.
13.[2025·南充诊断] 已知函数f(x)=xcos x,圆C:(x-1)2+(y+1)2=9,若直线l与曲线y=f(x)在(0,0)处的切线平行,且直线l被圆C截得的弦长为6,则直线l的方程为　　　　.
14.[2025·南昌一模] 三角形是常见的几何图形,除了我们已经学习的性质外,三角形还有很多性质,如:
性质1:△ABC的面积S=AB·ACsin A=·tan A;
性质2:对于△ABC内任意一点P,有·+·+·=·+·+·;
性质3:△ABC内存在一点P,使得∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,这个点P称为△ABC的“勃罗卡点”,角α称为△ABC的“勃罗卡角”.
若△ABC的三边长分别为1,1,,根据以上性质,可以计算出△ABC的“勃罗卡角”的正切值为　　　　.
小题6　“8+3+3”73分练
1.A　[解析] 由题可知图中阴影部分表示的集合是 R(A∪B).因为A=={x|x-2>0}={x|x>2},B={x||x+1|<4}={x|-4-5},所以 R(A∪B)={x|x≤-5}=(-∞,-5].故选A.
2.A　[解析] 若复数2+(2-a)i在复平面内对应的点在第一象限,则2-a>0,所以a<2,故“a<0”是“复数2+(2-a)i在复平面内对应的点在第一象限”的充分不必要条件.故选A.
3.B　[解析] 由题意可得cos α=,则sin=cos α==-,解得t=-.故选B.
4.D　[解析] 如图,=+=+,=+=-+,所以·=-=3,故选D.
5.B　[解析] 由题意可知cos=sin=,因为0≤φ<π,所以≤+φ<,故+φ=,解得φ=,故f(x)=sin,令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.当k=0时,可得f(x)在上单调递增,当k=1时,可得f(x)在上单调递增,当k=-1时,可得f(x)在上单调递增.故选B.
6.C　[解析] 令f(x)=ln x-,则f'(x)=-=,则当x∈(0,2)时,f'(x)>0,当x∈(2,+∞)时,f'(x)<0,即f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,又a=ln-=f,b=ln-=f,c=ln 2-2=f(2),<<2,故c>b>a.故选C.
7.B　[解析] 如图,作出圆锥的轴截面SAB,设△SAB的内切圆分别与SA,SB,AB相切于C,D,E,连接CD,SE,因为△SAB为等边三角形,所以C,D,E分别为SA,SB,AB的中点,设CD与SE交于点F,△SAB的边长为2a,则FD=a,SE=a,SF=SE=a,则圆锥与其内切球表面的交线Γ(除去圆锥底面圆心)为圆锥的母线的中点所在的圆,半径为FD=a.Γ所在的平面将圆锥分成上、下两部分,上部分是底面半径为,高为a的圆锥SF,又圆锥SE的底面半径为a,高为a,所以圆锥SF的体积与圆锥SE的体积之比为=,所以Γ所在的平面将圆锥分成的上、下两部分几何体的体积之比为1∶7.故选B.
8.B　[解析] 不妨设|AF1|≥|BF1|,由题意知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,两式相加得|AF1|+|BF1|-(|AF2|+|BF2|)=4a,又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以|AF1|+|BF1|-|AB|=4a,又|AF1|+|BF1|=3|F1F2|=6c,所以|AB|=6c-4a.当AB⊥x轴时,|AB|最小,此时|AB|=,所以≤6c-4a,又b2=c2-a2,则≤6c-4a,整理得2c2-6ac+2a2≤0,又e=,两边同时除以a2得2e2-6e+2≤0,解得≤e≤,又双曲线的离心率e>1,所以双曲线的离心率的取值范围是.故选B.
9.ACD　[解析] 由题意可得P(X=1)=,则E(X)=0×+1×=,故E(3X-1)=3E(X)-1=3×-1=1,D(X)=×+×=,D(3X-1)=32D(X)=32×=2.故选ACD.
10.ABD　[解析] 对于A,设等比数列{an}的公比为q,由an+1=Sn+2,得an=Sn-1+2(n≥2),两式相减得an+1-an=Sn-Sn-1=an(n≥2),即an+1=2an(n≥2),所以q=2,由a2=S1+2=a1+2,a2=2a1,解得a1=2,所以an=2×2n-1=2n,故A正确;对于B,设等差数列{bn}的公差为d,由b2=a1=2,b8=a3=8,得6d=b8-b2=6,解得d=1,所以bn=b2+(n-2)d=n,故B正确;对于C,由A={x∈N*|bn≤x≤an},得A={x∈N*|n≤x≤2n},则集合A中元素的个数为2n-n+1,即cn=2n-n+1,故C错误;对于D,Tn=(2+22+…+2n)-(1+2+…+n)+n=-+n=2n+1--2,故D正确.故选ABD.
11.AC　[解析] 由题意得=2,且BC=2,如图,在平面BCC1B1内,以B为原点建立平面直角坐标系,设P(x,y)(0或(舍去),所以点P满足条件,故A正确.直线BC1的方程为y=x,点G到该直线的距离为=>,所以直线BC1与圆G无公共点,故B错误.设圆G与线段CC1,BC分别交于点E,F,连接EG,EF,易得E,F,所以EF=,所以△EFG为等边三角形,所以∠EGF=,为点P的运动轨迹,且=×=,故C正确.若VP-BCD最大,则P到BC的距离最大,即P为CC1与圆G的交点,但P不在正方形BCC1B1的边界上,所以最大值取不到,故D错误.故选AC.
12.　[解析] 将这6名教师分成四组,再分配到不同的学校,若教师人数为3,1,1,1,则不同的安排方法种数为×=480;若教师人数为2,2,1,1,则不同的安排方法种数为=1080.故不同的安排方法种数为480+1080=1560.将这6名教师分成四组,再分配到不同的学校,甲、乙安排在同一所学校,若教师人数为3,1,1,1,则不同的安排方法种数为×=96;若教师人数为2,2,1,1,则不同的安排方法种数为×=144.故不同的安排方法种数为96+144=240.所以所求概率为=.
13.y=x-2　[解析] 对f(x)=xcos x求导可得f'(x)=cos x-xsin x,所以f'(0)=1,故直线l的斜率为1.因为圆C:(x-1)2+(y+1)2=9的半径r=3,圆心为(1,-1),直线l被圆C截得的弦长为6,所以直线l刚好经过圆C的圆心(1,-1),故直线l的方程为y+1=x-1,即y=x-2.
14.　[解析] 因为△ABC的三边长分别为1,1,,所以不妨设AB=1,AC=1,BC=.在△ABC中,由余弦定理得cos∠BAC===-,得∠BAC=120°,故∠ABC=30°,∠ACB=30°.设△ABC内存在一点P,使得∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,在△ABP中,∠APB=180°-α-(30°-α)=150°,由正弦定理得===2,所以BP=2sin α.在△PBC中,∠BPC=180°-α-(30°-α)=150°,由正弦定理得=,即==2,所以BP=2sin(30°-α),故2sin α=2sin(30°-α),即sin α=,可得sin α=cos α,解得tan α=.

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