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小题7　“8+3+3”73分练
(时间:40分钟　分值:73分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2025·咸阳模拟] 已知集合A={1,2,3,4},B={x|y=ln(x-1)},则A∩B的子集个数为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6 B.7
C.8 D.9
2.[2025·桂林模拟] 已知|1+i|2z=3+4i,则z的虚部为 (　 )
A.-i B.- C.2i D.2
3.若随机变量X的分布列如下表,且a1,a2,a3,a4,a5构成等差数列,则P(X=5)= (　 )
X 3 4 5 6 7
P a1 a2 a3 a4 a5
A. B. C. D.
4.[2025·北京海淀区二模] 设a,b,c∈R,abc≠0,且a>b>c,则 (　 )
A.+>2 B.+<2
C.2a>b+c D.a+b>c
5.[2025·辽宁县域重点高中二模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0),直线l:x+2y-6=0与C交于M,N两点,与两坐标轴分别交于点A,B,且M,N是线段AB的三等分点,则C的方程为 (　 )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
6.[2025·吕梁模拟] 某科技公司在人工智能领域逐年加大投入,根据近年来该公司对产品研发的年投入额x(单位:百万元)与其年销售量y(单位:千件)的统计数据,得到如图所示的散点图.用线性回归模型和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为=0.891 3和=0.994 0,则最适宜描述y与x之间关系的函数为 (　 )
参考公式:在经验回归方程=u+中,=
参考数据:
(xi-)2 (xi-)(yi-) (xi-)(ωi-)
3 2.5 0.5 10 12 6
其中ωi=ln yi.
A.y=1.2x-1.1 B.y=0.6x-1.3
C.y=e1.2x-1.1 D.y=e0.6x-1.3
7.[2025·湖北七市调研] 已知f(x)是定义域为R的减函数,且存在函数g(x)使得f[g(x)]=x.若x1,x2分别是方程f(x)-x=3和g(x)-x=-3的根,则x2-x1= (　 )
A.3 B.-3 C.6 D.-6
8.[2025·潍坊模拟] 已知函数f(x)=+,则f(x)图象的对称轴方程为 (　 )
A.x=+,k∈Z B.x=+,k∈Z
C.x=-,k∈Z D.x=-,k∈Z
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2025·福州质检] 已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2,则下列结论正确的有 (　 )
A.(2a+3b)·(2a-3b)=0
B.若a·b=6,则a∥b
C.a在b上的投影向量为(a·b)b
D.若|a+2b|=,则a与b的夹角为
10.[2025·重庆沙坪坝区模拟] 如图①,在△ABC中,AC⊥BC,B=,AB=8,D,E分别在AB,AC上,且=.将△ADE沿DE翻折得到四棱锥A-BCED,如图②,其中AC⊥CE.记三棱锥A-BCD外接球的球心为O1,球O1的表面积为S1,三棱锥A-ECD外接球的球心为O2,球O2的表面积为S2,则在图②中,下列说法正确的有 (　 )
A.BD⊥平面ADC
B.直线AB与DE所成角的正切值为
C.O1O2∥CE
D.S1+S2=76π
11.[2025·唐山一模] 已知函数f(x)=x3-mx-n(m,n∈R),则下列说法正确的是 (　 )
A.当m≤0时,f(x)在R上单调递增
B.函数y=f(x)图象的对称中心为(0,-n)
C.存在m∈R,使得直线y=±x-n与曲线y=f(x)的公共点中存在四点能连接成正方形
D.对任意m>0,总存在两条斜率互为相反数的相交直线与曲线y=f(x)都相切
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2025·日照模拟] 已知α是第一象限角,且sin α+cos α=3cos αtan α,则sin的值为　　　　.
13.双曲线C1:x2-y2=2的两条渐近线分别与圆C2:(x-2)2+y2=4交于点A,B(异于原点O),则|AB|=　　　　.
14.[2025·浙江Z20联盟二联] 在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且AB⊥AD,AD∥BC,PA=AB=AD=BC=1,动点E在以P为球心,1为半径的球与侧面PCD(包括边界)的交线上,动点F在直线PB上,则EF的最小值为　　　　.
小题7　“8+3+3”73分练
1.C　[解析] 由题知B={x|y=ln(x-1)}={x|x-1>0},∴B={x|x>1},∴A∩B={2,3,4},一共有3个元素,∴A∩B的子集个数为23=8.故选C.
2.D　[解析] |1+i|2=12+12=2,所以z=+2i,所以z的虚部为2,故选D.
3.D　[解析] 由分布列的性质可知,a1+a2+a3+a4+a5=1,再由a1,a2,a3,a4,a5构成等差数列,得5a3=1,即a3=,则P(X=5)=.故选D.
4.C　[解析] 对于A选项,不妨取a=2,b=1,c=-,则+=2-4=-2<2,A错误;对于B选项,不妨取a=-1,b=-2,c=-6,则+=2+3=5>2,B错误;对于C选项,因为a>b>c,所以由不等式的性质可得2a>b+c,C正确;对于D选项,不妨取a=-1,b=-2,c=-2.5,则a+b=-3<-2.5=c,D错误.故选C.
5.A　[解析] 由直线l:x+2y-6=0,不妨令A(0,3),B(6,0),设M(x1,y1),N(x2,y2),则=(x1,y1-3),=(6-x2,-y2),=(6,-3).因为M,N是线段AB的三等分点,不妨令M靠近A,N靠近B,所以==(2,-1),==(2,-1),则解得则M(2,2),N(4,1),又M,N两点在椭圆C上,所以解得所以C的方程为+=1.故选A.
6.D　[解析] 由用线性回归模型和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为=0.891 3和=0.994 0,得<,则指数型回归模型最适宜拟合y与x的关系.设y与x的非线性经验回归方程为=,两边取自然对数得ln =x+,设=ln ,则=x+,因此===0.6,=-=0.5-0.6×3=-1.3,则ln =0.6x-1.3,可得=e0.6x-1.3.故选D.
7.A　[解析] 因为f[g(x)]=x,且g(x2)-x2=-3,所以g(x2)-x2=g(x2)-f[g(x2)]=-3,即f[g(x2)]-g(x2)=3.因为f(x)是定义域为R的减函数,所以函数y=f(x)-x在R上单调递减,又f(x1)-x1=3,所以x1=g(x2),所以g(x2)-x2=x1-x2=-3,即x2-x1=3.故选A.
8.C　[解析] f(x)=+=+,因为f=+=+=f(x),所以为函数f(x)的一个周期.当x∈时,x+∈,此时f(x)=sin+cos=sin.作出函数f(x)的图象如图,由图可得,函数f(x)图象的对称轴方程为x=-,k∈Z.故选C.
9.ABD　[解析] 对于A,(2a+3b)·(2a-3b)=4a2-9b2=4|a|2-9|b|2=4×9-9×4=0,故A正确;对于B,因为a·b=6,所以|a||b|cos=3×2×cos=6,得cos=1,又0≤≤π,所以=0,所以a∥b,故B正确;对于C,a在b上的投影向量为·b=(a·b)b,故C错误;对于D,因为|a+2b|=,所以a2+4a·b+4b2=9+24cos+16=13,得cos=-,又0≤≤π,所以a与b的夹角为,故D正确.故选ABD.
10.ABD　[解析] 对于选项A,由图①知,在Rt△ABC中,BC=AB·cos=4,AC=AB·sin=4,因为=,所以DE∥BC,且DE=BC=3,AE=AC=3,CE=AC=,AD=AB=6,BD=AB=2.由图②知,在Rt△AEC中,AC==2,因为DE∥BC,且CE⊥BC,所以DE⊥EC,所以在Rt△DEC中,DC==2,又AD=6,所以AC2+DC2=AD2,所以AC⊥CD,又因为AC⊥CE,CD∩CE=C,所以AC⊥平面BCED,又BD 平面BCED,所以AC⊥BD.在△BDC中,BD=2,DC=2,BC=4,所以BD2+DC2=BC2,即BD⊥CD,又AC∩CD=C,所以BD⊥平面ADC,故A正确.对于选项B,因为BC∥DE,所以∠ABC即为直线AB与DE所成的角.因为AC⊥平面BCED,BC 平面BCED,所以AC⊥BC,所以在Rt△ABC中,tan∠ABC===,故B正确.对于选项C,由上可知BD⊥平面ADC,因为AD 平面ADC,所以BD⊥AD,则AB的中点到A,B,D的距离相等.因为AC⊥BC,所以AB的中点到A,B,C的距离相等,所以O1为AB的中点,同理可知O2为AD的中点,所以O1O2∥BD,而BD与CE不平行,所以O1O2与CE不平行,故C错误.对于选项D,由选项C可知,球O1的半径R1==,球O2的半径R2==3,所以S1+S2=4π(+)=76π,故D正确.故选ABD.
11.ABD　[解析] 因为f(x)=x3-mx-n,所以f'(x)=3x2-m,当m≤0时,f'(x)≥0在R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增,故A正确.因为f(x)+f(-x)=x3-mx-n+(-x)3+mx-n=-2n,所以y=f(x)图象的对称中心为(0,-n),故B正确.由B选项可知,函数f(x)图象的对称中心为(0,-n),易知直线y=±x-n也关于点(0,-n)对称,假设直线y=±x-n与曲线y=f(x)的公共点中存在四点能连接成正方形,即直线y=±x-n与曲线y=f(x)有四个交点,则关于x的方程x3-mx-n=±x-n,即x3-mx=±x除去0以外还有四个解,即关于x的方程x2=m±1有四个解,所以m>1.设直线y=x-n和直线y=-x-n与曲线y=f(x)的交点分别为A,C,B,D,则|AC|=|BD|,即2=2,无解,假设不成立,故C错误.设两条直线与曲线y=f(x)的切点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则f'(x1)+f'(x2)=0,即3-m+3-m=0,所以+=,对任意m>0,总存在x1,x2,使得上式成立,即对任意m>0,总存在两条斜率互为相反数的相交直线与曲线y=f(x)都相切,故D正确.故选ABD.
12.　[解析] 因为sin α+cos α=3cos αtan α,所以sin α+cos α=3sin α,所以cos α=2sin α,两边平方得cos2α=4sin2α=4(1-cos2α),所以5cos2α=4,又因为α是第一象限角,所以cos α=,则sin=cos α=.
13.4　[解析] 双曲线C1:x2-y2=2的渐近线方程为y=±x.由且x≠0,可得A(2,2);由
且x≠0,可得B(2,-2).所以|AB|=4.
14.　[解析] 因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,又AB⊥AD,PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,又AD∥BC,所以BC⊥平面PAB,得BC⊥PB.以P为球心,1为半径的球与侧面PCD(包括边界)的交线就是△PCD内以P为圆心,1为半径的一段圆弧,如图所示.因为PE的长度为定值1,所以当F点固定时,由余弦定理可知,EF的长度只取决于∠EPF,∠EPF越小,EF的长度越小.过B作平面PCD的垂线,垂足为G,连接BD,则VP-BCD=VB-PCD,在△BCD中,易知CD⊥BD,且CD=BD=,所以S△BCD=××=1.在△PCD中,易知DC=DP=,PB=,PC==,所以S△PCD=××=.由×1×PA=××BG,得BG=.当P,G,E三点共线时,∠EPF取得最小值,此时sin∠EPF==,过E作PB的垂线,当F为垂足时,EF取得最小值,此时EF=PEsin∠EPF=1×=.

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