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小题8　“8+3+3”73分练
(时间:40分钟　分值:73分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2025·江西六校联考] 若命题p: x>0,x2-3x+2≤0,则命题p的否定为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. x>0,x2-3x+2≤0 B. x≤0,x2-3x+2≤0
C. x>0,x2-3x+2>0 D. x≤0,x2-3x+2>0
2.[2025·蚌埠质检] 已知集合A={x|2x-1≥0},B={x|x2>3x},则A∪B= (　 )
A. B.(3,+∞)
C. D.(-∞,0)∪
3.已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是 (　 )
A.[0,4] B.(0,4)
C.(0,4] D.[0,4)
4.[2025·葫芦岛模拟] 已知圆心角为的扇形的面积为2π,则由它围成的圆锥的母线与底面所成角的余弦值为 (　 )
A. B.
C. D.
5.[2025·合肥模拟] 若{x1,x2,x3,x4,x5,x6}={1,2,3,4,5,6},则(x1+x2)(x3+x4)(x5+x6)为偶数的排列的个数为 (　 )
A.144 B.288
C.432 D.576
6.[2025·深圳一模] 已知双曲线E的中心为原点,焦点在x轴上,两条渐近线的夹角为60°,且点(1,1)在E上,则E的离心率为 (　 )
A. B.
C.2 D.或2
7.[2025·南充三诊] 已知a=2cos 73°,则= (　 )
A.-2 B.-1
C.- D.-
8.过点P(1,m)(m∈R)有n条直线与函数f(x)=xex的图象相切,则当n取最大值时,m的取值范围为 (　 )
A.-C.-二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2025·石家庄质检] 已知i为虚数单位,下列说法正确的是 (　 )
A.若m,n∈R,则m+ni=2+i的充要条件是m=2,n=1
B.若复数z1,z2,z3满足z1z2=z2z3,则z1=z3
C.i+i2+i3+…+i2025=i
D.若复数z满足|z|=1,则|z-3+4i|的最大值为6
10.[2025·湖南新高考教学教研联盟联考] 在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bsin B=(a+c)sin A,则下列说法正确的是 (　 )
A.B=2A
B.B的取值范围为
C.-+2sin B的最小值为2
D.的取值范围是
11.[2025·晋中模拟] 若数列{an}满足an+1=,则称{an}为“平方递推数列”.已知数列{bn}满足b1=99,点(bn,bn+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上.设Tn=(b1+1)(b2+1)·…·(bn+1),Sn=,则 (　 )
A.{bn+1}为平方递推数列
B.bn=100n-1
C.lg Tn=2n+1-2
D.使得Sn>4048成立的n的最小值为2026
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知向量m=(2,-1),n=(1,2),则|2m-n|=　　　　.
13.[2025·吕梁模拟] 如图所示,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是　　　　.
14.[2025·嘉兴模拟] 设函数f(x)=ln x+ax(a>0),若方程f[f(x)]=x在区间[2,4]上有解,则实数a的取值范围为　　　　.
小题8　“8+3+3”73分练
1.C　[解析] 命题p的否定为“ x>0,x2-3x+2>0”,故选C.
2.D　[解析] 因为A={x|2x-1≥0}=,B={x|x2>3x}=(-∞,0)∪(3,+∞),所以A∪B=(-∞,0)∪.故选D.
3.A　[解析] 因为函数f(x)=是R上的增函数,所以解得0≤a≤4,则a的取值范围是[0,4].故选A.
4.D　[解析] 设扇形的半径为R,则×R2=2π,可得R=4,所以圆锥的母线长为4.扇形的弧长l=R=π,设圆锥底面的半径为r,则2πr=l=π,因此r=,所以圆锥的母线与底面所成角的余弦值为==.故选D.
5.C　[解析] 因为{x1,x2,x3,x4,x5,x6}={1,2,3,4,5,6},所以共有=720(个)排列,若(x1+x2)(x3+x4)(x5+x6)为奇数,则x1+x2,x3+x4,x5+x6全部为奇数,有6×3×4×2×2×1=288(个)排列,故(x1+x2)(x3+x4)(x5+x6)为偶数的排列共有720-288=432(个).故选C.
6.C　[解析] 由双曲线E的两条渐近线的夹角为60°,可知E的渐近线方程为y=±x或y=±x,由e=(其中k为渐近线的斜率),可得e=2或e=.若e===,则设双曲线E的方程为-=1(m≠0),由点(1,1)在E上,得-=1,无解;若e=2=,则设双曲线E的方程为-=1(n≠0),由点(1,1)在E上,得-=1,解得n2=,此时双曲线E的方程为-=1.故选C.
7.C　[解析] ==
-=-=-=-=-.故选C.
8.B　[解析] 由f(x)=xex,得f'(x)=(x+1)ex.当x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,且f(x)<0;当x>-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,且当-10时,f(x)>0.作出f(x)的图象如图①,结合图象易得,过点P(1,m)(m∈R)至多有3条直线与函数f(x)=xex的图象相切,故n=3.设切点坐标为(x0,y0),则切线的斜率k=(x0+1)·,所以切线方程为y-x0=(x0+1)·(x-x0),将P(1,m)的坐标代入,得m=(-+x0+1)·,由题意得关于x的方程m=(-x2+x+1)·ex有三个不同的根.设g(x)=(-x2+x+1)ex,则g'(x)=-(x-1)(x+2)·ex,当x∈(-∞,-2)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(-2,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,画出g(x)的大致图象如图②,可得当g(-2)9.ACD　[解析] 对于A,因为m,n∈R,所以m+ni=2+i等价于m-2+(n-1)i=0,等价于即故A正确;对于B,由z1z2=z2z3可得z2(z1-z3)=0,当z2=0时,等式成立,但z1与z3不一定相等,故B错误;对于C,因为对于n∈N,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1,所以i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=i-1-i+1=0,于是i+i2+i3+…+i2025=(i+i2+i3+i4)×506+i=i,故C正确;对于D,|z|=1可理解为复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上,而|z-3+4i|可看成点(3,-4)到该圆上的点的距离,易得|z-3+4i|的最大值为+1=6,故D正确.故选ACD.
10.AB　[解析] 对于A,由正弦定理角化边得b2=a(a+c),由余弦定理得cos B===-,cos A===,因为△ABC为锐角三角形,所以A,B∈,所以2A∈(0,π),又cos 2A=2cos2A-1=-1=-1=-,所以cos B=cos 2A,所以B=2A,A正确;对于B,由上知,C=π-3A,因为△ABC为锐角三角形,所以解得=
=
===,因为11.AC　[解析] 对于A,由题意得bn+1=+2bn,所以bn+1+1=+2bn+1=(bn+1)2,所以{bn+1}为平方递推数列,故A正确;对于B,由bn+1+1=(bn+1)2得lg(bn+1+1)=2lg(bn+1),因为lg(b1+1)=2,所以{lg(bn+1)}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以lg(bn+1)=2n,所以bn+1=,即bn=-1,故B错误;对于C,因为Tn=(b1+1)(b2+1)·…·(bn+1),所以lg Tn=lg(b1+1)+lg(b2+1)+…+lg(bn+1)=2+22+…+2n=2n+1-2,故C正确;对于D,因为==2-,所以Sn=++…+=2n-=2n-2+,由Sn>4048得n≥2025,故D错误.故选AC.
12.5　[解析] 因为向量m=(2,-1),n=(1,2),所以2m-n=(4,-2)-(1,2)=(3,-4),因此|2m-n|==5.
13.[3,2]
[解析] 如图,分别取棱BB1,B1C1的中点M,N,连接MN,BC1,A1N,NE,A1M,由点E,F分别是棱BC,CC1的中点,得MN∥BC1∥EF,又MN 平面AEF,EF 平面AEF,所以MN∥平面AEF.因为AA1∥BB1∥NE,AA1=BB1=NE,所以四边形AENA1为平行四边形,于是A1N∥AE,又A1N 平面AEF,AE 平面AEF,所以A1N∥平面AEF.因为A1N∩MN=N,A1N,MN 平面A1MN,所以平面A1MN∥平面AEF,又P是侧面BCC1B1内一点,且A1P∥平面AEF,所以P点的轨迹是线段MN.在Rt△A1B1M中,A1M===2,同理A1N=2,所以△A1MN为等腰三角形,所以当P为MN的中点时,A1P最短,为=3,当P位于M或N处时,A1P最长,为2,所以线段A1P长度的取值范围是[3,2].
14.　[解析] 设f(x)=t,则f(t)=x,所以点(x,t)和点(t,x)都在函数y=f(x)的图象上.假设x>t,因为函数y=f(x)在R上单调递增,所以f(x)>f(t),可得t>x,与假设矛盾,假设不成立;假设t>x,因为函数y=f(x)在R上单调递增,所以f(t)>f(x),可得x>t,与假设矛盾,假设不成立.所以t=x,则f(x)=x在[2,4]上有解,即1-a=对x∈[2,4]有解.令g(x)=,则g'(x)=,令g'(x)=0,解得x=e,易知g(x)在[2,e]上单调递增,在(e,4]上单调递减,又g(e)=,g(2)=,g(4)==,所以≤1-a≤,可得1-≤a≤1-,故实数a的取值范围为.

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