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小题9　“8+3+3”73分练
(时间:40分钟　分值:73分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|a-1≤x≤2a-1},若B A,则实数a的取值范围是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a≤1 B.a<1
C.0≤a≤1 D.02.[2025·漳州一模] 已知复数z1=1+2i,在复平面内,复数z1,z2对应的点分别为Z1,Z2,且点Z1与点Z2关于直线y=x对称,则|z1-z2|= (　 )
A. B.
C. D.5
3.[2025·西南名校联盟联考] 在△ABC中,点D为BC边上一点,且=2,点E为AC边的中点.若=m,=n,则= (　 )
A.n-m B.n-2m
C.n+m D.n-2m
4.[2025·威海模拟] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a6=15-a10,则S11= (　 )
A.40 B.45
C.50 D.55
5.[2025·重庆北碚区调研] 已知a,b是空间中的两条直线,α,β是两个平面,则 (　 )
A.若a α,b β,则a,b是异面直线
B.若a α,b α,a∥β,b∥β,则α∥β
C.若a α,b β,α∥β,则a∥b
D.若a⊥α,b⊥β,α∥β,则a∥b
6.[2025·浙江北斗星盟三模] 若坐标原点O关于动直线l:mx-y-m+1=0(m∈R)的对称点为A,则点A的轨迹为 (　 )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
7.[2025·华中师大一附中模拟] 已知函数f(x)=3x3-+2,且f(a2)+f(3a-4)>2,则实数a的取值范围是 (　 )
A.(-4,1) B.(-∞,-1)∪(4,+∞)
C.(-∞,-4)∪(1,+∞) D.(-1,4)
8.[2025·江西八所重点中学联考] 已知α,β∈,若sin(α+β)=2sin(α-β),则当tan(α-β)取得最大值时,tan α= (　 )
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的是 (　 )
A.已知一组各不相同的数据xi(1≤i≤30,i∈N),则去掉其中最大和最小的2个数据后,剩下的28个数据的22%分位数不等于原来数据的22%分位数
B.若事件A,B满足0C.若随机变量X服从正态分布N(3,σ2),且P(X<4)=0.6,则P(3D.已知具有线性相关关系的变量x,y,其经验回归方程为=0.4x-2m,若经验回归直线过点(m,3.2),则m=-4
10.[2025·东北育才学校一模] 已知函数f(x)=x3-ax2+x(a∈R),则下列说法正确的是 (　 )
A.若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是[-1,1]
B.当a>1时,函数f(x)有两个极值
C.当a>1时,函数f(x)有三个零点
D.当a=1时,f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线与f(x)的图象只有唯一一个公共点
11.[2025·江南十校联考] 在如图所示的圆台中,其轴截面为梯形ABCD,其中AB=3CD=12,AD=8,若M为圆弧AB的中点,=2,则 (　 )
A.圆台的体积为208π
B.圆台母线所在直线与平面ABCD所成角的最大值为
C.过任意两条母线作圆台的截面,截面面积的最大值为32
D.过C,E,M三点的平面与圆台下底面的交线长为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2025·北京朝阳区质检] 在的展开式中,第4项和第6项的系数相等,则n=　　　　.
13.[2025·昭通模拟] 设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),若f(x)在[1,5]上有且只有一个极值点,且f(1)+f(5)=0,则ω=　　　　.
14.[2025·大连模拟] 设A(x1,y1),B(x2,y2)为平面上两点,定义d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|.已知点P为抛物线C:x2=y上一动点,点Q是直线l:y=2(x-4)上一动点,则d(P,Q)的最小值为　　　　.
小题9　“8+3+3”73分练
1.A　[解析] 当a-1>2a-1,即a<0时,B= A,符合题意;当a-1≤2a-1,即a≥0时,由B A可得解得0≤a≤1,此时0≤a≤1.综上所述,a≤1.故选A.
2.A　[解析] 因为z1=1+2i,所以点Z1(1,2).因为点Z1与点Z2关于直线y=x对称,所以Z2(2,1),所以|z1-z2|=|Z1Z2|==.故选A.
3.D　[解析] 因为=2,所以D为BC边的中点,即=2,又因为点E为AC边的中点,所以=-,所以=+=2-=2(-)-=-2.因为=m,=n,所以=n-2m,故选D.
4.D　[解析] 由a2+a6=15-a10可得3a6=15,即a6=5,则S11==11a6=11×5=55.故选D.
5.D　[解析] 对于A,若a α,b β,α∩β=l,则当a∥l,b∥l时,a∥b,所以a,b不是异面直线,故A错误;对于B,若a α,b α,a∥β,b∥β,则当α∩β=l,且a∥b∥l时,α与β相交,所以α与β不平行,故B错误;对于C,若a α,b β,α∥β,则a∥b或a,b为异面直线,故C错误;对于D,若a⊥α,b⊥β,α∥β,则a∥b,故D正确.故选D.
6.A　[解析] 由mx-y-m+1=0得m(x-1)-(y-1)=0,所以直线l过定点B(1,1),又由对称性可知,|OB|=|AB|=,即点A到点B的距离为,所以点A的轨迹为圆.故选A.
7.C　[解析] 由题意得,函数f(x)=3x3-+1+1=3x3++1,设g(x)=f(x)-1=3x3+(x∈R),由f(a2)+f(3a-4)>2,得g(a2)+g(3a-4)>0,从而g(a2)>-g(3a-4).因为g(-x)=3(-x)3+=-=-g(x),所以g(x)是R上的奇函数,又g(x)=3x3+=3x3-+1,y=3x3是R上的增函数,y=-是R上的增函数,所以g(x)是R上的增函数,则由g(a2)>-g(3a-4)可得g(a2)>g(4-3a),可得a2>4-3a,整理得a2+3a-4>0,解得a>1或a<-4,所以实数a的取值范围为(-∞,-4)∪(1,+∞),故选C.
8.A　[解析] 因为sin(α+β)=2sin(α-β),所以根据两角和与差的正弦公式可得sin αcos β+cos αsin β=2sin αcos β-2cos αsin β,移项可得sin αcos β=3cos αsin β,又α,β∈,所以cos α≠0,cos β≠0,等式两边同时除以cos αcos β,得到tan α=3tan β.根据两角差的正切公式可得tan(α-β)==,令t=tan β,因为β∈,所以t>0,则tan(α-β)==.根据基本不等式得+3t≥2=2,当且仅当=3t,即t=时等号成立,所以tan(α-β)=≤=,即当tan β=时,tan(α-β)取得最大值,此时tan α=3×=.故选A.
9.AB　[解析] 对于A,将原来30个数据从小到大排列,因为30×22%=6.6,所以30个数据的22%分位数为30个数据中的第7个数据,去掉其中最大和最小的2个数据后,28×22%=6.16,故剩下的28个数据的22%分位数为28个数据中的第7个数据,也是30个数据中的第8个数据,两者不相等,A正确;对于B,因为P(A)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(),所以A,相互独立,因此A,B也相互独立,B正确;对于C,因为P(X<4)=0.6,所以P(310.AB　[解析] 对于A,若f(x)=x3-ax2+x是R上的增函数,则f'(x)=x2-2ax+1≥0在R上恒成立,∴Δ=4a2-4≤0,解得-1≤a≤1,A正确;对于B,当a>1时,Δ=4a2-4>0,f'(x)=0有两个不同的实数根,∴函数f(x)有两个极值,B正确;对于C,令f(x)=x3-ax2+x=x(x2-3ax+3)=0,则x=0或x2-3ax+3=0,当a>1时,令9a2-4×3=9a2-12=0,得a=,此时关于x的方程x2-3ax+3=0有两个相等的实数根,∴f(x)有两个零点,令9a2-12>0,得a>,此时关于x的方程x2-3ax+3=0有两个不同的实数根,∴f(x)有三个零点,C错误;对于D,当a=1时,f'(x)=x2-2x+1,∴f'(0)=1,又f(0)=0,∴f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=x,由得或
∴当a=1时,f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线与f(x)的图象有2个公共点,D错误.故选AB.
11.ABD　[解析] 对于A,∵AB=3CD=12,AD=8,∴圆台上底面圆的半径为2,下底面圆的半径为6,∴圆台的高h==4,∴圆台的体积V=π×4×[(2)2+2×6+(6)2]=208π,A正确.对于B,由h=4,BC=8,得sin∠ABC==,由∠ABC∈,得∠ABC=,如图①,将圆台补成圆锥,圆锥的顶点记为T,底面圆的圆心记为O,连接TO,MO,MT,∵M为圆弧AB的中点,∴MO⊥AB.易知TO⊥MO,∵TO∩AB=O,TO,AB 平面ABCD,∴MO⊥平面ABCD,又MO 平面TMO,∴平面TMO⊥平面ABCD,∴圆台母线所在直线与平面ABCD所成角的最大值为∠MTO=-=,B正确.对于C,由∠TBO=,OB=6,得TO=6,BT=12,∴TC=12-8=4,当两条母线所在直线的夹角为时,截面面积最大,截面面积的最大值为×122×sin-×42×sin=64,C错误.对于D,如图②,连接CE并延长,交BA的延长线于点F,连接MF交底面圆周于点N,则MN为截面与底面圆的交线.由==2,得AF=2,∴OF=8,∴tan∠OMF===,可得cos∠OMF=,取MN的中点G,连接OG,则OG⊥MN,MN=2MG,∴MN=2×6×cos∠OMF=,D正确.故选ABD.
12.8　[解析] 展开式的通项为Tk+1=(x2)n-k=x2n-3k,根据题意有=,由组合数的性质得n=8.
13.　[解析] 设f(x)的最小正周期为T,∵f(1)+f(5)=0,且f(x)在[1,5]上有且只有一个极值点,∴=4,∴T=8=,解得ω=.
14.　[解析] 由消去y整理得x2-x+4=0,则Δ=(-1)2-16<0,所以直线l与抛物线C无交点.过点P作PN∥x轴,交l于点N,过点Q作QE⊥PN,交PN于点E,则d(P,Q)=|PE|+|EQ|≥|PE|+|EN|=|PN|(当且仅当Q,N重合时取等号).设P(n,2n2),N(n2+4,2n2),则|PN|=n2-n+4=+≥,当且仅当n=时取等号,所以d(P,Q)的最小值为.

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