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小题10　“8+3+3”73分练
(时间:40分钟　分值:73分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合A={x|(x-3)(x-20)<0},B={x|x为质数},则A∩B中元素的个数为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.4 B.5
C.6 D.7
2.[2025·怀化二模] 已知复数z满足(1+2i)z=i2025(i为虚数单位),则的虚部为 (　 )
A. B.-
C.i D.-i
3.[2025·辽阳一模] 已知向量=(5,1),=(m,9),=(8,5).若A,C,D三点共线,则m= (　 )
A. B.-11 C.11 D.-
4.[2025·黄山二模] 已知各项均为整数的数列{an}中,a6=-2,a9=1,前10项依次成等差数列,从第9项起依次成等比数列,则a2025= (　 )
A.22015 B.22016
C.22017 D.22018
5.[2025·萍乡二模] 已知点P(-4,0)及抛物线C:y2=4x上一点Q,若线段PQ的垂直平分线经过C的焦点,则Q的横坐标为 (　 )
A.3 B.4 C.5 D.6
6.[2025·福州模拟] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AB的中点,l为平面A1MC1与平面ABCD的交线,则 (　 )
A.l∥AC1 B.l⊥AC1
C.l∥BD1 D.l⊥BD1
7.根据变量Y1和x的成对样本数据,得到模型①,对应的残差如图(1)所示.根据变量Y2和x的成对样本数据,得到模型②,对应的残差如图(2)所示,则 (　 )
A.模型①的残差满足一元线性回归模型的E(e1)=0的假设,不满足D(e1)=的假设
B.模型①的残差不满足一元线性回归模型的E(e1)=0的假设,满足D(e1)=的假设
C.模型②的残差满足一元线性回归模型的E(e2)=0的假设,不满足D(e2)=的假设
D.模型②的残差不满足一元线性回归模型的E(e2)=0的假设,满足D(e2)=的假设
8.[2025·巴中一诊] 已知函数f(x)=则方程f[f(x)-2]=2的实数解的个数为 (　 )
A.6 B.7
C.10 D.11
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2025·重庆一中模拟] 若(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则下列结论中正确的是 (　 )
A.a1+a2+a3+a4+a5+a6=1
B.a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=12
C.当x=-4时,(1-2x)6除以8的余数是1
D.展开式中二项式系数最大的项为第3项
10.已知函数f(x)=asin ωx+bcos ωx(ω>0)的最小正周期为π,且f(x)≤f=2恒成立,则下列说法正确的是 (　 )
A.a=
B.b=1
C.f(x)的图象关于点对称
D.若11.[2025·江西六校二模] 如图,有一组圆Ck(k∈N+)都内切于点P(-2,0),圆C1:(x+3)2+(y-1)2=2,设直线x+y+2=0与圆Ck在第二象限的交点为Ak,若|AkAk+1|=,则下列结论正确的是 (　 )
A.圆Ck的圆心都在直线x+y+2=0上
B.圆C9的方程为(x+7)2+(y-5)2=50
C.若k≥9,则圆Ck与y轴有交点
D.设直线x=-2与圆Ck在第二象限的交点为Bk,则|BkBk+1|=2
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2025·抚顺模拟] 已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线C上的一点,且|PF2|=4,则|PF1|=　　　　.
13.将1,2,3,4,5,6随机排成一行,前3个数字构成三位数a,后三个数字构成三位数b.记m=|a-b|,则m<100的概率为　　　　.
14.[2025·鹰潭一模] 若正实数a,b满足条件ea+b=e(a+b)(e是自然对数的底数),则ab的最大值是　　　　.
小题10　“8+3+3”73分练
1.C　[解析] 由题意可得A={x|32.B　[解析] 因为复数z满足(1+2i)z=i2025=i,所以z===,可得z=+i,所以=-i,故的虚部为-.故选B.
3.C　[解析] 因为向量=(5,1),=(m,9),=(8,5),所以=+=(m+5,10),因为A,C,D三点共线,所以∥,所以5(m+5)=8×10,解得m=11.故选C.
4.B　[解析] 由题可设数列{an}的前10项的公差为d,则a9-a6=3d=3,解得d=1,所以a10=a9+d=1+1=2.设从第9项起依次成的等比数列的公比为q,则a10=a9·q,即q=2,所以a2025=a10·q2015=2×22015=22016.故选B.
5.B　[解析] 抛物线C的焦点坐标为(1,0),设Q,则线段PQ的中点坐标为,由线段PQ的垂直平分线经过C的焦点,可得·=-1,可得m2=16,所以点Q的横坐标为4.故选B.
6.D　[解析] 设N为BC的中点,连接MN,NC1,AC,BD,B1D1,∵M为AB的中点,N为BC的中点,∴MN∥AC,又∵A1C1∥AC,∴A1C1∥MN,∴A1,M,N,C1四点共面,∴平面A1MC1与平面ABCD的交线为MN,则l即为MN所在直线.∵MN与AC1是异面直线,∴l与AC1是异面直线,故A错误;在直角三角形ACC1中,∠ACC1=90°,∴AC1与AC不垂直,∵MN∥AC,∴MN与AC1不垂直,即l与AC1不垂直,故B错误;∵BB1⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,∴BB1⊥AC,又AC⊥BD,BD∩BB1=B,BD,BB1 平面BDD1B1,∴AC⊥平面BDD1B1,又MN∥AC,∴MN⊥平面BDD1B1,即l⊥平面BDD1B1,∵BD1 平面BDD1B1,∴l⊥BD1,故C错误,D正确,故选D.
7.A　[解析] 对于残差图(1)对应的散点,残差满足E(e1)=0的假设,但是残差的方差随着x的变化而变化,不满足D(e1)=的假设;残差图(2)中的散点均匀地分布在水平带状区域内,残差满足E(e2)=0的假设,残差的方差不随x的变化而变化,满足D(e2)=的假设.故选A.
8.D　[解析] 作出函数f(x)的图象,如图所示,令f(x)-2=t,则有f(t)=2,由图可知f(t)=2有4个解,由t2+2t+2=2,解得t=-2或t=0,由|ln t|=2,解得t=e-2或t=e2.结合图象可得当t=-2,即f(x)=0时,方程f(x)-2=-2有1个解;当t=0,即f(x)=2时,方程f(x)-2=0有4个解;当t=e-2,即f(x)=2+e-2时,方程f(x)-2=e-2有3个解;当t=e2,即f(x)=2+e2时,方程f(x)-2=e2有3个解.所以原方程共有1+4+3+3=11(个)实数解.故选D.
9.BC　[解析] 对于A,令x=0,可得a0=1,令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=1,所以a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,故A错误;对于B,(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,两边求导,可得-12(1-2x)5=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+6a6x5,令x=1,可得a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=12,故B正确;对于C,当x=-4时,(1+8)6=1+8+82+…+86,所以(1-2x)6除以8的余数是1,故C正确;对于D,展开式共有7项,所以展开式中二项式系数最大的项为第4项,故D错误.故选BC.
10.ABD　[解析] 显然a≠0,f(x)=asin ωx+bcos ωx=sin(ωx+φ),tan φ=,由f(x)的最小正周期为π,得ω==2,因为f(x)≤f=asin+bcos=2,所以解得故A,B均正确.f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin,当x=-时,2x+=-,故C错误.当x∈时,2x+∈,因为f(x1)=f(x2),所以=,即x1+x2=,故D正确.故选ABD.
11.ABC　[解析] 圆C1的圆心为C1(-3,1),直线PC1的方程为y=×(x+2),即x+y+2=0,由两圆内切,得连心线必过切点,则圆Ck的圆心都在直线PC1上,即圆Ck的圆心都在直线x+y+2=0上,故A正确.显然|PAk|=(k+1),设点Ak(xk,yk),则又xk<-2,所以xk=-k-3,yk=k+1,因此圆Ck的圆心为Ck,半径为=(k+1),圆Ck的方程为+=,则圆C9的方程为(x+7)2+(y-5)2=50,故B正确.圆Ck的圆心为Ck,半径rk=,圆心到y轴的距离为=,由≤两边平方得≤,即k2-6k-23=(k-3)2-32≥0,可得k≥3+4,又k∈N+,所以当k≥9时,圆Ck与y轴有交点,故C正确.在+=中,令x=-2,得点Bk的纵坐标为k+1,因此|BkBk+1|=1,故D错误.故选ABC.
12.8　[解析] 由题可知,a=2,b=,c=3,若点P在双曲线C的左支上,则|PF2|≥a+c=5>4,与|PF2|=4矛盾,则点P在双曲线C的右支上.由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=4,则|PF1|=8.
13.　[解析] 不妨令a>b,设a的三个数位上的数字从左向右依次为a1,a2,a3,b的三个数位上的数字从左向右依次为b1,b2,b3,要使m<100,则需满足a1-b1=1,a2b,则共有=360(个)样本点,所以m<100的概率为=.
14.　[解析] 构造函数f(x)=ex-ex,则f'(x)=ex-e,当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故f(x)min=f(1)=0,又ea+b=e(a+b),所以a+b=1,由a+b=1≥2,可得ab≤,当且仅当a=b=时取等号,所以ab的最大值是.

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