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小题11　“8+3+3”73分练
(时间:40分钟　分值:73分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2025·广东汕尾模拟] 已知集合A=,B={x∈Z||x-1|≤1},则A∩B= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.{-2,-1,0,1} B.{-1,0,1}
C.{0,1} D.{0,1,2}
2.若复数z满足2z+=,则z= (　 )
A.-1+i B.-i
C.1-i D.-+i
3.[2025·哈尔滨模拟] 已知点P是角α终边上的一点,则sin α+2cos α= (　 )
A.-1 B.1
C.- D.
4.[2025·辽宁七校协作体联考] 若直线l1:x+2y-3=0与直线l2:kx-2y+1=0(k∈R)平行,则这两条直线间的距离为 (　 )
A. B.
C. D.
5.[2025·山东菏泽一模] 已知数列{an}是无穷数列,则“ m,n∈N*,am+n=am+an”是“数列{an}为等差数列”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.设事件A,B为两个随机事件,P(A)≠0,P(B)≠0,且P(|B)=P(B|A),则 (　 )
A.P(B|)=P(|A) B.P(|A)=P(A|B)
C.P(B|)=P(A|B) D.P(|B)=P(|)
7.[2025·安徽六校联盟模拟] 已知一件艺术品的外层是一个大正四面体,该正四面体的棱长为2,在该大正四面体内放置一个棱长为a的小正方体,并且小正方体在大正四面体内可以任意转动,则a的最大值为 (　 )
A. B.
C. D.
8.[2025·大连模拟] 已知函数f(x)=若对任意的x1A. B.
C. D.(1,2]
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2025·重庆沙坪坝区模拟] 已知a>b,则下列结论正确的是 (　 )
A.a5>b5 B.>
C.a2+b2≥2|ab| D.|3a+b|≥|3a-b|
10.[2025·漳州一模] 在△ABC中,AC=2,tan A=2,向量在向量上的投影向量为,则 (　 )
A.边BC上的高为3 B.sin C=
C.·=-8 D.边AB上的中线为
11.已知曲线C:-x|x|=1,F1(0,-),F2(0,),P为曲线C上的动点,则 (　 )
A.若P在第一象限,则∈(1,9+3)
B.若P在第二象限,则在y轴上存在两点M,N,使|PM|+|PN|为定值
C.若P在第三象限,过点P向直线y=±2x作垂线,垂足分别为A,B,则|PA|·|PB|=
D.直线2x-y+2=0是曲线C的一条切线
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知正实数a满足aa=(9a)8a,则loga(3a)=　　　　.
13.[2025·江西南昌模拟] 已知斜率大于零的直线l交椭圆Γ:+y2=1于A,B两点,分别交x,y轴于C,D两点,且C,D是线段AB的三等分点,则直线l的斜率为　　　.
14.[2025·河南郑州模拟] 已知正四棱锥M-P1P2P3P4的底面边长与高均为2,设F是正方形P1P2P3P4及其内部的点构成的集合,点P0是正方形P1P2P3P4的中心,若集合S={P|P∈F,PP0≤PPi,i=1,2,3,4},则直线MP与平面P1P2P3P4所成角的正切值的最小值为　　　　.
小题11　“8+3+3”73分练
1.D　[解析] A=={x∈Z|-22.B　[解析] 设z=a+bi(a,b∈R),则2z+=3a+bi===1-i,所以a=,b=-1,故z=-i,故选B.
3.D　[解析] 由题意可得sin α==-,cos α==,则sin α+2cos α=-+2×=.故选D.
4.B　[解析] 因为直线l1:x+2y-3=0与直线l2:kx-2y+1=0(k∈R)平行,所以=≠,所以k=-1,所以直线l2的方程为-x-2y+1=0,即x+2y-1=0,所以这两条直线间的距离d==.故选B.
5.A　[解析] 充分性:若 m,n∈N*,am+n=am+an,则令m=1,得an+1=a1+an,即an+1-an=a1,因为a1为常数,所以数列{an}为等差数列,充分性成立;必要性:等差数列不一定满足 m,n∈N*,am+n=am+an,例如当等差数列{an}的通项公式为an=n+1时,am+n=m+n+1,am+an=m+n+2,此时am+n≠am+an,必要性不成立.所以“ m,n∈N*,am+n=am+an”是“数列{an}为等差数列”的充分不必要条件.故选A.
6.B　[解析] 由P(|B)=P(B|A)可得=,又P(B)+P(AB)=P(B),所以P(B)=P(B)-P(AB),所以=,所以1-=,所以1-=,即=,即=,故P(|A)=P(A|B).故选B.
7.C　[解析] 如图,正四面体ABCD的底面BCD的中心记为点E,连接AE,DE.由正四面体的性质可得AE⊥平面BCD.因为正四面体ABCD的棱长为2,所以△BCD的底边BC上的高为2sin=,则DE=×=,所以正四面体ABCD的底面BCD上的高AE==.设正四面体ABCD内切球的半径为R,球心为O,由等体积法可得V正四面体ABCD=4V正三棱锥O-BCD,即×S△BCD×AE=4××S△BCD×R,解得R=AE=,所以正四面体的内切球的半径R=.因为正方体的棱长为a,所以正方体的外接球的半径r=a,因为小正方体在大正四面体内可以任意转动,所以r≤R,即a≤,可得a≤,所以amax=.故选C.
8.D　[解析] 由f(x1)-f(x2)<2x1-2x2,可得f(x1)-2x10,解得a>1,所以a>1.当2a-3<0,即10,即a>时,由对勾函数的性质得,y=x+在[,+∞)上单调递增,要使y=x+在[1,+∞)上单调递增,则≤1,解得a≤2,所以9.AC　[解析] 对于选项A,函数y=x5在R上单调递增,又a>b,所以a5>b5,故A正确;对于选项B,函数y=在R上单调递减,又a>b,所以<,故B错误;对于选项C,a2+b2=|a|2+|b|2≥2|a||b|=2|ab|,当且仅当|a|=|b|且a>b时等号成立,故C正确;对于选项D,当a=1,b=-2时,满足a>b,但|3a+b|<|3a-b|,故D错误.故选AC.
10.ABD　[解析] 如图,过点C作CD⊥AB于点D,则向量在向量上的投影向量为,由=,得AD=AB,设AD=x,则BD=2x,又tan A=2,所以CD=2x,所以B=45°,在Rt△ACD中,AC=x,又AC=2,所以x=2,所以AD=2,BD=4,CD=4,所以AB=6,所以边BC上的高为AB·sin B=3,故选项A正确;在Rt△BCD中,易得BC==4,在△ABC中,由余弦定理得cos∠ACB==,又因为∠ACB∈(0,π),所以sin∠ACB==,故选项B正确;·=||·||cos∠ACB=2×4×=8,故选项C错误;设AB的中点为M,连接CM,则=(+),所以=(++2·)=×(20+32+2×8)=17,则||=,故选项D正确.故选ABD.
11.BCD　[解析] 对于A,由P在第一象限可设点P(x0,y0),其中x0>0,y0>2,由P在曲线C上可得-=1,|PF1|===y0+2,同理可得|PF2|=y0-2,则===1+,因为y0>2,所以y0-4>2-4,所以∈(1,9+4),故A错误;对于B,当P在第二象限时,点P的轨迹方程为+x2=1(x<0,y>0),所以点P的轨迹是椭圆+x2=1在第二象限内的部分,椭圆+x2=1的焦点为(0,-),(0,),长轴长为4,不妨令M(0,-),N(0,),由椭圆的定义得|PM|+|PN|=4,故B正确;对于C,由P在第三象限可设P(x1,y1),其中x1<-1,y1<0,由P在曲线C上可得-=1,则|PA|·|PB|=·==,故C正确;对于D,考虑曲线C在第二象限内的部分,由消去y得2x2+2x+1=0,可得Δ=(2)2-4×2×1=0,方程组的解为所以直线2x-y+2=0与椭圆+x2=1相切于点,即直线2x-y+2=0是曲线C的一条切线,故D正确.故选BCD.
12.　[解析] 由题易知a>0且a≠1,因为aa=(9a)8a,所以logaaa=loga(9a)8a,所以a=8a×(2loga3+1),即loga3=-,故loga(3a)=1+loga3=.
13.　[解析] 设直线AB的方程为y=kx+b,k>0,若b=0,则C,D均与原点重合,|CD|=0,但|AB|≠0,故不合要求,所以b≠0.将y=kx+b与+y2=1联立并消去y得(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0,由Δ=64k2b2-4(1+4k2)(4b2-4)>0,解得4k2-b2+1>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,故=-.在y=kx+b中,令x=0得y=b,故D(0,b),令y=0得x=-,故C,所以线段CD的中点坐标为.因为C,D是线段AB的三等分点,所以线段CD的中点即为线段AB的中点,故-=-,解得k=(负值舍去).
14.2　[解析] 如图①,在正方形P1P2P3P4内,DA,AB,BC,CD分别是P0P1,P0P2,P0P3,P0P4的中垂线在正方形P1P2P3P4内(包括边界)的部分,由P0P≤PP1,得点P在五边形DAP2P3P4及其内部,由P0P≤PP2,得点P在五边形ABP3P4P1及其内部,由P0P≤PP3,得点P在五边形BCP4P1P2及其内部,由P0P≤PP4,得点P在五边形CDP1P2P3及其内部,综上,点P在正方形ABCD及其内部.如图②,设MP与平面P1P2P3P4所成的角为α,由图可得tan α=tan∠MPP0=,因为MP0=2,所以要使tan α最小,只需PP0最大,则当点P为正方形ABCD的顶点时,PP0取得最大值1,此时tan α取得最小值2.

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