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小题12　“8+3+3”73分练
(时间:40分钟　分值:73分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2025·苏州模拟] 已知M,N为全集U的两个不相等的非空子集,若 UM UN,则 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. x∈M,x∈N B. x∈N,x M
C. x M,x∈N D. x∈N,x UM
2.[2025·新乡模拟] 复数z满足2z+3=5-2i,则的虚部为 (　 )
A.-2 B.2
C.2i D.-2i
3.已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(1,),若a与b的夹角为,则|a-b|= (　 )
A.2 B.
C. D.1
4.[2025·重庆模拟] 已知正三棱锥的体积为,其底面三角形用斜二测画法得到的直观图的面积为,则该三棱锥的高为 (　 )
A.2 B.
C.1 D.
5.[2025·山东日照模拟] 定义在R上的函数y=f(x)满足以下条件:①f(-x)-f(x)=0;②对任意x1,x2∈[0,+∞),当x1≠x2时,都有>0.则f(-),f(π),f(-3)的大小关系是 (　 )
A.f(π)>f(-3)>f(-)
B.f(π)>f(-)>f(-3)
C.f(π)D.f(π)6.[2025·湖北十一校联考] 已知等差数列{an}的公差d=1,且a3,a5+1,2a6成等比数列,则数列{(-1)n+1an}的前2025项和为 (　 )
A.-1013 B.-505
C.505 D.1013
7.[2025·广东湛江模拟] 若函数f(x)=3sin x+2cos x在[0,α]上单调递增,则当α取得最大值时,cos α= (　 )
A.- B.- C. D.
8.[2025·山西太原模拟] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦距为4,左、右焦点分别为F1,F2,过点F1作斜率不为0的直线l与双曲线C的左、右支分别交于A,B两点.若△ABF2的内切圆与直线l相切于点H,且|AH|=8,则双曲线C的渐近线方程为 (　 )
A.x±4y=0 B.4x±y=0
C.2x±y=0 D.x±2y=0
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.某校高三年级共有1000名学生,为了解学生的身体发育情况,随机抽取了100名学生的体重数据,将数据整理得到如图所示的频率分布直方图,则 (　 )
A.a=0.04
B.估计样本的众数为55
C.估计样本的第75百分位数为61.25
D.估计该校高三年级学生中体重高于65千克的学生有200人
10.[2025·重庆沙坪坝区模拟] 如图,P为椭圆C:+=1(a>b>0)上异于顶点的一点,F(-c,0),A(a,0)分别是椭圆C的左焦点、右顶点.过点P分别向x轴和直线l:x=-作垂线,垂足分别为M,N.记直线l与x轴的交点为H,O为坐标原点,则下列比值与相等的是 (　 )
A. B.
C. D.
11.[2025·烟台一模] 如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是边长为2的正三角形,∠CAA1=∠BAA1=60°,则下列说法正确的有 (　 )
A.若AC1⊥A1B,则AA1=
B.直线AA1与平面ABC所成角的正弦值为
C.若点A1在平面ABC内的射影为△ABC的中心,则AA1=2
D.若三棱锥A1-ABC1的体积为2,则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为6
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2025·长郡中学模拟] 已知|lg x|=|lg y-2|,其中x∈(5,20),y∈(0,30),则x+y的最小值为　　　　.
13.[2025·浙江宁波模拟] 已知点F为抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点,过F的直线l(倾斜角为锐角)与Γ交于A,B两点(点A在第一象限),过点A作抛物线准线的垂线,垂足为D,若=4,则tan∠AFD=　　　　.
14.[2025·江西六校联考] 设m,n∈N*,m≤9,n≤9,函数f(x)=emx-nx(e是自然对数的底数,e≈2.718).从有序实数对(m,n)中随机抽取一对,使得f(x)恰有两个零点的概率为　　　　.
小题12　“8+3+3”73分练
1.D　[解析] 由 UM UN,可得N M,所以A,B,C均错误.对于D, x∈N,x∈M,即x UM,故D正确.故选D.
2.A　[解析] 设z=x+yi(x,y∈R),则=x-yi,所以2z+3=2(x+yi)+3(x-yi)=5x-yi=5-2i,所以解得故=1-2i,即复数的虚部为-2.故选A.
3.D　[解析] 由题意可知|a|=1,|b|=,a·b=|a||b|cos=,则|a-b|====1.故选D.
4.A　[解析] 设正三棱锥的底面三角形的面积为S,该三棱锥的高为h,由直观图的性质得=,解得S=4.因为正三棱锥的体积为,所以×4×h=,解得h=2.故选A.
5.A　[解析] 因为定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(-x)-f(x)=0,所以函数f(x)是偶函数,对任意x1,x2∈[0,+∞),当x1≠x2时,都有>0,所以不妨设x1>x2,则有f(x1)-f(x2)>0,可得f(x1)>f(x2),故函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.因为函数f(x)是偶函数,所以f(-)=f(),f(-3)=f(3),因为函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(π)>f(3)>f(),即f(π)>f(-3)>f(-),故选A.
6.D　[解析] 因为a3,a5+1,2a6成等比数列,所以(a5+1)2=a3×2a6,则(a1+5)2=(a1+2)×2(a1+5),解得a1=1或a1=-5.当a1=-5时,a6=0,此时与a3,a5+1,2a6成等比数列矛盾,故舍去.当a1=1时,an=1+n-1=n,令bn=(-1)n+1an=(-1)n+1n,则其前2025项和为1-2+3-4+…+2023-2024+2025=(1-2)+(3-4)+…+(2023-2024)+2025=1012×(-1)+2025=1013.故选D.
7.D　[解析] f(x)=3sin x+2cos x=sin(x+φ),其中sin φ=>0,cos φ=>0,且φ为锐角.因为f(x)在[0,α]上单调递增,且当x∈[0,α]时,φ+x∈[φ,α+φ],所以[φ,φ+α] ,则α的最大值为-φ,此时cos α=cos=sin φ=.故选D.
8.D　[解析] 设△ABF2的内切圆分别切AF2,BF2于点M,N,则|AH|=|AM|=8,|BH|=|BN|,|MF2|=|NF2|,因为|BF1|-|BF2|=2a,所以(|HF1|+|BH|)-(|NF2|+|BN|)=2a,得|HF1|-|NF2|=2a,所以(|AH|+|AF1|)-|MF2|=2a,即8+|AF1|-|MF2|=2a①.因为|AF2|-|AF1|=2a,所以(|AM|+|MF2|)-|AF1|=2a,即8+|MF2|-|AF1|=2a②.由①+②,得16=4a,得a=4.因为2c=4,所以c=2,所以b===2,所以双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x=±x,即x±2y=0.故选D.
9.AC　[解析] 对于A,由题意知0.01×5+0.07×5+0.06×5+5a+0.02×5=1,解得a=0.04,故A正确;对于B,由题图可知体重在[50,55)内的最多,则估计样本的众数为52.5,故B错误;对于C,0.01×5+0.07×5+0.06×5+0.04×5=0.9>0.75,0.01×5+0.07×5+0.06×5=0.7<0.75,设第75百分位数为x,则0.01×5+0.07×5+0.06×5+0.04×(x-60)=0.75,解得x=61.25,故C正确;对于D,由题图可得样本中学生体重高于65千克的频率为0.02×5=0.1,则估计该校高三年级学生中体重高于65千克的学生有1000×0.1=100(人),故D错误.故选AC.
10.ABD　[解析] 由题可知,|OF|=c,|OA|=a,所以=.对于选项A,|OA|=a,|OH|=,所以===,故A正确;对于选项B,|AF|=a+c,|AH|=a+,====,故B正确;对于选项C,设P(x0,y0),则=不是定值,故C错误;对于选项D,===,故D正确.故选ABD.
11.ACD　[解析] 设=a,=b,=c,由题意可得|b|=|c|=2,b·c=|b||c|cos 60°=2,a·b=a·c=|a|·2·cos 60°=|a|.对于A,由图可得=+=c+a,=-=b-a,由AC1⊥A1B,得·=0,即(c+a)·(b-a)=c·b-a·c+a·b-|a|2=0,化简可得2-|a|2=0,解得|a|=,即AA1=,故A正确.对于B,取BC的中点D,连接AD,过A1作A1O⊥平面ABC,垂足为O,连接A1C,OB,OC,如图①,由题意可知AA1=AA1,AB=AC,∠BAA1=∠CAA1,则△BAA1≌△CAA1,所以A1B=A1C,因为A1O⊥平面ABC,OB,OC 平面ABC,所以A1O⊥OB,A1O⊥OC,因为A1B=A1C,A1O=A1O,所以Rt△A1OB≌Rt△A1OC,则OB=OC,可得O∈AD,所以∠A1AD为直线AA1与平面ABC所成的角.易知=(+)=(b+c),在等边三角形ABC中,易知||=||sin 60°=,则cos∠A1AD=====,可得sin∠A1AD=,所以直线AA1与平面ABC所成角的正弦值为,故B错误;对于C,取BC的中点D,连接AD,过A1作A1O⊥平面ABC,垂足为O,如图②,易知点A1在平面ABC内的射影为点O,即点O为等边三角形ABC的中心,易知AO=××2=,因为A1O⊥平面ABC,AD 平面ABC,所以A1O⊥AD,由B可知cos∠A1AD=,在Rt△A1OA中,AA1==2,故C正确;对于D,设点C1到平面ABB1A1的距离为h,则三棱锥A1-ABC1的体积V1=h=2,在平行四边形ABB1A1中,易知=,则三棱锥C1-A1BB1的体积V2=h=V1=2,由图可知三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=3V2=6,故D正确.故选ACD.
12.20　[解析] 由x∈(5,20)知lg x>0,由y∈(0,30)知lg y<2,故lg x=2-lg y,可得lg(xy)=2,所以xy=100,所以x+y≥2=20,当且仅当x=y=10时取等号,故x+y的最小值为20.
13.2　[解析] 设直线AB的方程为y=k(k>0),由
得k2x2-(k2p+2p)x+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),准线交x轴于点M,则x1x2=,∵=4,∴x1-=4,即x1=-4x2+,由解得x2=(舍去)或x2=,则x1=2p,y1=2p,即A(2p,2p).设FA的倾斜角为θ,则kFA===tan θ,由D,F,得tan∠DFM==2,可得tan∠AFD=-tan(∠DFM+θ)=-=2.
14.　[解析] 由题意,m,n∈N*,m≤9,n≤9,则有序实数对(m,n)有81个.由f(x)=emx-nx,得f'(x)=memx-n,令f'(x)=0,可得x=ln,所以当x∈时,f'(x)<0,当x∈时,f'(x)>0,故函数f(x)在上单调递减,在上单调递增,且当x→-∞时,f(x)→+∞,当x→+∞时,f(x)→+∞,所以f(x)min=f=-n·ln=-ln =,要使f(x)有两个零点,则f=<0,即1-ln<0,得n>em,即n≥3m.当m=1时,n可以取3,4,5,6,7,8,9,共可得7个满足题意的有序实数对;当m=2时,n可以取6,7,8,9,共可得4个满足题意的有序实数对;当m=3时,n可以取9,共可得1个满足题意的有序实数对.所以所求概率为==.

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