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2025-2026学年重庆一中九年级（上）消化作业数学试卷（十）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列式子是分式的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.反比例函数的图象经过（　　）
A. 第一、三象限 B. 第一、二象限 C. 第二、四象限 D. 第二、三象限
4.如图，直线a∥b,等腰直角三角形ABC的直角顶点A在直线b上，点B在直线a上，∠1=15°，则∠2的度数为（　　）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinB的值为（　　）
A. B. C. D.
6.关于x的二次函数y=x2-mx+3，当x≤1时，y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是（　　）
A. m≥2 B. m＞2 C. m≤2 D. m＜2
7.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，过点C作⊙O的切线与AB的延长线交于点P．若∠BCD=32°，则∠CPD的度数是（　　）
A. 64°
B. 62°
C. 58°
D. 52°
8.我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池.丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池而至周有数，每边三步无疑.内方圆径若能知，堪作算中第一.“大意为：一块正方形水池，测量出除水池外图内可耕地的面积恰好是72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远.如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么计算水平就是第一了.如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　）
A. B.
C. π（x+3）2-x2=72 D. （x+6）2-x2=72
9.在正方形ABCD中，点E为AB中点，点F在对角线BD上，且BD=6BF，连接EF，过点F作EF⊥FM交CD于M，则的值为（　　）
A.
B.
C. 2
D.
10.已知整式M：，其中n,a0，a1，…an-1，an为正整数，且a0＜a1＜…＜an-1＜an，且a0 a1…an-1 an=A，下列说法正确的个数是（　　）
①若A=9，则多项式M可以为二次三项式；
②若A=12，满足条件的所有整式M的和为10x2+27x+8；
③若A=24，满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有4个.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=______．
12.如图，将三角形ABC沿平行于BC的直线折叠，折痕为DE，点A落在点F处，若∠FEC=40°，则∠C的度数为 .
13.如图，将二次函数y=x2-4位于x轴下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的实线）.观察图象若关于x的方程|x2-4|=a有且只有两个解，则a的取值范围为 .
14.有5张正面分别有数字-1，0，，1，3的卡片，它们除数字不同外全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中随机的抽取一张.记卡片上的数字为a,则使以x为自变量的正比例函数y=（3a-7）x经过第二、四象限，且关于x的一元二次方程ax2-2x+3=0有实数解的概率是 .
15.如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，连接BE并延长至C点，使得CE=BE，连接AC交⊙O于点D，过点B在BC下方作BF，使得∠CBF=∠BAC，BF交AC的延长线于点F.连接OD并延长交BC的延长线于点M，若CD=2且tan∠CBF=，则直径AB= ，OM= .
16.若一个四位自然数满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，M的千位数字比百位数字大2，个位数字比十位数字大3，则称M为“跳跃数”，最小的“跳跃数”为 ，将M的千位数字和十位数字交换，百位数字和个位数字交换后得到的新数记为M′，规定：，，若为整数，是整数，则满足条件的自然数M为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
先化简，再求值：，其中.
18.(本小题8分)
在学习菱形的过程中，小兰发现：在菱形ABCD中，E是CD边上的中点，BE与对角线AC相交于点F，如果BF=CF，则一定有BE⊥CD.为此小兰进行了证明探究，请你根据她的思路，完成以下作图和填空：
第一步：利用尺规作图，过点F作BC的垂线，垂足为G（不写作法，保留作图痕迹）；
第二步：利用三角形的全等证明她的猜想.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACB=∠ACD，①______，
∵BF=CF，FG⊥BC，
∴，∠FGC=②______，
∵E是CD中点，
∴，
∴③______，
在△CFE和△CFG中，
，
∴△CFE≌△CFG（SAS），
∴∠FGC=∠FEC=90°，
∴BE⊥CD.
19.(本小题10分)
重庆市文旅局邀请广大游客朋友对“新韵重庆”无人机灯光秀表演打分（分数为百分制且为整数），并从男、女游客中各随机抽取25名游客的分数，并将数据进行整理、描述和分析（分数均不低于60分，用x表示，共分4组：A.60≤x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100），下面给出部分信息：
25名男游客打分在C组的数据：
80，81，82，83，85，87，88；
25名女游客打分：
60，61，63，65，67，69，72，74，75，78，80，82，94，94，94，94，94，95，96，97，98，99，100，100，100；
抽取男、女游客的分数统计表
游客性别 男游客 女游客
平均数 83 83
中位数 a 94
众数 78 b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a=______，b=______，m=______；
（2）根据以上数据，你认为男、女游客谁更喜欢“新韵重庆”无人机灯光秀表演？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）此次打分的男游客有1075人，女游客750人，请估计男、女游客中打分不低于90分的游客人数一共是多少人？
20.(本小题10分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD为⊙O的直径，BC=CD，在AD的延长线上取一点E，连接CE，使CD=CE.
（1）求证：AB=AE；
（2）若AD=DE=2，求BD的长.
21.(本小题10分)
某商店销售A、B两种款式的水杯.已知每只A款水杯比每只B款水杯贵12元，今年九月份A款水杯的销售额为4800元，B款水杯的销售额为3600元，且B款水杯的销量是A款水杯的1.2倍.
（1）求A、B两款水杯的售价分别是多少元？
（2）十月份，该商店对A款水杯进行降价促销；已知每只A款水杯的进价是16元，每只B款水杯的进价比A款水杯低50%.若A款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；B款水杯售价和销量都和九月份相同.此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求A款水杯降低了多少元？
22.(本小题10分)
如图，点O为菱形ABCD对角线AC，BD的交点，AC=15，BD=20，点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿着线段BD运动，用x（单位：秒）表示点P的运动时间，其中0＜x＜4，过点P作PN垂直直线AB于N，作PM垂直直线AD于M.点P、O之间的距离为y1，PM+PN的和与x之比为y2.
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时，x的取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过0.2）.
23.(本小题10分)
为提升全民体重管理意识和技能，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》.甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼.如图，他们从点A出发，目的地在点A的东北方向1500m处点C，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东60°方向，点D在点A的东南方向，且在点C的南偏西15°方向.（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
（1）求AB的长度（结果保留根号）；
（2）甲乙两人同时从点A出发跑步前往点C，甲选择路线A-B-C，乙选择路线A-D-C，已知甲的速度为每分钟150m,乙的速度为每分钟200m,请通过计算说明甲和乙谁先到达点C.
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A，B（5，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=2.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过P作PQ⊥BC于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且DE=3，连接PD，AE.当线段PQ长度取得最大值时，求点P的坐标及PD+DE+EA的最小值；
（3）将抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）沿射线AC方向平移个单位长度得到新抛物线，点N为新抛物线上的一动点.若∠BCN=∠BCO-45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程（写出必要的求解过程）.
25.(本小题10分)
在△ABC中，AB=BC，点D是AC边上一点，E是直线BC上一点，连接AE.
（1）如图1，连接DE，线段BC上有一点F，使得BE=BF，连接AF交DE于点H，若∠ABC=90°，AE=DE，求∠AHD的度数；
（2）如图2，若此时点D恰为AC中点，连接BD，点K在CD上，连接BK交AE于点G，连接CG，过A作AH∥CG，交GD延长线于点H，若∠AKB=∠AEB=60°，求证：；
（3）如图3，若AB=4，∠ABC=90°，点D是线段AC上一动点，E是BC中点，将△CDE沿ED翻折得△C′DE，点H是C′E的中点，连接BH，AC′，BC′.当AC′+BH取得最小值时，求△ABC′的面积.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】9
12.【答案】110°
13.【答案】a＞4或a=0
14.【答案】
15.【答案】10


16.【答案】3125
5314

17.【答案】-a2+6，-19．
18.【答案】CB=CD 90° CE=CG
19.【答案】81，94，28；
女游客更喜欢“新韵重庆”无人机灯光秀表演，因为男、女游客的评分数据的平均数相同都是83，但女游客评分数据的中位数为94比男游客的中位数81高，所以女游客更喜欢“新韵重庆”无人机灯光秀表演（答案不唯一）；
691人
20.【答案】（1）证明：如图，连接AC．
∵BC=CD，
∴=，
∴∠BAC=∠EAC，
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠CDE=180°，
∴∠ABC=∠CDE，
∴∠ABC=∠E，
在△ABC与△AEC中，
，
∴△ABC≌△AEC（AAS），
∴AB=AE．
（2）解：∵AD=DE=2，
∴AE=AD+DE=2+2=4，
∴AB=AE=4，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
在Rt△ABD中利用勾股定理，得BD===2．
21.【答案】A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元；
A款水杯降低了6元
22.【答案】y1=；y2=（0＜x＜4）；

性质：当2＜x＜4时，y1随x的增大而增大；y2．随x的增大而减小；
0＜x＜2.8
23.【答案】AB的长度为（750-250）m；
由甲先到达点C
24.【答案】y=-+x+3；
P（，），PD+DE+EA的最小值是+3；
点N的坐标为（，-）或（，）
25.【答案】∠AHD=90°；
证明：∵AH∥CG，
∴∠DAH=∠DCG，
∵D是AC中点，
∴AD=DC，
在△ADH和△CDG中，
，
∴△ADH≌△CDG（ASA），
∴AH=CG，
∵∠AB=AC，D是AC中点，
∴AD⊥AC，即∠BDC=90°，
∵∠AKB=60°，
∴∠DBK=30°，
设∠EAC=α，则∠ABG=∠AGB=∠AKB+∠EAC=60°+α，
∵∠AGB=∠AEB+∠EBG=60°+∠EBG，
∴∠EBG=α=∠GAK，
∴∠BCK=60°-α=∠BAK，
∴∠ABC=60°+2α，
∴∠ABG=∠ABC-∠EBC=60°+α=∠AGB，
∴AB=AG，
∴AG=BC，
如图，延长GK到点N，使KN=KC，连接CN，
∵∠CKN=∠AKB=60°，
∴△KCN是等边三角形，
∴∠N=60°=∠AKB，CN=KN，
在△AGK和△BCN中，
，
∴△AGK≌△BCN（AAS），
∴GK=CN=KN=KC，AK=BN，
∴∠KGC=∠KCG=30°，
∴∠GCN=90°，
∴AH=CG=GN，
∵GN=BN-BG=AK-BG，
∴AH=（AK-BG），
即2AH=（AK-BG）；

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