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湖北省襄阳市樊城区南漳胡云镇一中协作体2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根
3.已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4.已知，则点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
5.下列事件是必然事件的是（）
A. 内错角相等 B. 成语“水中捞月”所描述的事件
C. 明天一定是晴天 D. 对顶角相等
6.如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ）
A. B. C. D.
7.如图，四边形内接于，是的直径，点在上．若，则的度数为（ ）．
A. B. C. D.
8.《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于寸，寸，求半径的长（ ）
A. 12寸 B. 15寸 C. 14寸 D. 13寸
9.某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
10.已知抛物线如图1所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，的取值范围是（ ）
A. 或 B. C. 0 D. 或
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.若关于x的一元二次方程（m-2）x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0，则m的值等于 .
12.如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为
13.如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ．
14.现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是 ．
15.如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F在边BC，CD上运动，且满足BE=CF，连接AE，BF交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
16.解方程：
(1) ．
(2) ．
四、解答题：本题共8小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
已知关于的一元二次方程有实数根．
(1) 求的取值范围；
(2) 若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
18.(本小题9分)
为了树立文明乡风，推进社会主义新农村建设，某村决定组建村民文体团队，现围绕“你最喜欢的文体活动项目（每人仅限一项）”，在全村范围内随机抽取部分村民进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：
(1) 这次参与调查的村民人数为 人；
(2) 请将条形统计图补充完整；
(3) 若在“广场舞、腰鼓、花鼓戏、划龙舟”这四个项目中任选两项组队参加端午节庆典活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的概率．
19.(本小题9分)
如图，在正方形中，为边上一点，交于点．
(1) 求证：；
(2) 若，求的长；
(3) 在（2）的条件下，延长交延长线于点，直接写出的长．
20.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，．
(1) 画出关于原点O对称的，写出点坐标：
(2) 将绕原点O顺时针旋转，得到，写出点坐标．
(3) 在轴上找一点，使的和最小，写出P点坐标．
21.(本小题6分)
如图，是的直径，点在的延长线上，弦，垂足为，连接，．
(1) 求证：是的切线；
(2) 若，，求图中阴影部分的面积．
22.(本小题9分)
惠来县公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
(1) 求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2) 若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
(3) 在（2）的条件下，当售价定为多少元时，该经销商能获得最大利润，最大利润为几元？
23.(本小题9分)
如图，在矩形中，，，点E是线段上一点，连接，过点E作，交于点F．
(1) 【一般化感知】
如图，求证：；
(2) 【特殊化探究】
如图，连接交于点G．若，求的长；
(3) 【拓展性延伸】
如图，连接，过点C作，交的延长线于点H．若点E是的中点，求的长．
24.(本小题9分)
如图，抛物线y=﹣ x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

(1) 求抛物线的表达式；
(2) 在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3) 点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】1
12.【答案】8米
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】2-2
16.【答案】【小题1】
解：
∴，，
∴，；
【小题2】
解：
∴，，
∴，．

17.【答案】【小题1】
由题意可得：
解得：
即实数m的取值范围是．
【小题2】
由可得：
∵；
∴
解得：或
∵
∴
即的值为-2．

18.【答案】【小题1】
120
【小题2】
喜欢广场舞的人数为：（人），
如图所示：
【小题3】
画树状图如下：
一共有12种可能，恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的有2种可能，
故恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的概率为：．

19.【答案】【小题1】
证明：四边形为正方形，
，
，
，
，
；
【小题2】
四边形为正方形，
，
∵，
，
，
∴，
∴，
∴；
【小题3】
解：四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
，
．

20.【答案】【小题1】
解：如图，即为所求，
和关于原点O对称，，
；
【小题2】
如图，即为所求，

绕原点O顺时针旋转，得到，，
【小题3】
如图，作点B关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点，即为所求点P，

此时的和最小，
，
，
设直线的函数为，
经过和，
，解得，
，
当时，，解得，
则．

21.【答案】【小题1】
证明：连接，
，
，
,
，即，
，
又是的半径，
是的切线；
【小题2】
解：由（1）可知，
在中，，，
，，
，是的直径，
，，
,
扇形的面积为，
在中，，
，，
，
的面积为，
根据图形可知，
，
则图中阴影部分的面积为．

22.【答案】【小题1】
解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
依题意，得，
解得，（不合题意，舍去），
答：设该品牌头盔销售量的月增长率为；
【小题2】
设该品牌头盔每个售价为元，
依题意，得，
整理，得，
解得，，
因要尽可能让顾客得到实惠，
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
【小题3】
设该品牌头盔每个售价为y元，月利润为w元，
则

，
∴当售价为60元时，最大利润为9000元．

23.【答案】【小题1】
证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
【小题2】
解：由（1）可得，
，
∴，
∴，
，
如图，过点作，
∵四边形是矩形，
∴，
，
∴，
，
，
，
．即，
；
【小题3】
解：如图，过点作，交的延长线于点．

，
，
∵，
，
，
∵，
，
，即，
，
设，则，
∴由勾股定理可得：，
点是的中点，
，
同理可证，
，即，
解得，
．

24.【答案】【小题1】
解：∵抛物线y=﹣ x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x+2；
【小题2】
∵y=﹣ x2+ x+2，
∴y=﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴是x=．
∴OD=．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=CP2=CP3=CD．
作CH⊥x轴于H，
∴HP1=HD=2，
∴DP1=4．
∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；
【小题3】
当y=0时，0=﹣ x2+ x+2，
∴x1=﹣1，x2=4，
∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，由图像，得
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣ x+2．
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣ a+2），F（a，﹣ a2+ a+2），
∴EF=﹣ a2+ a+2﹣（﹣ a+2）=﹣ a2+2a（0≤x≤4）．
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF= BD OC+ EF CM+ EF BN，
=××2+ a（﹣ a2+2a）+（4﹣a）（﹣ a2+2a），
=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．
=﹣（a﹣2）2+
∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，
∴E（2，1）．

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