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湖北省宜昌市当阳市当阳市实验初级中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在下列四款国产汽车的车标图案中,是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.已知点P（5，-3）与点Q关于原点对称，则点Q的坐标是（　　）
A. （0，0） B. （5，3） C. （-5，3） D. （-5，-3）
3.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）
A. 9 B. C. D.
4.一个不透明的口袋中装有14个白球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同.搅匀后从口袋中随机摸出一个，记下颜色后放回，重复上述过程，通过多次摸球试验后发现摸到蓝球的频率稳定在0.3，则估计口袋中蓝球的个数为（　　）
A. 18个 B. 16个 C. 6个 D. 4个
5.在《数学知识赛》上，小逸同学给竞争对手抛出了一道旋转题，作为观赛选手，请大家都来挑战一下：如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数是（　　）
A. B. C. D.
6.把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为（　　）
A. （-4，0） B. （0，0） C. （0，2） D. （4，2）
7.如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
8.今年的3月3日是第12个“世界野生动植物日”，今年我国的主题为“加大物种保护投入力度，共建地球生命共同体”.这些年对野生动物的关注和保护，使得云南某地的野生绿孔雀的数量增多，2023年年初统计该地野生绿孔雀大约有120只，2025年年初统计该地野生绿孔雀大约有180只，设这两年该地野生绿孔雀数量的年平均增长率大约为x,则可列方程（　　）
A. 120（1+2x）=180 B. 120（1+x2）=180
C. 120（1+x）2=180 D. 120（1+x）+120（1+x2）=180
9.如图，点A，B，C在上，，，则的半径是（ ）
A. B. 3 C. 4 D.
10.二次函数的图象如图所示，给出下列说法中：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.在直角坐标系中，点绕原点旋转后对应的点的坐标是 ．
12.一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角是 度．
13.若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ．
14.唐代李皋发明了“奖轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m,轮子的吃水深度CD为2m,则该桨轮船的轮子半径为 .
15.无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.解方程：．
四、解答题：本题共8小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点．
(1) 画出绕原点旋转后得到的．（画图时字母应标注清楚）
(2) 若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为 ．
(3) 求的面积．
18.(本小题5分)
如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径，若．
(1) 求的度数；
(2) 的长度为 ．
19.(本小题5分)
如图，D是等边三角形 内一点，将线段 绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，．
(1) 求证：；
(2) 连接，若，求的大小．
20.(本小题5分)
某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1) ①此次调查一共随机抽取了 名学生；
②扇形统计图中圆心角 度；
(2) 学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
21.(本小题5分)
如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交切线AC于点C，OC与半圆O交于点E，连接BE，DE．
(1) 求证：∠BED=∠C；
(2) 若OA=5，AD=8，求AC的长．
22.(本小题8分)
商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天的销售量就减少20千克．设售价为x元/千克(x≥24)，每天的销售量为y千克，每天的销售利润为W元．
(1) 分别求出y与x，W与x的函数解析式；
(2) 当商场这种水果每天的销售利润为1500元时，求这种水果的售价；
(3) 当这种水果的售价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
23.(本小题5分)
在中，．将绕点A顺时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P．
(1) 如图1，求证：；
(2) 当时，
①如图2，若，求线段的长；
②如图3，连接，延长交于点F，判断F是否为线段的中点，并说明理由．
24.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m．
(1) 直接写出b，c的值；
(2) 如图，直线l是抛物线的对称轴，当点P在直线l的右侧时，连接PA，过点P作，交直线l于点D．若，求m的值；
(3) 过点P作x轴的平行线与直线BC交于点Q，线段PQ的长记为d．
①求d关于m的函数解析式；
②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】150
13.【答案】且
14.【答案】5m
15.【答案】或
16.【答案】解： ，
，
或 ，
， .

17.【答案】【小题1】
解：如图，即为所求；
【小题2】
【小题3】
解：．

18.【答案】【小题1】
解：∵，
∴，
∵，
∴；
【小题2】


19.【答案】【小题1】
∵ D是等边三角形 内一点，线段 绕点A顺时针旋转，得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【小题2】
∵ D是等边三角形 内一点，线段 绕点A顺时针旋转，得到线段，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴．
∴．

20.【答案】【小题1】


【小题2】
解：由题意可画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两人同时参赛的有两种，
（恰好抽中甲、乙两人）．

21.【答案】【小题1】
证明：∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O直径，
∴AB⊥AC．
则∠1+∠2=90°，
又∵OC⊥AD，
∴∠1+∠C=90°，
∴∠C=∠2，
而∠BED=∠2，
∴∠BED=∠C；
【小题2】
解：连接BD，

∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD===6，
∴△OAC∽△BDA，
∴OA：BD=AC：DA，
即5：6=AC：8，
∴AC=．

22.【答案】【小题1】
解：由题意，得y＝320-20(x-24)＝800-20x， W＝(x-20)y＝(x-20)(800-20x)＝-20x2+1200x-16000，∴y与x的函数解析式是y＝800-20x，W与x的函数解析式W＝-20x2+1200x-16000；
【小题2】
∵每天销售利润为1500元，∴-20x2+1200x-16000＝1500， 解得x1＝25，x2＝35． 答：这种水果的售价为25元/千克或35元/千克；
【小题3】
∵W＝-20x2+1200x-16000＝-20(x-30)2+2000， -20＜0，∴当x＝30时，W取得最大值，此时W＝2000． 答：当售价定为30元/千克时，每天可获得最大利润，最大利润是2000元．

23.【答案】【小题1】
证明：连接，
由旋转的性质知，，，
∵，
∴，
∴；
【小题2】
解：①连接，
∵，，
∴，
由旋转的性质知，，，
由（1）知，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②F是线段的中点．理由如下，
连接，延长和交于点G，如图，
由（1）知，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，即F是线段的中点．

24.【答案】【小题1】
解：抛物线（b，c是常数）与x轴交于点，
抛物线的解析式为，
故；
【小题2】
解：过点作于点，过点作交的延长线于点，
，
，，
，
，
，
，
，
，点的横坐标为，
直线的解析式为，点在直线上，
，且点P在直线l的右侧时，即，
；
【小题3】
解：①抛物线解析式为，
时，，即，，
设直线的解析式为，
，
解得：，
故直线的解析式为，
时，，即，
当时，点在点的左侧，，
当时，点在点的右侧，，
故；
②绘制的函数图象如图所示：
点，，
故当时，的值只有1个，故点只有1个；
当时，的值只有2个，故点只有2个；
当时，的值只有3个，故点只有3个．

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