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参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. A 2. B 3. B. 4. D 5. B 6. D 7. C. 8. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. BCD 10. ABC 11. ABC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. ,0 0,1
4π
13. .
3
14. ,0 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1 1
15. （1）因为 x ， y 均为正数， 6，
x y
6 1 1 x y
2 xy 2
所以 即 xy 1 1 ，当且仅当 x y 时等号成立，
x y xy xy xy 3 3
xy 1 xy 1所以 ，即 的最小值为 ；
9 9
1
（2）由题可得 x y x y 1 1 1 2 y x 1 y x 2 2
y·x 2 ，当且仅当 即
6 x y 6

x y
6 x y

3 x y
x y 1 时等号成立，
3
所以 x y 2的最小值为 ；
3
2 2 1 2 1
（3）由（1）可得 x y 2xy 2 ，当且仅当 x y 时等号成立，
9 9 3
2
所以 x2 y2 的最小值 .
9
16. 1 tan π tan 1 2 1（ ）① 4
3 2 2 .
1 tan 1 2
1 sin2 cos2 tan2 1 3 2
②
sin cos sin cos tan 2
（2）
sin10 sin10 sin10 cos10

1 3 tan10 1 3 sin10 cos10 3 sin10
cos10
1 sin 20 1 sin 20
2 2 1
1 3 2sin 30 10 42 cos10 sin10 2 2
17. （1）由题可得 f 0 b 0，
1
所以b 0 .
（2）因为 f (x)有且仅有 1个零点，所以 a 0，且函数 f x 在 1, 上无零点，在 ,1 上有且仅有
1个零点，
所以函数 y x2 4x b x 2 2 b 4在 ,1 上有且仅有 1个零点，
又函数 y x2 4x b x 2 2 b 4在 ,1 上单调递减，
所以 1 2 2 b 4 0即b 3，
所以满足题意的b 的取值范围为 ,3 ；
（3）当 x 0时，1 x 1,1 x 1，
2 2
所以由 f (1 x) f (1 x)得 1 x 4 1 x b a 1 x ，整理得
a 1 x2 2a 2 x 3 b a 0，
a 1 0
a 1
则

2a 2 0 ；
b 4
3 b a 0

当 x 0时，1 x 1 x 1，满足 f (1 x) f (1 x)；
当 x 0时，1 x 1,1 x 1，
所以由 f (1 x) f (1 x)得 1 x 2 4 1 x b a 1 x 2，整理得
a 1 x2 2a 2 x 3 b a 0，
a 1 0
a 1
则 2a 2 0 ；
b 4
3 b a 0

综上，若 f (1 x) f (1 x)，则 a 1，b 4 .
18. （1） f x 3sin 2x 2cos2 x 1 3sin 2x cos2x

2 3 sin 2x 1

cos 2x 2sin 2x
π
，
2 2 6
2π
所以最小正周期T π .
2
π π 3π
（2）令 2kπ 2x 2kπ k Z ，
2 6 2
π
解得 kπ x 2π kπ k Z ，
6 3
π 2π
所以单调递减区间为 kπ, kπ 6 3
k Z .

π π π π 5π
（3）已知 x , ，则 2x
, . 6 3 6 6 6
t π π令 2x ，则 t ,
5π
，函数可记为 y 2sin t .6 6 6
π 5 π π
则 2sin t a t 在 , π 有两个不同解 t1 ， t2 ，其中 t1 2x ， t 6 6 1 6 2
2x2 .6
2
a 1,2 t t π π π π t , 5 此时 ，则 1 2 ，即 2x1 2x π

2 ，所以 x1 x2 ， 1 ，t2 6 6 3 6 2
, . 2 6
所以 2x1 x

2 x1 x1 x2 x1 ，3
t , 又因为 1 ，且 t1 2x
π
1 ，可得 x 0, ， 6 2 6 1 6
所以 2x
π π
1 x

2

, ，
3 2
所以 2x
π π
1 x

2的取值范围是 , . 3 2
19. （1）令u(x) x2 k x ，因为 y 3x 是单调递增函数，
2
所以要使 f (x)在 (0, )上单调，就等价于函数u(x) x k x 在 (0, )上单调，
u(x) x2 kx (x k
2
2 k (0, ) k即 ) 在 上单调，所以 0，得 k 0 .
2 4 2
故 k 的取值范围为 [0, ) .
（2）因为 f (x) 3的最小值为 ，而 y 3u 是增函数，所以 f (x)的最小值等价于u(x)的最小值，
3
1
1
f (x) 3min 3 2 ，所以u(x)min .3 2
又因为u( x) ( x)2 k x x2 k x u(x)，所以u(x)是偶函数.
①若 k 0, x 0时，函数u(x) k的对称轴 x 0，所以函数u(x)在 [0, )上单调递增，函数
2
u(x)min u(0) 0，
再由偶函数的图象关于 y 轴对称，可得函数u(x)在 R上u(x) 1min 0，与u(x)min 不符合；2
k k k
②若 k 0, x 0时，函数u(x)的对称轴 x 0，所以函数u(x)在[0, ]上单调递减，在 ( , )
2 2 2
上单调递增，
k k 2 k 2
所以u(x)min u( ) ，再由偶函数的图象关于 y 轴对称，可得函数u(x)在 R上u(x)2 4 min
，
4
k 2 1
故令 ，解得 k 2或 k 2（舍去）.
4 2
故 k 的值 2 .
1
（3）因为 y 3u 是增函数，所以 x , , f x 1 f x 等价于
2
x 1 ,

,u x 1 u x ，
2
(x 1)2即 k x 1 x2 k x ， 2x 1 k( x 1 x ) 0 .
当 x 0时，由 2x 1 k( x 1 x ) 0得 2x 1 k 0，
因为函数 y 2x 1 k 在[0, )上单调递增，所以 ymin 2 0 1 k 0，即 k 1 .
3
1
当 x 0时，由 2x 1 k( x 1 x ) 0得 2x 1 k(2x 1) 0，
2
即 (2x 1)(1 k) 0 1，由 x 0，故 2x 1 0，所以1 k 0，即 k 1 .
2
1
综上所述，要使 x ,
, f x 1 f x ，k 的取值范围为 ( 1, ) .
2
4邢台市 2025—2026学年高一（上）第三次月考
数学
注意事项：
1.答题前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效.
3.考试结束后、将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教 A版必修第一册第一、二章占 20%，第三、四章占 40%，
第五章第 1节至第 5节占 40%.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 与 1001 角的终边相同的最小正角是（ ）
A. 79 B. 11 C. 169 D. 1001
2. 命题“ x R， 2x 1 sin x ”的否定是（ ）
A. x R， 2x 1 sin x B. x R， 2x 1 sin x
C. x R， 2x 1 sin x D. x R， 2x 1 sin x
3. “ 0 ”是“ tan 0”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
1 1
4. 已知 a ，b ，则（ ）
2025 2026
A. a b 0 B. b a 0 C. 0 a b D. 0 b a
5. 已知集合 A x x2 1 ，B x x m ， A B，则m的取值范围是（ ）
A. m m 1 B. m m 1 C. m m 1 D. m m 1
tan 2 sin
6. 若 sin 0， 2 ，则 cos （ ）
cos
2
1
A. 2 2 2 2 B. C. D.
2 3 4
7. 汽水放入冰箱后，其温度 x(单位：℃)与时间 t(单位：h)的函数关系式为 x 4 k emt ，其中m,k均为
常数.已知汽水刚放入冰箱时的温度为 20℃，经过 ah 后汽水的温度为16℃，再经过 a h 后汽水的温度为
（ ）
A. 11℃ B. 12 ℃ C. 13℃ D. 14℃
8. 已知函数 f x sin x 1在区间 0, π 上恰有 2个零点，则 的取值范围是（ ）
7 11 11 7 7 11
A. , B. ,

2 2 2 2
,
2 2
C. 3, 2 2,3 9 , 5 7 ,11 D. 2 2 2 2
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
π
9. 已知函数 f (x) sin x ，则（ ）
2
A. f (x)是奇函数 B. 函数 y f (x) 的最小正周期为 π
C. f (x)
π ,0 π π 的图象关于点 中心对称 D. f (x)在 , 上的值域为 0,1 2 4 2
10. 已知函数 f (x) 2 2的定义域为R， y 1 f x x 1 f y , f 0 2，则（ ）
A. f (1) 4 B. f (x)的值域为[2, )
C. f (x)是偶函数 D. f (x)是增函数
11. 已知 logn m 1，且m 0， n 0，m n 1，则（ ）
A. 0 m n 1 B. 2m 2 n 1
2 2 mn
C. 2m2 n2的最小值为 D. 的最大值为
3 2 1m n 1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
1
12. f (x) 1 x 2x函数 的定义域为______.
x
2
13. 如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径为 2，被
动轮的半径为 3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为______.
x
14. 已知函数 f (x) x ，则关于 x的不等式 f ( 4 x) f
4
x
2 3
的解集为______.

四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1 1
15. 已知 x， y均为正数， 6 .
x y
（1）求 xy的最小值；
（2）求 x y的最小值；
（3）求 x2 y2 的最小值.
16. （1）已知 tan 2 .
tan π①求

的值；
4
1
②求 的值.
sin cos
sin10
（2）求 的值.
1 3 tan10
x2 4x b, x 1,
17. 已知函数 f (x)
ax2 , x 1.
（1）若 f (0) 0，求b的值；
（2）若 f (x)有且仅有 1个零点，求b的取值范围；
（3）若 f (1 x) f (1 x)，求 a，b的值.
18. 已知函数 f (x) 3sin 2x 2cos2 x 1 .
（1）求 f (x)的最小正周期；
（2）求 f (x)的单调递减区间；
3
π π
（3）若关于 x的方程 f (x) a在 , 上有两个不同的实根x ， x x1 2，且 1 x2，求 2x1 x2的取值 6 3
范围.
2
19. 已知函数 f x 3x k∣x∣.
（1）若 f (x)在 (0, )上单调，求 k的取值范围；
（2）若 f (x) 3的最小值为 ，求 k 的值；
3
1
（3）若 x ,

, f x 1 f x ，求 k 的取值范围.
2
4

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