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2025-2026学年八年级数学上册期末知识点复习题
【考点一】概念与定义辨析
【题型 1】实数的概念辨析
1．在…（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各数中，最小的是（ ）
A． B． C． D．
4．从 中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【题型 2】平方根、算术平方根、立方根
1．的平方根是 ；的算术平方根是 ；的立方根是 ．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．一个正数的两个不相等的平方根是和，那么这个数是（ ）
A． B． C． D．
4．已知：，那么 ．
【题型 3】勾股数与直角三角形构成条件
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．，， B．
C．，， D．，，
2．以下列各组数为三角形的三条边长：①1.5，2，3；②；③；④9，40，41．其中能构成直角三角形的有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
3．已知 ABC的三边长分别为，，，则 ABC的面积为 ．
4．勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察下列几组勾股数：，，， 根据上面的规律，第6个勾股数组为 ．
【题型 4】平面直角坐标系相关概念
1.点在第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点位于第二象限，的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．
3．若点在第二象限内，且，，则点的坐标是 ．
4．已知点，若点Q的坐标为，且直线轴，则点P的坐标为 ．
【题型 5】数据的分析基础概念
1．一组数据：，，，，，，，的下四分位数是（ ）
A． B． C． D．
2．在某次数学测试中，随机抽取了10份试卷，其成绩（单位：分）如下：85，81，89，81，72，82，77，81，79，83，则这组数据的众数与中位数分别为（ ）
A．81分，分 B．81分，81分 C．81分，82分 D．83分，77分
3．小智在计算一组数据的方差时，列式如下：，下列说法正确的是（ ）
A．样本容量为5，平均数为4 B．样本容量为4，平均数为5
C．样本容量为5，平均数为5 D．样本容量为4，平均数为4
4．某校规定学生的学期美术成绩满分为100分，其中平时绘画训练占，期中考试成绩占，期末考试成绩占．小华这学期的三项成绩（百分制）依次是，他这学期的美术成绩是 分．
【考点二】图形识别（数形结合）
【题型 6】实数与数轴的对应关系
1．如图，正方形的边长为1，，则数轴上点E所表示的数是（ ）
A． B．2 C． D．
2．如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
3．如图，数轴上的点表示的数为，则 ．
4．如图，数轴上有三点，表示和的点分别为，点到点的距离与点到原点的距离相等．设三点表示的三个数之和p= ．
【题型7】平面直角坐标系中点的坐标特征
1．在平面直角坐标系中，点和点关于y轴对称，则（ ）
A． B．1 C．7 D．3
2．若点平行轴，且，则点的坐标为（ ）
A． B．或 C． D．或
3．在平面直角坐标系中，已知点，若直线与轴平行，且，则的值为 ．
4．已知平面直角坐标系内不同的两点和到轴的距离相等，则的值为 ．
【题型 8】一次函数图象识别
1．关于一次函数的图象，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．函数与函数（，）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点三】夯实基本运算
【题型 9】实数的混合运算
1．已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为．
(1)求出a，b的值；
(2)求的平方根和的立方根．
2．计算：
(1) (2)
3．、、均为实数，且是的整数部分．
(1)则的值为__________；的值为___________；的值为___________；
(2)求的平方根．
4．计算：
(1)； (2)
【题型 10】二次根式的运算
1．计算：
(1)； (2)．
2．计算：
(1) (2)
3．计算：
(1)； (2)
4．计算：
(1) (2)
【题型 11】二元一次方程组的解法
1．解方程组：
(1) (2)
2．解方程组：
(1)； (2)．
3．解方程组：
(1) (2)
4．解方程组：
(1)； (2)
【题型 12】待定系数法求一次函数解析式
1．已知一次函数的图象经过点和点，则，的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．与平行，且过点的直线的解析式是 ．
3．一次函数的图象经过点和点．
(1)求这个函数的表达式；
(2)直接写出将这条直线向上平移4个单位长度的函数表达式．
4．如图，直线（）经过点和，线段两个端点的坐标分别为，．
(1)求直线的表达式；
(2)若将直线向上平移个单位长度，且平移后的直线经过线段的中点，求的值．
【题型 13】勾股定理的基础计算
1．直角三角形两直角边长分别为和，则斜边上的高为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，以点为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点，则 ．
3．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，求它至少要走的路程．
4．如图，某地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的两段构成（即），若段长度为，、两点之间的距离比段长，求段的长度．
【题型 14】平行线的角度计算
1．如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）
A．45° B．58° C．65° D．75°
2．如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ．
3．如图，木条与被木条所截若使木条与平行，木条过点逆时针旋转的度数是 ．（旋转度数在与之间）
4．如图，在单位长度为1的的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，线段，的顶点都在格点上．
（1）线段，的长度分别为 ， ；
（2）设，所夹的锐角为，则的度数为 °．
【★题型 15】数据的分析基础计算
1．我校八年级举行英语演讲比赛．小高和小新积极参与，两人比赛后各项得分如表：
演讲内容 语言表达 演讲技巧
小高 95 85 85
小新 85 90 93
(1)如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两位同学的排名顺序怎样？（结果精确到）
(2)若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“演讲内容”“语言表达”“演讲技巧”三个项目在总分中的占比为，那么两位同学的排名顺序又怎样？
2．小明抽样调查了两个不同年龄段的人群晚上休息的时间，制作了如下统计图：
(1)这两个年龄段的人群晚上休息的时间有什么特点？
(2)如果一组是青年组，另一组是老年组，那么你认为哪组有可能是青年组？
3．河南中牟县的姚家镇草莓种植面积达亩，被称为“全国十大草莓生产基地”之一．草莓种植的重要环节就是浇灌，传统的浇灌方式有两种：．滴灌，．漫灌．为对比产量，某种植户对两种浇灌方式下的垄草莓产量（单位：千克）做出了如下统计：
：，，，，，，，，，．
：，，，，，，，，，．
并得到了如下不完整的统计表：
平均数 中位数 众数 方差
(1)表格中的______，______；
(2)若种滴灌方式共种植垄，种漫灌方式共种植垄，那这垄的总产量大约是多少？
(3)从上述统计数据来看，选择哪种方式更利于高产？并说明理由．
4．为了解某校八年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：次）的情况，从这个年级中随机抽取20名学生进行调查，制作了频数分布表，并绘制了频数分布直方图．已知这个年级的学生人数为200人．
次数x分组 频数
2
6
10
2
(1)补全频数分布直方图．
(2)抽取的20人参加公益活动次数的中位数位于的组别是________．
(3)请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数．
【考点四】基本性质与判定辨析
【题型 16】算术平方根的非负性应用
1．若，则的立方根为（ ）
A．5 B．15 C．25 D．
2．已知的三边长分别为，且满足，则为 三角形．
3．已知实数满足的平方根等于它本身，则的值为 ．
4．，，均为实数，且，是的整数部分．
(1)______，______，______．
(2)求的算术平方根．
【★题型 17】一次函数的性质辨析
1．一次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A． B．y的值随x值的增大而增大
C． D．当时，
2．点都在直线上，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．已知直线是由直线平移得到的，则直线与轴的交点坐标是 ．
4．已知一次函数．
(1)当m在何范围内取值时，y随x的增大而减小？
(2)是否存在这样的整数m，使函数的图象不过第四象限？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．
【题型 18】二元一次方程组的解的意义
1．小明求得方程组，的解为由于不小心滴下了两滴墨水，刚好把两个数“■”和“★”遮住了，则“■”和“★”表示的数分别为（ ）
A．8，3 B．8，5 C．5，3 D．3，8
2．甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行．如图，是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组是 ．
3．为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，李老师让学生把长的彩绳截成和两种规格的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费且两种不同规格彩绳都要截出来的前提下，共有哪几种不同的截法？
4．已知关于x，y的方程组的解是．求的值．
【题型 19】勾股定理逆定理的判定应用
1．若三角形三边长之比为，则这个三角形中的最大角的度数是（ ）．
A． B． C． D．
2．若三角形三边长之比为：：，则这个三角形中的最大角的度数是
3．如图，在四边形中，．

(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求的长．
4．如图，在 ABC中，，是的垂直平分线，分别交、于点E、D．
(1)求证： ABC是直角三角形；
(2)求的长．
【题型 20】数据的分析性质辨析
1．甲、乙两个患者在10天中测量每天体温的统计结果是：，；，．那么10天中甲、乙的体温稳定情况是（ ）
A．甲较为稳定 B．乙较为稳定 C．两个人一样稳定 D．不能确定
2．如表是八年级某班学生平均周阅读时间（单位：h）的分布表：
时间/h 2.5 3 3.5 4 5 6 7
频数 1 6 8 12 9 5 1
则该班学生平均周阅读时间的众数和中位数是（ ）
A．4；4 B．5；4 C．4；3.5 D．5；3.5
3．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩（分）的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．一班成绩比二班成绩集中
B．一班成绩的下四分位数是80分
C．一班有同学的成绩超过140分
D．一班的平均分高于二班的平均分
4．某校八年级（2）班为选拔名同学参加学校团委组织的党史知识竞赛，有名同学报名参加选拔赛，选拔赛分数各不相同，取前名同学参加学校的决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这名同学分数的 （填“众数”或“中位数”或“平均数”）
【考点五】综合运算与实际应用
【题型 21】二次根式的综合化简求值
1．计算：
(1)； (2)．
2．计算：
(1)； (2)
3．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”
小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简；
(2)若，求的值．
4．已知，，求下列各式的值．
(1)． (2)．
【题型 22】二元一次方程组的实际应用
1．某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹．
(1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？
(2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？
2．某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问：
(1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
(2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？
3．小美打算在“母亲节”买一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．
(1)求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
(2)小美准备买康乃馨和百合共11支，且康乃馨不多于9支，设买康乃馨x支，买这束鲜花所需总费用为w元．
①求w与x之间的函数关系式；
②请你帮小美设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用．
4．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：“我问旅店店主李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间房．
(1)该店客房有多少间？房客有多少人？
(2)假设旅店店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费200钱，且每间客房最多住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按八折优惠．若诗中众客再次一起入住，他们如何订房比较合算？
【题型 23】一次函数的实际应用
1．甲乙两人同时从学校出发，沿相同的路线前往书店．甲骑自行车，乙步行．甲到书店购书后按原路返回到学校时，乙恰好到达书店．图中折线和线段分别表示甲乙两人离学校的距离y（单位：）与时间x（单位：）的函数图象（假设甲骑自行车，乙步行的速度均不变）．
(1)求甲离学校的距离y与时间x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)在两人相遇前，甲离开学校多长时间与乙相距？
2．A、B两种品牌的共享电动车收费（元）与骑行时间（）的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式为，B品牌的收费方式为．
(1)分别求出与x的函数关系式；
(2)已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为．小明可骑A品牌或B品牌电动车去上班，若小明家到单位的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？
3．第十五届全运会将于年在粤港澳三地联合举办，口号为“激情全运会，活力大湾区”,全运会吉祥物是名为“喜洋洋”和“乐融融”的中华白海豚，寓意“喜气洋洋、其乐融融、团圆和美”．全运会特许商品零售店预售吉祥物“乐融融”，该吉祥物每个进价为元，规定售价不低于进价，现在售价为每个元，每天可销售个．经市场调查发现，若售价每降价元，则每天销售量将增加个，设每个吉祥物降价元（为整数），每天销售量为y个．
(1)写出关于的函数表达式，并写出的取值范围；
(2)设每天销售吉祥物“乐融融”的利润为元，零售店如何定价，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大？最大利润是多少元？
4．如图，一次函数的图象经过点．
(1)求的面积．
(2)在轴的负半轴上是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型 24】勾股定理的实际应用
1．如图，在 ABC中，，，，点D、E分别是边上的动点，且，则的最小值 ．
2．如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，．若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ．
3．综合与实践
(1)如图1，在中，∠B=90 ，，．
①求的长；
②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长．
(2)如图2，在 ABC中，是边上的高，求的长．
4．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且．
(1)判断 ABC的形状，并说明理由．
(2)若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
【题型 25】数据的分析综合应用
1．樱桃是落叶果树中成熟最早的树种，素有“春果第一枝”之美称，其色艳，味美有芳香，被誉为水果珍品．某果园共收获2000箱樱桃，从中随机抽取n箱进行称重，单箱净重有以下几种数据（单位：）：，，，，，根据数据，绘制了如图所示的统计图．
根据以上信息解答问题：
(1)所抽取的n箱樱桃单箱净重的中位数为________、众数为________；
(2)计算所抽取的n箱樱桃单箱的平均净重；
(3)试估计这个果园2000箱樱桃的总净重．
2．2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）．
七年级：60，70，70，80，83，89，91；93，95，97，98，100；
八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96．
七、八年级抽取的学生的成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 85.5 a 70
八年级 m b c
(1)上述表中， ， ，并补全七年级的箱线图；
(2)求八年级所抽取学生的平均成绩m；
(3)若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数．
3．某社区开展了一次爱心捐款活动，为了解捐款情况，该社区随机调查了部分群众的捐款金额，并将收集的数据整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次被调查的群众共有 人，扇形统计图中 ；
(2)补全条形统计图，并写出本次抽取的群众捐款金额的众数是________元，平均数是________元，中位数是________元；
(3)若该社区有2000名群众，根据以上信息，试估计本次活动捐款总金额．
4．某中学在七、八年级学生中开展科技文化知识比赛，各随机抽取20名学生的成绩（百分制）进行整理分析（成绩用x表示，共分为四组：A组：，B组：，C组：，D组：）．
七年级20名学生的成绩是：77，78，83，83，85，85，86，87，89，89，90，90，90，93，93，94，95，96，97，100．
八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94．
七、八年级被抽取学生成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 89 a
八年级 89 b 91
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)画出七年级20名学生的成绩的箱线图；
(3)你认为这次知识比赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由．
【考点六】跨章节综合
【题型 26】一次函数与二元一次方程组的综合
1．如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
2．直线过原点和点，直线过点和点，则直线和的交点的坐标为 ．
3．如图，已知直线的图象经过点，，且与轴交于点．
(1)求，的值；
(2)求的面积．
(3)若是轴上的一点，且，求点的坐标．
4．如图，直线：交轴于点，与轴交于点，直线经过点，交轴于点，直线交直线于点．
(1)求出直线的函数解析式；
(2)若直线上的点满足的面积是面积的一半，求出点的坐标．
【题型 27】坐标系与几何综合
1．如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点的坐标为，求点的坐标．
3．如图，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，三角板的两个顶点分别在x轴，y轴上的点A，B处，，．
(1)若，，则点C的坐标为______；
(2)若点C的坐标为，求点A，B的坐标．
4．如图，已知，两点的坐标分别为、，以点为圆心，长为半径画弧，交轴负半轴于点，则点的坐标为 ．
【题型 28】一次函数与几何图形综合
1．如图，已知直线：交轴负半轴于点，交轴于点，，点是轴上的一点，且，则的度数为 ．
2．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过C作轴交直线于点E，使，设点C的横坐标为m．
(1)求点A、点B的坐标；
(2)当时，求m的值；
(3)如图2，连接，，在点C运动的过程中，当的面积等于 AOB的面积时，求m的值．
3．如图，一次函数的图象经过点．
(1)求的面积．
(2)在轴的负半轴上是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【题型 29】二元一次方程组与一次函数的实际综合
1．某化妆品公司每月付给销售人员的薪酬有两种方案．
方案一：没有底薪，只拿销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
设（件）是销售商品的数量，（元）是销售人员的月薪酬．如图所示，为方案一的函数图象，为方案二的函数图象．根据图中信息解答如下问题：
(1)方案二中每月付给销售人员的底薪是______元；
(2)求，图象的函数解析式；
(3)小丽应选择哪种薪酬方案，才能使月工资更多？
2．春节期间，某动物园为了吸引游客，推出了甲、乙两种购票方式．
甲：按照次数收费；
乙：购买一张动物园年卡后，门票打折优惠．
设一人一年内去动物园的次数为，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．
根据图中信息，解答下列问题．
(1)分别求出选择甲、乙两种购票方式时，关于的函数表达式；
(2)甲方式购票每次多少元，乙方式购买一张动物园年卡的费用多少元；
(3)某同学带着240元压岁钱到该动物园游玩，请问他选择哪种购票方式更划算？说明理由．
3．某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案：方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶；方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的80%付款．某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元．
(1)分别写出，关于的函数解析式．
(2)当时．
①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱．
②若两种优惠方案可以同时使用，是否有更省钱的购买方案？若有，请设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用．
4．快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇．已知慢车的速度为，两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数关系如图所示．
(1)两地相距______，快车返回时速度为______；
(2)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，则还需______到达甲地；
(3)慢车出发多长时间后，两车相距．
【考点七】规律问题探究
【题型 30】二次根式与勾股数的规律探究
1．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按上述规律，第个等式（ ）
A． B．
C． D．
2．定义：若三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组．例如：，都是“邻近”勾股数组，将从小到大排列，分别记为，，，，（为正整数），若时，的值为 ；若时，的
3．规律探究：设，，，…，则的值为 ．
【题型 31】平面直角坐标系与一次函数规律探究
1．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，…根据这个规律，第2025个点的横坐标为（ ）
A．42 B．43 C．44 D．45
2．正方形，，按如图的方式放置，，，和点，，分别在直线和轴上，则点的横坐标是 ．
3．如图，直线与直线相交于点．直线与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点，，，，，…，，，…则当动点C到达处时，运动的总路径的长为 ．
4．如图，，，，，都是等腰直角三角，点，，，均在轴正半轴上，直角顶点，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，，依据图形所反映的规律， ．
【考点八】方案设计与综合探究
【题型 32】一次函数与二元一次方程组的方案选择问题
1．甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨．设从甲地运吨木材到厂（），从甲地运往两木艺厂的总运费为元，从乙地运往两木艺厂的总运费为元．
运费表
(1)木材运输配送表如下，请你填空（用含的式子表示）：
甲地 乙地
厂 x ②
厂 ① ③
①______；②______；③______；
(2)请分别求出与之间的函数关系式；
(3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费不得超过4800元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值．
2．某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：
①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：
时间（第天） 1 3 6 10
日销售量件） 198 194 188 180
②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：
时间（第天）
销售价格（元件） 100
(1)求m关于x的一次函数表达式；
(2)设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．
3．为鼓励市民节约用电，深圳市电力公司对居民用电实行阶梯电价收费．现提供小强家某月电费发票的部分信息如下表所示：
深圳市居民电费专用发票
计费期限：一个月
用电量（度） 电价（元/度）
第一档：
第二档：
第三档：
本月实用金额：167.5（元） （大写）壹佰陆拾柒元伍角
根据以上提供信息解答下列问题：
(1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，求出实付额元与月用电量度之间的函数关系式；
(2)请通过计算判断小强家该月的用电量处于哪个计费档，并求出该月的实际用电量；
(3)若小强家8月的实际用电量为420度，则他家8月实付电费为多少元？
4．“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为x（h），两艘轮船距离杭州的路程y（km）关于x（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
(1)写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．
(2)若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：游轮与货轮何时相距12km？
【★★★题型 33】坐标系中一次函数动点问题
1．【模型建立】
美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：．我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们利用这个模型来解决以下问题：
【模型运用】
（1）如图1，在上述模型中，若，则 ABC的面积为___________；
【模型拓展】
（2）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点，
①如图2，过点作，且，连接．求点的坐标；
②如图3，点的坐标为，点在线段上，点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，试求出点的坐标．
2．综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点是线段上的一个动点（不与重合），连接，设点的横坐标为．
(1)直接写出两点的坐标；
(2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)当的面积时，
①判断此时线段与的数量关系并说明理由；
②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
3．已知，在中，．

(1)如图1，若，点B的坐标是，写出点A的坐标；
(2)如图2，若 ABC中的顶点A，B恰好是直线与x轴，y轴的交点，求点C的坐标．
(3)若 ABC在第一象限内，且点B是x轴正半轴上的动点，，，连接交y轴于点G．在点B的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求的长度；若改变，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中， AOB的边在轴上，点在第一象限，，点的坐标为．
(1)求点的坐标；
(2)若为线段的中点，为轴上一点，直线交于，交轴于点，其中，连接，求直线的解析式及四边形的面积；
(3)若点是直角坐标平面上的一个动点，是否存在点，使以为顶点的三角形是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
【考点一】概念与定义辨析
【题型 1】实数的概念辨析
1．C
∵ 是分数，是有理数；
是有限小数，是有理数；
是整数，是有理数；
是含的式子，是无理数；
，是整数，是有理数；
是整数，是有理数；
是有限小数，是有理数；
开方开不尽，是无理数；
（每两个2之间依次多一个1）是无限不循环小数，是无理数；
∴ 无理数有、、（每两个2之间依次多一个1），共3个．
故选：C．
2．B
解：由图可知，这个无理数在和之间，
A：，故该选项不合题意；
B：，故该选项符合题意；
C：，故该选项不合题意；
D：，故该选项不合题意．
故选：B ．
3．C
解：，
∵，
∴，
∵最小的是，
故选C．
4．A
解：，
∴中是无理数的有：共2个；
共有7个数，
∴从 中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是；
故选：A．
【题型 2】平方根、算术平方根、立方根
1． 2
解：①，4的平方根是；
②，4的算术平方根是2；
③由于，所以的立方根是；
故答案为：，2，．
2．B
解：A. ，故原选项错误，不合题意；
B. ，故原选项正确，符合题意；
C. ，故原选项错误，不合题意；
D. ，故原选项错误，不合题意．
故选：B
3．A
解：∵ 一个正数的两个不相等的平方根是和，
∴，
解得，
∴一个平方根为，
∴ 这个正数为，
故选：．
4．
解：由，得．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【题型 3】勾股数与直角三角形构成条件
1．D
解：A、，故不是勾股数，不符合题意；
B、中，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
C、，，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
D、，故6，8，10是勾股数，符合题意，
故选：D．
2．B
解：①∵，∴不能构成直角三角形；
②∵，则，∴不能构成直角三角形；
③∵，∴能构成直角三角形；
④∵，∴能构成直角三角形.
∴只有③和④两组能构成直角三角形.
故选：B．
3．
解：设，，，
，，
，
所以是直角三角形，且为直角边，为斜边，
故，
故答案为：．
4．
解：观察勾股数组的规律，第个数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为第二个数加1，
∴对于第6个勾股数组：
第一个数，
第二个数，
第三个数，
故答案为：．
【题型 4】平面直角坐标系相关概念
1．C
设点的坐标为，
点距离轴个单位长度，
，即，
点距离轴个单位长度，
，即，
又点在第二象限，
，，
，，
点的坐标为．
故选．
2．D
解：点位于第二象限，
横坐标，纵坐标．
选项A、B、C均不大于0，只有选项D中的，
故选：D．
3．
解：由，得或；
由，得或；
点在第二象限，
因此，，
所以，．
故点P的坐标为．
故答案为：．
4．
解：∵直线轴，
∴点和点的横坐标相等，
即，
解得，
代入点的纵坐标，得，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【题型 5】数据的分析基础概念
1．C
解：数据从小到大排序为：，，，，，， ，，
∴下四分位数为第和第个数平均值：，
∴下四分位数为，
故选：．
2．B
解：∵数据中81出现3次，其他数均出现1次，
∴众数为81分．
将数据从小到大排序：72，77，79，81，81，81，82，83，85，89．
∵数据个数为10，是偶数，
∴中位数为第5和第6个数的平均值，即（分）．
∴这组数据的众数与中位数分别为81分和81分，
故选：B．
3．A
解：∵方差的公式为，在给定的方差公式中，，
∴ ，，即样本容量为5，平均数为4．
故选：A．
4．91
解：小华这学期的美术成绩为：
（分）．
故答案为：91．
【考点二】图形识别（数形结合）
【题型 6】实数与数轴的对应关系
1．D
解：由图可得：正方形的边长为1，
∴，
∴，
∴点E表示的数为，
故选：D．
2．B
解： ∵，
∴ ，
∴ 在数轴上表示实数的点可能是点B．
故选：B．
3．
解：根据题意得： ，
故答案为：．
4．
解：由题意，得．
因为点在原点左侧，
所以点表示的数为，
所以．
故答案为：．
【题型7】平面直角坐标系中点的坐标特征
1．A
解：在平面直角坐标系中，点和点关于y轴对称，
，，
解得：，，
．
故选：A．
2．D
【详解】解：∵点平行轴，
∴点的纵坐标为，
∵，
∴点的横坐标为或，
∴点的坐标为或．
故选：D．
3．或
解：∵点，直线与轴平行，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴或，
故答案为：或．
4．1或
解：点和到轴的距离相等，
，
解得，
故答案为：1或．
【题型 8】一次函数图象识别
1．C
解：一次函数的图象在y轴右侧，且是一条射线，
则只有选项C符合题意．
故选：C．
2．A
解：根据程序框图可得，
的图象与y轴的交点为，与x轴的交点为．
故选A．
3．D
解：∵正比例函数与一次函数的自变量系数分别是k和，则两直线相交．故B、C不符合题意；
A、正比例函数图象经过第二、四象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意；
D、正比例函数图象经过第一、三象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限，故本选项符合题意；
故选：D．
4．D
解：因为，
所以图象中必定有一条直线是经过一、三象限，可以排除B选项，
选项A、C、D中根据经过一、三象限的直线可判断即，可以排除选项A、C．
故选：D．
【考点三】夯实基本运算
【题型 9】实数的混合运算
1．（1）解：由题意，，，
∴；
（2）∵，
∴的平方根为，的立方根为．
2．（1）解：
；
（2）
．
3．（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵c是的整数部分，
∴；
故答案为：；3；6
（2）解：当，时，
，
∴的平方根为．
4．（1）解：
；
（2）解：
．
【题型 10】二次根式的运算
1．（1）解：
；
（2）解：
．
2．（1）解：
；
（2）解：
．
3．（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
，
．
4．（1）解：
；
（2）解：
．
【题型 11】二元一次方程组的解法
1．（1）解：将代入，
得，
，
∴，
．
将代入，
得．
原方程组的解为．
（2）解：由，
得，
把代入，
得，
∴，
．
将代入，
得．
原方程组的解为．
2．（1）解：，
①得：③，
②③得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
原方程组的解为：；
（2）解：，
①得：③，
②得：④，
④③得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
原方程组的解为：．
3．（1）解：
把①代入②得：，
，
，
，
，
把代入①得： ，
方程组的解为：；
（2）解：
②得：③，
得：，
把代入②得：，
方程组的解为：．
4．（1）解：，
由②得：③，
将③代入①得：，
解得，
将代入③得：，
所以方程组的解为．
（2）解：方程组可变形为，
由①②得：，
解得，
将代入②得：，
解得，
所以方程组的解为．
【题型 12】待定系数法求一次函数解析式
1．A
解：将点和点代入一次函数得：
，解得．
故选：A．
2．
设所求直线解析式为．
代入点得：
，
故答案为：．
3．（1）解：设，代入，
得，解得，
∴这个函数的表达式为；
（2）解：∵直线向上平移4个单位长度
∴平移后的函数表达式为．
4．（1）解：把点和分别代入中，
得
解得
所以直线的表达式为．
（2）解：根据，，可得的中点坐标为，
因为直线向上平移个单位长度，
所以平移后的直线的表达式为，
把代入中，
得，
解得．
【题型 13】勾股定理的基础计算
1．A
解：直角三角形两直角边长分别为和，
斜边长为，
设斜边上的高为，则根据直角三角形的面积列式：
，
解得，
即斜边上的高为．
故选：A．
2．2
解：∵，，，
∴，
由题意得，，
∴．
故答案为：2．
3．
解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，长度变为半圆周长，
，则，
连接，在长方形中，，，
由勾股定理，得，
∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走的路程．
4．解：由题意可得，，，
∴，
∵，，
∴，
解得，
答：段的长度为．
【题型 14】平行线的角度计算
1．B
解：过直角顶点作直线如图所示，
，
∴，
则，，
，
，
，
，
，
故选：B．
2．55°
解：如图，过点作，
∵，
∴∠BEF=180°-160°=20°，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
3．
解：要使木条与平行，需满足同位角（或内错角）相等．
已知，当时，对应的同位角应为．
当前，因此木条逆时针旋转的度数为．
故答案为：
4．
解：（1）由题意得，，
故线段，的长度分别为，．
故答案为：，．
（2）如图，选取格点，连接，．
由勾股定理逆定理，易得为等腰直角三角形，
所以，
由图可知，
所以．
故答案为：．
【题型 15】数据的分析基础计算
1．（1）解：小高的平均数为（分），
小新的平均数为（分），
∵，
∴小新排名第一，小高排名第二；
（2）解：小高的得分为：（分），
小新的得分为：（分），
∵，
∴小高排名第一，小新排名第二．
2．（1）解：由图可知，A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群(答案合理即可)；
（2）解：由图可知，A年龄段的人群晚上休息时间比于B年龄段人群晚，而表青年人晚上休息时间普遍晚于老年人，
所以A组有可能是青年组．
3．（1）解：∵中共个数据，
∴中位数是从小到大排列后的第个和第个的平均数，
∴中位数；
∵中出现的次数最多，
∴众数，
故答案为：；；
（2）解：由题意得（千克），
答：这垄的总产量大约是千克；
（3）解：选择种漫灌方式，理由如下：
因为种漫灌方式的平均数、中位数和众数都小于种漫灌方式，且种漫灌方式的方差小于种漫灌方式，所以选择种漫灌方式．
4．（1）解：补全频数分布直方图如图：
（2）解：由频数分布表可得，“”组人数是2，“”组人数是，
由中位数的定义可得，中位数为第10，11个数据，
而“”组人数为，
∴中位数位于的组别是“”组，
故答案为：“”组；
（3）解：，
答：该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数是．
【考点四】基本性质与判定辨析
【题型 16】算术平方根的非负性应用
1．D
解：∵，，且，
∴，，
∴，，
解得：，，
∴，
∴的立方根为：．
故选：D．
2．等腰
解：∵ ，， ，且，
∴，，，
解得，
∴的三边长分别为，
∵，
∴是等腰三角形．
故答案为：等腰．
3．0
解：∵被开方数，且，
∴，
∴，即，
代入原式得，
∴，
∵的平方根等于它本身，
∴，
则，
故答案为：．
4．（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵c是的整数部分，
∴；
（2）解：当，时，
，
∴的算术平方根为．
【题型 17】一次函数的性质辨析
1．C
解：∵函数图象经过第一、二、四象限，
∴，且y的值随x值的增大而减小，故A、B说法错误，C说法正确，
∵一次函数与x轴交于点，
∴当时，，
根据现有条件无法得到当时，，故D说法错误，
故选：C．
2．B
解：∵，
∴y将随x的增大而减小，
∵点都在直线上，且，
∴．
故选：B．
3．
解：∵直线是由直线平移得到的，
∴，
故，
令，所以，
解得，
即直线与轴的交点坐标是，
故答案为：
4．（1）解：∵一次函数y随x的增大而减小，
∴，
∴；
（2）解：存在，理由如下：
∵一次函数不经过第四象限，
∴且，
∴解得．
∵m为整数，
∴或．
【题型 18】二元一次方程组的解的意义
1．A
解：∵，且，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∴，．
故选：A．
2．
解：设甲的速度是，乙的速度是，
依题意，得：．
故答案为：．
3．解：设截成的彩绳根，的彩绳根，
由题意可得，
，
不造成浪费，且两种不同规格彩绳都要截出来，
，是正整数，
或或
共有3种不同的截法，分别为：①截成的彩绳1根，的彩绳5根；②截成的彩绳2根，的彩绳3根；③截成的彩绳3根，的彩绳1根．
4．解：将代入原方程组得：，
解得，
∴．
数的实际取值要求，通过枚举法确定方程的所有符合条件的整数解，进而解决实际问题。
【题型 19】勾股定理逆定理的判定应用
1．B
解：设三角形的三边长分别为，，（）．
∵ ，，
∴ ，
∴ 该三角形是直角三角形，最大角的度数为，
故选：B．
2．
解：∵三角形三边长之比为：：，可设三边长分别为，，，
∵，
又∵，
∴，
∴此三角形是直角三角形，
∴这个三角形中最大角的度数是．
故答案为：．
3．（1）是直角三角形．
理由如下：
在中，
是直角三角形；
（2）在四边形中，
由（1）得，
∵∠C=90°
∴在中，
4．（1）证明：∵，，，
∴
∴
∴ ABC是直角三角形；
（2）解：连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴设，则，
∵在中，，
∴，
∴，
∴．
【题型 20】数据的分析性质辨析
1.A
解：∵甲的方差，乙的方差，且，
∴甲的体温更稳定．
故选：A．
2．A
解：总频数 ，
∵众数为频数最大的对应时间，频数12最大，对应时间，
∴众数为4；
∵总频数42为偶数，
∴中位数为第21和22个数据的平均值，
累积频数：时间累积1，时间累积7，时间累积15，时间累积27，时间累积36，时间累积41，时间累积42，
∴第21和22个数据均落在时间，
∴中位数为．
故选：A．
3．B
解∶A．观察箱线图知∶二班成绩的箱线图宽度较窄，则二班成绩比一班成绩集中，故原说法错误；
B．观察箱线图知∶ 一班成绩的下四分位数是80分，故原说法正确；
C．观察箱线图知∶ 一班没有同学的成绩超过140分， 故原说法错误；
D．观察箱线图知∶ 一班的平均分低于二班的平均分， 故原说法错误；
故选∶B．
4．中位数
解：个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后共有个数，
只要知道自己的分数和中位数，就可以知道自己能否进入决赛了，
故答案为：中位数．
【考点五】综合运算与实际应用
【题型 21】二次根式的综合化简求值
1．（1）解：
.
（2）解：
.
2．（1）解：
；
（2）解：
．
3．（1）解：；
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
∴
．
4．（1）解：∵，，
∴
．
（2）解：∵，，
∴
．
【题型 22】二元一次方程组的实际应用
1．（1）解：设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意得，
解得：
答：每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹；
（2）解：设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意得
解得：
答：快递车的总配送路程是千米
2．（1）解：设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b，
由题意得：
解得：
∴甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需天，
答：甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天
（2）设甲队单独做需x万元，乙队单独做需y万元，
由题意得：
解得：
答：甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元．
3．（1）解：设买一支康乃馨需m元，一支百合需n元，由题意得：
，
解得：；
答：买一支康乃馨需4元，一支百合需5元．
（2）解：①由题意得：
，
∵康乃馨不多于9支，
∴且为整数；
②由①可知：，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w有最小值，最小值为；
答：购买康乃馨9支，百合2支时，购买费用最少，最少费用为46元．
4．（1）解：（1）设客房有x间，房客有y人，
根据题意可得：，
解得：
答：该店客房有8间，房客有63人．
（2）如果每4人一个房间，需要，需要16间客房，总费用为（钱），
如果定18间，其中有四个人一起住，有三个人一起住，则总费用（钱）3200钱，
所以他们再次入住定18间房时更合算．
答：他们再次入住定18间房时更合算．
【题型 23】一次函数的实际应用
1．（1）解：设直线的解析式为，
则，
解得：，
即，
设直线的解析式为，则
，
解得：，
∴．
∴所求解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，
则，
解得：，
即，
①当时，，
解得，
②当时，，
解得：．
由题意知，甲离开学校后，到与乙相遇时，两人相距等于．
∴在两人相遇前，甲离开学校，时与乙相距．
2．（1）解：设（为常数，且），
将坐标代入，
得，
解得，
∴与x的函数关系式为．
当时，；
当时，设（为常数，且），
将坐标和分别代入，
得，
解得，
∴．
综上，．
（2）解：，
由图象可知，当时，，
∴小明选择B品牌的共享电动车更省钱．
3．（1）解：由题意可得，
∵ 定价不低于进价，即，
∴ ，
又∵ 为非负整数，
∴ 且为整数；
（2）解：；
，
∵，且x为整数，
∴当时，最大值为2112，此时定价为．
∴当定价为56元时，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大，最大利润为2112元
4．（1）解：把点代入，得
点．
设一次函数的图象与轴交于点，
令，解得，
，
．
（2）设点的坐标为，则．
由（1）可知，
，
解得．
∵点在轴的负半轴上，
，即点的坐标为．
【题型 24】勾股定理的实际应用
1．
解：作，使，且点F与点E在直线的异侧，连接，
∵，，，
∴，，
∵，即，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
2．
解：如图，将长方体展开，连接，
∵长方体的底面边长分别为和，高为，，
∴，，
根据两点之间线段最短，，
故答案为：．
3．（1）解：①∵，
∴．
②由折叠得：，
∴，
∴．
在中，，
∴，解得：，
∴的长为．
（2）解：设，则．
∵是边上的高，
∴．
在中，，
在中，，
∴，解得：，
∴．
4．（1）解： ABC是直角三角形，理由如下：
由题意得，，
∴，
∴，
∴ ABC是直角三角形；
（2）解：由（1）可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
答：一辆货车从C处经过D点到B处的路程是．
【题型 25】数据的分析综合应用
1．（1）解：由图可知：，且第10个数据和第11个数据均为，故中位数为（）；
出现次数最多的是，故众数为：（）．
故答案为：，．
（2）解：（），
所抽取的20箱樱桃单箱的平均净重为；
（3）解：（），
估计这个果园2000箱樱桃的总净重为．
2．（1）∵共有12个数据
∴中位数为第6个数据和第7个数据的平均数
∴八年级所抽取学生的中位数；
∵93出现的次数最多
∴八年级所抽取学生的众数；
七年级所抽取学生的中位数；
补全七年级的箱线图如下：
（2）八年级所抽取学生的平均成绩；
（3）（人）
∴估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为300人．
3．（1）解：本次被调查的群众人数为：（人），
捐款10元所占的百分比为：，
∴，
故答案为：50，32；
（2）解：捐款15元的人数为：（人），
补全条形统计图如答图所示：
捐款10元的人数最多，故众数为：10，
平均数：（元），
由于总人数为50人，，
故中位数为：15元，
故答案为：10；16；15；
（3）解：（元），
答：估计本次活动捐款总金额为32000元．
4．（1）解：在七年级20名学生的成绩中，90出现的次数最多，
∴众数，
八年级20名学生的成绩在组中的人数所占百分比为，
∴，
∴，
∵，，
∴将八年级20名学生的成绩按从小到大进行排序后，第10个数为90，第11个数为91，
∴其中位数，
故答案为：90，，25．
（2）解：由题意可知，七年级20名学生成绩的最大值为100，最小值为77，下四分位数为，上四分位数为，中位数为，
则画箱线图如下所示：
．
（3）解：八年级的成绩更好，理由如下：
因为七、八年级成绩的平均数相等，而八年级成绩的中位数和众数大于七年级的，所以八年级的成绩更好．
【考点六】跨章节综合
【题型 26】一次函数与二元一次方程组的综合
1.A
解：关于，的方程组的解是一次函数的图象与的图象的交点坐标，
将代入得：，
即方程组的解为： ，
故选：A．
2．
解：假设的解析式为，将代入得，
，
解得，
∴；
假设的解析式为，将点和点代入得，
，
解得，
∴，
联立，
解得，
所以，交点的坐标为，
故答案为：．
3．（1）解：把代入得，
，
解得：，；
（2）该一次函数为，
令，则，解得，
该一次函数图象与轴的交点坐标为，；
∴
（3）设，
∵
∴
解得：
∴
4．（1）解：把代入，得：，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：，
解得：，
∴；
（2）当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
当时，，当时，，
∴或．
【题型 27】坐标系与几何综合
1．D
解：由条件可知，
解得：，
则点P的坐标为，
过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图，
则，
∴，
∵，
∴，
由点P的坐标知，，
∴，
∴，
∴．
答案：D．
2．解：∵四边形是长方形，
∴，，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∴在中，，
∴，
∵点在边上，，，
∴设点的坐标为，则，
∴，
在中，，即，
解得，
∴点的坐标为．
3．（1）解：过点C作轴交于点D，
则，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
，
、，
，
∴点C的坐标为；
故答案为：；
（2）解：过点C作轴交于点D，
则，
，
，
，
．
∵，
，
，,
，
、，
，
，
，，
答：点A，B的坐标为，．
4．
解：∵，
∴，，
∴，
∵以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，
∴，
∴，
∵点在轴的负半轴上，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【题型 28】一次函数与几何图形综合
1．或
解：∵y=kx+2与轴的交点坐标为，
．
又点是轴上的一点，且，
点的坐标是或．
如图：
①当点的坐标是时，，
．
，
，
，
，
②当点的坐标是时，，
，
，
．
故答案为：或．
2．（1）解：当时，，
解得：．
，
当时，，
；
（2）解：的横坐标为，
，
当时，，
．
，
，
，
由得：，
解得：；
（3）解：过作于，
，
，
，
，
解得：．
3．（1）解：把点代入，得
点．
设一次函数的图象与轴交于点，
令，解得，
，
．
（2）设点的坐标为，则．
由（1）可知，
，
解得．
∵点在轴的负半轴上，
，即点的坐标为．
4．A
解：作 点关于直线的对称点，连接 ，于 轴的对称点 ，则
由题意知，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，
故，即 AOB是等腰直角三角形，
∵关于对称，
∴，
∴ 轴，，
∴，
则 的周长，
根据两点之间线段最短可得，当 ， 在同一直线上时，三角形周长最小，
设直线 的解析式为，
则 解得 ，
∴直线 的解析式为，
与直线联立得
，
解得，，
∴，
故选∶A．
【题型 29】二元一次方程组与一次函数的实际综合
1．（1）解：由题意，结合函数的图象可得，当销售数量时，薪酬y即为底薪，
又由的图象可知，时，
方案二的底薪是600元．
故答案为：600；
（2）解：由题意，设的解析式为，
图象过点，
的解析式为：
又设的解析式为，
图象过点，，
，且
的解析式为
（3）解：由题意，结合（2）得，的解析式为：，的解析式为
当，即时，方案一工资更多；
当，即时，两种方案工资相同；
当，即时，方案二工资更多．
2．（1）解：设，
根据题意得，
解得，
∴；
设，
根据题意得：，
解得，
∴；
（2）解：甲方式购票每次20元，乙方式购买一张动物园年卡80元；
（3）解：甲：，解得，即甲种消费卡可玩12次；
乙：，解得，即乙种消费卡可玩16次；
，
∴选择乙种消费卡划算．
3．（1）解：根据题意可得：
，
；
（2）解：①当时，，．
∵23200>22400，
该厨具店选择方案二更省钱．
②更省钱的购买方案：
购买80个电饭煲，按方案一获赠80个电热水壶，再按方案二购买剩余的120个电热水壶．
该方案所需费用为（元）．
4．（1）解：由图可得，快车和慢车的速度差为，
∵慢车的速度为，
∴快车的速度为，
∴两地相距；
，
设快车返回时速度为，
则，
解得，
∴快车返回时速度为；
故答案为：330；100；
（2）解：两车相遇时，慢车行驶的距离为，
∴快车以返回的速度继续向甲地行驶，到达甲地还需时间为，
故答案为：2.8；
（3）解：两车第一次相距时，慢车出发时间为；
快车到达乙地卸装货物结束时，和慢车的距离为，
∴点的坐标为，
设线段的解析式为，
代入和，得，
解得，
∴线段的解析式为，
令，则，
解得，
∴当慢车出发后，两车第二次相距；
答：慢车出发或后，两车相距．
【考点七】规律问题探究
【题型 30】二次根式与勾股数的规律探究
1．D
解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：，
……
第n个等式：．
故选：D．
2． 7 41
解：三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组，
，
∵b是正整数，
为奇数，
∵“邻近”勾股数组中，a是连续的奇数，
∴当时，（对应数组）；
当时，（对应数组）；
当时，下一个奇数为7，
验证：，，
满足且，
∴，
由规律可知，是第n个符合条件的奇数，
∴，
∴当时，．
故答案为：7；41．
3．
解：∵，
，
，
…，
∴
∴，
∴
．
故答案为：．
【题型 31】平面直角坐标系与一次函数规律探究
1．D
解：由图可知：第一个正方形共有个点，且终点为；
第二个正方形连同第一个正方形共有个点，且终点为；
第三个正方形连同前两个正方形共有个点，且终点为；
第四个正方形连同前三个正方形共有个点，且终点为；
…
∴第n个正方形，连同前边所有正方形共有个点，当n为奇数时，正方形终点为，当n为偶数时，且终点为．
∵，
∴，
解得：．
∴第2025个点的横坐标为45．
故选：D
2．
解：∵直线，当时，，
，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
，
∴点的横坐标为，
把代入，得，
，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
，
∴点的横坐标为，
同理可得，，
∴点的横坐标为，
,
点的横坐标为，
设，则，
∴②①，得,
即，
∴点的横坐标为，
∴点的横坐标是，
故答案为：．
3．
解：由直线：可知，，
由平行于坐标轴的两点的坐标特征和直线、对应的函数表达式可知，
，，
，，，
，，
，，，，
由此可得，，
∴当动点到达点处时，运动的总路径的长为，
∴当点到达处时，运动的总路径的长为．
故答案为：．
4．
解：如图，分别过点，，作轴的垂线段，垂足分别为点、、，
∵，且是等腰直角三角形，
∴，
设，，
∴，
∴，
将点的坐标代入，得：，
解得：，
∴，，
同理求得，，
∴，
，
，
……
∴．
故答案为：．
【考点八】方案设计与综合探究
【题型 32】一次函数与二元一次方程组的方案选择问题
1．（1）解：由题意得，①，②，③，
故答案为：①，②，③；
（2）解：由题意得，； ；
（3）解：因为，即，
可得，
得，
又，
得．
∵，
一次函数中，，
故随增大而减小，
∴内，取最大值120时，总最小．
故调运方案为：甲地运往厂：120吨，甲地运往厂：吨；乙地运往厂：吨，乙地运往厂：吨，
所以（元）．
2．（1）解：与成一次函数，
设，将，，，代入，得：
，
解得：．
所以关于的一次函数表达式为；
（2）设销售该产品每天利润为元，关于的函数表达式为：
，
当时，，
，
当时，有最大值，最大值是7200；
当时，，
，
随增大而减小，即当时，的值最大，最大值是6000；
综上所述，当时，的值最大，最大值是7200，
即在90天内该产品第40天的销售利润最大，最大利润是7200元；
（3）当时，由可得，
解得：，
，
；
当时，由可得，
解得：，
，
，
综上，，
故在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元．
3．（1）解：当时，则，
答：当时，y与x之间的函数关系式为．
（2）解：∵200度电费为：，400度电费为：，
，
∴小强家该月的用电量处于第二档，
令，则，解得：．
答：小强家该月的用电量处于第二档，该月的实际用电量为250度．
（3）解：∵，
∴小强家本月用电量属于第三档，
∴
元．
答：小强家这一个月实付金额元．
4．（1）解：由题意得C点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23小时；
∵游轮的速度为20km/h，
∴游轮航行时间为（h），
（h），
∴游轮在“七里扬帆”停靠的时长为；
（2）解：由题意得游轮到达七里扬帆用时（h），
（h），（h），
∴点B坐标为，点D坐标为，点E坐标为，
设线段解析式为，
∵点B坐标为，点C坐标为，
∴，
解得，
∴线段解析式为；
设线段解析式为，
∵点D坐标为，点E坐标为，
∴，
解得，
∴线段解析式为．
当货轮未追上游轮，相距12km时，
，
解得，
当货轮超过游轮，相距12km时，
，
解得．
答：当游轮出发21.6或22.4小时时，游轮与货轮相距12km．
【题型 33】坐标系中一次函数动点问题
1．解：（1）∵，，
∴，
∴
∴
；
（2）①由题意可知， ABC是等腰直角三角形，且；
如图2，过点作轴于．
当时，则，
点的坐标为，即；
当时，则
解得
点的坐标为，即．
，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为．
②由题意设点的坐标为，设点的坐标为．
情况1．如图3，当，时，
过点作轴，过点作轴，过点做轴，则，则点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴，
，
，
解得，
此时点的坐标为；
情况2．如图4，当时，过点作轴于点，过点作轴于点，则，则点的坐标为，点的坐标为，
由“K形图”可得
，
，
解得，
此时点的坐标为，
情况3．如图5，当时，过点作轴于点，过点作于点，则，则点的坐标为，点的坐标为，
由“K形图”可得
，
，
解得，
此时点的坐标为，
综上所述，满足题意的点的坐标为或或．
2．（1）解：，
∴当时，，当时，，解得：，
∴；
（2）解：∵点是线段上的一个动点（不与重合），
设点的横坐标为，过点作轴，
∴点坐标为，
∴的面积：
∴的面积与之间的函数关系式为；
（3）解：①．
理由如下：当的面积时，
，解得：，
∴点坐标为，
∴，
∵，
∴；
②存在，
过点作轴交轴于点，过点作于点，过点作于点，分两种情况：
情况一：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴∠AFE+∠FAE=∠FAE+∠PAG=90°，
∴∠AFE=∠PAG，
在和中，
，
∴≌（AAS），
∴，
∴点
情况二：∵是等腰直角三角形，同理≌（AAS），
∴，
∴，
综上所述，点的坐标为或．
3．（1）解：∵在中，，且，
∴，
∵，
∴，
∵点B的坐标是，
∴，
∵，
∴，
∴点A的坐标；
（2）解：令时，则，解得：，
令时，则，
∴，即，
当点C在y轴的左侧时，如图所示：

过点C作轴于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点C在y轴的右侧时，如图所示：

过点C作轴于点E，
同理可得，
∴，
∴，
∴；
综上所述：点C的坐标为或；
（3）解：在点B的运动过程中，的长度不发生变化，理由如下：
如图，过点C作轴于点F，

设，
∵，
∴，，
同理（2）可得：，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则有：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
令时，则，即，
∴．
4．（1）解：如图所示，过点B作轴于T，
∵，轴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点D是的中点，
∴，
∵，且点E在y轴正半轴上，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得，
∴；
在中，当时，，
∴，
∴，
∴
；
（3）解；如图所示，当点D为直角顶点，且点P在点D上方时，
过点D作轴于M，过点P作交延长线于N，
由（2）可得，
∴，
∵，
∴；
∵是等腰直角三角形，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
如图所示，当点D为直角顶点，且点P在点D下方时，
过点D作轴，过点P作于N，过点A作于M，
同理可证明，
∴，
∴点P的横坐标为，纵坐标为，
∴；
如图所示，当点A为直角顶点时，同理可得
综上所述，点P的坐标为或或或．

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