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2025—2026学年度上学期期末质量监测
九年级数学评分参考
（※其他正确解法或证法请参照赋分）
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．A 2．D 3．B 4．C 5．D 6．B 7．C 8．A 9．C 10．B
二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
11 30． 12．2:5 13 1 1．（ ，1）或 （ ，-1） 14．-3 15．6 或 7
R 2 2
三、解答题（本题共 8 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．解：（1） 2x2 4x 1 0
这里 a 2， b 4， c 1．
∵ b2 4ac ( 4)2 4 2 ( 1) 24＞0，……………………………1 分
x ( 4) 24 2 6∴ ， ………………………………………3 分
2 2 2
x 6 6即 1 1 ， x2 1 ．…………………………………………5 分2 2
（2） 2 x 3 2 x2 9 ，
原方程可变形为
2(x 3)2 (x2 9) 0 ，
2(x 3)2 (x 3)(x 3) 0， ……………………………………………1 分
(x 3) 2(x 3) (x 3) 0，
(x 3)(x 9) 0，…………………………………………………………3 分
x 3 0，或 x 9 0 ．
∴ x1 3， x2 9．…………………………………………………………5 分
16 题（1）（2）的解法不唯一，其他解法参照参考答案给分即可．
数学评分参考 第 1页 （共 9页）
17．解：（1）关于 x 的一元二次方程 x2 (k 5)x 5k 0 ，
这里 a 1， b (k 5)， c 5k ，
b2 4ac (k 5) 2 4 1 5k k 2 10k 25 (k 5)2 ……………2 分
∵ (k 5)2 0，
∴无论 k 取何值，这个方程总有实数根．…………………………………4 分
（2）当等腰三角形的腰长为 8 时，则方程的一个根为 8，
将 x＝8 代入方程，得82 8(k 5) 5k 0，
解得 k 8 ，
将 k 8 代入方程，得 x2 13x 40 0，
解得 x1 8， x2 5，
所以这个等腰三角形的周长为：8+8+5＝21， …………………………6 分
当等腰三角形的底长为 8 时，则方程有两个相等的实数根，
所以 (k 5)2 0，即 k 5，
所以方程为 x2 10x 25 0，解得 x1 x2 5 ，
所以这个等腰三角形的周长为：8+5+5＝18，
综上所述，这个等腰三角形的周长为 21 或 18．…………………………8 分
18．解：（1） 1 ． ………………………………………………………………………2 分
4
（2）列表如下：
第二个项目 A B C D
第一个项目
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
……………………………………………………6 分
总共有 12 种结果，每种结果出现的可能性相同．其中， 恰好抽到“糖画（B）”
和“皮影（C）”这两个项目的结果有 2 种：（B，C），（C，B），
所以 P 2 1(恰好抽到B和C） ． ……………………………………………8 分12 6
19．（1）证明：∵点 F 是 DE 的中点，
∴DF=EF，
∵DG∥BC，
数学评分参考 第 2页 （共 9页）
∴ DGF EBF , GDF BEF ,
∴△DFG≌△EFB，………………………………………………………1 分
∴DG BE ，
∵DE 垂直平分 BC，
∴ BE CE , GDF 90 ，
∴DG CE , ………………………………………………………………2分
又∵DG∥BC，即 DG∥CE，
∴四边形 DECG 是平行四边形， ………………………………………3 分
又∵ GDF 90 ，
∴四边形 DECG 是矩形．…………………………………………………4 分
（2）连接 CD． …………………………………………………………………5 分
由（1）得，DG BE CE，
∵BD=5，DG=3，
∴在 Rt△BDE，由勾股定理得，DE BD2 BE 2 52 32 4 ，
∴ S 1 BC DE 1△BCD (3 3) 4 12 ， …………………………6 分2 2
∵BD=5，AD=2，
S
∴ △ACD 2 ，
S△BCD 5
∴ S 24△ACD ， …………………………………………………………7 分5
∴ S 84△ABC S△ACD S△BCD ． ………………………………………8 分5
20．（1）解:设每次上调的百分率为 x， 根据题意，得 ………………………………1 分
10(1 x)2 12.1………………………………………………2 分
解这个方程，得
x1 0.1 10 00 ， x2 2.1＜0 （不合题意，舍去），………3 分
答：每次上调的百分率为10 00 ． ……………………………………………4 分
（2）解：设营养液每瓶降低 y 元，根据题意，得 ………………………………5 分
(40 y)(90 y ) 3572………………………………………………6 分
0.5
解这个方程，得
y1 2， y2 7＜0（不合题意，舍去），…………………8 分
答：营养液每瓶降低 2 元，刚好用完 3572 元的采购预算．………………8 分
数学评分参考 第 3页 （共 9页）
21．解：（1）根据题意得∠POA＝∠NAM＝90°，∠PAO＝∠NMA，
∴△APO∽△MNA，………………………………………………………1 分
∴ OP OA ，………2 分
AN AM
∴ OP 18 ，
1.7 1.8
∴OP＝17，
答：景观灯 OP 的高为 17 米； ……………………………………………3 分
（2）
F E
………………………………………4 分
如图所示，线段 AE 和线段 BF 分别是小陈站在 A 点和 B 点时，在景观灯照
射下形成的影子； ………………………………………………………5 分
（3）如（2）图所示，根据题意得∠POE＝∠NAE＝90°，∠PEO＝∠NEA，
∴△POE∽△NAE，
∴ OP OE ，
AN AE
∵OP＝17m，AN＝1.7m，OA＝18m，
∴ 17 18 AE ，
1.7 AE
解得：AE＝2， ……………………………………………………………6 分
∵∠POF＝∠CBF＝90°，∠PFO＝∠CFB，
∴△DCB∽△DPO，
数学评分参考 第 4页 （共 9页）
∴ OP OF ，
BC BF
∵OP＝17m，BC＝1.7m，OB＝OA﹣AB＝18﹣9＝9m，
∴ 17 9 BF ，
1.7 BF
解得：BF＝1， ……………………………………………………………7 分
AE﹣BF＝2﹣1＝1m，
答：小陈影子的长度变短了，变短了 1 米． ……………………………8 分
22．解：（1）根据题意点 A（ 3，2）的 5 阶映射变换对应点为 A （ 3+2， 2+1），
即 A （ 1， 1）， ……………………………………………………1 分
k将 A （ 1， 1）代入 y k 得， 1 ，
x 1
解得 k 1；…………………………………………………………………2 分
（2）当 a 3＞0 ，即 a＞3 时，点 B（ a 3， 1）的 0 阶映射变换对应点
B （ a 3 2， 1+1），即 B （ a 1，0），
将 B （ a 1，0），代入 y x 4 得， 0 (a 1) 4 ，解得 a 5 ；
………………………………………………4 分
当 a 3 0，即 a 3时，点 B（ a 3， 1）的 0 阶映射变换对应点
B （ a 3 2， （ 1）+1），即 B （ a 1，2），
将 B （ a 1，2），代入 y x 4 得， 2 (a 1) 4 ，解得 a 3 ；
综上所述，a 的值为 5 或 3；………………………………………………6 分
（3）①∵点 C 是点 D 的 1 阶映射变换对应点，点 D（t，s），
∴当 t＞1时，C（t+2，s+1），
将 C（t+2，s+1）代入 y 2x 1，得
数学评分参考 第 5页 （共 9页）
s 1 2(t 2) 1，
∴ s 2t 2；…………………………………………………………………7 分
当 t 1时，C（t+2，s+1），
将 C（t+2， s+1）代入 y 2x 1，得
s 1 2(t 2) 1，
∴ s 2t 2 ；………………………………………………………………8 分
2t 2 (t＞1）
综上所述， s ．……………………………………………9 分
2t 2(t 1)
②当m＜0时，E（m， 2m 2 ），F（m， 8 ），
m
∴ EF 2m 8 2 ，
m
∵EF=8，
∴ 2m 2 8 8 ，
m
解得m1 1，m2 4 ，
当 0＜m＜1时， EF＞8，不合题意，舍去；
当1 m 17 1 时， EF＜4，不合题意，舍去；
2
m 17 1当 ＞ 时，E（m， 2m 2），F（m， 8 ），
2 m
∴ EF 2m 8 2 ，
m
∵EF=8，
∴ 2m 2 8 8，
m
解得m1 4 ，m2 1（＜0 舍去）；
数学评分参考 第 6页 （共 9页）
综上所述，m 的值为或 1， 4 ，4．……………………………………12 分
23．解：（1）4 2－4 ……………………………………………………………………2 分
（2）∵将线段 PM 绕点 P 顺时针旋转 45°得到线段 PN，
∴PM＝PN，∠MPN=45°，……………………………………………3 分
∴∠DPM +∠NPB＝180°－∠MPN＝135°．
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴CD＝CB，∠DCB＝90°，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°， ……………………………………………4 分
∴∠DPM +∠DMP＝135°，
∴∠NPB＝∠DMP， ……………………………………………………5 分
∴△DMP≌△BPN，
∴BP＝DM． ……………………………………………………………6 分
在 Rt△CDB 中， BD CD2 BC 2 8 2．………………………7 分
∵点 M 为边 CD 中点，
1
∴DM＝ CD＝4，
2
∴DP＝DB－BP＝8 2－4． ……………………………………………8 分
（3）过点 A 作 AF⊥AN，在 AF 上取一点 E，使 AE＝AN，连接 BE，ET，
…………………………………………………9 分
∵AF⊥AN，
∴∠NAE＝90°．
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝AP，∠PAB＝90°．
数学评分参考 第 7页 （共 9页）
∴∠EAB＝90°－∠BAN，∠NAP＝90°－∠BAN．
∴∠EAB＝∠NAP．
又∵AE＝AN，AB＝AP，
∴△NAP≌△EAB．…………………………………………………………10 分
∴PN＝BE，∠APN＝∠ABE．
∵将射线 AN 绕点 A 逆时针旋转 45°得到射线 AH，
∴∠TAN＝45°，
∴∠NAT＝∠EAT．
∵AT＝AT，AN＝AE，
∴△NAT≌△EAT．……………11 分
∴NT＝ET．
∵BT∥PN，
∴∠NDB+∠DBT＝180°．
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴CD＝CB，∠C＝90°，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，
∵将线段 PM 绕点 P 逆时针旋转α得到线段 PN，
∴∠NPM＝α，
∴∠CBT＝90°－α．
∵∠APN＝90°+ α，
∴∠ABE＝90°+ α．
∵∠ABE+∠ABC+∠CBT+∠TBE＝360°，
∴∠TBE＝90°． …………………………………………………………12 分
数学评分参考 第 8页 （共 9页）
∴在 Rt△TBE 中， BT 2 BE 2 ET 2 ，
∴ BT 2 PN 2 NT 2 ． …………………………………………………13 分
数学评分参考 第 9页 （共 9页）

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