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2025-2026学年云南省红河州红河县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知与点P在同一平面内，如果的半径为5，线段OP的长为4，则点P( )
A. 在上 B. 在内 C. 在外 D. 无法确定
3.在平面直角坐标系xOy中，点关于原点对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
4.对于抛物线，下列描述错误的是( )
A. 抛物线的开口向下 B. 对称轴为直线
C. y有最小值1 D. 当时，y随x的增大而增大
5.关于x的一元二次方程为实数根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不能确定
6.如图，AB是的直径，，则( )
A. B. C. D.
7.已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系( )
A. B. C. D.
8.如图，在半径为4的中，于D，点D为OC中点，弦AB的长为( )
A.
B.
C.
D.
9.某市组织一次足球联赛，赛制为单循环形式每两队之间都要赛一场，共比赛了21场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是( )
A. B. C. D.
10.抛物线；可以将抛物线平移得到，则平移方法是( )
A. 向左平移5个单位，再向上平移2个单位 B. 向左平移5个单位，再向下平移2个单位
C. 向右平移5个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移5个单位，再向下平移2个单位
11.直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是( )
A. B.
C. D.
12.如图，把绕点C顺时针旋转，得到，交AC于点D，若，则度数为( )
A.
B.
C.
D.
13.若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A. B. 且 C. D. 且
14.如图，抛物线与直线的两个交点分别为，，则关于x的方程的解集为( )
A.
B.
C. 或
D. 或
15.如图是二次函数的图象的一部分，图象过点，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的是( )
A. ②③⑤
B. ①③
C. ②③
D. ①④⑤
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
16.已知方程是关于x的一元二次方程，则m的值是 .
17.俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年.如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是 .
18.如图，是的内切圆且与AB，BC，AC相切于点D，E，F，若，，，则的周长为 .
19.已知的半径为5，弦，弦，，则这两条平行弦AB、CD的距离为 .
三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题6分
解方程：
；
21.本小题8分
在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，请解答下列问题：
画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标；
将绕点B逆时针旋转，画出旋转后的
22.本小题8分
已知关于x的一元二次方程有两个实数根和
求实数m的取值范围；
若，求m的值.
23.本小题8分
如图，二次函数的图象经过，，三点.
观察图象，直接写出：当x满足______时，y随x的增大而减小；
求抛物线的解析式；
观察图象，直接写出：当时，y的取值范围______.
24.本小题8分
某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道如图所示，求人行通道的宽度．
25.本小题8分
公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个.设该品牌头盔售价为x元，月销售量为
①直接写出y关于x的函数关系式；
②该品牌头盔的实际售价定为多少元时，商家能获得最大利润？最大利润是多少？
26.本小题8分
如图，中，，以AB为直径作交BC于点D，作交AC于点E，延长ED交AB的延长线于点
求证：DE是的切线；
若为等边三角形，，求半径的长.
27.本小题8分
如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为点
求点A，B，C的坐标；
对称轴上有一点P，当最小时，求点P的坐标；
二次函数图象上是否存在点Q，使得，若存在请直接写出点Q的坐标，若不存在请说明理由.
参考答案
一、选择题：
1.C
2.B
3.B
4.C
5.B
6.B
7.A
8.C
9.C
10.D
11.D
12.C
13.C
14.C
15.B
二、填空题：
16.1
17.
18.18
19.1或7
三、解答题：
20.解：原方程配方得：
，
，
，
解得；
原方程移项可得：
，
，
，
解得，
21.解：如图，即为所求．
由图可得，
如图，即为所求．

22.解：
，
，
，
故实数m的取值范围为；
由题意可得：
，，
又，
，
，
解得，，
又，
23.解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，
当时，y随x的增大而减小；
故答案为：；
设抛物线的解析式为，
由题意可得：
，
解得，
；
，
当时，；
由图象可知：当时，
故答案为：
24.解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
，
化简整理得，
解得，不合题意，舍去
答：人行通道的宽度是
25.解：根据题意得：，
；
根据题意得：
当元时，w取最大值12250元．
答：当时，利润最大，最大值为12250元．
26.证明：连接OD，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：为等边三角形，
，
是的直径，
，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
半径的长为
27.解：对于，当时，，令，则或3，
即点A、B、C的坐标分别为：、、；
点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接BC交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：，
抛物线的对称轴为直线，当时，，即点；
存在，理由：
由抛物线的表达式知，点，
，则，
即，
解得：或，
即点Q的坐标为：或或或

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