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2025-2026学年吉林省长春市汽开区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.16的平方根是( )
A. 4 B. C. D.
2.下列各组数中，勾股数是( )
A. 8，15，16 B. 1，1， C. ，， D. 5，12，13
3.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，若≌，且，，则EC的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
5.把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是( )
A. B.
C. D.
6.若，，且，则ab的值为( )
A. 4 B. C. 6 D.
7.如图，在中，，利用尺规在BA，BC上分别截取；分别以点M、N为圆心，以大于MN的长的一半为半径作圆弧，两弧在内部交于点E，作射线BE交AC于点若，点H为AB上的一动点，则FH的最小值是( )
A. B. 1 C. 2 D.
8.如图，等腰中，，点D在AB上，点E、F在直线CB上，，过B作交DF于G，则下列说法中不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共7小题，共26分。
9.分解因式：______.
10.命题“如果，那么”，该命题是 命题填“真”或“假”
11.如图，是长为10cm，宽为4cm，高为6cm的长方体纸箱，E点处有几滴蜂蜜，一只蚂蚁欲从点A出发沿纸箱表面爬行到点E处吃蜂蜜，则蚂蚁爬行的最短距离是 .
12.如图，在中，，点M、N分别在边AC、AB上，连接MN，将沿直线MN折叠，点A恰好落在BC边上的点D处，且，若，，则线段BN的长为 .
13.如图，在中，DE是AB的垂直平分线，且，的周长为13cm，则的周长为
14.如图，在中，，，的平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F，连结①；②；③点F到三边的距离相等；④上述结论中，所有正确结论的序号是： .
15.数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形.
若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片 张，B号卡片 张，C号卡片 张.
观察图2的面积关系，写出正确的等式 .
两个正方形ABCD、AEFG如图3摆放，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分面积的和.
三、解答题：本题共9小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题6分
计算：
17.本小题6分
计算：
18.本小题6分
先化简，再求值：，其中a，b满足：
19.本小题7分
如图，在和中，，，若，求的度数.
20.本小题7分
图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上.
在图①中，画等腰三角形ABC，使其面积为3；
在图②中，画等腰直角三角形ABD，使其面积为5；
在图③中，画平行四边形ABEF，使其面积为
21.本小题7分
为深化课程改革，某校为学生开设了形式多样的社团课程．为了了解部分社团课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取八年级m名学生进行调查，从A：文学鉴赏，B：科学探究，C：文史天地，D：趣味数学四门课程中选出你最喜欢的课程被调查的每名学生必选且只能选择一门课程，并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示，根据以上信息，解答下列问题：
______人，______；
扇形统计图中，“D”所对的扇形的圆心角是______，并补全条形统计图；
根据本次调查，该校八年级1240名学生中，估计最喜欢“科学探究”的学生人数为多少？
22.本小题9分
上数学课时，王老师在讲了完全平方公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值.同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：，
，
，
当时，的值最小，最小值是
的最小值是
请你根据上述方法，解答下列各题：
【知识再现】求当x为何值时，代数式有最小值，最小值是多少；
【知识运用】
若，当______时，y有最______值填“大”或“小”，这个值是______；
【知识拓展】若，直接写出的最小值.
23.本小题10分
【问题呈现】如图①，在中，，，点D是边AC上一点点D不与点A、C重合，连结BD，过点D作BD的垂线、过点A作AB的垂线，两直线交于点求的值.
【问题分析】小慧在解决此问题时，由“”联想到“构造以AD为直角边的等腰直角三角形”，便尝试着过点D作AC的垂线，与AB相交于点图②，得到，于是将转化为AF，再通过证明≌，将AE转化为BF，进而求出的值.
【问题解决】请根据小慧的想法，结合图②，证明≌；
直接写出的值；
【问题提升】在图①中，连结BE，设点G是BE的中点，当直线EA与直线BC的交点与点D、G在同一直线上时，AD的长为______.
24.本小题12分
如图，在中，，，，以AC为边作正方形点D和点B在AC的异侧动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点E运动，设点P的运动时间为t秒
用含t的代数式表示DP的长.
连结AP，当时，AP的长为______.当时，AP的长为______.
当点P在CD边上时，若是以AB为腰的等腰三角形，求t的值.
当点P与正方形ACDE的顶点不重合时，若点P到四边形ABDE的一组邻边距离相等，直接写出t的值.
参考答案
一、选择题：
1.C
2.D
3.C
4.B
5.D
6.A
7.C
8.D
二、填空题：
9.
10.真
11.
12.
13.23
14.①③④
15.2，5，
三、解答题：
16.解：原式
17.解：
18.解：
，
，
，
，，
，，
则原式
19.解：，
，均为直角三角形，
在和中
，
，
20.解：如图①，等腰三角形ABC即为所求；
，
等腰三角形ABC的面积，
故等腰三角形ABC即为所求；
如图②，等腰直角三角形ABD即为所求；
，，且符合，
等腰直角三角形ABD的面积；
如图③，平行四边形ABEF即为所求；
且AF与BE平行，
平行四边形ABEF的面积
21.解：；15
；
C等级的人数：人
补全条形统计图如下：
最喜欢“科学探究”的学生人数为：
人
22.解：，
，
当，即时，代数式取得最小值；
最小值为
答：当时，代数式的最小值是1；
，
，；
当，即时，y有最大值，最大值
故答案为：1，大；；
由得；
则，
当时，取得最小值，最小值为
故答案为：
23.【问题解决】证明：过点D作，与AB相交于点F，如图：
，，
，
是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：，，
，
由知≌，是等腰直角三角形，
，，
；
【问题提升】解：设直线EA与直线BC交于H，过D作于M，如图：
由知≌，
，
，
是等腰直角三角形，
为BE的中点，
，
是AB的垂直平分线，
，
，即HD是的平分线，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
故答案为：
24.解：，以AC为边作正方形ACDE，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
当点P在线段CD上运动时，，此时；
当点P在线段DE上运动时，，此时；
故当时，；当时，；
当时，此时点P在线段CD上，则；
当时，此时点P在线段DE上，则，
故答案为：；5；
是以AB为腰的等腰三角形，
当，则，
解得；
当，则，
解得；
或；理由如下：
点P到四边形ABDE的一组邻边距离相等，
点P在角平分线上，
当点P在线段CD上时，如图1，
则点P到AB的距离为，
，即，
解得；
当点P在线段DE上时，如图2，
则点P到CB的距离为，
，
即，
，
解得；
综上，或

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