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2025-2026学年北京市人大附中朝阳学校八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，为轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算结果为的是( )
A. B. C. D.
3.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是( )
A. 3cm，4cm，8cm B. 8cm，7cm，15cm
C. 5cm，5cm，11cm D. 13cm，12cm，20cm
4.如图，中AB边上的高是( )
A. AH B. BD C. CF D. BE
5.如图，，，要使≌，需要添加下列选项中的( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，中，，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则的大小为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称.若，，，则的周长为( )
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
8.如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点C的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.在平面直角坐标系xOy中，点关于y轴对称的点的坐标为 .
10.计算： .
11.中，，，，则a的取值范围是 .
12.空调外机安装在墙壁上时，一般都会像如图所示的方法固定在墙壁上，这种方法是利用了三角形的______.
13.如图，在中，，是的外角．若，则
14.如图，≌，点D在边BC上，，则
15.如图，是等边三角形，于点D，于点若，则 ，AE： .
16.已知：如图，BD为的角平分线，且，E为BD延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论：①≌；②；③；④，其中正确的结论有______填序号
三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题9分
计算：
；
；
18.本小题6分
数学课上，王老师布置如下任务：
如图，中，，在BC边上取一点P，使
小路的作法如下：
①作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；
②连接
请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图保留作图痕迹；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：
是AB的垂直平分线，
______，依据：______；
______，依据：______
，
19.本小题6分
如图，DB是的高，AE是角平分线，，求的度数．
20.本小题6分
如图，A，B，C，D是同一条直线上的点，，，求证：
21.本小题6分
如图，的三个顶点的坐标分别为，，
画出关于x轴对称的图形，其中点A，B，C的对称点分别为，，，并写出点，，的坐标；
点P在x轴上，当时，点P的坐标为______.
22.本小题6分
如图，点A在线段BE上，，，，C、D在线段BE同侧，分别连接BD、CE交于点
求证：；
若，求的度数.
23.本小题7分
综合与探究
问题情境：数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动.如图1，在中，，于点D，AE平分交CD于点
初步分析：
智慧小组的同学发现是等腰三角形，请你证明这一结论；
博学小组的同学发现给添加一个条件，可使成为等边三角形，添加的条件可以是______写出一种即可；
操作探究：
创新小组的同学从图形轴对称的角度进行了如下的探究.
如图2，将沿直线AE翻折，点C的对应点C恰好落在AB上.连接，猜想此时线段与CE的位置关系，并证明.
24.本小题7分
如图，在中，，点B关于直线AC的对称点为D，分别连接BD、AD，点C关于直线AB的对称点为E，连接CE交BD于点F，连接AE，连接AF并延长，交BC于点
根据题意补全图形；
求证：
25.本小题7分
已知在中，，且作，使得
如图1，若与互余，则______用含的代数式表示；
如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：；
若与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论.
26.本小题8分
如图1，E是等边三角形ABC的边AB所在直线上一点，D是边BC所在直线上一点，且D与C不重合，若则称D为点C关于等边三角形ABC的反称点，点E称为反称中心.
在平面直角坐标系xOy中，
已知等边三角形AOC的顶点C的坐标为，点A在第一象限内，反称中心E在直线AO上，反称点D在直线OC上.
①如图2，若E为边AO的中点，在图中作出点C关于等边三角形AOC的反称点D，并直接写出点D的坐标：______；
②若，求点C关于等边三角形AOC的反称点D的坐标；
若等边三角形ABC的顶点为，，反称中心E在直线AB上，反称点D在直线BC上，且请直接写出点C关于等边三角形ABC的反称点D的横坐标t的取值范围：______用含n的代数式表示
参考答案
一、选择题：
1.A
2.C
3.D
4.C
5.D
6.C
7.B
8.C
二、填空题：
9.
10.
11.
12.稳定性
13.60
14.36
15.6；
16.①②④
三、解答题：
17.
；
；
18.解：如图，点P为所作；
理由如下：
是AB的垂直平分线
，依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；
，依据：等边对等角
，
故答案为：BP；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；；等边对等角．
19.解：是角平分线，，
，
是的高，
，

20.证明：，
，
又，，
≌，
21.如图，即为所求．
由图可得，，，
设交x轴于点D，
可知x轴垂直平分线段，，
点P在x轴上，
，
，
，
，
点P的坐标为或
故答案为：或
22.证明：，
，即，
在和中，
，
≌，
；
解：≌，
，
，
，
，，
，
，
23.解：平分，
，
，，
，，
，
，
是等腰三角形；
添加，可使成为等边三角形，理由如下：
平分，
，
，，
，，
，
，
是等腰三角形；
又，
是等边三角形；
故答案为：；
证明：由折叠可知，，，
，
，
由知，
，
四边形是平行四边形，
24.解：如图所示．
证明：设CE交AB于点M，BD交AC于点N，
点B关于直线AC的对称点为D，点C关于直线AB的对称点为E，
垂直平分BD，AB垂直平分CE，
，，，
，，
，，
≌，
，
，
，
是BC的垂直平分线，
是的平分线，
，
，
即
25. 解：
，
与
，
，
故答案为
证明：作于E，
，，
，，，
，
与互补，
，
，
，
，，
≌，
；
或与互补；理由如下：
如图1，作于M，于N，
与的面积相等，
，
，
，
，
；
如图2，作于F，交AC延长线于G，
与的面积相等，
，
，
，
，
，
，
，
与互补．
证明：作于E，
，，
，，，
，
与互补，
，
，
，
，，
≌，
；
或与互补；理由如下：
如图1，作于M，于N，
与的面积相等，
，
，
，
，
；
如图2，作于F，交AC延长线于G，
与的面积相等，
，
，
，
，
，
，
，
与互补．
26.解：①如图2，过点E作，垂足为F，
，，
，
点C的坐标为，
，
点E是AO的中点，
，
，，
，
，
，
，
，
点D坐标，
故答案为：；
②等边三角形AOC的两个顶点为，，
是等边三角形AOC的边AO所在直线上一点，且，
点E与坐标原点O重合或点E在边OA的延长线上，
如图3，若点E与坐标原点O重合，
，，
是边OC所在直线上一点，且D与C不重合，
点坐标为
如图4，若点E在边OA的延长线上，且，
，
为等边三角形，
，
点D与点C重合．
这与题目条件中的D与C不重合矛盾，故这种情况不合题意，舍去，
综上所述：；
，，
，
，
，
点E在AB的延长线上或在BA的延长线上，
如图点E在AB的延长线上，过点A作，过点E作，
，
，
，，
，
，
，
，
，
点B坐标为，
，
如图点E在BA的延长线上，过点A作，过点E作，
同理可求：点D的横坐标t的取值范围：，
综上所述：点D的横坐标t的取值范围：或
故答案为：或

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