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2025-2026学年山东省济南市平阴县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.上马石是古人上下马的工具，形状如图①.它可以看作图②所示的几何体，该几何体的俯视图为( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，，，，，那么BF的长为( )
A.
B.
C.
D. 7
3.关于反比例函数，下列结论正确的是( )
A. 图象位于第二、四象限 B. 当时，y随x的增大而减小
C. 当时， D. 图象与坐标轴有交点
4.方程左边配成一个完全平方式后，所得的方程是( )
A. B. C. D.
5.已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是( )
A. B. 2 C. D. 1
6.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.如图，点E是 ABCD的边AD上的一点，且DE：：2，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若，，则 ABCD的周长为( )
A. 21 B. 28 C. 34 D. 48
9.如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB投射到与胶片平行的屏幕上，形成影像已知，胶片与屏幕的距离EF为定值，设点光源到胶片的距离OE长为单位：，CD长为单位：，y随x的变化而变化，且当时，，则y与x的函数关系可表示为( )
A. B. C. D.
10.在正方形ABCD中，，E是BC的中点，在BC延长线上取点F使，过点F作交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，以下结论中：①；②；③；④正确结论的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知，则的值是 .
12.在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20g和70g的物品后，天平倾斜如图所示现从质量为10g，20g，30g的三件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为 .
13.已知和中，有，且和的周长之差为15cm，则的周长为
14.如图，在中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交BC于点D，连接AD，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交射线BC于点E，连接若，则BC的长为 .
15.反比例函数的图象如图，在中，，边轴，边轴且与函数图象交于E点，边AC与此函数图象交于C、D两点，且AE：：2，，则k的值为 .
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题6分
解下列方程：
17.本小题6分
若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，
求实数m的取值范围；
若，求m的值.
18.本小题6分
如图，在中，，，D是BC边上一点，且求AC的长.
19.本小题8分
某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过65元．
若销售单价为每件52元，求每天的销售利润；
要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品的售价应为多少元？
20.本小题10分
在一个不透明的口袋里装有红色、蓝色、白色三种小球，这些小球除颜色外都相同，其中红球有1个，蓝球有2个.从口袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，大量重复试验后，发现蓝球出现的频率稳定在附近.
口袋中白球的数量为______个；
小明和小颖玩摸球游戏，规则如下：两人同时从口袋中各摸出1个小球，若两人摸出的小球颜色相同，则小明获胜；若两人摸出的小球颜色可配成紫色红色和蓝色可配成紫色，则小颖获胜.请用表格或树状图分析游戏是否公平，若不公平，规则对谁更加有利？
21.本小题10分
在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形.
写出点P的坐标为______；
以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为2：1；
的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为______.
22.本小题10分
心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化.开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间分钟的变化规律如图所示其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分
分别求出线段AB和曲线CD的函数解析式；
开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？为什么？
为贯彻“品质课堂”的教育理念，以立德树人为根本任务，以“减负增效提质”为目标，立足打造“教有品、学有质、评有效”的品质课堂，某节数学课的学习主要可分为三个环节：即“整体感知，明确目标--探究思考，归纳新知--辨别应用，巩固新知”，其中重点环节“探究思考，归纳新知”这一过程要求至少需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于请问这样的要求能否实现？如果能，请给出此环节时间安排的具体方案；如果不能，请说明理由.
23.本小题10分
学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上点F、B、D也在一条直线上已知小明的身高米，“标杆”米，且米，米．
求大楼的高度CD为多少米垂直地面？
小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度米，那么相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动多少米？
24.本小题12分
已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点P在线段OA的延长线上.
求反比例函数的表达式；
如图1，过点P作y轴的平行线l，l与的图象交于点B，与x轴交于点C，当线段时，求点B的坐标；
在的条件下，如图2，连接AB并延长，与x轴交于点D，点Q为x轴上一点，且满足，求点Q的坐标.
25.本小题12分
【问题情境】：
如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，求证：
【类比探究】：
如图2，四边形ABCD是矩形，，，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：：3，连接DG、请判断线段DG与BE有怎样的数量关系，并说明理由；
【拓展提升】：
如图3，在的条件下，连接BG，直接写出的最小值.
参考答案
一、选择题：
1.D
2.A
3.B
4.B
5.D
6.B
8.C
9.C
10.C
二、填空题：
11.
12.
13.30
14.
15.3
三、解答题：
16.解：，
，
或，
，；
，
，
，
或，
，
17.解：方程有两个不相等的实数根，
，
解得；
已知，
，
，
，
18.解：在与中，
，，
∽；
，即，
19.解：
元
答：每天的销售利润为1152元；
设每件工艺品的售价为x元，则每件工艺品的销售利润为元，工艺品每天的销售量是件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，
销售单价不得超过65元，不符合题意，应舍去，
答：每件工艺品的售价应为55元．
20.解：口袋中白球的数量为个，
故答案为：1；
列表如下：
红 白 蓝 蓝
红 白，红 蓝，红 蓝，红
白 红，白 蓝，白 蓝，白
蓝 红，蓝 白，蓝 蓝，蓝
蓝 红，蓝 白，蓝 蓝，蓝
由表知，共有12种等可能结果，其中两人摸出的小球颜色相同的有2种结果，两人摸出的小球颜色可配成紫色的有4种结果，
所以小明获胜的概率为，小颖获胜的概率为，
，
游戏不公平，此游戏规则对小颖有利．
21.解：与是关于点P为位似中心的位似图形，
分别延长、、，它们的交点为P点，如图1，
则点P为所作，P点坐标为；
故答案为：；
如图2，，，
把A、B点的横纵坐标都乘以2得：、，
连接、，，
则即为所作；
的内部一点M的坐标为，
由知：与是关于原点O为位似中心的位似图形，且位似比为2：1，
点M在中的对应点的坐标为
故答案为：
22.解：由图象知，，，，
设线段AB所在的直线的解析式为：y：，
把代入得：，
解得：，
线段AB解析式为：
设C、D所在双曲线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
曲线CD的解析式为：；
把代入，得：，
把代入，得：，
，
第35分钟时学生的注意力更集中；
这样的要求能实现．理由如下：
把代入得：，解得：；
把代入，得：，解得：，
学习时的注意力指标数不低于40的时间为：，
，
这样的要求能实现．
23.解：如图1所示，过点E作交CD于点H、交AB于点J，则四边形EFBJ、四边形EFDH都是矩形，
米，米，米，
米，
米，
，
∽，
，
，
米，
米；
如下图所示，过点E作交CD于点T、交AB于点R，设米，
，，
，
，
，
米，
标杆AB应该向大楼方向移动米．
24.解：反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，
，，
反比例函数的解析式为；
如图，设点B的坐标为，则，，
，，
，
，整理得：，
或不符合题意舍去，
点B的坐标为；
如图，点P在直线图象上，根据可知，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
由条件可知，，设直线AB的解析式为，
，解得，
直线AB的解析式为，
当时，，
，
，
，，
∽，
，即，
，
点Q的坐标为
25.证明：四边形ABCD是正方形，
，，
四边形CEFG是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：；
解：判断：，理由如下：
四边形 CEFG是矩形，四边形 ABCD是矩形，
，，
，
：：3，，，
，
∽，
，
；
解：如图，过点 E作，垂足为点 K，过点 G作交 BC的延长线于点 L，则，
四边形 ABCD是矩形，
，，，
∽，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
点 G的运动轨迹是直线 GL，
作点 D关于直线 GL的对称点，则，
当点 B， G，三点同一直线时，的值最小，即为，
由得，
，
，
的最小值为的最小值，即，
，，
，
，
，
的最小值为

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