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浙教版2025—2026学年七年级上册期末焦点热题集训卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七上·龙岗期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：＂庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．＂其大意是：＂孩童们在庭院玩要，不知有多少人和梨子．每人分4梨，多12梨；每人分6梨，恰好分完．＂设孩童有名，则可列方程为（　　）．
A． B． C． D．
2．（2024七上·永年期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七上·宜州期末）如果方程和方程的解相同，那么a的值为（　　）
A．1 B．5 C． D．0
4．（2024七上·播州期末）下列三个生活中的现象：①用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．（2024七上·拱墅期末）如图，点在直线上，在直线的同侧作射线，，若，且和互余作平分，平分，则（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024七上·越城期末） 实数的整数部分为，小数部分为，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七上·南浔期末）关于整式的概念，下列说法正确的是（　　）
A．1是单项式 B．5a3b的次数是3
C．是五次多项式 D．的系数是
8．（2024七上·绍兴期末） 有理数m、n在数轴上的位置如图所示，则下列关于，，，的大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2021七上·长沙期末）有理数 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（　　）
① ；② ；③ ；④ .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024七上·龙岗期末）法国的“小九九”从“一 一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了.下面两个图框是用法国“小九九”计算和的两个示例，且左手伸出的手指数不大于右手伸出的手指数.若用法国的“小九九”计算，左、右手依次伸出手指的个数是（　　）
？
因为两手伸出的手指数的和为，未伸出的手指数的积为，所以 ？
因为两手伸出的手指数的和为，未伸出的手指数的积为，所以
A．， B．， C．， D．，
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025七上·清新期末）某商店在某一时间以每件180元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损10%，该商店卖出这两件衣服共盈利 　 　元．
12．（2024七上·温州期末）若a2＝4，|b|＝3，且ab＜0，则a+b＝　 　．
13．（2024七上·覃塘期末）某区中学生足球联赛共赛8轮（即每队均参赛8场），胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．在这次足球联赛中，猛虎足球队踢平的场数是所负场数的2倍，共得17分，则该队胜了　 　场．
14．（2024七上·苍南期末）如图，已知，延长至点，使，为线段中点，则长为　 　．
15．（2024七上·阳春期末）若单项式与是同类项，则　 　．
16．（2024七上·扶余期末）已知，，，则锐角的度数　 　 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七上·湖北期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024七上·旺苍期末）为准备春节文艺汇演，甲、乙两所学校共92名学生（其中甲校学生多于乙校学生，且甲校学生不够90名）准备统一购买服装参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 1套至45套 46至90套 由91套及以上
每套服装的价格 60元 50元 40元
如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元．
（1）甲、乙两校各有多少名学生准备参加演出？
（2）如果两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？
（3）如果甲校有6名学生被调去参加书法比赛不能参加演出，请你为两校设计购买服装方案，并说明哪一种最省钱．
19．（2024七上·新兴期末）2023年“十一”黄金周期间，某风景区每天旅游的人数（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数，单位：万人）变化如下表，9月29日的游客人数为1.5万．
日期 30日 1日 2日 3日 4日 5日 6日
人数变化
（1）10月1日的游客人数是多少？
（2）请判断这7天内游客人数最多的是几日？最少的是几日？它们相差多少万人？
（3）若平均每人每天消费300元，请计算这7天该风景区的营业总额为多少万元？
20．（2024七上·北海期末） 如图，是直线上的一点，且，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数；
（3）若，则　 　°．
21．（2024七上·榆树期末）某学校准备在网上订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球，在查阅网店后发现该品牌羽毛球拍每副定价100元，羽毛球每个定价5元，现有甲，乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案：
甲网店：买1副羽毛球拍送3个羽毛球；
乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的付款．
已知学校要购买羽毛球拍20副，羽毛球个（）．
（1）若在甲网店购买，需付款______元；若在乙网店购买，需付款______元；（用含x的式子表示）
（2）若时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？
（3）若时，你能给出一种最省钱的购买方案吗？请说明理由．
22．（2024七上·莲都期末）如图1是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得1个纸杯的高为，6个叠放在一起的纸杯的高为．
（1）问2个叠放在一起的纸杯的高是多少？
（2）若一批这样的纸杯按照图2的方式叠放，测得总高度为，求纸杯个数．
23．（2024七上·湖北期末）已知一个由正奇数排成的数阵.用如图所示的四边形框去框住四个数．
（1）若设框住四个数中左上角的数为，则这四个数的和为　 　（用含的代数式表示）；
（2）平行移动四边形框，若框住四个数的和为140，求出这4个数．
（3）平行移动四边形框，框住四个数的和能否为为220？答：　 　（填“能”或“不能”）
24．（2024七上·六安期末）定义：从∠α（45°＜α＜90°）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为余角，则称该射线为∠α的“分余线”．
（1）如图1，∠AOB＝70°，∠AOC＝50°，请判断OC是否为∠AOB的“分余线”，并说明理由；
（2）若OC平分∠AOB，且OC为∠AOB的“分余线”，则∠AOB＝　 　；
（3）如图2，∠AOB＝155°，在∠AOB的内部作射线OC，OM，ON，使OM为∠AOC的平分线，ON为∠BOC的“分余线”．当OC为∠MON的“分余线”时，请直接写出∠AOC的度数．
25．（2024七上·昭通期末）春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件．
（1）求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？
（2）现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变．
①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格：
　 第一次购买数量（千克） 第二次购买数量（千克） 总共需要购买数量（千克）
甲材料 　 380
乙材料 　 180
②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？
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浙教版2025—2026学年七年级上册期末焦点热题集训卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七上·龙岗期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：＂庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．＂其大意是：＂孩童们在庭院玩要，不知有多少人和梨子．每人分4梨，多12梨；每人分6梨，恰好分完．＂设孩童有名，则可列方程为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： 设孩童有名，根据题意，有.
故答案为：A.
【分析】由“每人分4梨，多12梨”可知，梨的总数可表示为4x+12，而又由“ 每人分6梨，恰好分完 ”可知，梨的总数也可表示为6x. 因为梨的总数不变，所以可建立方程 .
2．（2024七上·永年期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确，不符合题意；
B、∵和不是同类项，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴C正确，符合题意；
D、∵，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项的计算方法及去括号的计算方法逐项分析判断即可.
3．（2024七上·宜州期末）如果方程和方程的解相同，那么a的值为（　　）
A．1 B．5 C． D．0
【答案】C
【解析】【解答】解：解方程2x＝2，得x＝1，
∵方程2x＝2和方程的解相同，
∴将x＝1代入方程
中，得，
∴3（a＋1）＝2（a＋2） 6，
∴3a＋3＝2a＋4 6，
解得：a＝ 5，
故答案为：C．
【分析】先求出方程的解为x=1，再将x=1代入中，得，再求出a的值即可.
4．（2024七上·播州期末）下列三个生活中的现象：①用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【解析】【解答】①∵用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上不可以用两点之间，线段最短来解释，∴①不符合题意；
②∵从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设可以用两点之间，线段最短来解释，∴②符合题意；
③∵把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用两点之间，线段最短来解释，∴③符合题意；
综上，符合题意的是②③，
故答案为：C.
【分析】利用线段的性质两点之间线段最短逐项分析判断即可.
5．（2024七上·拱墅期末）如图，点在直线上，在直线的同侧作射线，，若，且和互余作平分，平分，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设
和 互余，
2α
∵OM平分
∵ON平分
.故选项A正确， 符合题意；
故选项B，C，D不符合题意.
故答案为： A.
【分析】设 由 和 互余得 则 再由OM平分 得 进而得 然后由. 得 ，再由ON平分 得 进而得 由此得 ，据此即可得出答案.
6．（2024七上·越城期末） 实数的整数部分为，小数部分为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵16＜25＜36，
∴，
∴，
∴的整数部分a=3，小数部分b=-3=，
∴2a+3b=
=.
故答案为：C.
【分析】根据有理数大小的比较和不等式的性质可得的整数部分和小数部分，代入所求代数式计算即可求解.
7．（2024七上·南浔期末）关于整式的概念，下列说法正确的是（　　）
A．1是单项式 B．5a3b的次数是3
C．是五次多项式 D．的系数是
【答案】A
【解析】【解答】解：A、1是单项式，A正确；
B、的次数是4，A错误；
C、是三次多项式，C错误；
D、的系数是，D错误；
故答案为：A.
【分析】根据单项式与多项式的概念及系数、次数逐一判断即可.
8．（2024七上·绍兴期末） 有理数m、n在数轴上的位置如图所示，则下列关于，，，的大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意，可得n＜0＜m，且|n|＞|m|；
∴-n＞m＞-m＞n
故答案为：B.
【分析】根据数轴上点的位置，0的左边小于0，0的右边大于0，可以判断数轴上点的大小；根据点距离0的位置，判断其绝对值的大小.
9．（2021七上·长沙期末）有理数 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（　　）
① ；② ；③ ；④ .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：由数轴可得，b＜c＜0＜a，且|b|＞|c|＞|a|，
∴abc＞0，①正确；
a-b+c＞0， ，②不正确；
，③正确；
，④正确，
故答案为：C.
【分析】由数轴可得b＜c＜0＜a，且|b|＞|c|＞|a|，根据有理数的乘法，有理数的加法，绝对值的性质分别计算，再判断即可.
10．（2024七上·龙岗期末）法国的“小九九”从“一 一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了.下面两个图框是用法国“小九九”计算和的两个示例，且左手伸出的手指数不大于右手伸出的手指数.若用法国的“小九九”计算，左、右手依次伸出手指的个数是（　　）
？
因为两手伸出的手指数的和为，未伸出的手指数的积为，所以 ？
因为两手伸出的手指数的和为，未伸出的手指数的积为，所以
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】【解答】解：计算7×8的过程为：左手应伸出7-5=2个手指，右手伸出8-5=3个手指；
计算8×9的过程为：左手应伸出8-5=3个手指，右手伸出9-5=4个手指；
∴计算7×9的过程为：左手应伸出7-5=2个手指，右手伸出9-5=4个手指；
∴计算7×9，左、右手依次伸出手指的个数分别是2、4.
故答案为：A.
【分析】观察图形，可知计算7×8的过程和计算8×9的过程，据此可得到计算7×9的过程，即可求解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025七上·清新期末）某商店在某一时间以每件180元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损10%，该商店卖出这两件衣服共盈利 　 　元．
【答案】10
【解析】【解答】解：设盈利20%的衣服的进价是x元，亏损10%的衣服的进价是y元，由题意，得
x（1+20%）=180，
解得：x=150，
y（1-10%）=180，
解得：y=200，
总进价：150+200=350（元），
总售价为：180×2=360（元），
360-350=10（元）．
故答案为：10．
【分析】进价×（1+盈利百分比）=售价，进价×（1-亏损百分比）=售价，根据等量关系列出方程算出进价，再用总的售价减去总的进价.
12．（2024七上·温州期末）若a2＝4，|b|＝3，且ab＜0，则a+b＝　 　．
【答案】±1
【解析】【解答】∵a2＝4，
∴a＝±2
∵|b|＝3，
∴b＝±3，
又∵ab＜0，
∴a、b异号，
∴a＝2，b＝﹣3或a＝﹣2，b＝3，
当a＝2，b＝﹣3时，a+b＝2+（﹣3）＝﹣1，
当a＝﹣2，b＝3时，a+b＝（﹣2）+3＝1，
故答案为：±1．
【分析】根据题意先求出a＝2，b＝﹣3或a＝﹣2，b＝3，再分类计算求解即可。
13．（2024七上·覃塘期末）某区中学生足球联赛共赛8轮（即每队均参赛8场），胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．在这次足球联赛中，猛虎足球队踢平的场数是所负场数的2倍，共得17分，则该队胜了　 　场．
【答案】5
【解析】【解答】解：设负的场数为x，则平的场数为，则胜的场数为，
由题意，得，
解得，
则．
故答案为：5．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设负的场数为x，得到平和胜的场数为和，结合踢平的场数是所负场数的2倍，共得17分， 列出方程，求得方程的解，即可得到答案.
14．（2024七上·苍南期末）如图，已知，延长至点，使，为线段中点，则长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：，，
，
，
为线段的中点，
，
，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了线段中点及线段的有关计算，根据题意先求出AC的值，然后得BC的值，再根据中点定义求得BD的值，最后求AD=AB-BD的值即可.
15．（2024七上·阳春期末）若单项式与是同类项，则　 　．
【答案】-1
【解析】【解答】解：∵单项式xa＋3y与 5xyb是同类项，
∴a＋3＝1，b＝1，
解得：a＝ 2，
∴（a＋b）2023
＝（ 2＋1）2023
＝ 1，
故答案为： 1．
【分析】利用同类项的定义（同类项是指所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的两个单项式）可得a＋3＝1，b＝1，求出a、b的值，再将其代入计算即可.
16．（2024七上·扶余期末）已知，，，则锐角的度数　 　 ．
【答案】、、、
【解析】【解答】解：由题意得，，，
∴如图：．
如图：；
如图：；
如图：．
故答案为：、、、．
【分析】由题意得，，，进而根据角的位置结合题意分类讨论，再运用角的运算即可求解。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七上·湖北期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【解析】【分析】（1）利用有理数的加减混合运算方法（①能简便运算的先简便运算；②将减法转换为加法，再利用加法结合律或加法交换律运算）分析求解即可.
（2）利用含乘方的混合运算的计算方法（先计算乘方，再计算括号，然后计算乘除，最后计算加减）分析求解即可.
18．（2024七上·旺苍期末）为准备春节文艺汇演，甲、乙两所学校共92名学生（其中甲校学生多于乙校学生，且甲校学生不够90名）准备统一购买服装参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 1套至45套 46至90套 由91套及以上
每套服装的价格 60元 50元 40元
如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元．
（1）甲、乙两校各有多少名学生准备参加演出？
（2）如果两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？
（3）如果甲校有6名学生被调去参加书法比赛不能参加演出，请你为两校设计购买服装方案，并说明哪一种最省钱．
【答案】（1）解：设甲校有x名学生参加演出，则乙校有名学生参加演出，根据题意得：，
解得：，
∴．
∴甲校有52名学生参加演出，乙校有40名学生参加演出．
（2）解：（元）．
∴如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省1320元钱．
（3）解：有三种购买方案：①如果买套，
则花费为：（元）；
②如果买91套，则花费：（元）；
③各自买服装需要（元）；
∵，
∴买91套服装最省钱；
∴甲、乙两校应该联合起来按单价40元一次购买91套服装最省钱．
【解析】【分析】（1）先根据题意分析出甲乙所购买服装的范围，再根据总价=单价×数量列出一元一次方程计算即可；
（2）用分开总费用-联合费用计算即可；
（3）分一起购买86套、一起购买91套、分别购买各自服装三种情况计算，再比较大小即可.
19．（2024七上·新兴期末）2023年“十一”黄金周期间，某风景区每天旅游的人数（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数，单位：万人）变化如下表，9月29日的游客人数为1.5万．
日期 30日 1日 2日 3日 4日 5日 6日
人数变化
（1）10月1日的游客人数是多少？
（2）请判断这7天内游客人数最多的是几日？最少的是几日？它们相差多少万人？
（3）若平均每人每天消费300元，请计算这7天该风景区的营业总额为多少万元？
【答案】（1）解：由题意可得：
10月1日的游客人数为万．
（2）解：根据表格中数据可得30日游客数为万；
1日游客数为万；
2日游客数为万；
3日游客数为万；
4日游客数为万；
5日游客数为万；
6日游客数为万，
所以5日人数最多，有4.2万人；30日人数最少，有2.8万人，
它们相差万人．
（3）解：由（2）得这七天游客总数为万，
故这7天该风景区的营业总额为万元．
【解析】【分析】（　　）1根据有理数的加法即可求出答案.
（2）求出每天的游客数，找出最多及最少得人数，作差即可求出答案.
（3）求出7天游客总数，再乘以300即可求出答案.
20．（2024七上·北海期末） 如图，是直线上的一点，且，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数；
（3）若，则　 　°．
【答案】（1）解：，，
；
（2）解：，，
平分，
；
（3）
【解析】【解答】解：（3）∵，
∴，
∵平分，
，
∴．
故答案为：
【分析】（1）根据平角进行角的运算，进而即可求解；
（2）先根据题意进行角的运算得到∠COE的度数，再根据角平分线的定义得到∠BOC的度数，从而即可求解；
（3）先表示出∠BOC，再根据角平分线的定义得到，从而根据即可求解。
21．（2024七上·榆树期末）某学校准备在网上订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球，在查阅网店后发现该品牌羽毛球拍每副定价100元，羽毛球每个定价5元，现有甲，乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案：
甲网店：买1副羽毛球拍送3个羽毛球；
乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的付款．
已知学校要购买羽毛球拍20副，羽毛球个（）．
（1）若在甲网店购买，需付款______元；若在乙网店购买，需付款______元；（用含x的式子表示）
（2）若时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？
（3）若时，你能给出一种最省钱的购买方案吗？请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解；当时，元，
元，
∵，
∴在甲网店购买较为合算；
（3）解：当时，元，
元，
若在甲网店买20副球拍赠送60个羽毛球，在乙网店买90个羽毛球，
此时需付款：元，
∵，
∴最省钱的购买方案为：在甲网店买20副球拍赠送60个羽毛球，在乙网店买90个羽毛球．
【解析】【解答】解：（1）根据题意，
若在甲网店购买，需付款：元，
若在乙网店购买，需付款元．
故答案为：；；
【分析】（1）根据题目中甲网店和乙网店的优惠方案，分别列出代数式，进行计算，即可得到答案；
（2）结合（1）中的代数式，当时，求得甲、乙两个网店所需付款额，再比较大小，即可得出答案；
（3）当时，求得甲、乙两个网店所需付款额，再计算在甲网店买20副球拍60个羽毛球，在乙网店买90个羽毛球所需费用，比较大小，即可得到答案．
（1）解：根据题意，
若在甲网店购买，需付款：元，
若在乙网店购买，需付款元．
故答案为：；；
（2）当时，
元，
元，
∵，
∴在甲网店购买较为合算；
（3）当时，
元，
元，
若在甲网店买20副球拍赠送60个羽毛球，在乙网店买90个羽毛球，
此时需付款：元，
∵，
∴最省钱的购买方案为：在甲网店买20副球拍赠送60个羽毛球，在乙网店买90个羽毛球．
22．（2024七上·莲都期末）如图1是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得1个纸杯的高为，6个叠放在一起的纸杯的高为．
（1）问2个叠放在一起的纸杯的高是多少？
（2）若一批这样的纸杯按照图2的方式叠放，测得总高度为，求纸杯个数．
【答案】（1）解： 根据题意得：，
，
则2个叠放在一起的纸杯的高是；
（2）解： 根据题意得：
（个），
则纸杯个数为101个．
【解析】【分析】（1）根据图1求出每增加一个纸杯增加的高度解题；
（2）根据（1）中每增加一个纸杯增加的高度，利用总高度求出纸杯的个数即可．
（1）根据题意得：
，
，
则2个叠放在一起的纸杯的高是；
（2）根据题意得：
（个），
则纸杯个数为101个．
23．（2024七上·湖北期末）已知一个由正奇数排成的数阵.用如图所示的四边形框去框住四个数．
（1）若设框住四个数中左上角的数为，则这四个数的和为　 　（用含的代数式表示）；
（2）平行移动四边形框，若框住四个数的和为140，求出这4个数．
（3）平行移动四边形框，框住四个数的和能否为为220？答：　 　（填“能”或“不能”）
【答案】（1）
（2）解：根据题意得：，
解得：，
∴这四个数分别是27，29，41，43；
（3）不能
【解析】【解答】（1）解：设框住四个数中左上角的数为n，则其他三个为，，，
四个数的和为：，
故答案为：；
（3）解：不能框住这样的四个数，使四个数的和为220，理由：假设能，则，
解得，
由图片可知，左上角的数47在第4行第6列，
∴不能框住这样的四个数，使四个数的和为220．
故答案为：不能.
【分析】（1）根据数据之间的规律可得设框住四个数中左上角的数为n，则其他三个为，，，再列出算式并合并同类项即可；
（2）根据“ 框住四个数的和为140 ”列出方程，再求解即可；
（3）根据“ 框住四个数的和为220 ”列出方程，再求解即可.
24．（2024七上·六安期末）定义：从∠α（45°＜α＜90°）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为余角，则称该射线为∠α的“分余线”．
（1）如图1，∠AOB＝70°，∠AOC＝50°，请判断OC是否为∠AOB的“分余线”，并说明理由；
（2）若OC平分∠AOB，且OC为∠AOB的“分余线”，则∠AOB＝　 　；
（3）如图2，∠AOB＝155°，在∠AOB的内部作射线OC，OM，ON，使OM为∠AOC的平分线，ON为∠BOC的“分余线”．当OC为∠MON的“分余线”时，请直接写出∠AOC的度数．
【答案】（1）解：OC是∠AOB的“分余线，理由如下：
∵∠AOB＝70°，∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝70°﹣50°＝20°，
∴∠BOC+∠AOB＝20°+70°＝90°，
∴OC是∠AOB的“分余线；
（2）60°
（3）解：∠AOC的度数为100°或77.5°或88°
【解析】【解答】解：（2） 设∠A0B=x°，根据题意，得：，解得：x=60；
故答案为：60°；
（3）设∠AOC＝2x，
∵OM为∠AOC的平分线，
∴∠COM＝∠AOC＝x，
∵∠AOB＝155°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝155°﹣2x，
∵ON为∠BOC的“分余线”，OC为∠MON的“分余线”，
①∠BON+∠BOC＝90°，∠MOC+∠MON＝90°，
∴∠BON＝90°﹣（155°﹣2x）＝2x﹣65°，
∴∠MON＝155°﹣x﹣（2x﹣65°）＝220°﹣3x，
∵∠MOC+∠MON＝90°，
∴x+220°﹣3x＝90°，
解得x＝65°（不符合题意，舍去）；
②∠BON+∠BOC＝90°，∠NOC+∠MON＝90°，
∵∠CON＝∠BOC﹣∠BON＝155°﹣2x﹣（2x﹣65°）＝220°﹣4x，
∴220°﹣4x+220°﹣3x＝90°，
解得x＝50°，
∴∠AOC＝2x＝50°×2＝100°；
③∠CON+∠BOC＝90°，∠MOC+∠MON＝90°，
∵∠CON＝90°﹣∠BOC＝90°﹣（155°﹣2x）＝2x﹣65°，
∴∠MON＝∠MOC+∠CON＝x+2x﹣65°＝3x﹣65°，
∵∠MOC+∠MON＝90°，
∴x+3x﹣65°＝90°，
∴x＝38.75°，
∴∠AOC＝2x＝38.75°×2＝77.5°；
④∠CON+∠BOC＝90°，∠NOC+∠MON＝90°，
∴∠MON＝∠BOC，
∴∠MOC＝∠BON，
∵∠BON＝（155°﹣2x）﹣（2x﹣65°）＝220°﹣4x，
∴x＝220°﹣4x，
解得x＝44°，
∴∠AOC＝2x＝44°×2＝88°，
综上所述，满足条件的∠AOC的度数为100°或77.5°或88°．
【分析】（1）首先求得∠BOC=20°，再求得 ∠BOC+∠AOB＝90°， 即可得出 OC是∠AOB的“分余线；
（2） 设∠A0B=x°，根据 OC平分∠AOB，且OC为∠AOB的“分余线”， 即可得出方程，解方程，即可求得答案；
（3）设∠AOC＝2x，即可得出∠COM＝x，∠BOC＝155°﹣2x，然后根据ON为∠BOC的“分余线”，OC为∠MON的“分余线”，可分类讨论：①∠BON+∠BOC＝90°，∠MOC+∠MON＝90°，可得方程x+220°﹣3x＝90°，解得x＝65°（不符合题意，舍去）；②∠BON+∠BOC＝90°，∠NOC+∠MON＝90°，可得方程220°﹣4x+220°﹣3x＝90°，解得x＝50°，进一步求得∠AOC＝2x＝50°×2＝100°；③∠CON+∠BOC＝90°，∠MOC+∠MON＝90°，可得方程x+3x﹣65°＝90°，解得x＝38.75°，进一步求得∠AOC＝77.5°；④∠CON+∠BOC＝90°，∠NOC+∠MON＝90°，可得方程x＝220°﹣4x，解得x＝44°，进一步求得∠AOC＝88°；综上即可得出满足条件的∠AOC的度数为100°或77.5°或88°．
25．（2024七上·昭通期末）春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件．
（1）求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？
（2）现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变．
①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格：
　 第一次购买数量（千克） 第二次购买数量（千克） 总共需要购买数量（千克）
甲材料 　 380
乙材料 　 180
②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？
【答案】（1）解：设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件，
根据题意得：，
解得：，
，
工厂计划生产B种产品40件，则工厂计划生产A种产品100件
（2）解：①补充表格如下表：
　 第一次购买数量（千克） 第二次购买数量（千克） 总共需要购买数量（千克）
甲材料 　 　
乙材料 　 　
②第一次购买材料的费用为：（元），
第二次购买材料的费用为：（元），
，解得：，
答：采购员第一次购买甲种材料120千克．
【解析】【分析】（1）设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件，根据“某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件”列出方程，再求解即可；
（2）①根据题干中的信息直接列出代数式即可；
②先分别求出第一次和第二次购买材料的费用，再列出方程，最后求出m的值即可.
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